第三章 中值定理与导数的应用经典例题

第三章 中值定理与导数的应用 例4 设n a a a a 321,,为满足

01

2)1(3121=-=-++-

-n a a a n n 的实数，试证明方程 ,0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2/,0(π内至少存在一个实根.

证 作辅助函数

,)12sin(1

213sin 31sin )(21x n a n x a x a x f n --+++= 显然,0)2/()0(==πf f )(x f 在]2/,0[π上连续,在)2/,0(π内可导,故由罗尔定理知, 至少存在一点),2/,0(πξ∈使

,0)(='ξf

即 0)12c o s (3c o s c o s )(21=-+++='ξξξ

ξn a a a f n 从而题设方程在)2/,0(π内至少有一个实根. 例5 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导, 且

.0)()(==b f a f

证明: 存在),(b a ∈ξ,使)()(ξξf f ='成立.

证 从结论倒退分析知, 可引进辅助函数

,)()(x e x f x -=ϕ

由于,0)()(==b a ϕϕ 易知)(x ϕ在],[b a 上满足罗尔定理条件,且 ,)()()(x x e x f e x f x ---'='ϕ 因此, 在),(b a 内至少存在一点),,(b a ∈ξ使

,0)(='ξϕ

即 ,0)()(=-'--ξξξξe f e f

因,0≠-ξe 所以

).()(ξξf f ='

例9(E04) 证明当0>x 时,.)1ln(1x x x

x <+<+ 证 设),1ln()(x x f +=则)(x f 在],0[x 上满足拉格朗日定理的条件. 故

)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ ),0(x <<ξ ,0)0(=f ,11)(x x f +=

' 从而ξ

+=+1)1ln(x x ),0(x <<ξ

又由x +<+<111ξ⇒,11111<+<+ξ

x ∴

,11x x x x <+<+ξ 即 .)1l n (1x x x

x <+<+ 例2 用切线法求方程04.19.01.123=-++x x x 的实根的近似值,使误差不超过.103- 解 令,4.19.01.1)(23-++=x x x x f 因,0)0(f 故]1,0[是一个隔离区间. 在]1,0[上,,09.02.23)(2>++='x x x f ,02.26)(>+=''x x f

)(x f '' 与)(x f 同号,∴令.10=x 用切线法计算得: 1x ;738.0)

1()1(1≈'-=f f 2x )

738.0()738.0(738.0f f '-=;674.0≈ 3x )674.0()674.0(674.0f f '-

=;671.0≈ 4x )

671.0()671.0(671.0f f '-=;671.0≈计算停止. 所得根的近似值为0.671，其误差都小于.103-