2.2.2完全平方公式

在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做 到不弄错符号、当第一(二)数是乘积且被平方时 要注意添括 号, 是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。
其边长增加 b 米。形成四块 实验田，以种植不同的新品种 b (如图1—6).
你能用不同的形式表示实 验田的总面积, 并进行比较.
做一做 完全平方公式 一块边长为a米的正方形实验田， 因需要将
3.已知 a=2002x+2001 b=2002x+2002 c=2002x+2003 求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值
习题包
A:(3x-1)2=(3x)2-2(3x)( )+( )2 =9x2-6x+1 B: (x+2)2=x2-kx+4 那么 k的值是( ) A.-2 B.2 C.-4 D.4 C:不论x为何值(x+a)2=x2+x+a2则常数a等于 ( ). A.2 B.-2 C.1/2 D.-1/2 D:若m2+km+36是一个完全平方式，则常数 k=_________.
2
是 X
与 2y
）+2 （
和的平方
2
2
=（
2
x
2
x）（ 2y）+（ (2 y) ）
5y
(2x 5 y)
(2x 5 y)
2
是 2X 与
2
差的平方
2
=（ (2 x)）－ 2 （ 2x）（ 5y ）+（ (5 y) ）
(a+b)²=a²+2ab+b² (a–b)²=a²-2ab+b²
例 1： (1)（4x + 5y) ² =(4x)2+2(4x)(5y)+(5y)2 =16x² +40xy+25y² (2) (2x - 3) ² =4x2-12x+9 (3) (mn - a) ² =m2n2-2mna+a²
代数式 (a+3)2
中间 首 尾 符号
完全平方公式
a
y
3
+
( a)2__2( + a )( 3 )+( 3 )2 (y )2__2(
(y-1/2)2
(-2s+t)2 (-3x-4y)2
1 2
+
-
1 1 y )( )+( )2 2 2
-2s t -3x 4y
(-2s)2__2( )( t )+( t )2 + -2s
( -3x)2__2(-3x)(4y)+( 4y)2
-
-
结论*首尾平方总得正； **中间符号看首尾， 同号得正，异号得负 ***中间两倍 要记牢
例2: 用完全平方公式计算
(1) (-2s+t)2
=(-2s)2+2(-2s)t+t² =4s2-4st+t2
(2) (-3x-4y)2
=(-3x)2-2(-3x)(4y)+(4y)² =9x2+24xy+16y²
结构特征: 左边是 二项式 (两数和 (差)) 的平方; 右边是 两数的平方和 加上(减去) 这两数乘积的两倍.
a2
a
(a−b)2 = a2−2ab+b2 b a−b
用自己的语 语言表述: 言叙述上面 a−b (a−b)2 b(a−b) 两数和(差) 的平方 的公式 a 等于 这两数的平方和 ab b 加上 (2减去 这两数乘积的两倍 .b+b2 . (a−b) ab −b(a−b) = a2−2a = a2) −
拓展提高：
如果多项式x² + kx +25是完全平方式， 求k的值 K=±10
填空：若多项式m² + km +36是完全 ±12 平方式，则k = ______
完全平方公式 ( a + b ) ² = a² + 2ab + b²
(a–b)² = a² - 2ab + b²
结构特征：(首 ± 尾)² = 首²± 2 ×首×尾 +尾²
回顾 & 思考 ☞
2 − b2; ( a + b )( a − b ) = a 回顾与思考
公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是 两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:

对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符 号相反的“项” ; 仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后， 才能使用平方差公式。
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2 她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
推证
(a+b)2 =(a+b) (a+b)=a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2;
利用两数和的 完全平方公式 推证公式
(a−b)2= [a+(−b)]2 = a 2 + 2 a (−b) + (−b) 2 = a2 − 2ab + b2.
(1 2 x)(2 x 1)
2
( x 2 y)
2
2
x 2 x 2 y (2 y ) 2 2 x 4xy 4 y
(2x) 1
2
2
4x 1
2
(-a+b)(a-b)
注意平方差公式和完全平方公式的区别.
判断正误，并改正
2+2ab+b2 2-2ab+b a (1)(a+b )² =a² +b² (2) (a –b) ² =a a² - b² 2 (3) ( a +2 b ) ² = a² +2 4 b² 4 ab + 2
A. (a+c)(a-c)=a² -c²
B. (2-c)² =4+c² C. (a+n)² =a² +2an+n² D.(m+n-p)² =m² +n² +p² +2mn-2mp-2np
(3)已知x² -2x+1=0,则x² 的值是(
A.. 1 B. 2 C. 3
探索: 你发现了什么?
a a
图 1 —6
直 2 总面积 = ( a + b ) ； 接 法一 求 间 接 总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二 求
b
公式: (a+b)2= a2+ 完全平方公式
的证明
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; 2 2 2 a − 2 a b + b . (a−b) =
(a ± b)2=a2±2ab+b2
运用完全平方公式计算 (1) ( x + 6 )2 (2) ( y - 5 )2 (3) ( -2x + 5 )2 3 2 2 (4) ( ) x y
4 3
已知x+y=8，xy=12，求x2+y2的值
作
业
利用完全平方公式计算 (1) (2x+3)2 (2) (mn-a)2
拓 展 练 习
下列等式是否成立? 说明理由． (1) (4a+1)2=(1−4a)2； 成立 (2) (4a−1)2=(4a+1)2； 成立 不成立． (3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2； (4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 不成立．
初 识 完全平方 公式
2= (a+b)2 2 2 2 ((a − 2 + b − 2 a a + b.2 a− −b b))222= =a a − 2a ab bb + b22 2+ 2 a2 2a ab b+b2 +2
.
(a+b)2= a2+2ab+b2 几 b 何 解 释: a
ab
b2 ab
b
理由: (1) 由加法交换律 4a+l＝l−4a。 (2) ∵ 4a−1＝(4a+1)， ∴(4a−1)2＝[(4a+1)]2＝(4a+1)2.
(3) ∵ (1−4a)＝−(1+4a) ＝(4a−1)， 即 (1−4a)＝(4a−1) ∴ (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)· [(4a−1)] ＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2。 (4) 右边应为: (4a−1)(4a+1)。
2ab 填空：（1）a² +b ² + ______=( a+b)²
（2）a² + b² + (-2ab) _____ =( a – b ) ²
x+2y （3) x² +4xy +4 y² = (________) ²
x-2y (4) x² - 4xy +4 y²= (________) ²
(a ± b)2=a2±2ab+b2
形式不同．
有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
(三) 课后习题
1.选择题. (1)下列等式中正确的是( ).
A..(a-1/2b)² =a² -2ab+1/4b²
B. (m-1/2n)² =m² +1/4n² C. (m-a+b)² =m² -a² +b² D. (1/2a+1/2b)² =1/4a² +1/2ab+1/4b² (2)下列等式中错误的是( ).