物理光学第三章 答案

第三章作业1、波长为600nm的平行光垂直照在宽度为0.03mm的单缝上，以焦距为100cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦平面上进行观察，求：（1）单缝衍射中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到衍射场中心的距离。

2、求矩孔夫琅和费衍射图样中，沿图样对角线方向第一个次级大值和第二个次级大值相对于图样中心的强度。

3、在双缝的夫琅和费衍射实验中，所用光波的波长为632.8nm，透镜的焦距为80cm，观察到两相邻亮条纹之间的距离2.5mm，并且第5级缺级，试求：（1）双缝的缝宽与缝距；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。

4、平行白光射到在两条平行的窄缝上，两缝相距为2mm，用一个焦距为1.5m的透镜将双缝衍射条纹聚焦在屏幕上。

如果在屏幕上距中央白条纹3mm处开一个小孔，在该处检查所透过的光，问在可见光区（390~780nm）将缺掉那些波长？5、推导出单色光正入射时，光栅产生的谱线的半角宽度的表达式。

如果光栅宽度为15cm，每毫米内有500条缝，它产生的波长632.8nm的单色光的一级和二级谱线的半角宽度是多少？6、钠黄光包含589.6nm和589nm两种波长，问要在光栅的二级光谱中分辨开这两种波长的谱线，光栅至少应有多少条缝？7、设计一块光栅，要求：（1）使波长为600nm的第二级谱线的衍射角小于等于300；（2）色散尽可能的大；（3）第4级谱线缺级；（4）对于波长为600nm的二级谱线能分辨0.03nm的波长差。

选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只能看见波长600nm的几条谱线？8、一束直径为2mm的氦氖激光（632.8nm）自地球发向月球，已知月球到地面的距离为380000km，问在月球上接收到的光斑的大小？若此激光束扩束到0.15m再射向月球，月球上接收到光斑大小？9、在正常条件下，人眼瞳孔直径约为2.5mm，人眼最灵敏的波长为550nm。

问：（1）人眼最小分辨角（2）要分辨开远处相距0.6m的两点光，人眼至少离光点多近？（3）讨论眼球内玻璃状液的折射率（1.336）对分辨率的影响。

10、一个使用贡绿灯波长为546nm的微缩制版照相物镜的相对孔径为1/4，问用分辨率为每毫米400条线的底片来记录物镜的像是否合适？11、一台显微镜的数值孔径为0.86，（1）试求它的最小分辨距离；（2）利用油浸物镜使数值孔径增大到 1.6，利用紫色滤光片使波长减小到420nm，问它的分辨本领提高多少？（3）为利用（2）中获得的分辨本领，显微镜的放大率应设计为多少？答案：1.解：⑴中央亮条纹半宽度 ΔX=mm f a 2003.01000106006=⨯⨯=⋅-λ⑵第一亮纹的位置对应于πβ43.1±=，即是 πθ43.1sin 2±=ka故0286.003.010643.143.1sin 4±=⨯⨯±=±=-m mm ma λθ rad0286.0±≈θ，因此第一亮纹到场中心的距离mm mm f q 6.2810000286.01±=⨯±==θ第二亮纹对应于πβ46.2±=，因而0492.003.010646.246.2sin 4±=⨯⨯±=±=-mmmm a λθ 他到场中心的距离 mm mm f q 2.4910000492.02±=⨯±=⋅=θ2.解：对角线方向上的第一个次极大对应于πβα43.1==，它的相对强度为：0022.0)047.0()43.143.1sin ()43.1sin ()sin ()sin (222220====ππππββααI I第二个次极大对应于πβα46.2==， 因此它的相对强度00029.0)017.0()46.246.2sin ()46.246.2sin (2220===ππππI I3．解：（1）条纹间距df f e λθ=∆⋅=所以mm ef d 2025.0==λ再由第五级亮纹缺级的条件知mm da 04.05==（2）第1，2，3级亮纹分别对应于s i n ,2,3d θλλλ=±±± 或者2sin 2,4,6d πδθλλλλ==±±±并且由于a d 5=，所以当sin ,2,3d θλλλ=±±±时，53,52,5s i n λλλθ±±±=a 因此，由双缝衍射强度公式，第1，2，3级亮纹的相对强度为2221s i n s i ns i n ()c o s ()s i n 42a I a I πθβδλπθβλ====2)55s i n (ππ0.8752==202)5252s i n(4ππI I 0.5727 ==203)5353sin(4ππI I 0.2546 4.解:这是一个求哪些波长在小孔位置有强度零值的问题。

这些波长将满足sin d m θλ=135,,, (222)m =±±±因此)(400015003102sin 6nm mm md =⨯⨯==θλ 在390nm 和780nm 间的波长是nm 7271=λ （211=m ）nm 6152=λ （213=m ）nm 5333=λ （215=m ）nm 4714=λ （217=m ）nm 4215=λ （219=m ）5． 解：（1）光栅产生的 m 级谱线的峰值强度位置由下式决定s i n m d m θλ=与之相邻的暗线的位置由下式决定'1s i n m d m N θλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'m m θθθ-=∆近似为谱线两半强度点之间的角距离，它通常用来表示谱线的角半宽度。

因此，由'1(s i n s i n)c o s m m m d d Nθθθθλ-=∆=得到谱线角半宽度的表示式c o s mNd λθθ∆=（2）632.8nm λ=的单色光的一级和二级谱线的位置分别为：6111632.810sin sin 1826'1500mm d mmλθ---⎛⎫⎪⨯⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭和611222632.810sin sin 3912'1500mm d mmλθ---⎛⎫⎪⨯⨯⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭因此谱线的角半宽度为661'632.810 6.6710100cos1826mm rad mm θ--⨯∆==⨯⨯ 4.45662'632.8108.1710100cos3912mmrad mm θ--⨯∆==⨯⨯ 5.45 6. 解：光栅的一级光谱的分辨本领为：N mN 2==δλλ在本题情况下589.6589589.32n m n mλ+== 而589.65890.6nm nm nm δλ=-=。

因此9826.03.5892===δλλN 故光栅至少应有=N 491条缝。

7.解：为使波长600nm 的二级谱线的衍射角30θ≤，光栅距d 必须满足63260010 2.410sin sin 30m mmd mm λθ--⨯⨯=≥=⨯ 据（2），应选择d 尽可能小，故32.410d mm -=⨯据（3），光栅缝宽a 应为mm da 3106.04-⨯==光栅的缝数N 至少应有1000003.02600=⨯==δλδM N 所以光栅的总宽度W 至少为 mm Nd W 24==光栅形成的谱线在90θ<的范围内。

当90θ=±时，34s i n2.4104610d m mm θλ--±⨯===±⨯ 即第４级谱线对应于衍射角90θ=，实际上不可能看见。

此外第4级缺级，所以只能看见0,1,2,±±3±级共7条谱线。

8. 激光束的衍射发散角为：2108.63244.244.226-⨯⨯==D λθ47.710rad -=⨯因此月球上接收到的激光束直径为：km L D 2902'=⨯=θ当把激光束扩束为直径0.15m 时，激光束的衍射发射角为：rad D 5610029.1150108.63244.244.22--⨯=⨯⨯==λθ月球上接收到的激光束的直径为：kmD 91.31038010029.135=⨯⨯⨯='-9.解:（1）人眼的最小分辨角为： 64550101.221.222.68102.5mm rad Dmm λα--⨯===⨯ 约为 ()'41 2.910rad -=⨯ 。

（2）当人眼刚能分辨两光点时，人眼到两光点之间的距离为（见图）m L 22391068.26.06.04=⨯==-α（３）人眼内玻璃状液折射率对分辨本领没有影响。

图因为当两光点（1S 和2S ）的象斑 '1S 和'2S刚能分辨时（图5.28）1.22nDλθ=式中n 是玻璃状液折射率，D 是瞳孔直径。

但是由于眼睛水晶前后两面在中心部分可视为平行，故0n n αθ⋅=⋅式中0n 使空气折射率（=1），所以眼睛的最小分辨角1.22n Dλαθ=⋅= 与玻璃状液折射率无关。

10.解: 照相物镜的最大分辨能力：411054622.1122.116-⨯⨯==f D N λ=375/mm 为了充分利用物镜的这一分辨本领，应使记录底片的分辨率大于每毫米375条线，所以可选用分辨率400条线的底片。

11.解：⑴显微镜最小分辨率距离 m N Aμλ39.086.055.061.061.0=⨯=(2)数值孔径1.45时，能分辨的最小距离为 m N Aμλε16.06.142.061.061.0=⨯==放大倍率： 44.216.039.012==εε (3) 为充分利用其放大率，应使其成像在距离眼睛250mm 处，眼睛能分辨的最小距离为m e μπαε7.72180601250250=⨯⨯=⋅= ∴放大率为：45416.07.72===εεe M。