高中数学必修1区间的概念

高中数学必修1-第一章-集合与函数概念-知识点

第一章集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}b、描述法：①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的A⊆（或B⊇Ａ）子集。

记作：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；注意：B（2）A与B是同一集合。

⊆/B或B⊇/A反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A（2）.“包含”关系（2）—真子集A⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则集合A是集合B的真子集如果集合B如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真含与B（3）．“相等”关系：A=B “元素相同则两集合相等”如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

高中必修一数学交集、并集、区间【精编】

交集、并集、区间知识归纳和梳理：1.交集:由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作:B A ⋂。

即：}|{B x A x x B A ∈∈=⋂且通俗理解：公共部分韦恩图理解：2.并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作:B A ⋃。

即：}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或通俗理解：合并韦恩图理解：3.交集、并集的性质：φφ=⋂A ,A A =⋃φ，)()()(C B A C A B A ⋂⋃=⋃⋂⋃, )()()(C B A C A B A ⋃⋂=⋂⋃⋂A B A A B =⇔⊆，A B A A B =⇔⊇；（重要）()U U U C A C B C A B =，()U U U C A C B C A B =．4.区间开区间：}10|{<<x x =)1,0(，数轴表示：闭区间：}10|{≤≤x x =[]1,0，数轴表示：半开半闭区间：[)1,0}10|{=<≤x x ，数轴表示：无穷区间：}1|{≤x x =(]1,∞-, 数轴表示：间断点区间：}10|{≠>x x x 且=),1()1,0(+∞⋃，数轴表示：【典型例题】：例1.设}9,1,5{},4,12,{2x x B x x A --=--=若A ∩B={9}，求A ∪B.经典练习：已知 },,2,1{3a a M -==N }3,1,0{2a a -+，且M ∩N={0，1}，求实数a 的解集。

{0}例2．设集合A ＝｛x ｜x 2＋4x ＝0｝，B ＝｛x ｜x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0｝．(1)若A ∩B ＝B ，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝B ，求实数a 的值．（1）1-≤a 或1=a ；（2）1=a经典练习：1.已知集合}086|{2=+-=x x x A ，}01|{=+=ax x B ，且A ∪B=A ，求实数a 的取值集合。

高中数学必修一函数的概念知识点总结

必修一第一章集合与函数概念二、函数知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域.2》区间和无穷大①设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：{x|a ≤x ≤b}＝[a,b] 叫闭区间； ②{x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间；③{x|a ≤x<b}＝[,)a b ， {x|a<x ≤b}＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.④符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.典例分析题型1：函数定义的考察例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（）A 、x y x f 21)(=→ B 、x y x f 31)(=→ C 、x y x f 32)(=→ D 、x y x f =→)(例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数：①}{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方；③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。

人教版高中数学必修一第一章知识点

第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

高中数学教案区间

高中数学教案区间
主题：区间
一、教学目标
1. 了解什么是区间，掌握区间的表示方法；
2. 掌握区间的运算规则和性质；
3. 能够在实际问题中应用区间的概念。

二、教学重点
1. 区间的定义和表示方法；
2. 区间的运算规则；
3. 区间在实际问题中的应用。

三、教学内容
1. 区间的定义：闭区间、开区间、半开半闭区间；
2. 区间的表示方法：数轴上的表示、集合的表示；
3. 区间的运算规则：加法、减法、乘法、除法；
4. 区间在实际问题中的应用：温度范围、时间段等。

四、教学过程
1. 导入：通过一个实际问题引入区间的概念，让学生认识区间在生活中的应用；
2. 概念讲解：介绍区间的定义和表示方法，并讲解区间的运算规则；
3. 练习：让学生进行一些简单的计算练习，加深他们对区间的理解；
4. 拓展：引入一些复杂的实际问题，让学生运用区间的概念解决问题；
5. 总结：总结区间的定义、表示方法和运算规则，强化学生的记忆。

五、教学反馈
1. 随堂测验：通过随堂测验检查学生对区间的掌握情况；
2. 课后作业：布置相关练习题目，巩固学生对区间的学习。

六、教学资源
1. 教材：高中数学教材相关章节；
2. 教具：数轴、实物模型等。

七、教学评价
1. 通过课堂表现、作业情况等评估学生对区间的掌握情况；
2. 根据评估结果对学生的学习情况进行及时调整和帮助。

区间的概念

不等式
不等式
不等式不等式
2.2.1 区间的概念 2.2.1 区间的概念
1. 用不等式表示数轴上的实数范围：用不等式表示数轴上的实数范围：
－4
－3
－2
－1
0
1
x
用不等式表示为－4≤x≤0 2. 把不等式 1≤x≤5 在数轴上表示出来．在数轴上表示出来．
0 1 2 3 4 5 x
设 a＜x＜b ＜＜ b x b x b x b x
用区间记法表示下列不等式的解集：用区间记法表示下列不等式的解集：（2） x≤0.4 ．）（2）(－∞，0.4 ] ．）－，
（1）9≤x≤10 ；）
解：（1）[9，10] ；：（），
用区间记法表示下列不等式的解集，用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间：并在数轴上表示这些区间：）－2≤x≤3；（1）－）－；）－2≤x＜3；（3）－）－＜；（5） x＞3；）＞；（2）－3＜x≤4；）＜；）－3＜＜；（4）－＜x＜4；）－（6） x≤4．）．
x ≤ b}
集合 {x| x > a } {x| x < a } {x| x ≥ a } {x| x ≤ a } x∈R
区间（a，＋∞）（-∞，a） [a，+∞）（-∞，a] （-∞，+∞）
必做题：必做题：教材P39，练习 A 组；教材，选做题：选做题：教材P40，练习 B 组第 1 题．，教材
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 x
）＜，解：当 x 在（－∞ ，－3）时，即 x＜－3，所以 x＋3＜0，即 x＋3 为负；＋＜，＋为负；，＋∞）当 x 在（4，＋）时，即 x＞4，，＋＞，所以 x＋3＞7，即 x＋3 为正；＋＞，＋为正；当 x 在（－3，4）时，即－3＜x＜4，，）＜＜，所以 0＜x＋3＜7，即 x＋3 为正．＜＋＜，＋为正．

高中数学必修1知识点总结

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇()U A =∅ð2()U A A U =ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 0))()()U U B A B =?)()()U U B A B =?【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba-∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=． ③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-．（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k1＜x1≤x2＜k2⇔⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2⇔f(k1)f(k2)<0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2⇔此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a=++≠在闭区间[,]p q上的最值设()f x在区间[,]p q上的最大值为M，最小值为m，令1()2x p q=+．（Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2bpa-<，则()m f p=②若2bp qa≤-≤，则()2bm fa=-③若2bqa->，则()m f q=x x x①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D xx f y ∈=的零点。

高一数学区间表示方法

高一数学区间表示方法
高一数学区间表示方法
区间（interval）是指在微积分、几何动态系统、概率论和数理统计等数学领域常见的定义概念，其表示的是一段范围而不是一个点。

在高中数学教学中，学生们要掌握正确的区间表示方法，以解决数学问题。

若未能在数学中正确使用区间表示方法，将会影响学生们在解决数学问题时得出正确答案。

一般来说，高一数学中的区间表示方法可分为以下几种：
（1）开区间表示方法：当两端的数均不包含在区间内时，可用开区间表示；
（2）封闭区间表示方法：当两端的数均包含在区间内时，可用封闭区间表示；
（3）半开/半封区间表示方法：当其中一端的数不包含在区间内时，可用半开/半封区间表示。

下面来看一个实际应用中的例子：设区间[2,4]，根据具体情况，要求我们进行区间表示。

1.若要表示2和4不包含在区间内，可用开区间(2,4)表示。

2.若要表示2和4均包含在区间内，可用封闭区间[2,4]表示。

3.若要表示2不包含在区间内而4包含在区间内，可用半开区间(2,4]
表示。

4.若要表示2包含在区间内而4不包含在区间内，可用半封区间[2,4)
表示。

此外，高一数学中区间表示方法还包括特殊情况表示法，以及上下限
表示法等。

特殊情况表示法指的是当区间的上下限重合，则可用“{}”或“[ ]”表示；上下限表示法指的是当区间的上下限不断变化时，可
以用“( )或 -∞,+∞”来表示。

总之，学好高一数学的区间表示方法对高中学生完成数学题目至关重要，了解正确的表示方法是提高学习效率的一大步。

学生要做到分清
种类，及时发现问题，把握正确选择，以解决数学问题。

高一数学必修1知识点总结集合与函数

高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集AC U{|,}x x U x A ∈∉且)()()()()()(B C A C B A C B C A C B A C UA C A A C A U U U U U U U U ===∅=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法yxo 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图像与性质()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．1.下列四组对象，能构成集合的是（）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a ，b ，c }的真子集共有个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 . 4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

高中数学区间

高中数学区间区间是高中数学中一个非常重要的概念，它在数学分析、函数、集合论等多个领域都有广泛的应用。

区间可以简单地理解为一个数值范围，包括左端点、右端点，以及两者之间的所有实数。

在本篇文章中，我们将详细介绍区间的定义、分类、表示方法及一些基本性质，希望能帮助大家更好地理解和运用区间这一数学概念。

一、定义在数学中，区间指的是数轴上的一段连续的区域。

一个区间由两个实数a、b确定，其中a称为左端点，b称为右端点。

根据左右端点是否包含在区间内，区间可以分为四类：开区间、闭区间、半开半闭区间、无限区间。

1. 开区间：不包含端点的区间称为开区间，记作(a, b)，即a < x < b。

2. 闭区间：包含端点的区间称为闭区间，记作[a, b]，即a ≤ x ≤ b。

3. 半开半闭区间：左边包含，右边不包含端点的区间记作[a, b)，即a ≤ x < b。

4. 无限区间：当一个端点为无穷大或无穷小时，区间称为无限区间，例如(a, +∞)、(-∞, b]。

二、表示方法区间的表示方法有多种，常用的包括数轴表示法、集合表示法和不等式表示法。

1. 数轴表示法：将区间在数轴上表示出来，左端点用实心圆点或方括号标记，右端点用空心圆点或方括号标记。

2. 集合表示法：用集合符号表示区间，例如开区间(a, b)可以表示为{x | a < x < b}。

3. 不等式表示法：用不等式表示区间，例如闭区间[a, b]可以表示为a ≤ x ≤ b。

三、区间的运算在数学中，区间也可以进行一些基本的运算，例如并集、交集和补集运算。

1. 并集：两个区间的并集是将这两个区间合并在一起，形成一个更大的区间。

例如区间(1, 3)与区间(2, 4)的并集为(1, 4)。

2. 交集：两个区间的交集是这两个区间共同部分的区域。

例如区间(1, 3)与区间(2, 4)的交集为(2, 3)。

3. 补集：一个区间的补集是指不在该区间内的数的集合。

高中数学高考区间及无穷的概念知识点

高中数学高考区间及无穷的概念知识点高考数学试题既是考查学生数学学习水平的有效手段,更是数学教学研究的重要资源，下面是店铺给大家带来的高中数学高考区间及无穷的概念知识点，希望对你有帮助。

高中数学区间及无穷的概念知识点区间：设a、b是两个实数，而且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b];(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x无穷：实数集R可以用区间表示为(+∞，-∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x[a，+∞)，(a，+∞)，(-∞，b]，(-∞，b)。

在数轴上表示区间：注意：(1)在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点(2)书写区间记号时：①有完整的区间外围记号(上述四者之一);②有两个区间端点，且左端点小于右端点;③两个端点之间用“，”隔开.高中数学区间及无穷的相关练习1. 若n-m表示[m，n](m0)的值域区间长度为，则实数a的值为()A.1B.2C.D.42. 区间(-3，2]用集合表示为()A.{-2，-1，0，1，2}B.{x|-3C.{x|-3D.{x|-3≤x≤2}3. 把区间[a，b](aA.B.C.D.4. 定义区间[x1，x2]的长度为x2-x1，已知函数f(x)=3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，9]，则区间[a，b]的长度的最大值为()，最小值为().5. 设a>0，函数y=|logax|的定义域为[m，n](m6. 设x1A.3B.2C.1D.0.57. 定义区间(c，d]，(c，d]，(c，d)，[c，d]的长度均为d-c，其中d>c.若a，b是实数，且a>b，则满足不等式≥1的x构成的区间的长度之和为_____.8. 定义：区间[a，b](a9. 集合{x|010. 若[a，2a]为一确定区间，则a∈()(用区间表示)。

高中数学必修一《区间的概念》课件

k y＝ax２＋bx＋c(a≠0)，反比例函数 y (k 0) x
的定义域、值域分别是什么？怎样用区间表示?

理论迁移
例1 将下列集合用区间表示出来：
(1){x | 2 x 1 0}; (2){x | x 4, 或 1 x 2}
..
例2 已知 f ( x 1) x 2 x ,求函数 f ( x) 的解析式.
例3
求下列函数的值域：
(1) y x 2 4 x 6, (2) y 5 4x x2 , (3) y 2 (4) f ( x)
x [1, 5)
x2 4x , x 1 . x 1
定义名称符号 [ a, b ]
( a, b ) a a a
数轴表示
a b
b
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a<x<b} 开区间
b
{x|a≤x<b} 半开半闭 [ a, b ) 区间
{x|a<x≤b} 半开半闭 ( a, b ] 区间
b
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
知识探究（二）
思考1：变量x相对于常数a有哪几种大小关系？用不等式怎样表示？
a x b, a x b, a x b, a x b
思考2：满足上述每个不等式的实数x的集合可看成一个区间，为了区分，它们分别叫什么名称？思考3：如果把满足不等式的实数x的集合用符号 [a，b）表示，那么满足其它三个不等式的实数x 的集合可分别用什么符号表示？
上述知识内容总结成下表：
高一年级
第一章 1.2.1
数学
函数的概念
课题: 区间的概念
问题提出

人教版高中数学必修1知识点汇总总结

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇UA {|x x )A =∅【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法{0)()()U A B A =()()()UU U A B A B =〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值。

高中数学必修一最全知识点汇总

高中数学必修一最全知识点汇总高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示集合是由元素组成的整体，其中的元素具有确定性、互异性和无序性。

常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R。

集合与元素之间的关系可以表示为a∈M或a∉M。

集合的表示法有自然语言法、列举法、描述法和图示法。

集合可以分为有限集、无限集和空集(∅)。

1.1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系包括子集、真子集和集合相等。

子集表示为A⊆B，真子集表示为A⊂B，集合相等表示为A=B。

已知集合A有n(n≥1)个元素，则它有2个子集，2^(n-1)个真子集，2^(n-1)个非空子集和2^n-2个非空真子集。

1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算包括交集、并集和补集。

交集表示为A∩B，并集表示为A∪B，补集表示为A的补集。

补集的性质为A∪A的补集=全集，A∩A的补集=空集。

2.补充知识：含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法含绝对值的不等式|x|0)的解集为{-aa(a>0)的解集为{xa}。

一元二次不等式的解法与一元二次方程类似，可以通过移项、配方法和求根公式等方式求解。

1.解一元二次不等式将$ax+b$看作一个整体，化成$|x|c(c>0)$，$|x|>a(a>0)$型不等式来求解。

2.解一元二次不等式的方法通过判别式$\Delta=b^2-4ac$，确定二次函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$的图像，分类讨论$\Delta>\Delta'$，$\Delta=\Delta'$和$\Delta0)$的根$x_1,x_2$（其中$x_10$和$y<0$的解集。

3.函数及其表示3.1 函数的概念设$A$、$B$是两个非空的数集，如果按照某种对应法则$f$，对于集合$A$中任何一个数$x$，在集合$B$中都有唯一确定的数$f(x)$和它对应，那么这样的对应（包括集合$A$、$B$以及$A$到$B$的对应法则$f$）叫做集合$A$到$B$的一个函数，记作$f:A\to B$。

高一数学：1《区间的概念》课件公开课一等奖课件

青春风采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分数学145分英语141分文综255分
毕业学校：北京二中报考高校：北京大学光华管理学院北京市文科状元阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
定义名称符号 [ a, b ]
( a, b ) a a a
数轴表示
a b
b
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a<x<b} 开区间
b
{x|a≤x<b} 半开半闭 [ a, b ) 区间
{x|a<x≤b} 半开半闭 ( a, b ] 区间
b
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
知识探究（二）
思考1：变量x相对于常数a有哪几种大小关系？用不等式怎样表示？
例3
求下列函数的值域：
(1) y x 2 4 x 6, (2) y 5 4x x2 , (3) y 2 (4) f ( x)
x [1, 5)
x2 4 x , x 1 . x 1
语文
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高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：
北京大学光华管理学院

高一数学四区间知识点

高一数学四区间知识点在高中数学中，四区间是一个非常重要的概念和知识点。

四区间是指将数轴分成四段，并在每段上确定一个数作为代表，这四个数就分别称为四个区间的端点。

接下来，我将详细介绍与四区间相关的知识以及其在解决实际问题中的应用。

首先，我们来看一下四区间的四个端点。

假设数轴上的四个端点分别是a，b，c，d，并且满足a < b < c < d。

则四个端点将数轴分为以下四段：1. (-∞，a)：表示小于a的所有实数构成的区间；2. (a，b)：表示大于a且小于b的所有实数构成的区间；3. (b，c)：表示大于b且小于c的所有实数构成的区间；4. (c，d)：表示大于c且小于d的所有实数构成的区间；5. (d，+∞)：表示大于d的所有实数构成的区间。

接下来，我们来看一下四区间在解决实际问题中的应用。

四区间的概念在数学中的一个重要应用是不等式的解集表示法。

通过将不等式转化为四区间的交集或并集，我们可以准确地表示出不等式的解集。

举个例子，假设我们要解不等式3x + 2 > 5。

我们可以通过以下步骤来表示出不等式的解集：1. 首先，将不等式中的等号去掉，得到3x + 2 - 5 > 0；2. 然后，化简不等式，得到3x - 3 > 0；3. 接下来，把不等式转化为四区间的表示形式，得到3x - 3在(0，+∞)上大于0；4. 最后，解出不等式的解集为x > 1。

通过以上示例，我们可以看出四区间在解不等式中起到了关键的作用。

它提供了一种直观和准确的方式来表示不等式的解集。

除了不等式的解集表示外，四区间还可以应用于数据分析。

例如，我们可以将数据按照大小分成四个区间，并计算每个区间中数据的频数和相对频率。

通过对数据的分布情况进行观察和分析，我们可以更好地理解数据的特征和规律。

另外，四区间还可以应用于数列的分段求和。

假设我们有一个数列{an}，并且要求在四个区间上的求和，即求sum(an)，其中n的取值分别在(-∞，a)，(a，b)，(b，c)，(c，d)和(d，+∞)。

高中数学人教A版必修一第一章知识点总结及题型

高中数学人教A版必修一第一章知识点总结及题型高中数学必修一第一章知识点及题型一、第一章第一单元集合---知识点总结知识点一：集合的概念集合是研究对象的统称，用小写拉丁字母a，b，c等表示元素，一些元素的集合称为集合或集，用大写拉丁字母A，B，C等表示，不含任何元素的集合称为空集，记为∅。

知识点二：集合与元素的关系如果a是集合A的元素，就称a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就称a不属于集合A，记作a∉A。

知识点三：集合的特性及分类集合元素具有唯一性、无序性和互异性。

集合可分为有限集和无限集，有限集含有有限个元素，无限集含有无限个元素。

知识点四：集合的表示方法集合的表示方法有列举法和描述法。

列举法是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法；描述法是用集合所含元素的特征表示集合的方法。

知识点五：集合与集合的关系集合A中的所有元素都是集合B中的元素时，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B；如果A是B的子集，但存在元素不属于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。

子集的性质包括空集是任意集合的子集、任何集合都是它本身的子集、如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。

知识点六：集合的运算集合的运算包括交集和并集。

集合A与B的并集是由A 和B中所有元素组成的集合，记作A∪B；集合A与B的交集是A和B中共有的元素组成的集合，记作A∩B。

3.交集与并集的性质交集的运算性质：A∩B = B∩A （交换律）A∩A = A （恒等律）A∩∅ = ∅（零律）A⊆B ⇔ A∩B = A （吸收律）并集的运算性质：A∪B = B∪A （交换律）A∪A = A （恒等律）A∪∅ = A （零律）A⊆B ⇔ A∪B = B （吸收律）A∪B = B∪A = {x | x∈A或x∈B} （定义）符号语言、图形语言和自然语言都可以用来表示集合的交集和并集。

4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

区间与无穷的概念-高中数学知识点讲解

区间与无穷的概念
1．区间与无穷的概念
【知识点的认识】
设a＜b，①开区间：{x|a＜x＜b}＝（a，b）
②闭区间：{x|a≤x≤b}＝[a，b]
③半开半闭区间：{x|a＜x≤b}＝（a，b]{x|a≤x＜b}＝[a，b）
正无穷：在实数范围内，表示某一大于零的有理数或无理数数值无限大的一种方式，没有具体数字，但是正无
穷表示比任何一个数字都大的数值．符号为+∞．数轴上可表示为向右箭头无限远的点．
负无穷：某一负数值表示无限小的一种方式，没有具体数字，但是负无穷表示比任何一个数字都小的数值．符
号为﹣∞．
{x|a≤x}＝[a，+∞）
{x|a＜x}＝（a，+∞）
{x|x≤a}＝（﹣∞，a]
{x|x＜a}＝（﹣∞，a ）
{x|x∈R}＝（﹣∞，+∞）
【解题方法点拨】通常情况下，解答不等式，函数的单调性的问题利用单调性的定义，或者函数的导数等知识，
注意函数的定义域，变量的取值范围，集合一般利用区间表示，函数的单调性多个区间时，区间之间必须用“，”分开；不能利用并集符号连接．解题时注意区间的端点的数值的应用．
【命题方向】区间上的最值，函数的单调性，函数的导数在闭区间上的最值，恒成立等知识有关问题，高考常考
题目．
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