第二章：地图投影

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三、投影变形的基本公式
长度比公式： 长度比公式： 任意一点与经线成α 任意一点与经线成α角方向上的长度比
2
µ α 为：
E G F 2 2 µ α = 2 cos α + 2 sin α + sin 2α M r Mr
式中，M为子午线曲率半径，r为纬线圈半径， E、 式中， 为子午线曲率半径， 为纬线圈半径， 为投影公式中x,y的一阶偏导数。 x,y的一阶偏导数 F、G为投影公式中x,y的一阶偏导数。 经线长度比 m 为：
2
αρ
r
2
=
αK
rU
α
r1U1α
α
=
α r2U 2
α
αK P=m =n = α rU ω =0
o ϕ tan 45 + 2 U= , sinψ = e sin ϕ ψ e o tan 45 + 2
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面积比等 变形线
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投影变形规律： 投影变形规律：
Mercator投影被广泛用于航海图、航空图的制作。 Mercator投影被广泛用于航海图、航空图的制作。 投影被广泛用于航海图
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3、高斯－克吕格投影 高斯－
高斯投影
等角横切椭圆柱投影
高斯投影公式（略） 高斯投影公式（ 高斯投影的基本条件： 高斯投影的基本条件： （1）中央经线的投影为直线，且是投影的对称轴； 中央经线的投影为直线，且是投影的对称轴； （2）投影后无角度变形，同一点上各方向的长度比 投影后无角度变形， 不变； 不变； （3）中央经线上无长度变形。 中央经线上无长度变形。
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第二节
投 影 变 形
一、变形的三个方面： 变形的三个方面：
1、长度变形： 长度变形： 2、面积变形： 面积变形：
ds ′ ν µ = µ −1 = −1 ds
dF ′ ν P = P −1 = −1 dF
3、角度变形： 角度变形：
β − β′
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二、变形椭圆
变形椭圆:是一种显示变形的几何图形。 变形椭圆:是一种显示变形的几何图形。地面上的一个微分圆 投影后一般为一个微分椭圆，我们称之为变形椭圆。 投影后一般为一个微分椭圆，我们称之为变形椭圆。通常我们 根据变形椭圆的特征来分析投影变形。 根据变形椭圆的特征来分析投影变形。
（1）无角度变形； 无角度变形； （2）等变形线和纬线一致，同一条纬线上变形处处相等； 等变形线和纬线一致，同一条纬线上变形处处相等； （3）两条标准纬线上没有任何变形； 两条标准纬线上没有任何变形； （4）同一经线上，两标准纬线外侧为正变形 （µ>1）， µ>1 同一经线上， 之间为负变形（µ<1 之间为负变形（µ<1）； （5）同一纬线上等经差的线段长度相等。 同一纬线上等经差的线段长度相等。 长度变形的最大部位是： 长度变形的最大部位是： 中间纬线及φ 中间纬线及φS、φN 。
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投影变形规律： 投影变形规律：
（1）无角度变形； 无角度变形； 等变形线和纬线一致， （2）等变形线和纬线一致， 同一条纬线上变形处处相等； 同一条纬线上变形处处相等； （3）两条标准纬线上没有任 何变形； 何变形； 同一经线上， （4）同一经线上，两标准纬 线外侧为正变形（µ>1），之 线外侧为正变形（µ>1），之 间为负变形（µ<1 间为负变形（µ<1）； （5）同一纬线上等经差的线 段长度相等。 段长度相等。
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1、圆柱投影（正轴）的一般公式： 圆柱投影（正轴）的一般公式：
x = f (ϕ ) y = α ⋅λ dx m= Mdϕ n=
λ α
椭球面上经线的夹角
常数
α
r P = a ⋅b = m ⋅ n
ω
ω a 或者： tan 45o + = 或者： 4 b
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a −b sin = 2 a+b
∆ λ
裂隙距 α 图幅经差 L
α = λ sin 2° cosϕ ∆ = L sin α
裂隙角 边长
当纬度较低时，裂隙角α增大， 当纬度较低时，裂隙角α增大， 也增大，裂隙距自然也增大。 L也增大，裂隙距自然也增大。
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思考：正轴圆锥投影的变形分析 思考：
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二、圆柱投影
正轴的圆柱投影其经纬线为 相互垂直的两组平行直线。 相互垂直的两组平行直线。
（6°带） 最大长度变 形1.38‰
4、沿经线方向，纬度越低变形 沿经线方向， 越大； 越大； 5、本投影无角度变形，面积比为 本投影无角度变形， 长度比的平方； 长度比的平方； 6、长度比的等变形线平行于中央 经线。 经线。
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结论： 结论：高斯投影适合于 中高纬度地区。 中高纬度地区。
高斯投影的应用
E m= M
纬线长度比 n 为：
G n= r
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面积比公式： 面积比公式：
P = a ⋅ b = m ⋅ n sin θ ′
式中，a,b为极值长度比，θ′为经纬线投影后 式中，a,b为极值长度比，θ′为经纬线投影后 为极值长度比 所成的夹角。 所成的夹角。
角度变形公式： 角度变形公式：
经纬线夹角变形ε 经纬线夹角变形ε为：
ε = θ ′ − 90
o
F tan ε = − H
一点上最大的角度变形ω 一点上最大的角度变形ω为：
a −b sin = 2 a+b
a o ω tan 45 + = 4 b
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ω
或者： 或者：
第三节
投影的分类
地图投影的种类很多，通常根据投影的变形性质、 地图投影的种类很多，通常根据投影的变形性质、可展面的 种类和位置进行分类。 种类和位置进行分类。 根据投影的变形性质可将地图投影分为：等角投影、 一、根据投影的变形性质可将地图投影分为：等角投影、等面 积投影、任意投影。 积投影、任意投影。 等角投影： 等角投影：椭球面上任意一点处任意两个方向的 夹角投影后保持大小不变。 夹角投影后保持大小不变。微分圆仍为 圆形，但大小有变化。满足： 圆形，但大小有变化。满足： a = b
ρ = f (ϕ ) δ = α ⋅λ x = ρ s − ρ cos δ y = ρ sin δ dρ m=− Mdϕ αρ
n= r
a −b sin = 2 a+b
ρ δ λ α
纬线投影半径 经线夹角的投影
椭球面上经线的夹角
小于1 小于1的常数
ω
ω a 或者： tan 45o + = 或者： 4 b
2
第一节
地图投影的实质
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4
（格陵兰） 格陵兰）
5
思考： 思考：
投影
地球椭球面
平面
投影
展开
地球椭球面
（不可展曲面）
可展曲面
平面
？
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8
9
地图投影的实质： 地图投影的实质：
建立地球椭球面上点的坐标（ 建立地球椭球面上点的坐标（λ，ϕ）与平面 上对应的坐标（X,Y)之间的函数关系 之间的函数关系： 上对应的坐标（X,Y)之间的函数关系： X = f 1( （λ，ϕ ） Y = f 2( （λ，ϕ ） 当给定不同的条件时，可以得到不同的投影 当给定不同的条件时， 公式。 公式。
保持区域形状 的相似性
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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等面积投影： 等面积投影：
微分圆投影后保持面积不变。满足： 微分圆投影后保持面积不变。满足：
P =1
或者： 或者：
a ⋅b = 1
面积保持不变，但区域 面积保持不变， 形状的相似性被破坏
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任意投影： 任意投影：
角度、长度、面积同时存在变形的投影。 角度、长度、面积同时存在变形的投影。
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思考：正轴圆锥投影的变形 思考： 主要受什么因素影响？ 主要受什么因素影响？
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2、双标准纬线等角圆锥投影
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投影公式： 投影公式：
K ρ = α ,δ = α ⋅ λ U x = ρs − ρ cosδ y = ρ sinδ m=n=
2
α, K 均为投影常数： 均为投影常数：
lg r1 − lg r2 α= lg U 2 − lg U1 K=
2、正轴等角圆柱投影（Mercator投影） 正轴等角圆柱投影（Mercator投影） 投影
公式： 公式：
mod y = α ⋅λ α = rK m=n= P = m2
x=
α
lg U
rK
割纬圈的纬圈半径
Mod＝1/ln10＝ Mod＝1/ln10＝0.43429448
α
r
ω =0
等角航线 地面上两点 间同所有经线构成相同方位角 的一条曲线， 的一条曲线，在投影中表现为 两点间直线。 两点间直线。
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伪圆柱投影－ 伪圆柱投影－1
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伪圆柱投影－ 伪圆柱投影－2
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伪圆柱投影－ 伪圆柱投影－3
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地图投影的命名： 地图投影的命名：
综合考虑： 综合考虑：投影的变形性质 可展面的种类 可展面与椭球体的位置 可展面与椭球体的切割关系
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第四节
一、圆锥投影
几种常见投影
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1、圆锥投影（正轴）的一般公式： 圆锥投影（正轴）的一般公式：
（1）高斯投影的变形特点决定了该投影适合于中、 高斯投影的变形特点决定了该投影适合于中、 高纬度的国家和地区采用（制作普通图、 高纬度的国家和地区采用（制作普通图、专题 图均可；限制：制图区域的跨度不宜太大）。 图均可；限制：制图区域的跨度不宜太大）。 我国≥ 50万的国家基本比例尺系列地形图均 （2）我国≥1：50万的国家基本比例尺系列地形图均 采用高斯投影。 采用高斯投影。