角的定义及其表示方法
角的定义及表示
（1）
（2）
（3）
（4）
2.角的表示方法
（1）角通常用三个大写字母及符号“∠”表示 ． 注:顶点的字母必须写在中间 如：∠AOB，∠ABC 等等。 （2）角也可用一个大写字母表示． 注:当两个或两个以上的角有同一个顶点 时，不能用一个大写字母表示． 如：∠A，∠O 等等。 （3）角还可用一个数字(或希腊字母)表示，并 在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上 数字。如：∠1，∠2 等等。
A B
C
D
如 何 比 • 用半圆量出角度的数值，在比较其大 小。 较 角 的 大 小 ？
• 平移两个角，使它们的角顶点相重合，一 边也重合，然后比较它们的开口大小。
A C
O
B
O
D
C
A
O
B、D
• 把图中的角表示成下列形式，哪些是正确 的，哪些是错误的？ A B
O ∠ABC ∠BOC ∠AOC ∠BCD C D ∠ AOD ∠ACD ∠ACD ∠COA
• 下图有几个角，请写出来。 A B C O D
3.角的大小比较
• 小知识回顾（线段长度的比较）： • （1）从“数”出发。通过度量长度进行数 值 大小比较。 • （2）从“形”出发。利用线段移动重合， 在比较其长短。
角
• • • • 学习目标： 1.理解角的概念及有关概念； 2.掌握角的表示方法； 3.掌握角的：
有公共端点和两条射线组成的图形叫做角。
A
O
B
2.角的定义2
• 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋 转而形成的图形． A O B
• 下列图形中，哪些是角，哪些不是？请说 明理理由。
角的基本概念与分类(知识点总结)
角的基本概念与分类（知识点总结）角是几何学中常见的概念，它是由两条射线的公共端点所组成的图形。
在学习角的过程中，我们需要了解角的基本概念以及不同的分类方法。
本文将对角的基本概念与分类进行总结。
一、基本概念1. 顶点：角的射线的公共端点称为角的顶点。
2. 边：角的两条射线称为角的边。
3. 初始边：以角的顶点为起点的那条射线称为角的初始边。
4. 终边：以角的顶点为起点，与初始边共线的射线称为角的终边。
二、角的分类1. 零角：角度为0度的角称为零角。
零角的两条射线重合。
2. 直角：角度为90度的角称为直角。
直角的两条射线互相垂直。
3. 钝角：角度大于90度且小于180度的角称为钝角。
钝角的两条射线在同一直线上但不重合。
4. 锐角：角度小于90度的角称为锐角。
锐角的两条射线在同一直线上但不重合。
三、角的度量角的度量一般用度（°）作为单位。
一个完整的圆周有360度。
例如，直角的度数为90度，直角的度数为180度。
我们可以用量角器或直尺等工具对角的度数进行测量。
四、角的表示方法角可以用字母、数字或符号来表示。
例如，用大写字母A表示一个角，用小写字母a表示一条边，用两个小写字母ab表示两条边。
五、角的相等关系1. 角相等：如果两个角的度数相等，则它们相等。
例如，如果角A的度数等于角B的度数，可以表示为∠A = ∠B。
2. 互补角：如果两个角的度数之和等于90度，则它们互补。
例如，如果∠A + ∠B = 90度，可以表示为∠A ⊥∠B。
3. 余角：如果两个角的度数之和等于180度，则它们互为余角。
例如，如果∠A + ∠B = 180度，可以表示为∠A ∪∠B。
六、角的补角与余角1. 补角：两个角的度数之和为90度时，它们互为补角。
例如，如果∠A + ∠B = 90度，则∠A和∠B互为补角。
2. 余角：两个角的度数之和为180度时，它们互为余角。
例如，如果∠A + ∠B = 180度，则∠A和∠B互为余角。
七年级下册角的表示知识点
七年级下册角的表示知识点角是我们初中数学的重要内容之一，理解角的概念及表示方法是我们学好数学的基础。
在七年级数学下册中，角的表示是重要的知识点之一。
本文将从角度、角的表示方法、角的性质三个方面详细介绍七年级下册角的表示知识点。
一、角度什么是角度？角度是指由角平分线将一个平面分成两个不同射线组成的一对有序射线，两组射线的端点构成角的两个端点。
在角度表示中，角度用大写字母表示，比如A、B、C等，两条射线之间的角用小写字母表示，如∠ABC。
店名“∠”表示角。
二、角的表示方法1、度数制我们通常使用“度”来表示角的大小，一定角所对的圆心角是360度，也就是一个圆的周长。
因此，一个直角所对的圆心角是90度，一个钝角所对的圆心角是大于180度，一个锐角所对的圆心角是小于180度的。
通过度数表示角的大小比较直观，方便计算。
2、弧度制弧度制是角度制的另一种表示方法，我们通过将一个圆的弧长分成等于圆半径的长度(弧度)来表示角度大小。
一个完整的圆对应的弧度是2π，所以一个弧度对应的角度是180/π度，约等于57.3度。
弧度制的表示更加精确，常用于高等数学学科。
三、角的性质1、角的平分线性质一个角的平分线将这个角平分成两个相等的角，反之，如果一个角被平分成两个相等的角，那么这条平分线是这个角的平分线。
2、垂直角和邻角性质两个角互为垂直角当且仅当它们的度数之和为90度。
两个角互为邻角当且仅当它们有一个公共的端点和一个公共的边。
3、同位角性质如果两条平行线被一条横线所切，那么同旁两个内角、同旁两个外角和对顶角互相等价。
总结理解七年级下册角的表示知识点是我们学好数学的基础，需要我们掌握角度、角的表示方法、角的性质等关键概念，这不仅有助于我们对角的基本认识，更有助于我们理解相关问题的解法和公式的应用。
希望本文内容能够为各位同学带来帮助。
人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解
4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间． 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】 下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了． 答案：C【例1－2】 如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”． 解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点 角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区 角的平分线的理解 角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】 如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ， 所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。
角 的概念与表示
它们给我们怎样的图形 印象？
7.3角的概念与表示
角的定义：
角是具有公共端点的两条射线组成的图形。 角的顶点
边
角的边
顶点
边
角的定义：
角是由一条射线绕着它的端点旋转到另 一个位置所成的图形。
终止位置的那条射线
终边
始边
初始位置的那条射线内部，简称角内。 通常角的内部用不带箭头或带箭头的弧线表示。
. A
课堂小结 你有哪些收获？
外部 内部
内部 外部
涂颜色部分是角的外部，简称角外。 注：本书中，除了周角外，未加说明的角是指小于平 角的角。
角的表示
• 探索：如图，射线ON、OE、OS、OW分 别表示从点O出发北、东、南、西的四个方 向.你能说出图中射线OA，OB，OC，OD 分别表示什么方向吗？
已知迪斯尼乐园在川沙中学南校约南偏西 35°的方向，如果用点O表示川沙中学南校， 用点A表示迪斯尼乐园，画出从川沙中学南 校到迪斯尼乐园方向的射线.
角的定义与角的表示
O
A
A
B
C
例3.如图 ∠AOB+ ∠BOD= ； ∠AOC+ ∠COD= ； ∠BOC= ∠AOC ； ∠AOC+ ∠BOD= ∠AOD+ ∠AOD－∠AOB－∠COD=
O
D
； 。
三 角的大小
四 角的分类
四 角的分类
四 角的分类
四
四 角的分类 1周角=2平角=4周角
初中阶段我们主要研究小于平角的角。
我们把小于平角的角分成三类 锐角 直角 钝角
五 角的平分线
B C
O
A
六 方位角简介
角的定义与角的表示
剪刀张开的两个刃、钟表的时针和分针都 给我们以角的形象。
关于角，你还知道哪些知识？
一 角的定义 ①
边 边
顶点
从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角。 这个点叫做角的顶点。 这两条射线叫做角的边。
一 角的定义
终边
②
顶点
始边
角又可以看成一条射线绕着它的端点旋转时，旋 转的终止位置与开始位置形成的图形。
开始位置叫做角的始边。 终止位置叫做角的终边。
二 角的表示方法 A
1 借助表示点的大写字母， 表示角。 2 用阿拉伯数字表示角。 3 用希腊字母表示角。
B
D
C
例1.如图，写出符合下列条件的角 （1）能用一个大写字母表示的角 C
（2）以A为顶点的角
（3）图中所有的角
D
B
A
例2.如图，写出图中所有的角 如果再加一条射线OE，那么图中多了哪些角？ C E D B
角
1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两 条射线是角的两条边．如图 1 所示，角的顶点是点 O，边是射线 OA、OB．
（2）定义二：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线 旋转时经过的平面部分是角的内部．如图 2 所示，射线 OA 绕它的端点 O 旋转到 OB 的位置时， 形成的图形叫做角，起始位置 OA 是角的始边，终止位置 OB 是角的终边．
变式 1：（2017 秋•沭阳县期末）钟表在 2 点 30 分时，它的时针和分针所成的钝角的度数是
_1_0__5_°__．
解：时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度， 6°×30=180°，0.5°×150=75°， 则在2点30分时，时针和分针所成的钝角的度数为：180°-75°=105°，
变式 2：在下午 3 点至 4 点之间，从下午 3 点开始，经过多少分钟，时针与分针成 60°角？
变式 1：（2017 秋•宜兴市期末）如图，已知 O 为直线 AB 上一点，OC 平分∠AOD，∠BOD=3
∠DOE，∠COE=α ，则∠BOE 的度数为（ A ）
A．360°-4α
B．180°-4α
C．α
D．2α -60°
变式 2：（2017 秋•砀山县期末）如图所示，∠AOB 是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM， ON 分别是∠AOC，∠BOD 的平分线，∠MON 等于________度．
重点剖析： 在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，再注上相应数字或字母．
3.角的画法 （1）用三角板可以画出 30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
角的表示
点从一个位置旋转到另一个位置所形 成的图形。
角的要素为顶点和边，角的大小不 随边的长短而变化，即与边无关。 17
课堂总结
3.角的四种表示方法
表示方法
注意事项
1、用三个大写的 表示顶点的字母要写在
字母表示
中间（可表示所有角）
2、用一个数字或 希腊字母表示
∠ABE ∠C或∠ACD ∠BED ∠A或∠BAC
∠B
∠1
∠2
∠3
15
巩固练习
3.如图所示，用三个大写字母表示角：
∠1为 ∠AEC，∠2为 ∠BED，
∠3为 ∠ABC，∠4为 ∠BCE.
16
课堂总结
1.角的定义一: 有公共端点的两条射线组成的图形
叫做角，这个公共端点叫做角的顶点， 这两条射线叫做角的边。
（1）以点C为顶点的角有哪几个？把它们分别写出来.
（2）图中哪些角可以用一个字母表示？
A
（3）数一数，图中共有多少个角？
D
解：
B
C
（1）以点C为顶点的角有∠ACB， ∠ACD, ∠BCD;
（2）可以只用一个字母表示的角有∠A, ∠B;
（3）图中共有7个角： ∠A, ∠B, ∠ACB, ∠ACD,
∠BCD, ∠ADC, ∠BDC.
A ∠B ∠ABC= ∠B
A D
∠B ×
B
C
B
C
7
角的表示
（3）用一个小写的希腊字母如α、β、γ及符号“∠”来表示
A
A
D
α
B
C
αγ
β
BБайду номын сангаас
C
∠α= ∠ABC
角的四种表示方法
角的四种表示方法
在数学中，角是一个重要的概念，表示面内两条相交的线之间的夹角。
因为在数学中角有重要的意义，所以人们有不同的方法来表示角。
下面将介绍四种表示角的方法：
一、角的度数表示法
度数表示法是最常用的角的表示法，它将角分为360份，每份表示1度，每份又可分2等份，每等份表示0.5度，又可分4等份，每等份表示0.25度，以此类推，每等份分别表示一定的度数，从而表明角的大小。
这种方法最简单也是最容易理解，但实际应用中会出现精度问题，尤其是在角度很小的时候，这增加了计算的难度。
二、角的弧度表示法
弧度表示法是由德国数学家勃兰特发展而来，是一种比较完善的表示角的方法。
弧度表示法中，圆的周长是2π个弧度，每个弧度表示一个角，可以用π表示圆所具有的弧度长度，也可以用弧度来表示角。
弧度表示法计算弧长和体积都比较容易实现，而且可以精确表示角的大小，但是弧度表示法的计算难度也较大。
三、角的秒数表示法
秒数表示法是将圆的周长分成60等分，每等分为1秒，从而来表示角的大小。
比如1度表示的是60秒，由此可见，秒数表示法比较容易理解，而且也比较精确，但实际应用中，因为秒数大多由整数表示，所以精度问题仍存在。
四、角的梯度表示法
梯度表示法是由英国数学家发展而来，是一种比较完善的表示角的方法，它将圆分成400等分，每等份为1梯度，1度表示的是400梯度。
由此可见，梯度表示法在表示角的大小时能够比较准确，不会出现精度问题，而且计算的难度也比较低。
以上就是角的四种表示方法，它们各有优缺点，根据实际情况选择合适的表示方法才能发挥它们的最大作用。
总之，要想正确表示角的大小，就必须选用适当的表示方法。
角的概念与表示
基本内容 角知识精要概念定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.(2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.（3）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这个角的度数的和（或差）. 表示方法 表示方法用三个大写字母来表示用一个大写字母来表示 用数字来 表示角 用希腊字母来 表示角 图示AOB ∠A ∠1∠α∠角平分线: 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. 互余：如果两个角的度数和是︒90，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。
（其中一个角称为另一个角的余角。
)互补：如果两个角的度数的和是︒180，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。
（其中一个角称为另一个角的补角。
）（注：同角（或等角）的余角和补角相等。
） 角的度量单位换算：061'=︒ 061''='热身练习一、判断题1、一条直线是一个平角；（ ⅹ ）2、小于钝角的角都是锐角；（ √ ）3、如果α和β两角互补，α和γ两角互余，那么γβα2-=；（ √ ）4、互补的两个角中一定有一个角是锐角。
（ ⅹ ）5、有公共端点的两条射线叫做角 。
（ ⅹ ）6、角的边的长短，决定了角的大小。
（ ⅹ ）7、互余且相等的两个角都是45°的角。
（ √ ）8、若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角。
（ ⅹ ） 二、选择题1、钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数（ B ）。
A.︒120B.︒105C.︒100D.︒90 2、一个锐角的余角加上︒90，就等于（ C ）A.这个锐角的两倍数B.这个锐角的余角C.这个锐角的补角D.这个锐角加上︒90 3、已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算51)(βα+的结果依次是30°、35°、60°、75°，其中恰有正确结果．这个正确结果是（ C ）A.30°B.35°C.60°D.75° 4、如图，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝30°．图中互补的角有（ B ）A.10对B.4对C.3对D.14对 5、下列说法中正确的是（ A ）A. 角是由一条射线旋转而成的B. 角的两边可以度量C. 一条直线就是一个平角D. 平角的两边可以看成一条直线6、下列四个图形中，能用∠α，∠O ，∠AOB 三种方式正确表示同一个角的图形是（ C ）A B C D7、下列说法中正确的是（ C ）A. 一个角的补角一定比这个角大B. 一个锐角的补角是锐角C. 一个直角的补角是直角D. 一个锐角和一个钝角一定互为补角三、填空题1、如图1,∠AOB___>___∠AOC,∠AOB___>____∠BOC(填>,=,<); 用量角器度量∠BOC=____°,∠AOC=______°,∠AOC___>___∠BOC.OC(1)AB O DC(2)AB2、如图2,∠AOC=__AOB ∠____+___BOC ∠___=___AOD ∠___-___DOC ∠___;∠BOC=__∠AOC____-___AOB ∠___= __BOD ∠___-___DOC ∠_____.3、OC 是∠AOB 内部的一条射线,若∠AOC=12___AOB ∠_____,则OC 平分∠AOB;若OC 是∠AOB 的角平分线,则____AOB ∠_____=2∠AOC. 4、填写适当的分数：︒45=__21__直角=__41__平角=__81__周角。
角的定义
DOEC BA角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
定义2：角还可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
角的表示方法⑴用三个大写字母来表示⑵用一个大写字母来表示，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个。
⑶用数字来表示角 ⑷用希腊字母来表示角 角的度量计算角的度量单位是度、分、秒。
把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒。
把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'，1度60=分(160'︒=) 把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''，1分60=秒(160'''=) 角的分类1周角360=︒ 1平角180=︒ 1直角90=︒ 1周角2=平角 1平角2=直角锐角α(090α<<︒)， 钝角α(90180α︒<<︒)， 优角α(180360α︒<<︒) 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，这条射线叫做这个角的平分线。
余角和补角余角：如果两个角的和等于90︒，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角 补角：如果两个角的和等于180︒，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。
两个基本定理：①同角(或等角)的余角相等。
②同角(或等角)的补角相等。
板块一 角的基本概念与度量计算【例1】下列图中的角表示方法正确的个数有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例2】(2009-2010西城初一期末A 卷第6题3分)如右图所示，下列说法中错误．．的是（ ） A ．OA 的方向是北偏西15° B ．OB 的方向是南偏西45° C ．OC 的方向是南偏东60° D ．OD 的方向是北偏东60°【例3】如图，填空。
四年级数学角的内容
四年级数学角的知识点总结归纳一、角的认识1. 角的定义：角是由两条射线共享一个端点而形成的图形。
这个共享的点被称为角的顶点，两条射线被称为角的边。
例子：当我们打开一本书时，书的两个边缘形成的就是一个角。
书的顶点就是角的顶点，两条边缘就是角的边。
2. 角的种类：根据角的大小，我们可以将角分为以下几种：（1）锐角：角的度数小于90度。
例如，30度、60度、80度等都是锐角。
（2）直角：角的度数等于90度。
例如，当我们打开一个直角的书或者一个直角的三角形时，我们都会看到一个直角。
（3）钝角：角的度数大于90度但小于180度。
例如，100度、120度、150度等都是钝角。
（4）平角：角的度数等于180度。
例如，当我们把一条直线对折时，形成的两个角都是平角。
（5）周角：角的度数等于360度。
例如，一个完整的圆的周角就是360度。
3. 角的表示方法：我们通常使用一个小弧线和一个数字来表示角。
小弧线标在角的顶点上，数字表示角的大小（以度为单位）。
如果角有一个特定的名称，那么我们会把名称写在小弧线的旁边。
例子：如果有一个角A，其大小为45度，那么我们可以表示为∠A = 45°。
二、角的度量1. 角度的度量单位：角度的大小是用“度”来度量的，用符号“°”表示。
2. 量角器的使用：量角器是用来测量角的大小的工具。
使用量角器时，我们应该把量角器的中心点与角的顶点对齐，量角器的一条0°刻度线与角的一条边对齐，然后读取另一条边所对应的刻度，这就是角的大小。
例子：如果我们想要测量一个角的大小，我们可以把这个角放在量角器上，使得角的顶点与量角器的中心点对齐，角的一条边与量角器的0°刻度线对齐。
然后，我们就可以读取角的另一条边所对应的刻度，这个刻度就是这个角的大小。
三、角的性质1. 角的大小与边的长短无关：无论角的边有多长或多短，只要角的开口大小不变，角的大小就不会改变。
例子：假设我们有一个30°的角，如果我们延长这个角的边，角的大小仍然是30°，不会因为我们延长了边而改变。
角的初步认识知识点归纳总结
角的初步认识知识点归纳总结角是数学中的一个重要概念，在几何学中有着广泛的应用。
本文将从角的定义、角的度量、角的分类等方面对角进行初步的认识，并进行知识点的归纳总结。
一、角的定义角是由两条射线共享一个公共端点形成的图形，射线称为角的边，公共端点称为角的顶点。
角可以用字母来表示，例如∠ABC表示以点B为顶点的角。
二、角的度量角的度量可以用角度或弧度来表示。
角度是最常见的度量单位，用°表示，一个圆周的角度为360°。
而弧度是用弧长与半径之比来表示的，用rad表示，一个圆周的弧度为2π rad。
三、角的分类根据角的大小，角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种分类。
1. 锐角：角的度数小于90°，是一个尖锐的角。
2. 直角：角的度数等于90°，是一个直立的角。
3. 钝角：角的度数大于90°但小于180°，是一个较为扁平的角。
4. 平角：角的度数等于180°，是一个平直的角。
四、角的性质角有许多重要的性质，其中一些重要的性质如下：1. 直角的两个边互相垂直。
2. 锐角的两个边夹角小于90°。
3. 钝角的两个边夹角大于90°。
4. 平角的两个边互相重合。
五、角的比较可以通过比较角的大小来判断它们的关系，常见的比较方式有以下几种：1. 两个角相等：当两个角的度数相等时，它们可以互相替代，记作∠ABC = ∠DEF。
2. 一个角大于另一个角：当一个角的度数大于另一个角时，记作∠ABC > ∠DEF。
3. 一个角小于另一个角：当一个角的度数小于另一个角时，记作∠ABC < ∠DEF。
六、角的运算角的运算包括加法和减法运算。
对于两个角的加法运算，可以将它们的边相连形成一个新的角，新角的度数等于原来两个角的度数之和。
对于两个角的减法运算，可以将它们的公共边相连形成一个新的角，新角的度数等于原来两个角的度数之差。
七、角的平分线角的平分线是指将角分成两个相等的角的射线。
角的相关概念
同步课程˙角的相关概念一、角的定义：二、角平分线：一、角的表示方法① 利用三个大写字母来表示，如图1．1．∠AOB图1.1B注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1．2．∠A图1.2A角的相关概念知识回顾知识讲解同步课程˙角的相关概念注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③ 用数字来表示角，如图2．1．∠1图2.11④ 用希腊字母来表示角，如图2．2．∠α图2.2α二、单位换算1度＝60分（160︒=') 1分=60秒（160'="） 三、角的度量（1） 度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）．重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）．读数（读出角的另一边所在线的度数）（2） 角的度量单位及其换算角的度量单位是度．分．秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''． 角度之间的关系1周角=360︒ 1平角＝180︒ 1直角＝90︒ 1周角＝2平角 1平角＝2直角（3） 角的分类：锐角α（090α<<︒），直角α（90α=︒），钝角α（90180α︒<<︒）．四、两角的和．差．倍．分（1）两角的和．差．倍．分的度数等于它们的度数的和．差．倍．分． （2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线． （3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR ，折线使射线QR 与射线QP 重合，把纸展开，以Q 为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR 的平分线．说说为什么这条线平分∠PQR ？五、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O 点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B 、两点； （2）分别以A ．B 两点为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，画弧交于C 点； （3）过C 点作射线OC ．所以，射线OC 就是所求作的．OCBA六、余角、补角（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角．简称“互补”． （2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”． （3）补角．余角的性质：同角或等角的补角相等．同角或等角的余角相等． 七、 方位角方位角一般以正北．正南为基准，描述物体运动方向．即“北偏东⨯⨯度”．“北偏西⨯⨯度”．“南偏东⨯⨯度”．“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围0900≤≤α．“北偏东45度”为东北方向．“北偏西45度”西北方向．“南偏东45度”为东南方向．“南偏西45度”为西南方向． 八、 钟表角度问题时针12小时转动360度，每小时转动30度； 分针60分钟转动360度，每分钟转动6度． 秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度．一、 角的概念【例1】 角是由有 的两条射线组成的图形，两条射线的 是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线 ．【例2】 下列语句正确的是（ ）①角的大小与边的长短无关．②如果一个角能用一个大写字母A 表示，那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠，那么以1∠顶点为顶点的角只有一个． ④两条射线组成的图形叫做角A ①．②B ①．③C ①．④D ②．③【例3】 如图，角的顶点是 ，边是 ，用三种方法表示该角分别为 ．αBAO【变式练习】在右图中，角的表示方法正确的是（ ）A ．A ∠B ．B ∠C ．C ∠D ．D ∠ABC DEO【变式练习】如图，以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以D 为顶点的角呢?D CEBA同步练习【例4】下图中，以A为顶点的角是_________．有一边与射线FD在同一条直线上的角有__________个．HGFEDCBA【例5】判断（）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．（）用2倍的放大镜看30︒的角，这个角就变成了60︒．（）由两条射线组成的图形叫做角．（）延长一个角的两边．（）平角就是一条直线；周角就是一条射线．二、角的分类【例6】下列语句正确的是（）A．平角就是一条直线B．周角就是一条射线C．小于平角的角是钝角D．一周角等于四个直角【例7】如图，图中包含小于平角的角的个数有（）D CBAA．4个B．5个C．6个D．7个【例8】如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（）A．4个B．7个C．9个D．10个【例9】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（）A．10个B．15个C．20个D．25个H NMFGEDCBA【例10】如图，∠CAE=90°，锐角有（）个，钝角至少有（）个．A．4，3 B．3，2 C．6，3 D．4，2三、角度的换算及运算【例11】（1）32.43__________'''︒=︒（2）654312_____'''︒=︒【变式练习】（1）51492421________''︒+︒=；（2）39412445__________''︒-︒=；（3）2313423_________'''︒⨯=；（4）12134________'︒÷=．【例12】（1）2020'4______︒⨯=．（2）4437'3______︒÷=【变式练习】（1）77423445______''︒+︒=；（2）108185623_______''︒-︒=；（3）180(34542133)_______''︒-︒+︒=；（4）23295837______'''︒+︒=；（5）513932532______''''︒-︒=；（6）135********______''︒⨯+︒÷=（7）57.32_________'''︒=︒；（8）122342_______'''︒=︒【例13】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（）个A．4个B．7个C．11个D．16个【例14】如右图，AOB是直线，1:2:31:3:2∠∠∠=，求DOB∠的度数．123A BCDO四、 余角和补角【例15】 如图，OE AB ⊥于O ，OF OD ⊥，OB 平分DOC ∠，则图中与AOF ∠互余的角有______个；互补的角有_________对；FEDCB AO【例16】 如下图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（ ）A ．12BOC AOC ∠-∠B ．1322BOC AOC ∠-∠C ．1()2BOC AOC ∠-∠D ．1()3BOC AOC ∠+∠A CO【例17】 一个角和它的余角的比是5:4，则这个角的补角是【例18】 一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．【例19】 如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60︒，求这个角的余角度数．【变式练习】一个角a 与50︒角之和的17等于65︒角的余角，求a ．【变式练习】已知α的余角是β的补角的13，并且32βα=，试求αβ+的度数．【例20】已知两角互补，试说明：较小角的余角等于两角差的一半．五、角平分线【例21】从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线．（填“正确”或“错误”）【例22】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（）A．35°B．55°C．70°D．110°【例23】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．100°【例24】如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠ABE的平分线，则∠CBD=（）A．80°B．90°C．100°D．70°【例25】 如图，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC 的度数为（ ）A ．68°B ．112°C ．121°D ．136°【例26】 下列说法正确的是（ ）A ．两点之间直线最短B ．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大C ．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D ．直线l 经过点A ，那么点A 在直线l 上六、 方位角【例27】 下面图形中，表示北偏东60︒的是（ ）60︒A 东西北南60︒B 西北南60︒C 东西北南60︒D东西北南【例28】 下列说法不正确的是（ ）A ．OA 方向是北偏东30︒B ．OB 方向是北偏西15︒C ．OC 方向是南偏西25︒D ．OD 方向是东南方向【例29】 如图，平面内有两点A B ，（1）分别画出点A 处北偏东70︒的方向和点B 处北偏西40︒的方向． （2）点A 位于B 的什么方向（精确到1︒）BAO 东25︒75︒45︒30︒D CBA【例30】 如图，A 、B 、C 、D 是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题．为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点O 的位置）建立了位置指示图，直线CODE 相交于O ，90COD ∠=︒，请按要求完成下列问题：①若在图上测得20mm OA =，54mm OB =，36BOC AOE ∠=∠=︒，则可知场馆B 的位置是北偏西36︒，据中心54mm ，可简记为（54mm ，北偏西36︒）．据此方法，场馆A 的位置可简记为（_________，________）． ②可求得BOA ∠=________；③在现有的图形中（不增加新的字母），AOD ∠与_____________是互补的角．EAO BD东西北C七、 共定点角的相关计算【例31】 如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE ∠互余，射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．ABC DEO 图2F E B【变式练习】如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作DOE BOD ∠=∠，OF 平分AOE ∠，若28AOC ∠=︒，求EOF ∠．A BCDE FO同步课程˙角的相关概念【例32】 如图所示，80AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠内部的任意一条射线，若OD 平分BOC ∠，OE 平分AOC ∠，试求DOE ∠的度数．EDC BAO【例33】 如图，ACB ∠是一个平角DCE ACD ∠-∠ECF DCE =∠-∠FCG ECF =∠-∠GCB FCG =∠-∠10=︒，求GCB ∠的度数．GABC D E 图2F【例34】 已知：如图，OC 是AOB ∠外的一条射线，OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．①若100AOC ∠=︒，40BOC ∠=︒， 问：?EOF ∠=②若AOB n ∠=︒，求EOF ∠的度数并说明理由．OC FE BA同步课程˙角的相关概念【例35】BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角，射线OM ．ON 分别平分AOC ∠．BOC ∠． （1）90AOB ∠=°，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；（2）AOB α∠=，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；（3）90AOB ∠=°，BOC β∠=，还能否求出MON ∠的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．（4）从前三问的结果你发现了什么规律？C NB MAO【例36】 已知：OA ．OB ．OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=︒，4136'BOC ∠=︒，求AOC ∠．【例37】 已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 与OC ，使60AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，求AOC∠的度数．【例38】 已知,αβ都是钝角，计算()1+6αβ，正确的结果只可能是（ ） A ．26︒ B ．40︒ C ．72︒ D ．90︒【变式练习】α．β．γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23︒．24︒．25︒这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求αβγ++的值．【例39】 在同一平面内有射线OA OB OC OD ，，，平分BOC ∠，AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒，10AOD ∠=︒，求AOC ∠的度数．【例40】 以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使得:5:4AOC BOC ∠∠=，且AOC ∠，BOC ∠均小于180︒，若30AOB ∠=︒，求AOC ∠的度数．八、 钟表角度问题【例41】 从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（ ）A ．30B ．60°C ．90°D ．120°【例42】 下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（ ）A ．90°B ．105°C ．120°D ．135°【例43】 由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【例44】 钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60︒的角？分别是几点几分？【例45】 钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x 的值是多少?【习题1】一个角的补角和它的余角的3倍的和等于周角的1112，求这个角．【习题2】下列图形中，表示南偏西60︒的是（ ）60︒A 东西北南60︒B 东西北南60︒C东西北南60︒D东西北南【习题3】下列说法中，正确的是（ ）A ．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线B ．两个锐角的和为钝角C ．相等的角互为余角D ．钝角的补角一定是锐角【习题4】一个角的余角的2倍和它的补角的12互为补角，求这个角的度数．【习题5】已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于多少？【习题6】如图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒，求AOD ∠的小．NMAB C DOAC D E图2图1F课后练习。
图形的初步认识(二) (原卷版)
浙教版2022年七年级（上）数学期末复习考点大攻略图形的初步认识（第二部分）知识总结：一.角的概念（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．（5）比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．二.角的计算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．三.余角与补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．四.对顶角与邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．五.平行：（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．六.垂直：（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（4）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．针对训练一．角的概念（共2小题）1．（2021秋•定海区期末）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB、∠O三种方法表示同一角的图形是（）A．B．C．D．2．（2021秋•上虞区期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（）A．B．C．D．二．钟面角（共1小题）3．（2021秋•余姚市期末）钟面上4时30分，时针与分针的夹角是度，15分钟后时针与分针的夹角是度．三．方向角（共4小题）4．（2021秋•龙泉市期末）如图，点A在点O的南偏东20°方向上，且射线OA与OB的夹角是110°，则射线OB的方向是（）A．北偏东70°B．北偏东60°C．北偏东50°D．北偏东40°5．（2021秋•椒江区期末）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏西10°的方向上，同时货轮B在它北偏东60°的方向上，则此时∠AOB的大小是（）A．140°B．130°C．120°D．100°6．（2021秋•台州期末）如图，点A在点O的东南方向，点B在点O的北偏东50°方向，则∠AOB＝°．7．（2021秋•定海区期末）如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是．四．度分秒的换算（共5小题）8．（2021秋•钱塘区期末）若∠α＝42°24′，∠β＝15.3°，则∠α与∠β的和等于．9．（2021秋•柯桥区期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是（）A．27°40′B．57°40′C．58°20′D．62°20′10．（2021秋•椒江区期末）48°21′+67°9′＝°．11．（2021秋•柯桥区期末）把35°12'化为以度为单位，结果是．12．（2021秋•滨江区期末）若∠A＝36°18′，则90°﹣∠A＝．（结果用度表示）五．角的计算（共9小题）13．（2021秋•海曙区期末）如图，将三个三角板直角顶点重叠在一起，公共的直角顶点为点B，若∠ABE＝45°，∠GBH ＝30°，那么∠FBC的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°14．（2021秋•嘉兴期末）如图放置一副三角板，若∠BOC＝∠COD，则∠AOD的度数是．15．（2021秋•定海区期末）计算：35°49'+44°26'＝．16．（2021秋•江北区期末）如图，∠AOB＝∠COD＝120°，若∠BOC＝108°，则∠AOD的度数是．17．（2021秋•温州期末）如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（）A．20°B．30°C．35°D．45°18．（2021秋•青田县期末）如图，∠COD是Rt∠，∠BOD＝35°，则∠AOC＝．19．（2021秋•金华期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．（2）点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．20．（2021秋•新昌县期末）有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．（1）如图，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．（2）当∠A′EB′＝∠B′EB时，设∠A′EB′＝x．①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．21．（2021秋•湖州期末）（1）如图1，点D是线段AC的中点，且AB＝BC，BC＝6，求线段BD的长；（2）如图2，已知OB平分∠AOD，∠BOC＝∠AOC，若∠AOD＝100°，求∠BOC的度数．六．余角和补角（共8小题）22．（2021秋•定海区期末）若一个角是53°，则它的补角是．23．（2021秋•东阳市期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为．24．（2021秋•衢江区期末）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β不一定相等的是（）A．B．C．D．25．（2021秋•金华期末）与25°角互余的角的度数是（）A．55°B．65°C．75°D．155°26．（2021秋•青田县期末）将一副尺子中的两个三角板按如图方式摆放，其中∠1＝∠2的有几个（）A．1 B．2 C．3 D．427．（2021秋•嘉兴期末）已知∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°（∠α≠0°，∠β≠0°），下列式子表示的角：①90°﹣∠β；②30°+∠α；③∠α+∠β；④2∠α+∠β中，其中是∠β的余角的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④28．（2021秋•镇海区期末）已知∠A的余角比∠A的2倍少15°，则∠A＝度．29．（2021秋•义乌市期末）将一副三角尺按下列三种位置摆放，其中能使∠α和∠β相等的摆放方式是（）A．B．C．D．七．七巧板（共3小题）30．（2020秋•长兴县月考）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中h的值为（）A．6 B．4C．4+D．831．（2021秋•定海区校级月考）如图，把一幅七巧板按如图所示进行①～⑦编号，①～⑦号分别对应着七巧板的七块，如果编号①对应的面积等于2，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于．32．（2022秋•鹿城区校级期中）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为（取1.4）．八．角的大小比较（共2小题）33．（2021秋•海曙区期末）已知∠1＝12.30°，∠2＝12°30′，比较这两个角的大小，结果为∠1 ∠2．34．（2021秋•杭州期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC＝∠AOB，则下列结论成立的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＜∠AOBC．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC九．相交线（共2小题）35．（2020秋•奉化区校级期末）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（）A．100个B．135个C．190个D．200个36．（2020秋•奉化区校级期末）下列说法：①若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0；②若﹣a不是正数，则a为非负数；③|﹣a2|＝（﹣a）2；④若+＝0，则＝﹣1；⑤平面内n条直线两两相交，最多个交点．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个十．对顶角、邻补角（共4小题）37．（2021秋•杭州期末）如图，直线AC、DE交于点B，则下列结论中一定成立的是（）A．∠ABE+∠DBC＝180°B．∠ABE＝∠DBCC．∠ABD＝∠ABE D．∠ABD＝2∠DBC38．（2021秋•钱塘区期末）下列说法中，正确的是（）A．相等的角是对顶角B．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点C．过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度39．（2021秋•新昌县期末）如图，三条直线AB、CD、EF相交于一点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于．40．（2021秋•普陀区期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°．（1）若∠AOC＝37°，求∠BOE的度数．（2）若∠BOD：∠BOC＝3：6，求∠AOE的度数．十一．垂线（共4小题）41．（2021秋•新昌县期末）如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠BOC的度数为（）A．20°B．70°C．80°D．90°42．（2021秋•东阳市期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝135°，∠BOD＝45°，则OE⊥AB．请说明理由（补全解答过程）．解：∵∠AOC＝∠BOD＝45°（）；∴∠AOE＝＝（°）；∴OE⊥AB（）．43．（2021秋•温州期末）如图，直线AB，CD交于点O，OM⊥AB，ON⊥CD．（1）写出图中所有与∠AOC互余的角．（2）当∠MON＝120°时，求∠BOD的度数．44．（2021秋•海曙区期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，已知∠BOD＝30°，则∠COE＝．十二．垂线段最短（共2小题）45．（2021秋•湖州期末）如图，口渴的马儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中的数学依据是．46．（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；（3）在以上的图中，互余的角为，互补的角为．（各写出一对即可）十三．点到直线的距离（共3小题）47．（2021秋•滨江区期末）如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则点B到直线AC的距离是线段的长．48．（2021秋•东阳市期末）如图，表示点A到BC距离的是（）A．AD的长度B．AE的长度C．BE的长度D．CE的长度49．（2021秋•上城区期末）如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，若P A＝4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（）A．3 B．4 C．5 D．7。
角的概念和计算
01
角的基本概念
角的定义
角是平面内两条直线相交所形成 的图形
角的度量单位是度，1度等于60 分，1分等于60秒
添加标题
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角的大小由两条直线的夹角决定
角的分类：锐角、直角、钝角、 平角、周角等
角的表示方法
度数表示法：用度数表示角的大小，如30°、60°等 弧度表示法：用弧度表示角的大小，如π/6、π/4等 角度表示法：用角度表示角的大小，如30°、60°等 向量表示法：用向量表示角的大小，如(1,0)、(0,1)等
角的倍数计算
角的倍数：一个角 的度数乘以一个常 数，得到新的角的 度数
计算方法：已知一 个角的度数，乘以 一个常数，得到新 的角的度数
应用：在几何学、 物理学、工程学等 领域都有广泛应用
注意事项：计算时 要注意单位的一致 性，避免出现错误
角的余角和补角计算
余角：两个角之和为90度，其中一个角为另一个角的余角 补角：两个角之和为180度，其中一个角为另一个角的补角 计算方法：利用三角函数、正弦定理、余弦定理等数学工具进行计算 应用：在几何、物理、工程等领域广泛应用
03
特殊角的度数
直角的度数
直角是90度的角 直角是两条直线相交形成的角 直角是几何中最基本的角之一 直角在几何学、工程学等领域有广泛应用
平角的度数
平角是两条直 线相交形成的 角，其度数为
180度
平角是直角的 两倍，也是锐
角的四倍
平角是圆周角 的一半，也是 半圆的圆心角
平角是两条直 线相互垂直时 形成的角，也 是两条直线相 互平行时形成
的角
钝角的度数
钝角：大于90度且小于180度的角 钝角的度数范围：91度到179度 钝角的性质：钝角大于直角，小于平角 钝角的应用：在几何、物理、工程等领域都有广泛应用
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三、总结角的定义及表示方法。
（50秒）
四、巩固练习（70）吗？
1、角的定义（角的静态概念）
让学生动手画画角，并提问角由那些部分构成？
角的定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫角。
这个公共端点叫角的顶点，两点射线叫角的两条边。
2、角的定义（2角的动态概念）
通过刚才的演示，你能否再给角一个定义呢？
角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形——
角的动态定义。
当终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角。
继续旋转，当终止位置和起始位置重合时，形成周角。
说明：在不做特别说明的情况下，我们说的角都指不大于平
角的角。
3、角的表示
1.角用“∠”表示，读做“_____”.注意：不要写成“< ”.
2.你会用“∠”表示下列各角吗？试一试,你能行。
角的表示１：用三个大写字母表示，但表示顶点的字母一定
要写在中间，如∠APB或∠BPA；
角的表示2：用一个字母表示，但必须是以这个字母为顶点的
角只有一个，如∠P；
角的表示3：用一个数字表示，在靠近顶点处画上弧线，写上
数字，如∠1；
角的表示4：用一个希腊字母表示，在靠近顶点处画上弧线，
写上希腊字母，如∠ 。
利用表格总结角的四种表示方法
利用几何图形表示角的不同方法
第9张ppt
第10张ppt
50秒
70秒。