贝努利不等式的几个推论及应用

a n ≥ n n 1a n 1 n ，
当且仅当 a 时， （3）取等号． 证明 由（2）得，
（3）
a a a n n ≥ n n n 1 n n 1a n 1 n ，
由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当 a 时（3）取等号． 推论 3 设 a ， b ＞0， n N ， n ＞ 1 ，则
1 b b n 1 1 b n n 1 ， ≥ n n 1 ≥ n b a b a ba a
由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当 a b 时（4）和（5）取等号． 推论 4
n
n
n
设 a ， b ＞0， n N ， n ＞ 1 ，则 （6）
n n n n
n
n
m
解：（Ⅰ）证明从略．
m 1 （Ⅱ）证明：当 n ≥ 6 ， m ≤ n 时，由（1）得 1 0 ，于是 ≥1 n3 n3
m
m 1 1 ≤ 1 n3 n3
n
n
mn
n m 1 1 1 ， m 1, 2, , n ． 2 n 3
m
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当 n ≥ 6 时，
1 2 n 1 1 1 n3 n3 n3
n
n
2
＜
1 1 1 1 1 n 1， 2 2 2 2
n n n
n 2,3 ．
例 2 （算术—几何平均值不等式）设 a1 ， a2 ， ， an 均为正数， n N ， n ＞ 1 ，

则
a1 a2 an n ≥ a1a2 an ． n
证明 下面用数学归纳法证明（7）：
2
（7）
当 n 2 时， （2）变为 x ≥ 2 x 1 ，从而
a a a1 a2 a1 a1 2 ≥ a1 a1 2 2 1 2 a1a2 ， a a1 1
所以（7）成立． 假设 a1 a2 ak ≥ k k a1a2 ak ，则当 n k 1 时，由（3）知
直接推出．易见，当且仅当 t 1 时， （2）和（ 2 ）取等号，因此，当且仅当 x 0 时， （1） 取等号． 在（1）中令 x 1 t ，则（1）可变为（2）或（ 2 ） ．因此，不等式（1）与（2）或 （ 2 ）是等价的．因此，不等式（1）与（2）或（ 2 ）都可以称为贝努利不等式． 推论 2 设 a ， ＞0， n N ， n ＞ 1 ，则
m
1 n 1 a ． n n
1 1 m 1 （ Ⅱ ） 对 于 n ≥ 6 ， 已 知 1 ， 求 证 ： 1 ， 2 n3 n3 2
m 1, 2, , n ；
（Ⅲ）求出满足等式 3 4 n 2 n 3 的所有正整数 n ．

n
an ≥ na n 1 b ， b n 1 b n 1 n n 1 ≥ ， an a b
（4）
（5）
1
当且仅当 a b 时（4）和（5）取等号． 证明 由（2）得，
an a a b ≥ b n n 1 ≥ na n 1 b ， n 1 b b b
2
n
n 2 n 1 3 所以 1， n3 n3 n3
即 3 4 n 2 ＜ n 3 ，即当 n ≥ 6 时，不存在满足该等式的正整数 n ．
n n n n
故只需要讨论 n 1, 2,3, 4,5 的情形．逐一检验 n 1, 2,3, 4,5 可得，所求的 n 只有
贝努利不等式的几个推论及应用
《普通高中数学课程标准（实验） 》 （以下简称《标准》 ）将“不等式选讲”作为选修系 列 4 的第 5 专题，而贝努利不等式就是其中的一个重要不等式． 《标准》所指的贝努利不等 式是：
1 x
n
≥ 1 nx （ x ＞ 1 ， n 为正整数） ．
（1）
当 n 为大于 1 的实数时贝努利不等式也成立． 为拓宽贝努利不等式的应用， 本文给出了贝努利不等式的几个推论， 并通过一些典型例 题探讨了贝努利不等式及其推论的应用． 推论 1 设 n N ， n ＞ 1 ， t ＞0，则有 （2）

1 n 1 ， a ≤ a n n 当且仅当 a 1 时（6）取等号．
证明 由（2） ，得
n n
a a ≥nnFra biblioteka n 1 ，
所以 n a ≤
由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当 a 1 时（6）取等号． 不等式（1）～（6）有广泛的应用，利用贝努利不等式和上面几个推论可以简捷明快地 解决一些数学问题，请看下面几例． 例 1 已知 m ， n 为正整数． （Ⅰ）用数学归纳法证明：当 x 1 时， 1 x ≥ 1 mx ；
2

即 从而
k 1
ak 1

k 1
≥ k 1 k 1 ak 1

t n ≥ nt n 1 ，
或
t n ≥ 1 n t 1 ，
（ 2 ）
当且仅当 t 1 时， （2）和（ 2 ）取等号． （2）的证明可由恒等式
n2 n 3 n4 t n nt n 1 t 1 t 2t 3t n 2 t n 1 2