贝努利不等式的几个推论及应用
不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式
不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。
这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。
二、典型例题：例1、若n 是自然数，求证.213121112222<++++n证明：.,,4,3,2,111)1(112n k k k k k k=--=-< ∴n n n ⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13212111113121112222=)111()3121()2111(11n n --++-+-+=.212<-n注意：实际上，我们在证明213121112222<++++n的过程中，已经得到一个更强的结论n n1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
例2、求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n证明：由,212221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数）得n⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++ 32113211211111 .3213211211121212121111132<-=--+=++++++<--n nn例3、若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a证：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++>c b ad db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m∴1 < m < 2 即原式成立。
2018年高考数学：利用伯努利不等式巧解高考数学压轴题
2018年高考数学：利用伯努利不等式巧解高考数学压轴题
我在最近几期分享了一些高考数学中可能用到的一些涉及到高数的知识，部分同学留言希望我分享一期关于不等式内容的，所以我本期要讲解的是高中数学选修系列4-5专题中的伯努利不等式（又译为贝努利）！
需要说明的是由于贝努利不等式的形式简单、变形及推理非常多，其应用十分广泛。
不过在这几年的高考中几乎在压轴题中绝迹，主要出现在较难的选择题中，不过出题形式比较隐蔽，即使出现学生也很难认出！
第一部分：伯努利不等式及其推广
为了方便有能力的同学自我拓展学习，我同时整理出了伯努利不等式的4种重要的推论：
第二部分：伯努利不等式在高考数学中的应用
我们先看下标准答案是如下解如下2001年全国卷理数第20题第（Ⅱ）问的：
由以上证明不难看出，要求学生熟练掌握排列组合及二项式的各项性质，难度比较大，现在我们用伯努利不等式来证明第（Ⅱ）问：同学们如有疑问请留言！。
《用数学归纳法证明贝努利不等式》 导学案
《用数学归纳法证明贝努利不等式》导学案一、学习目标1、理解贝努利不等式的内容和形式。
2、掌握数学归纳法的基本原理和步骤。
3、能够运用数学归纳法证明贝努利不等式。
二、知识回顾1、不等式的基本性质（1）对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a。
（2）传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c，则 a ＞ c。
（3）加法法则：若 a ＞ b，则 a ＋ c ＞ b ＋ c。
（4）乘法法则：若 a ＞ b 且 c ＞ 0，则 ac ＞ bc；若 a ＞ b 且 c ＜0，则 ac ＜ bc。
2、数学归纳法的原理（1）（归纳奠基）证明当 n 取第一个值 n₀时命题成立。
（2）（归纳递推）假设当 n ＝ k（k ≥ n₀，k ∈ N）时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
三、贝努利不等式对于任意实数 x ＞－1 和正整数 n，有（1 ＋x)ⁿ ≥ 1 ＋ nx 成立。
四、数学归纳法证明贝努利不等式（一）当 n ＝ 1 时左边＝ 1 ＋ x，右边＝ 1 ＋ 1×x ＝ 1 ＋ x左边＝右边，不等式成立。
（二）假设当 n ＝ k（k ≥ 1，k ∈ N）时不等式成立，即（1 ＋ x)ᵏ≥ 1 ＋ kx（三）当 n ＝ k ＋ 1 时（1 ＋ x)ᵏ⁺¹＝（1 ＋ x)ᵏ(1 ＋ x)由假设可知（1 ＋ x)ᵏ≥ 1 ＋ kx，所以（1 ＋ x)ᵏ(1 ＋x) ≥ （1 ＋ kx)（1 ＋ x)＝ 1 ＋ kx ＋ x ＋ kx²＝ 1 ＋（k ＋ 1)x ＋ kx²因为 x ＞－1 且 k 为正整数，所以kx² ≥ 0所以 1 ＋（k ＋ 1)x ＋kx² ≥ 1 ＋（k ＋ 1)x即（1 ＋ x)ᵏ⁺¹≥ 1 ＋（k ＋ 1)x所以当 n ＝ k ＋ 1 时，不等式也成立。
综上，由（一）和（二）可知，对于任意实数 x ＞－1 和正整数 n，贝努利不等式（1 ＋x)ⁿ ≥ 1 ＋ nx 成立。
巧用贝努利不等式求解高考或竞赛试题
— ■—Ｔ ＿ ： ＋
一
＿ ＞ ） Hale Waihona Puke … Ｊ ０ １ ‘ ３
推论 ２ ： 设口 ， ＞０ ， ｎ∈ Ｎ ， ｎ＞１ ， 贝 ０ ０ ≥ｎ ２ ５ ｌ ， 一（ ｎ一１ ） ， 当且仅当 口＝ 时
取 等号 ．
。 ２… …・ ・０ ＜２・ 凡！ 局 立．
【 （ 一 ） ］ ＜ （ ） ， ｍ ＝ ・ ， ２ ， … ， ．
（ ３ ）由（ ２ ） 知， 当 ｎ≥ ６时 ，
∈ Ｎ ） ， 即 证 明 不 等 式 吉 ・ ３ … … ｝＜
志 ￣ ／ ２ ｎ ＋ １ （ ｎ ∈ Ｎ） ， 即 证 明 不 等 式 午‘
告
恒成立， 求实数 ｃ 的取值范
＋ ａ２ ａ４ ＋ … … ＋
√ ａｎ ＋ ２
解： （ １ ） 其 实 就 是 用 数 学 归 纳 法 证 明 贝 努 利不 等式 （ 证 明略 ） ．
围； ② 求 证：
—
ａ２ ａ４ …
ａ２
—
… ａ ２ｎ
＜ ＜ √Ｚ ａ ＋ ｌ 一 １．
２ ０ １ ３年 第 ５期
河北理科 教 学研 究
问题 讨论
巧 用 贝 努 利 不等 式 求解 高 考 或 竞赛 试 题
湖北省 大 冶市 第一 中学 黄俊 峰 袁方程 ４ ３ ５ １ ０ ０
《 湖北省普通高中数学教学实施指导意 见》 将《 新课 程标准》 中选修系列 ４— ５ “ 不等 式选讲” 作为指定学生选修习 Ｉ 的专题 ， 而贝 努利不等式就是其 中一个重要不等式 ． 本文 主要探讨贝努利不等式及其推论在高考或竞
（ － 一 ） ＋ （ 一 ） “ …・ ＋ 争… （ 一 ） ＜ ＋ （ ） ＋ ． ． ・ ＋ （ ） ＝
有关伯努力不等式的几种证明方法及其简单应用
当ｘ ０ １ ｘ １ ＞ 时，＋ ＞ ， 因 １ ｘ“ 一 ＞ ， ‘ ＞． ） ， １ ０则ｆ （） ０ 此（＋ 一 二
表明ｆｘ在（， ０ 是增函数 ． ０ 十 ） （） 因此函数ｆ） ｘ在ｘ ０ （ 二 处有极小值也即最小值．
又ｆ劝ｍ ｆ ） ０ 因此在ｘ １ 二 ０ 二 ， （ ｉ（ 。 ＞一 时，
几 １
击）
ｌ ＋Ｚ ｎ
１ 、＋ ， 。：
目 我国正在颁布实施新课标， 前， 并在部分省
市进行教材改革， 我省的新教材中加进了有关伯努
＝ 共导 哄 仁 粤 Ｊ 一
几又 ＋乙） 几
几 ＋乙
力不等式的相关知识， 笔者就此抛砖引玉， 以供读
者参考 ．
＝（ ＋ １
设 Ｔ＝ ＋ １ ｘ ＋ １ ：２ （ ＋ ） （ ＋ ） ｎ １
＋ ｘ” ， …＋ １ ）一 （十 ’
ｘ ０则１ ｘ １ 由 笋 ， ＋ 务 ． 等比 数列求和公式得
（＋ ） ’ １ ：‘ ＋ ） （＋ ） １ ｘ １ ｘ‘ 二 ＋ （
）（ ＋ １ ｘ （＋ ） １ 肠） ＝ ＋ ｋ １ｘ ｋ ）１ （＋ ） ）＋ ， ＋ 无 １ｘ １ （＋ ｘ
总有（ ＋ 〕１ 二成立． ” ＋ １ｘ ）
３ 构造数列结合放缩法 证明 由已知当 ｎ １ ｘ ０时， 二 或 二 不等式显然
当ｎ ２ 有（ ＋ ）＝ ＋ ｘ ｘ〕１ Ｚ 不 二 时， １ ｘ２ １ Ｚ ＋ Ｚ ＋ ｘ
等式成立 ．
假设当ｎ 时， ｋ 不等式成立， 二
成立， ） 时， 当ｎ ２
下面分别就 Ｅ（ １０ ｘ 一 ， 和 ｘ ０ 十０） ） 二（ ， ０ 进行
证明 ．
即（ ＋ ） １ 际 ） ＋ ． １ ｘ‘ 那么当ｎ ＋ 时， ｋ １ ＝ 左边（＋ “ ＝ １ ｘ介 ＋ ） ） ’ （ ＋ ） １ ｘ． １ｘ （
数学课件：3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式
1 + 3(������ + 1) + 1 =
������
1 +
1
+
������
1 +
2
+
…
+
1 3������ +
1
1
1
1
1
+ 3������ + 2 + 3������ + 3 + 3������ + 4 - ������ + 1
25
1
1
2
> 24 + 3������ + 2 + 3������ + 4 - 3(������ + 1) .
1
1
1 25
������ + 1 + ������ + 2 + ⋯ + 3������ + 1 > 24,
则当 n=k+1 时,
1
1
1
1
1
(������ + 1) + 1 + (������ + 1) + 2 + ⋯ + 3������ + 1 + 3������ + 2 + 3������ + 3
题型一 题型二 题型三
用数学归纳法证明数列型不等式
【例 1】
已知数列{an}满足
a1
=
3 2
,
且an=
3������������������-1 2������������-1+������-1
(n≥2,n∈
N*).
贝努利不等式在中学数学中的应用
贝努利不等式在中学数学中的应用举例江西省都昌县第一中学数学中许多著名不等式，在中学中应用极为广泛，原因在于这些不等式本身具有高度的概括性，它反映出数量间的某种本质联系，使得许多表面很难求解的问题，通过化归，往往能借助于它们，可以收到意想不到的效果。
现以贝努利不等式应用为例，作一点说明。
贝努利不等式 设x ＞0 ,则(1)在0＜α＜1时，有x α≤1＋α(x －1),(2)在α＜0或α＞1时，有x α≥1＋α(x －1)。
两个不等式中的等号仅当x ＝1时成立。
(3) α,λ＞0，n ∈N *,n ≥1,有αn ≥n λn －1α－(n －1) λn ,当且仅当α＝λ时(3)取等号。
推论1 若0,t n N *>∈且2n ≥，则(1)1n t n t -+≥，当且仅当1t =时等号成立推论2 若1,x n N *>-∈且2n ≥1x n+当且仅当0x =时等号成立 例1 设 a b 、是两个不等正数，则2a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭证 先证2a b a b a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ ∵122111a b a a a a b b a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++⋅- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1a b a b b-=+= 同理可得: 12b a b b a b a +⎛⎫> ⎪+⎝⎭, 22aba a bab b a b a a a b b b b a b a ++⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ > ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∴a b a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2·2b b a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭＞1 ∴2a b a b a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ 再证2a b b a a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭(略)例2 0,1,a a >≠设且则)1(1222--+n n a a a ＞n n 1+(n ∈N) 证 暂1,a >设由贝努利不等式知121()12(1)n a n a ---<-- ∴2111(1)2n a n a+-> 又 212122()n n n n a a ++= ＞2211(1)2n n a n++- 22111(1)(1)2n n n a a n n+=+-+- 211(1)n n a a n+>+- ∴22211(1)n n n a a a n ++>+- 222111,(1)n n a n a a a n+-+>∴>-Q 即在1a >时，不等式成立。
伯努利不等式推论
伯努利不等式推论
伯努利不等式的推论有很多，以下是其中一些常见的推论：
1. 对于任意实数a>0和b>-1，有(1+a)^b ≥ 1+b·a。
这是伯努利不等式的一个特例，当指数b取-1时得到的结果。
2. 对于任意实数a>0和n∈N，有(1+a)^n ≥ 1+n·a。
这是伯努利不等式的另一个常见推论，可以通过迭代使用伯努利不等式证明。
3. 对于任意实数a>0和b>0，有(a-1)/a < ln(a) < a-1。
这个推论是通过将伯努利不等式应用于自然指数函数的幂级数展开来得到的。
4. 对于任意实数a>0和b>0，有a^b > b(a-1)+1。
这个推论可以通过将伯努利不等式应用于指数函数的幂级数展开来证明。
这些推论都是基于伯努利不等式的性质和应用而得到的。
在实际问题中，可以根据具体的情况选择适合的推论来使用。
贝努利不等式的推广
即 当 ｚ 一２ 且 为 正 整 数 时 ， 等 式 （ ） 立 ． ＞ ， 不 １成 推广 ２ ：对 任 意 正 偶 数 ， 且 ∈ Ｒ， （ ＋ ｚ １ ２ ， 有 １ ）≥
＋ｎ ．
证 明 ：当 ｚ 一 １ ， ＊） 可 知 （ ＋ ）≥ １ ＞ 时 由（ 式 １ ＋
即（ ｚ＋ １ 一 ＞ ） ＿且 ， １ ｚ
‘ ｔ －
．
方法二
（ 学归纳法 ） 数
＿， 。
当 一 １时 ， 等 式 （ ） 立 不 １成 假 设 一ｋ时 不 等 式 （ ） 立 ， （ ＋ ）≥ １ ｘ， １成 即 １ ＋ｋ 从 而 （ ＋ ｚ １ ｘ Ｏ １ ） 一 一ｋ ≥ 当 — ｋ １时 （ ＋ ） 一 １ （ ＋ １ ＋ １ 一 ｋ ）
综上 ， 等式（） 立 ． 不 １成 方 法 三 由 等 比数 列 前 项 和 公 式 可 得 ：
ｑ 一 １ （ １ （ ＋ ｑ ｑ ＋ … ＋ 矿＿ ） 一 ｑ一 ） １ ＋ １
所 以 当 ｚ 一 ２时 ＞
若 ｏ ＜ １ 分 别 取 一 ｎ １ ａＮ ＜口 ， ￣
－
：
，
．
．
一 ｌ 贝（ ＿ １ 一 ｎ ａ ＞ （ｔ－ ） ０堡 ＋ ） （－ ） ｎ－ ａ 二 ￣－ － ｌ
、
＞ （ ＞（ 詈 ，乘ａ即 ＊ ”詈）’ 詈） 一（ 一）同 ｎ 得（）
式 ：（ １ 一 （ １ ａ ， 一 （ ＋ ） ＋ － ） ＞ ２ 一口 ）． 例 ２ 已 知 ｉ ｍ， 是 正 整 数 ， １ ｉ ， 且 ＜ ≤ ＜ ， 求证 ：
一
＞ 一 （ 一 １ ）．
若 口 １ 分 别 取 — 及 — ≥ ， ＋ １ ， ｎａ
2018年秋人教B版数学选修4-5课件：3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式
2.用数学归纳法证明贝努利不等式 (1)定理1(贝努利不等式):设x>-1,且x≠0,n为大于1的自然数,则 (1+x)n>1+nx. (2)定理2:设α为有理数,x>-1,①若0<α<1,则(1+x)α≤1+αx;②若 α<0或者α>1,则(1+x)α≥1+αx.当且仅当x=0时等号成立. 名师点拨当指数推广到任意实数且x>-1时, ①若0<α<1,则(1+x)α≤1+αx; ②若α<0或者α>1,则(1+x)α≥1+αx. 当且仅当x=0时等号成立.
题型三
反思利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n=k到n=k+1 的变形.为满足题目的要求,常常要采用“放”与“缩”等手段,但是放 缩要有度,这是一个难点,解决这类问题一是要仔细观察题目的结 构,二是要靠经验积累.
题型一
题型二
题型三
用数学归纳法比较大小
【例 2】 已知 f(x) = 的大小, 并说明理由.
1.会用数学归纳法证明简单的不等式. 2.会用数学归纳法证明贝努利不等式. 3.了解贝努利不等式的应用条件.
1.用数学归纳法证明不等式 在不等关系的证明中,有多种多样的方法,其中数学归纳法是最 常用的方法之一,在运用数学归纳法证不等式时,推导“k+1”成立时, 比较法、分析法、综合法、放缩法等方法常被灵活地应用. 【做一做1-1】 欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总 有2n>n3,n0为验证的第一个值,则( ) A.n0=1 B.n0为大于1小于10的某个整数 C.n0≥10 D.n0=2 解析:n=1时,2>1;n=2时,4<8;n=3时,8<27;n=4时,16<64;n=5 时,32<125;n=6时,64<216;n=7时,128<343;n=8时,256<512;n=9 时,512<729;n=10时,1 024>1 000.故选C. 答案:C
贝努利不等式的证明与应用
n n n n
n
n
m
证： （1）略
1 m （2）当 n 6 ， m n 时；由（1）知 1 >0 1 n3 n 3
n mn n m 1 1 1 < n , m 1, 2,3, ……， n 3 2 m
x R ， 0< <1 有 1 x 1 x, x> 1
3） n N , n >1, t >0 ；则有 t 1 n t 1
n
4）设 a, >0, n N , n >1 ，则 a n
n
n 1
a n 1 n 当且仅当 a 时取到“=”
n
2
3
n
n 2 n 1 3 …… <1 n 3 n 3 n 3
即 3 4 …… n 2 < n 3 ，即当 n 6 时不存在满足该等式的正整数 n，故只需
n n n n
n
n
n n n 1
x n 2 y …… xy n 2 y n 1
n n 1 n 2 1 x 1n x 1 x 1 x …… 1
当 x >0 时， 1 x >1
k
x 1 x
n
n
讨论 n 1, 2,3, 4,5 的情况，经检验，可求 n 只有 n 2,3
2
推论 1） x R ， x > 1 且 x 0 1
高中数学 3.2.1+2 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明贝努利等式课件 新人教B版选修45
太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证 n＝1 扩
双 基
导
达
学 大到验证 n＝1,2,3)的方法，使假设中 k 的取值范围适当缩小 标
到 k≥3，促使放缩成功，达到目标．
课
2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由 n＝k
堂
课
互 动
到 n＝k＋1 的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”
堂 双
主
基
导
⇒n＝k＋1 成立，结论得证
学
达 标
【自主解答】 (1)当 n＝1 时，左边＝21＋2＝4；右边＝
1，左边>右边；
课
堂 互
当 n＝2 时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，
课 时
动
作
探
所以左>右；
业
究
当 n＝3 时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左>右．
因此当 n＝1,2,3 时，不等式成立．
时 作
探
业
究
即 f(2k－1)>2k，
菜单
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
RB ·数学 选修4-5
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
RB ·数学 选修4-5
证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．
【思路探究】 验证 n＝1,2,3 时不等式成立
课
当
前 自
⇒假设 n＝k 成立，推证 n＝k＋1
双
主 导
此题容易犯两个错误，一是由 n＝k 到 n＝k＋1 项数变化
基 达
学
标
弄错，认为21k的后一项为2k1＋1，实际上应为2k＋1 1；二是2k＋1 1＋
5.2-5.3排序不等式贝努利不等式
例2 P66-5设a1,a2,…,an是n个互不相等的 正整数，求证：
an a2 a3 1 1 1 1 ... a1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n
证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列， 且有 b1<b2<…<bn 因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数， 所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n. 1 1 1 又 1 2 2 ... 2 2 3 n
复习：二项式定理
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
1 n 1 n
r n r r n
n n n
n(n 1) 2 n(n 1)(n 2) 3 (1 x ) 1 nx x x xn 1 2 1 2 3
因为kx2≥0，所以左边≥右边，即(1+x)k+1≥1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何正整数n都成立.
例 已知a c d b 0, a b c d , n为大于1的正整数，求证：
a b c d
n n n
n
证明 设a =c m , b d m , 则m 0，于是 a n b n c n d n (c m )n (d m )n c n d n m n m n n c (1 ) d (1 ) c n d n c d m n m 根据贝努利不等式，有 (1 ) 1 n c c m n m m (1 ) 1 n ( 1) d d d m m n n n n n n a b c d c (1 n ) d (1 n ) c n d n c d (c n 1 d n 1 )nm 0
人教B版高中数学选修4-5课件：第三章归纳法与贝努利不等式
即证明 ������ + 1 − ������ >
1 . (������+1)(������+2)
4
知识建构 专题
综合应用
真题放送
从而转化为证明
1 ������+1+ ������
>
1
������2 +3������+2
,
也就是证明 ������ 2 + 3������ + 2 > ������ + 1 + ������ . 因为 ( ������ 2 + 3������ + 2)2- ( ������ + 1 + ������ )2 =k2+k+1-2 ������(������ + 1) = ( ������(������ + 1) − 1)2>0. 所以 ������ 2 + 3������ + 2 > ������ + 1 + ������ . 所以当 n=k+1 时 ,原不等式也成立 . 根据 (1)(2)可知 ,当 n 是任意正整数时,原不等式都成立.
,
.
6
知识建构 专题
综合应用
真题放送
������������ +1 + ������ ������ +1 (������ + ������)(������������ + ������ ������ ) 而 ≥ 2 4 ⇔2(ak+1+bk+1)≥(a+b)(ak+bk) ⇔2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)≥0 ⇔ak+1-abk-bak+bk+1≥0 ⇔(a-b)(ak-bk)≥0. 因为a-b与(ak-bk)同正负(或同时为0),所以最后一个不等式显然成 立,即当n=k+1时,不等式成立.
2020高中数学 第章 数学归纳法与贝努利不等式
3.2.1 用数学归纳法证明不等式3。
2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式学习目标:1。
会用数学归纳法证明简单的不等式.2。
会用数学归纳法证明贝努利不等式；了解贝努利不等式的应用条件．教材整理1 用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k＋1"成立时其他的方法如比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地运用．教材整理2 贝努利不等式1．定理1(贝努利不等式) 设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则（1＋x)n＞1＋nx。
2．定理2（选学）设α为有理数，x〉－1,（1)如果0<α〈1,则（1＋x）α≤1＋αx；（2)如果α〈0或者α〉1，则（1＋x)α≥1＋αx。
当且仅当x＝0时等号成立．事实上,当α是实数时,也是成立的．设n∈N＋,则2n与n的大小关系是( )A．2n〉n B．2n〈nC．2n＝n D．不确定[解析］2n＝（1＋1）n，根据贝努利不等式有(1＋1）n≥1＋n×1＝1＋n，上式右边舍去1，得（1＋1)n〉n，即2n〉n。
[答案] A数学归纳法证明不等式S n错误!错误!错误!n n＋S2n〉1＋错误!(n≥2，n∈N＋）．[精彩点拨] 求S n再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意S n表示前n项的和（n〉1)，首先验证n＝2，然后证明归纳递推．［自主解答］(1)当n＝2时，S22＝1＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!>1＋错误!,即n＝2时命题成立．（2)假设n＝k（k≥2，k∈N＋)时命题成立,即S2k＝1＋12＋错误!＋…＋错误!〉1＋错误!.当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋…＋错误!〉1＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!>1＋错误!＋错误!＝1＋错误!＋错误!＝1＋错误!。
故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2）知,对n∈N＋，n≥2,S2n〉1＋错误!都成立．此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为1的后一项为错误!，实际上应为错误!；二是错误!＋错误!＋…＋错误!共有多2k少项之和,实际上2k＋1到2k＋1是自然数递增,项数为2k＋1－(2k＋1）＋1＝2k.1．若在本例中，条件变为“设f(n）＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N）,由f（1)＝1>错误!，f(3）>1,f（7)>错误!，f(15）>2,…” 。
高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式课件 新人教B版选修45
根据二项式定理及归纳假设得： a1＋a2＋k＋…1＋ak＋1k＋1＝kAkk＋＋a1k＋1k＋1 ＝Ak＋akk＋＋1－1Akk＋1 ＝(Ak)k＋1＋(k＋1)(Ak)kak＋ k＋1－1Ak＋…＋akk＋＋1－1Akk＋1 >(Ak)k＋1＋(Ak)k(ak＋1－Ak) ＝(Ak)k＋1＋(Ak)kak＋1－(Ak)k＋1 ＝(Ak)kak＋1≥a1a2…akak＋1.
基础自测
1.
若
不
等
式
1 4n＋1
＋
1 4n＋5
＋
1 4n＋9
＋
…
＋
1 8n＋1
<
m 25
对
于
一
切
n∈N*恒成立，则自然数 m 的最小值为
()
A.8
B.9
C.10
D.12
解析 显然 n＝1 时，左边最大为495<2m5，
∴m 的最小值为 8，选 A.
答案 A
2.关于正整数 n 的不等式 2n>n2 成立的条件是
A.n∈N＋
B.n≥4
C.n>4
D.n＝1 或 n>4
解析 n＝4，24＝42＝16，n＝1 时，2>1，
n＝5，25＝32，52＝25，
∴当 n>4 时，2n>n2 成立，故选 D.
答案 D
()
3.已知 a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝1a＋1b＋1c，则 T 与 0 的关系是________.
即a1＋a2＋k＋…1＋ak＋1>k＋1 a1a2…ak＋1. 由(1)(2)知，对任意的 n∈N*命题都成立.
●反思感悟：用数学归纳法证明不等式的第二步，设 n＝k 时命 题成立，证 n＝k＋1 时命题也成立时，往往要通过放缩法来实 现 n＝k＋1 时命题所需要的形式.
新人教B版高中数学选修4-5第3章3.2.1用数学归纳法证明不等式3.2.2用数学归纳法证明贝努利不等式讲义
学习目标：1.会用数学归纳法证明简单的不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式；了解贝努利不等式的应用条件．教材整理1 用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k ＋1”成立时其他的方法如比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地运用．教材整理2 贝努利不等式1．定理1(贝努利不等式) 设x >－1，且x ≠0，n 为大于1的自然数，则(1＋x )n＞1＋nx . 2．定理2(选学) 设α为有理数，x >－1， (1)如果0<α<1，则(1＋x )α≤1＋αx ；(2)如果α<0或者α>1，则(1＋x )α≥1＋αx .当且仅当x ＝0时等号成立． 事实上，当α是实数时，也是成立的．设n ∈N ＋，则2n与n 的大小关系是( ) A ．2n>n B ．2n<n C ．2n ＝nD ．不确定[解析] 2n＝(1＋1)n，根据贝努利不等式有(1＋1)n≥1＋n ×1＝1＋n ，上式右边舍去1，得(1＋1)n>n ，即2n>n .[答案] A【例1】 已知S n ＝1＋2＋3＋…＋n (n >1，n ∈N ＋)，求证：S 2n >1＋2(n ≥2，n ∈N ＋)．[精彩点拨] 求S n 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意S n 表示前n 项的和(n >1)，首先验证n ＝2，然后证明归纳递推．[自主解答] (1)当n ＝2时，S 22＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k2.当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k＋1＋…＋12k ＋1 >1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k2＋2k2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12. 故当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对n ∈N ＋，n ≥2，S 2n >1＋n2都成立．此题容易犯两个错误，一是由n ＝k 到n ＝k ＋1项数变化弄错，认为12k 的后一项为12k ＋1，实际上应为12k ＋1；二是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1共有多少项之和，实际上 2k ＋1到2k ＋1是自然数递增，项数为2k ＋1－(2k＋1)＋1＝2k.1．若在本例中，条件变为“设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，由f (1)＝1>12， f (3)>1，f (7)>32，f (15)>2，…” .试问：你能得到怎样的结论？并加以证明．[解] 数列1,3,7,15，…，通项公式为a n ＝2n－1，数列12，1，32，2，…，通项公式为a n ＝n 2，∴猜想：f (2n－1)>n2.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f (21－1)＝f (1)＝1>12，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立， 即f (2k－1)>k2，则f (2k ＋1－1)＝f (2k －1)＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－2＋12k ＋1－1>f (2k－1)＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＝f (2k－1)＋12>k 2＋12＝k ＋12.∴当n ＝k ＋1时不等式也成立． 据①②知对任何n ∈N ＋原不等式均成立.【例2】 设P n ＝(1＋x )n，Q n ＝1＋nx ＋2x 2，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比较P n 与Q n 的大小，并加以证明．[精彩点拨] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n 取特殊值，猜想P n 与Q n 的大小关系，然后利用数学归纳法证明．[自主解答] (1)当n ＝1,2时，P n ＝Q n .(2)当n ≥3时，(以下再对x 进行分类)． ①若x ∈(0，＋∞)，显然有P n ＞Q n . ②若x ＝0，则P n ＝Q n . ③若x ∈(－1,0)，则P 3－Q 3＝x 3＜0，所以P 3＜Q 3.P 4－Q 4＝4x 3＋x 4＝x 3(4＋x )＜0，所以P 4＜Q 4.假设P k ＜Q k (k ≥3)，则P k ＋1＝(1＋x )P k ＜(1＋x )Q k ＝Q k ＋xQ k ＝1＋kx ＋k (k －1)x 22＋x ＋kx 2＋k (k －1)x 32＝1＋(k ＋1)x ＋k (k ＋1)2x 2＋k (k －1)2x 3＝Q k ＋1＋k (k －1)2x 3＜Q k ＋1，即当n ＝k ＋1时，不等式成立． 所以当n ≥3，且x ∈(－1,0)时，P n ＜Q n .1．利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立．2．本题除对n 的不同取值会有P n 与Q n 之间的大小变化，变量x 也影响P n 与Q n 的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n ”，而忽视其他变量(参数)的作用．2．已知数列{a n }，{b n }与函数f (x )，g (x )，x ∈R ，满足条件：b 1＝b ，a n ＝f (b n )＝g (b n ＋1)(n ∈N ＋)，若函数y ＝f (x )为R 上的增函数，g (x )＝f －1(x )，b ＝1，f (1)＜1，证明：对任意x ∈N ＋，a n ＋1＜a n .[证明] 因为g (x )＝f －1(x )，所以a n ＝g (b n ＋1) ＝f －1(b n ＋1)，即b n ＋1＝f (a n )．下面用数学归纳法证明a n ＋1＜a n (n ∈N ＋)． (1)当n ＝1时，由f (x )为增函数，且f (1)＜1，得a 1＝f (b 1)＝f (1)＜1， b 2＝f (a 1)＜f (1)＜1， a 2＝f (b 2)＜f (1)＝a 1，即a 2＜a 1，结论成立．(2)假设n ＝k 时结论成立，即a k ＋1＜a k .由f (x )为增函数，得f (a k ＋1)＜f (a k )，即b k ＋2＜b k ＋1.进而得f (b k ＋2)＜f (b k ＋1)，即a k ＋2＜a k ＋1. 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 根据(1)和(2)可知，对任意的n ∈N ＋，a n ＋1＜a n .【例3】 设n 为正整数，记a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，n ＝1,2,3，….求证：a n ＋1<a n .[精彩点拨] 用求商比较法证明a n ＋1<a n ，其中要用贝努利不等式． [自主解答] 由a n 的意义知对一切n ＝1,2,3，…都成立． ∴只需证明a na n ＋1>1，n ＝1,2,3，…. 由于a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n+1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1n+2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n 1＋1n ＋1n+1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1-1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n ＋1)(n ＋1)n (n ＋2)n+1×n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋n (n ＋2)n (n ＋2)n+1×n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n (n ＋2)n+1×n ＋1n ＋2， 因此，根据贝努利不等式， 有a n a n ＋1>⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(n ＋1)×1n (n ＋2)×n ＋1n ＋2>⎝⎛⎭⎪⎫1＋n ＋1n 2＋2n ＋1×n ＋1n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1×n ＋1n ＋2＝1.∴a n >a n ＋1对于一切正整数n 都成立．本题在证明的过程中，综合运用了求商比较法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式成立．3．设a 为有理数，x >－1.如果0<a <1，证明：(1＋x )a≤1＋ax ，当且仅当x ＝0时等号成立．[证明] 0<a <1，令a ＝mn，1≤m <n ，其中m ，n 为正整数，则由平均值不等式，得(1＋x )a＝(1＋x )m n≤m (1＋x )＋(n －m )n ＝mx ＋n n ＝1＋mnx ＝1＋ax ，当且仅当1＋x ＝1，即x ＝0时，等号成立．1．用数学归纳法证明不等式时，如何利用放缩法？[提示] 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考虑．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122； 将分子或分母放大(缩小)：1k2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k＜2k ＋k －1，1k＞2k ＋k ＋1(k ∈R ，k ＞1)等．【例4】 证明：2n＋2>n 2(n ∈N ＋)．[精彩点拨] 验证n ＝1，2，3时不等式成立⇒假设n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1⇒n ＝k ＋1成立，结论得证[自主解答] (1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边； 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4， 所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边． 因此当n ＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k＋2>k 2(k ∈N ＋)． 当n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k 2－2 ＝k 2＋2k ＋1＋k 2－2k －3＝(k 2＋2k ＋1)＋(k ＋1)(k －3)≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.(因为k ≥3，则k －3≥0，k ＋1>0) 所以2k ＋1＋2>(k ＋1)2，故当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何n ∈N ＋都成立．1．本例中，针对目标k 2＋2k ＋1，由于k 的取值范围(k ≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n ＝1扩大到验证n ＝1,2,3)的方法，使假设中k 的取值范围适当缩小到k ≥3，促使放缩成功，达到目标．2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n ＝k 到n ＝k ＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．4．设x ＞－1，且x ≠0，n 为大于1的自然数，用数学归纳法证明(1＋x )n＞1＋nx . [证明] (1)当n ＝2时，由x ≠0，知 (1＋x )2＝1＋2x ＋x 2＞1＋2x ， 因此n ＝2时命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥2为正整数)时命题成立， 即(1＋x )k ＞1＋kx ， 则当n ＝k ＋1时， (1＋x )k ＋1＝(1＋x )k (1＋x )＞(1＋kx )(1＋x )＝1＋x ＋kx ＋kx 2＞1＋(k ＋1)x .即n ＝k ＋1时，命题也成立． 由(1)(2)及数学归纳法知原命题成立.2．利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是什么？[提示] 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是先通过观察、判断，猜想出结论，然后用数学归纳法证明．这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时．【例5】 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．[精彩点拨] 先通过n 取值计算，求出a 的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．[自主解答] 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1>a24，则2624>a24，∴a <26. 又a ∈N ＋，∴取a ＝25. 下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524.(1)n ＝1时，已证．(2)假设当n ＝k 时(k ≥1，k ∈N ＋)，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524， ∴当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛ 13k ＋2＋13k ＋3＋⎭⎪⎫13k ＋4－1k ＋1 >2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1).∵13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>23(k ＋1)， ∴13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0， ∴1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524也成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋， 都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524， ∴a 的最大值为25.1．不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明．2．本题中从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边添加项是13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1，这一点必须清楚．5．设a n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，是否存在n 的整式g (n )，使得等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n－1)对大于1的一切正整数n 都成立？证明你的结论．[解] 假设g (n )存在，那么当n ＝2时， 由a 1＝g (2)(a 2－1)，即1＝g (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1，∴g (2)＝2； 当n ＝3时，由a 1＋a 2＝g (3)(a 3－1)，即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝g (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1， ∴g (3)＝3，当n ＝4时，由a 1＋a 2＋a 3＝g (4)(a 4－1)，即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13 ＝g (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14－1， ∴g (4)＝4，由此猜想g (n )＝n (n ≥2，n ∈N ＋)． 下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝n (a n －1)成立．(1)当n ＝2时，a 1＝1，g (2)(a 2－1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时结论成立， 即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k －1＝k (a k －1)成立， 那么当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k －1＋a k＝k (a k －1)＋a k ＝(k ＋1)a k －k ＝(k ＋1)a k －(k ＋1)＋1 ＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1k ＋1－1＝(k ＋1)(a k ＋1－1)， 说明当n ＝k ＋1时，结论也成立，由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n ，存在g (n )＝n 使等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)成立．1．用数学归纳法证不等式：1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764成立，起始值至少取( )A ．7B ．8C ．9D ．10[解析] 左边等比数列求和S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞12764，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞127128，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜1128，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫127，∴n ＞7， ∴n 取8，选B. [答案] B2．用数学归纳法证明2n≥n 2(n ≥5，n ∈N ＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是( ) A ．假设n ＝k 时命题成立 B ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立 C ．假设n ＝k (k ≥5)时命题成立 D ．假设n ＝k (k >5)时命题成立 [解析] 由题意知n ≥5，n ∈N ＋， 故应假设n ＝k (k ≥5)时命题成立． [答案] C3．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1，12k ＋2C ．增加了两项12k ＋1，12k ＋2，但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 [解析] ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1，12k ＋2，少了一项1k ＋1. [答案] C4．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)”时，第一步的验证为________．[解析] 当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立． [答案] 21＋1≥12＋1＋25．试证明：1＋12＋13＋…＋1n<2n (n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋1k<2k . 那么n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 <2k ＋1k ＋1＝2k (k ＋1)＋1k ＋1<k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2k ＋1.这就是说，n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据(1)(2)可知，不等式对n ∈N ＋成立．。
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a n ≥ n n 1a n 1 n ，
当且仅当 a 时， （3）取等号． 证明 由（2）得，
（3）
a a a n n ≥ n n n 1 n n 1a n 1 n ，
由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当 a 时（3）取等号． 推论 3 设 a ， b ＞0， n N ， n ＞ 1 ，则
1 b b n 1 1 b n n 1 ， ≥ n n 1 ≥ n b a b a ba a
由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当 a b 时（4）和（5）取等号． 推论 4
n
n
n
设 a ， b ＞0， n N ， n ＞ 1 ，则 （6）
n n n n
n
n
m
解：（Ⅰ）证明从略．
m 1 （Ⅱ）证明：当 n ≥ 6 ， m ≤ n 时，由（1）得 1 0 ，于是 ≥1 n3 n3
m
m 1 1 ≤ 1 n3 n3
n
n
mn
n m 1 1 1 ， m 1, 2, , n ． 2 n 3
m
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当 n ≥ 6 时，
1 2 n 1 1 1 n3 n3 n3
n
n
2
＜
1 1 1 1 1 n 1， 2 2 2 2
n n n
n 2,3 ．
例 2 （算术—几何平均值不等式）设 a1 ， a2 ， ， an 均为正数， n N ， n ＞ 1 ，
则
a1 a2 an n ≥ a1a2 an ． n
证明 下面用数学归纳法证明（7）：
2
（7）
当 n 2 时， （2）变为 x ≥ 2 x 1 ，从而
a a a1 a2 a1 a1 2 ≥ a1 a1 2 2 1 2 a1a2 ， a a1 1
所以（7）成立． 假设 a1 a2 ak ≥ k k a1a2 ak ，则当 n k 1 时，由（3）知
直接推出．易见，当且仅当 t 1 时， （2）和（ 2 ）取等号，因此，当且仅当 x 0 时， （1） 取等号． 在（1）中令 x 1 t ，则（1）可变为（2）或（ 2 ） ．因此，不等式（1）与（2）或 （ 2 ）是等价的．因此，不等式（1）与（2）或（ 2 ）都可以称为贝努利不等式． 推论 2 设 a ， ＞0， n N ， n ＞ 1 ，则
m
1 n 1 a ． n n
1 1 m 1 （ Ⅱ ） 对 于 n ≥ 6 ， 已 知 1 ， 求 证 ： 1 ， 2 n3 n3 2
m 1, 2, , n ；
（Ⅲ）求出满足等式 3 4 n 2 n 3 的所有正整数 n ．
n
an ≥ na n 1 b ， b n 1 b n 1 n n 1 ≥ ， an a b
（4）
（5）
1
当且仅当 a b 时（4）和（5）取等号． 证明 由（2）得，
an a a b ≥ b n n 1 ≥ na n 1 b ， n 1 b b b
2
n
n 2 n 1 3 所以 1， n3 n3 n3
即 3 4 n 2 ＜ n 3 ，即当 n ≥ 6 时，不存在满足该等式的正整数 n ．
n n n n
故只需要讨论 n 1, 2,3, 4,5 的情形．逐一检验 n 1, 2,3, 4,5 可得，所求的 n 只有
贝努利不等式的几个推论及应用
《普通高中数学课程标准（实验） 》 （以下简称《标准》 ）将“不等式选讲”作为选修系 列 4 的第 5 专题，而贝努利不等式就是其中的一个重要不等式． 《标准》所指的贝努利不等 式是：
1 x
n
≥ 1 nx （ x ＞ 1 ， n 为正整数） ．
（1）
当 n 为大于 1 的实数时贝努利不等式也成立． 为拓宽贝努利不等式的应用， 本文给出了贝努利不等式的几个推论， 并通过一些典型例 题探讨了贝努利不等式及其推论的应用． 推论 1 设 n N ， n ＞ 1 ， t ＞0，则有 （2）
1 n 1 ， a ≤ a n n 当且仅当 a 1 时（6）取等号．
证明 由（2） ，得
n n
a a ≥nnFra biblioteka n 1 ，
所以 n a ≤
由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当 a 1 时（6）取等号． 不等式（1）～（6）有广泛的应用，利用贝努利不等式和上面几个推论可以简捷明快地 解决一些数学问题，请看下面几例． 例 1 已知 m ， n 为正整数． （Ⅰ）用数学归纳法证明：当 x 1 时， 1 x ≥ 1 mx ；
2
即 从而
k 1
ak 1
k 1
≥ k 1 k 1 ak 1
t n ≥ nt n 1 ，
或
t n ≥ 1 n t 1 ，
（ 2 ）
当且仅当 t 1 时， （2）和（ 2 ）取等号． （2）的证明可由恒等式
n2 n 3 n4 t n nt n 1 t 1 t 2t 3t n 2 t n 1 2