均值不等式八法

运用均值不等式的八类拼凑方法

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。

一、 拼凑定和

通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。

解：()()()()()()2

2

2111111y x

x x x x x x =-+++=+-=+-

()()3

11111322241422327

x x x x x x ++⎛⎫

++- ⎪++=•••-≤=

⎪ ⎪⎝⎭

。 当且仅当

112x x +=-，即13x =时，上式取“=”

。故max 32

27

y =。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大

值。

例2

求函数)01y x x =<<的最大值。

解：

y ==

因()()3

2222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

， 当且仅当()2

212

x x =

-，即3x =时，上式取“

=”。故max 9y =。

评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。

例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。

解：()

()()2

2

2

222236418244y x

x x x x =-=⨯--

()()3

2223

24418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦

。

当且仅当(

)

2

2

24x x

=-

，即x =

=”。

故max

32

18827

y ⨯=

，又max 0,y y >=。

二、 拼凑定积

通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定

积，创造运用均值不等式的条件

例4 设1x >-，求函数()()521

x x y x ++=

+的最小值。

解：()())

141144

1515911

1

x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=

=+++≥+=+++。 当且仅当1x =时，上式取“=”。故min 9y =。

评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十

分方便的。

例5 已知1x >-，求函数()

()

2

2413x y x +=

+的最大值。

解：

1,10x x >-∴+>，()

()

()()2

24124

24

34

224

1414

141

x y x x x x +∴=

=

≤

=⨯+++++++

++。

当且仅当1x =时，上式取“=”。故max 3y =。

评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定

积”。

例6 已知0x π<<，求函数2cos sin x

y x -=

的最小值。

解：因为0x π<<，所以022x π<<，令tan 2

x

t =，则0t >。

所以211cos 113133sin

sin 2222

x t t t

y t x x t t t -

+=

+=+=+≥=。 当且仅当

1322

t

t =，即3t x π==时，上式取“=”。故min y = 评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。

三、 拼凑常数降幂

例7 若332,,a b a b R ++=∈，求证：2a b +≤。

分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信

息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是1a b ==，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”

与“不等”的辩证转化。

证明：

33333333333333113113,113113a a a b b b ++≥=++≥=。

()33463, 2.a b a b a b ∴++=≥+∴+≤当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”， 故原不等式得证。

评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。

例8 若332,,x y x y R ++=∈，求225x y xy ++的最大值。

解：

333333311,311,311,x x x x y y y y x y x y ⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++

()

()

3333333322115177573

3

x x y y x y x y x y xy ++++++++++∴++≤

=

=。

当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故2

2

5x y xy ++的最大值为7。

例9 已知,,0,1a b c abc >=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++。

证明：3

3

3

3

3

3

131,131,131a b a b b c b c c a c a ++≥⨯••++≥⨯••++≥⨯••，

()

()333323a b c ab bc ca ∴+++≥++，又3ab bc ca ++≥=， ()()3333333223,a b c ab bc ca a b c ab bc ca ∴+++≥+++∴++≥++。

当且仅当1a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

四、 拼凑常数升幂

例10

若,,a b c R +∈，且1a b c ++=≤。

分析：已知与要求证的不等式都是关于,,a b c 的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是1

3

a b c ===

，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。

证明：

()()()16

16161616

16

2

55,255,255333

33

3

a a

b b

c c +≤

+++≤

+++≤

++， (

()16

2

3132.3

a a

b

c ∴+≤+++=≤。

当且仅当1

3

a b c ===

时，上述各式取“=”，故原不等式得证。 例11 若2,,,a b a b R ++=∈，求证：332a b +≥。

证明：

33333331111,31111,a a b b ⨯⨯≤++⨯⨯≤++()3334a b a b ∴+≤++。

又

332,2a b a b +=∴+≥。当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

五、 约分配凑

通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。