《空间几何体体积计算的常用技巧》

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3．构造法 对于某些几何体的性质探究较困难时，我们可以将它放置在 我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体， 以此来研究所求几何体的性质．
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例 4 如下图， 在等腰梯形 ABCD 中， AB＝2CD＝2， ∠DAB ＝60°，E 是 AB 的中点，将△ ADE，△BEC 分别沿 ED，EC 向 上折起，使 A， B 重合于点 P，求三棱锥 P—CDE 的体积．
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2．割补法 割补法是处理立体几何问题的一种基本方法，解题思路是以 已知几何体为背景，将其补成或分割成熟悉的、更易利用已知条 件解决的简单几何体．
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例 3 如图所示，已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截， 剩下部分母线长的最大值为 a，最小值为 b，那么圆柱被截后剩 下的部分的体积是多少？
1 2 V= r a b 2
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例 3 如图所示，已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截， 剩下部分母线长的最大值为 a，最小值为 b，那么圆柱被截后剩 下的部分的体积是多少？ V=V1 +V2
1 2 r a b 2
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【解析】 方法一：过 B 点作平行于底面的截面，将几何体 分为两部分，下半部分是一个底面半径为 r，高为 b 的圆柱，其 体积为 V1＝π r2b；将上半部分再补成圆柱，这样上半部分的体 1 积是所补成的圆柱体积的一半，为 V2＝ πr2(a－b)．则所求几何 2 1 2 体的体积为 V＝V1＋V2＝ πr (a＋b)． 2 方法二：先将原几何体补成圆柱，使得补成的圆柱的高为 a 1 2 ＋b，则所求体积为补成圆柱体积的一半，即 V＝ πr (a＋b)． 2
空间几何体体积计算的常用技巧
1．等积变换法
三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可当做底面， 恰当地进行换底等积变换便于问题的求解．
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例 1 如图所示，三棱锥的顶点为 P，PA、PB、PC 为三条 侧棱，且 PA、PB、PC 两两互相垂直，又 PA＝2 ，PB＝3，PC＝ 4，求三棱锥 P－ABC 的体积 V.
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【解析】
根据题意，折叠后的三棱锥
P—CDE 的各棱长都相等，且等于 1，根据此三 棱锥构造相应正方体(如图) ，则该正方体的棱长 2 23 2 为2， 故正方体的体积为( 2 ) ＝ 4 ， 所以三棱锥 2 1 1 2 2 2 2 锥 P—CDE 的体积为 4 －4×3×2× 2 × 2 × 2 ＝ 12 .
A1
B1 P Q A B
4
) 1 B.3V 2 D.3V
C1
C
Hale Waihona Puke Baidu
【解析】 将两个相同直三棱柱重叠在一起， 使 BCC1B1 面重合即将三棱柱补成一个四棱柱． 设四边形 ACC1A1 的面积为 S， B 到面 ACC1A1 的距离为 h. 则 S· h＝2V. 1 1 1 1 VB－APQC＝ ·S 四边形 ACQP·h＝ · S·h＝ V. 3 3 2 3 【答案】 B
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1 【思路分析】 三棱锥的体积 V＝3Sh，其中 S 为底面积，h 为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把 B 看做顶点，△PAC 作为底面求解． 1 1 1 1 【答案】 V＝3Sh＝3S△PAC·PB＝3×2×2×4×3＝4.
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例 2 直三棱柱 ABC－ A1B1C1 的体积为 V，已知点 P、Q 分 别为 AA1、 CC1 上的点， 而且满足 AP＝C1Q， 则四棱锥 B－ APQC 的体积是( 1 A. 2V 1 C.4V