正弦定理、余弦定理复习_PPT课件
合集下载
高中数学必修五 1.1 正弦定理和余弦定理 教学课件 PPT (4)
C
b
a=?
A
c
B
三、证明问题
C
b
a=?
A
c
B
向量法：
C
b
a
A
c
B
四、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们的夹角的余弦的积的两倍。
b A
或 （推论）
C a=?
c
B
五、余弦定理基本应用
1.已知两边及它们的夹角，求第三边；
2.已知三边，求三个角。
例1：隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人 员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再 利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计 算求出山脚的长度BC。
转化：在 △ABC中，
B
AB 8km, AC 3km, A 600,
求a。
C A
例2：在△ABC中，已知 a=2,b= ， 求A。
解：
∴A=45°
例3：在△ABC中，已知 a=2 ,b= ， 解三角形。
解：由例2可知 A=45°
方法一：
方法二：
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
1:1: 3
变式训练
在ABC中，角A、B、C的对边分别 为a、b、c,若AB AC = BA BC = 1，c = 2.
（1）判断ABC的形状； （2）若 AB AC 6，求ABC的面积
答案：等腰三角形
3
2
小结：
一、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
其中，R是△ABC的外接圆的半径
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例(新教材)PPT课件(人教版)
有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
正弦定理与余弦定理PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
第4章第6节正弦定理余弦定理课件共47张PPT
＝
6＋ 4
2 .
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C 或C＝π－m－B，由此可消去B或C.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
[跟进训练]
＝4或b＝5.]
1234
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理解决三角形面积问题 判断三角形的形状
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
1
1
C＝___2_a_c_s_in__B___＝____2_b_c_s_in__A__；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
高三数学总复习《正弦定理与余弦定理》课件
答案:C
课时作业(三十) 正弦定理与余弦定理
一、选择题
12 1.(2009 全国Ⅱ已知 ) ABC中, cotA , 则cosA ( 5 12 5 5 12 A. B. C. D. 13 13 13 13 )
12 5 解析 :由cotA 知A为钝角, cosA . 5 13
解析 :由正弦定理 3sinBcosA cosAsinC cosCsinA 3 sin A C sinB,cosA . 3
3 答案 : 3
题型二 余弦定理的应用
例2 1 (2009 广东)在 ABC中, A、B、C的对边 分别为a、b、c, 若a c 6 2 , A 75, 则b ( A.2 B.4 2 3 C.4 2 3 ) D. 6 2
)
A.直角三角形,但不是等腰三角形
B.等腰三角形,但不是直角三角形
C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析 :由正弦定理可知 又 a b c sinA sinB sinC
a b c , cosB sinB, cosC sinC, sinA cosB cosC 又B、C为 ABC的内角, B C 45 ABC为等腰直角三角形.
注意:要熟记一些常见结论,如:①三角形三内角A,B,C成等差 数列的充要条件是B=60°;
②若三内角的正弦值成等差数列,则三边也成等差数列;
③△ABC是正三角形的充要条件是三内角A,B,C成等差数列 且对应三边a,b,c成等比数列.
4.已知三角形的两边及一边的对角解三角形
(1)先判断三角形解的情况,在△ABC中,已知a,b,A时,判断方法
)
D.等腰或直角三角形
第五章第六节正弦定理和余弦定理课件共58张PPT
A，bsin
C＝csin
B，
cos
C＝a2＋2ba2b－c2
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12 ah(h 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12
1
1
bcsin A＝___2__a_c_s_in_B____＝__2__a_b_si_n_C___；
(3)S＝12 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径).
解析： 在△ABC 中， 由余弦定理及 a＝2 2 ，b＝5，c＝ 13 ，有 cos
C＝a2＋2ba2b－c2
＝
2 2
π .又因为 C∈(0，π)，所以 C＝ 4
.
π 在△ABC 中，由正弦定理及 C＝ 4 ，a＝2 2 ，c＝ 13 ，可得 sin A＝
a sin C c
＝2 1313
.
答案：
π 4
变形
(1)a＝2R sin A，b＝_2_R_s_in_B___，c＝ __2_R_s_in_C___；
cos A＝b2＋2cb2c－a2
；
(2)a∶b∶c＝_si_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C___； cos B＝c2＋2aa2c－b2 ；
(3)asin B＝bsin asin C＝csin A
考点·分类突破
⊲学生用书 P84
利用正弦、余弦定理解三角形
(1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝23 ，AC＝4，BC＝3，则
tan B＝( )
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
(2)(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知 2b sin 2A＝3a sin B，且 c＝2b，则ab 等于( )
第六章6.4.3余弦定理、正弦定理PPT课件(人教版)
训练题
1.［2019·江西九江一中高一检测］若三角形的三边长之比是1∶ 3 ∶2，
则其所对角之比是（ A ） A.1∶2∶3 B.1∶ 3 ∶2 C.1∶ 2 ∶ 3 D. 2 ∶ 3 ∶2
2. ［2019·江西赣州五校高一联考］已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶ 6 ∶
（ 3 +1），求△ABC中各角的度数.
训练题
1. 2019·江西九江一中高一检测］设△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且cos A＝ 3 ，cos B＝ 5 ，b＝3，则c＝
5
13
14 5
.
2. ［2019·北京东城区高三二模］在△ABC中，A＝ ，a2+b2-c2＝ab， 4
c＝3，则C＝
3 ，a＝
6.
3.已知两边及一边的对角解三角形 例5在△ABC中，a＝ 3 ，b＝ 2 ，B＝45°，求A，C，c.
【解】 ∵ A＝45°，C＝30°，∴ B＝180°-（A+C）＝105°.
由 a ＝ c 得a＝ csinA ＝10 sin45 ＝10 2 .
sinA sinC
sinC
sin30
由 b ＝ c 得b＝ csinB ＝10 sin105 ＝20sin 75°.
sinB sinC
sinC
sin30
∵ sin 75°＝sin （30°+45°）＝sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°＝
【解】 由正弦定理及已知条件，有 3 ＝ 2 ，得sin A＝ 3 .
sinA sin45
2
∵ a>b，∴ A>B＝45°.∴ A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°-45°-60°＝75°，
2025年高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理【课件 】
_ _______; _ _______; ________
（注： 为 外接圆的半径）
2.三角形常用面积公式
（1） （ 表示边 上的高）.
（2） __________=__________.
（3） （ 为三角形内切圆半径）.
（4） .
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
2.(2023·福建泉州模拟)设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则 _ _.
解析：由题意，得 ，又 ,所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 利用正、余弦定理解三角形（自主练透）
1.在 中，已知 , , ，则此三角形的解的情况是( )A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定
解析：选C.在 中，设 , ， ，由余弦定理得 ,因为 为 的内角，所以 .故选C.
√
3.已知 中， , , ，则 ( )A. B. C. D.
解析：选D.由正弦定理，得 ，得 .又 ,所以 ,所以 .故选D.
√
4.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 , , ，若 , , ,则 ____, ___.
解析：选C.由正弦定理得 ,所以 ，所以 不存在，即满足条件的三角形不存在.
√
2.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 _ _， ___.
5
解析：在 中，由正弦定理得 ,所以 ，所以 .在 中，由余弦定理得 ，得 ，即 ，解得 或 ，经检验， 不符合要求，所以 .
3.(2023·甘肃省第一次诊断考试)在 中，角 ， ， 的对边分别为 , , ，且 , , ，则 ___.
2
解析：因为 ，所以由正弦定理得 ,又 ，所以 ，因为 ,所以 .由余弦定理 ,得 ,化简得 ，解得 或 （舍去），故 .
（注： 为 外接圆的半径）
2.三角形常用面积公式
（1） （ 表示边 上的高）.
（2） __________=__________.
（3） （ 为三角形内切圆半径）.
（4） .
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
2.(2023·福建泉州模拟)设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则 _ _.
解析：由题意，得 ，又 ,所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 利用正、余弦定理解三角形（自主练透）
1.在 中，已知 , , ，则此三角形的解的情况是( )A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定
解析：选C.在 中，设 , ， ，由余弦定理得 ,因为 为 的内角，所以 .故选C.
√
3.已知 中， , , ，则 ( )A. B. C. D.
解析：选D.由正弦定理，得 ，得 .又 ,所以 ,所以 .故选D.
√
4.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 , , ，若 , , ,则 ____, ___.
解析：选C.由正弦定理得 ,所以 ，所以 不存在，即满足条件的三角形不存在.
√
2.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 _ _， ___.
5
解析：在 中，由正弦定理得 ,所以 ，所以 .在 中，由余弦定理得 ，得 ，即 ，解得 或 ，经检验， 不符合要求，所以 .
3.(2023·甘肃省第一次诊断考试)在 中，角 ， ， 的对边分别为 , , ，且 , , ，则 ___.
2
解析：因为 ，所以由正弦定理得 ,又 ，所以 ，因为 ,所以 .由余弦定理 ,得 ,化简得 ，解得 或 （舍去），故 .
高一数学人教A版必修二《6.4.3余弦定理、正弦定理》完整课件(78页)
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理 (完整课件78页)
高一数学人教A版必修2精品课件
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3.1余弦定理
高一数学人教A版必修2精品课件
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．
(× )
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b 等于
【学透用活】 1．已知边 a，b 和角 C.
2．已知边 a，b 和角 A.
[典例 1] 在△ABC 中，
(1)若 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A.
(2)若 A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求 b，c.
[解] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－
()
A．4
B． 15
C．3
D. 17
解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－13. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以 c＝ 17.故选 D.
答案：D
2．若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a. 解：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×33×332－362＝0，可得 A＝90°，C ＝60°.当 a＝3 时，同理得 A＝30°，C＝120°.
6.4.3 余弦定理、正弦定理 (完整课件78页)
高一数学人教A版必修2精品课件
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3.1余弦定理
高一数学人教A版必修2精品课件
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．
(× )
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b 等于
【学透用活】 1．已知边 a，b 和角 C.
2．已知边 a，b 和角 A.
[典例 1] 在△ABC 中，
(1)若 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A.
(2)若 A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求 b，c.
[解] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－
()
A．4
B． 15
C．3
D. 17
解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－13. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以 c＝ 17.故选 D.
答案：D
2．若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a. 解：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×33×332－362＝0，可得 A＝90°，C ＝60°.当 a＝3 时，同理得 A＝30°，C＝120°.
《正弦定理余弦定理》课件
THANKS
感谢观看
REPORTING
基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平 方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的 余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的 代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求 边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对 比与联系
REPORTING
定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通 过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。
2.1 正弦定理、余弦定理.ppt
证明：由于正弦定理：令 a k sin A, B k sin B, c k sin C
代入左边，得
左边＝ k (sin A sin B sin A sin C sin B sin C sin B sin A sin C sin A sin C sin B) 0 =右边
例题讲解
例3 在 ABC 中， B 45, C 60, a 2( 3 1) ，求
ABC 的面积S． 解：
A 180 ( B C ) 75
A
2 2( 3 1)( ) h a sin B 2 4 ∴由正弦定理得 b 6 2 sin A 三角形面积公式 B C 4 1 1 1 3 S ABC1 ab sin C C 21 ac sin ) (bcsinA 2 3 ( 3 1B 4 1 ) 6 S ABC aha ab sin 2 2 2 2 2 2 2
2.1 正弦定理、余弦定理
a b c sin A sin B sin C
在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引 入单位向量？怎样取数量积？ 在钝角 ABC 中，过A作单位向量j 垂直于 AC， 则有j 与 AB 的夹角为 A 90 ， j 与CB B 的夹角为 90 C . 等式 AC CB AB .
2.1 正弦定理、余弦定理
2.1 正弦定理、余弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系? a 2 2 2 tan A A B 90 a b c b
a c sin A b c sin B 两等式间有联系吗？ B
A cn B
sin C 1
a b c 同样可证得： A sin B sin C sin
正弦定理和余弦定理 课件(53张)
a≥b 一解
a>b 一解
上表中,若A为锐角,当a<bsin A时无解;若A为钝角或直角,当a≤b时无解.
3.三角形面积
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S.
(1)S=
1 2
ah(h为BC边上的高).
1
(2)S= 2 absin C=
1
1
2 acsin B = 2 bcsin A.
1∶13.
由余弦定理得cos
C=
52
112 132 2 511
<0,所以C为钝角,即△ABC一定是钝角
三角形.
2-2 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos
A,则△ABC的形状为 ( D )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
A. 6 B. 3 C. 6
D. 3
4.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2cos Asin B=b2sin Acos B,
则△ABC的形状为 ( D )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形
5.若满足条件C=60°,AB= 3 ,BC=a的△ABC有两个,那么a的取值范围是
1 2
absin
C≤
3
3 4
,又S△
ABC>0,所以S△ABC∈
0,
3
3 4
.
解法二:因为 a = b = c =2,
sin A sin B sin C
所以a=2sin A,b=2sin B.
又A+B=
2
3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
余正 弦弦 定定 理理
正弦定理和余弦定理
考试大纲： 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单 的三角度量问题。
考向预览： 1、能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形 的边角转化； 2、掌握三角形形状的判断，三角形内三角函 数的求值及三角恒等式的证明．
【考情分析】
年份 题型
考察角度
分值
2016 解答题第17题 正弦定理与余弦定理解三角形 12
2．在△ABC 中常用的一些基本关系式
(1)A＋B＋C＝____Π___________； (2)sin(B＋C)＝___S_i_n_A_________；
cos(B＋C)＝__－__c_o_s__A_______； tan(B＋C)＝__－__t_a_n_A________；
(3)sinB＋2 C＝____c_o_s_A2________；
【类题通法】
判定三角形形状的 2 种常用途径
[提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，
并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角 A ，B ， C 的范围对三角函数值的影响．
【越变越明】
[变式 1] 母题的条件变为“若 2sin Acos B＝sin C”，那么
△ABC 一定是
()
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析
[变式 2] 母题的条件变为“若 a2＋b2－c2＝ab，且 2cos Asin B＝sin C”，确定△ABC 的形状．
解析
[变式 3] 母题的条件变为“若△ABC 的三个内角满足 sin
A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13”，则△ABC
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 （题点多变型考点——纵引橫联）
[解析] 由正弦定理得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A， 即 sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即 A＝π2. [答案] B
()
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
解析
【高考真题】
• （2015、全国理一、16）在平面四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是( )
谢谢！
解析
【由题悟法】
考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
（题点多变型考点——纵引橫联）
1．判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系入手， 充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化边为角或化角 为边，边角统一． 三角形形状的判断依据： (1)等腰三角形：a＝b 或 A＝B； (2)直角三角形：b2＋c2＝a2 或 A＝90°； (3)钝角三角形：a2>b2＋c2，A>90°； (4)锐角三角形：若 a 为最大边，且满足 a2<b2＋c2 或 A 为最大角，且 A<90°.
5
难度
容易 容易 容易 容易 适中 容易
【知识重现】
a
b
c
sin A sin B sin C
sin A∶sin B∶sin C
2Rsin A
2Rsin B
2Rsin C
b2＋c2－2bccos A ＋b2－2abcos C．
b2＋c2－a2 2bc
a2＋c2－2accos B
a2
a2＋c2－b2 2ac
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边 的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约 去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角 形内角和定理对角的范围的限制．
【小题纠偏】
1．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形
(4)tanA＋tanB＋tanC＝_ta__n_A_t_a_n_B__ta__n_C__；
考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 （题点多变型考点——纵引橫联）
【典型母题】
设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为 ( )
a2＋b2－c2 2ab
12acsin B 12absin C
【小题体验】
1．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c.若a＝2，c＝2 3，cos A＝ 23且b＜c，则b＝( )
A．3
B．2 2
C．2
D. 3
解析：由 a2＝b2＋c2－2bccos A，得 4＝b2＋12－6b，解得 b
2015 填空题第16题 正弦定理与余弦定理解三角形 5
2014 填空题第16题 2013 解答题第17题 2012 解答题第17题 2011 填空题第16题
正弦定理、余弦定理、三角形面 5 积公式
正弦定理、余弦定理、三角函数 12 诱导公式、给值求角问题
正弦定理、余弦定理、三角形面 12 积公式
正弦定理、三角函数求最值
有
()
A．无解
B．两解
C．一解
D．解的个数不确定
解析：∵sina A＝sinb B，
∴sin
B＝，∴sin
B＝2 3
2 .
又∵a<b，∴B 有两个解，
即此三角形有两解． 答案：B
考点一：利用正、余弦定理解三角形 （重点保分型考点——师生共研）
【典例引领】
(2015·安徽高考)在△ABC中，∠A＝34π，AB＝6，AC＝3 2， 点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
＝2 或 4.又 b＜c，∴b＝2. 答案：C
2．在△ABC中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝13，则△ABC的
面积为
(C )
A．3 3
B．2 3
C．4 3
D. 3
3．(教材习题改编)在△ABC 中，已知 A＝60°，B＝45°，c ＝20，则 a＝_1_0_(3___2_－___6_)_.
正弦定理和余弦定理
考试大纲： 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单 的三角度量问题。
考向预览： 1、能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形 的边角转化； 2、掌握三角形形状的判断，三角形内三角函 数的求值及三角恒等式的证明．
【考情分析】
年份 题型
考察角度
分值
2016 解答题第17题 正弦定理与余弦定理解三角形 12
2．在△ABC 中常用的一些基本关系式
(1)A＋B＋C＝____Π___________； (2)sin(B＋C)＝___S_i_n_A_________；
cos(B＋C)＝__－__c_o_s__A_______； tan(B＋C)＝__－__t_a_n_A________；
(3)sinB＋2 C＝____c_o_s_A2________；
【类题通法】
判定三角形形状的 2 种常用途径
[提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，
并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角 A ，B ， C 的范围对三角函数值的影响．
【越变越明】
[变式 1] 母题的条件变为“若 2sin Acos B＝sin C”，那么
△ABC 一定是
()
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析
[变式 2] 母题的条件变为“若 a2＋b2－c2＝ab，且 2cos Asin B＝sin C”，确定△ABC 的形状．
解析
[变式 3] 母题的条件变为“若△ABC 的三个内角满足 sin
A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13”，则△ABC
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 （题点多变型考点——纵引橫联）
[解析] 由正弦定理得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A， 即 sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即 A＝π2. [答案] B
()
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
解析
【高考真题】
• （2015、全国理一、16）在平面四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是( )
谢谢！
解析
【由题悟法】
考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
（题点多变型考点——纵引橫联）
1．判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系入手， 充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化边为角或化角 为边，边角统一． 三角形形状的判断依据： (1)等腰三角形：a＝b 或 A＝B； (2)直角三角形：b2＋c2＝a2 或 A＝90°； (3)钝角三角形：a2>b2＋c2，A>90°； (4)锐角三角形：若 a 为最大边，且满足 a2<b2＋c2 或 A 为最大角，且 A<90°.
5
难度
容易 容易 容易 容易 适中 容易
【知识重现】
a
b
c
sin A sin B sin C
sin A∶sin B∶sin C
2Rsin A
2Rsin B
2Rsin C
b2＋c2－2bccos A ＋b2－2abcos C．
b2＋c2－a2 2bc
a2＋c2－2accos B
a2
a2＋c2－b2 2ac
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边 的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约 去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角 形内角和定理对角的范围的限制．
【小题纠偏】
1．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形
(4)tanA＋tanB＋tanC＝_ta__n_A_t_a_n_B__ta__n_C__；
考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 （题点多变型考点——纵引橫联）
【典型母题】
设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为 ( )
a2＋b2－c2 2ab
12acsin B 12absin C
【小题体验】
1．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c.若a＝2，c＝2 3，cos A＝ 23且b＜c，则b＝( )
A．3
B．2 2
C．2
D. 3
解析：由 a2＝b2＋c2－2bccos A，得 4＝b2＋12－6b，解得 b
2015 填空题第16题 正弦定理与余弦定理解三角形 5
2014 填空题第16题 2013 解答题第17题 2012 解答题第17题 2011 填空题第16题
正弦定理、余弦定理、三角形面 5 积公式
正弦定理、余弦定理、三角函数 12 诱导公式、给值求角问题
正弦定理、余弦定理、三角形面 12 积公式
正弦定理、三角函数求最值
有
()
A．无解
B．两解
C．一解
D．解的个数不确定
解析：∵sina A＝sinb B，
∴sin
B＝，∴sin
B＝2 3
2 .
又∵a<b，∴B 有两个解，
即此三角形有两解． 答案：B
考点一：利用正、余弦定理解三角形 （重点保分型考点——师生共研）
【典例引领】
(2015·安徽高考)在△ABC中，∠A＝34π，AB＝6，AC＝3 2， 点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
＝2 或 4.又 b＜c，∴b＝2. 答案：C
2．在△ABC中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝13，则△ABC的
面积为
(C )
A．3 3
B．2 3
C．4 3
D. 3
3．(教材习题改编)在△ABC 中，已知 A＝60°，B＝45°，c ＝20，则 a＝_1_0_(3___2_－___6_)_.