2414圆周角导学案

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人教版-数学-九年级上册 24.1.4圆周角(1) 导学案

24.1.4《圆周角》（1）学习目标1．使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并运用它们进行论证和计算. 2．了解分类思想和完全归纳的思想.学习重点：圆周角的概念、圆周角定理及其推论在论证和计算中的应用. 学习难点: 了解分类思想和化归思想. 学习过程一．自主学习1．圆周角定义: 叫圆周角. 2．判断下列各图形中的是不是圆周角.（A ）2个，（B ）3个，（C ）4个，（D ）5个。

3．圆周角的两个特征： ① 角的顶点在；② 角的两边都 . 4．分别度量下图中AB 所对的两个圆周角∠C ，∠D 的度数，比较一下，∠C_____∠D.变动点C 的位置，圆周角的度数有没有发生变化？（1）一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？（2）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？（3）同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____，都等于的的一半. 二．探索新知如图所示，在⊙O 任取一个圆周角∠BAC ，将圆对折，使折痕经过圆心O 和圆周角的顶点C ，这时折痕可能下图出现三种情况：你能分别证明这三种情况中 AB 所对的圆周角等于它所对圆心角的一半的结论吗？（1）如图1，当圆周角∠BAC 的一边AB 刚好是折痕（⊙O 的直径）时；OA DB C（2）如图2，当圆周角∠BAC的两边AB、AC在折痕(⊙O的直径AD)的两侧时；（3）如图3，当圆周角∠BAC的两边AB、AC在折痕(⊙O的直径AD)的同侧时。

问题1：如图，在⊙O中，若圆周角∠BAC=∠DEF，那么AC =DF 吗？为什么？结论:___________________________________________三．应用新知例1 如图，点A、B、C、D都在同一个圆上，四边形ABCD的对角线将4个内角分成的8个角中，相等的角有几对？请分别指出来.例2 如图，OA=OB=OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC.OCBA87654321DCBA例3 已知:四边形ABCD 的四个顶点都在圆上，且AB ∥CD . 求证:AB=CD四．发现总结1．在圆中进行角的转化与计算通常要用到_____________________.2．数学思想方法：在证明圆周角定理中用到________思想和_______思想. 五．巩固提高如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，点P 是CAD 上的一点，（不与C 、D 重合）（1）求证：∠CPD=∠COD.（2）如图 2，若点P 在劣弧CD 上（不与C 、D 重合），∠CPD 与∠COD 的数量关系是否发生变化？写出结论，并画图证明. 图1 图2ODB AD C PD C六．课堂检测1．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为（）A ．15︒B ．28︒C ．29︒D ．34︒2．如图2，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（）A.100°B.80°C.70°D.50°3．如图3，在⊙O 中，弦BE 与CD 相交于点F ，CB 、ED 的延长线交于点A ，如果∠A=30°, ∠CFE=70°,∠CDE=（） A ．20° B.40 ° C.50 ° D.60°4．如图4，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 、BE 是高，交点为H ，BE 的延长线交⊙O 于F ，下列结论：①∠BAO=∠CAD ；②AO=AH ；③DH=DC ；④EH=EF ，其中正确的的结论（） A ．①② B. ②③ C. ①④ D. ③④5．如图5，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，E 为劣弧CB 上的一动点(不与B 、C 重合)，DE 交弦BC 于点N ，AE 交半径OC 于点M ，在E 点运动过程中，∠AMC 与∠BNE 的大小关系为（）A ．∠AMC>∠BNE B. ∠AMC=∠BNEC. ∠AMC<∠BNED. 随着E 点的运动以上三种关系都有可能6．如右图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=32cm ，（1）求∠ABC 的度数；（2）求⊙O 的面积7．如下图，在平面直角坐标系中，M 为x 轴上的一点，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为BC 上的一个动点，CQ 平分∠PCQ ，A （－1，0）,C （0，3）.图2D C BA 图3OE FDB 图O F HE DC B A图5O N M E D CBA（1）求M 点的坐标.（2）当P 点运动时，线段AQ 的长度是否发生变化？若变化请求出其值，若改变说明理由.y x M O Q P DCB A。

人教版-数学-九年级上册 24.1.4圆周角(2) 导学案

初中-数学-打印版24.1.4《圆周角》（2）学习目标1．认识圆内接四边形，理解并掌握圆内接四边形的性质. 2．灵活运用圆的性质解决相关问题. 学习重点：圆内接四边形及其性质. 学习难点: 运用圆的性质解决相关问题. 学习过程一．自主学习1．如图1，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任一点，你能确定∠ACB 的度数吗?为什么？ 2．如图2，圆周角∠BCA =90º，弦AB 经过圆心O 吗？为什么？我们还可以得到圆周角定理的推论：在_______或______中，如果两个______相等，那么_____________一定相等。

半圆（或直径）所对的圆周角是_______，90°的圆周角所对的弦是________.图1 3．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做__________________；这个圆叫做________________.4．思考：圆内接四边形的对角有什么关系？为什么？这样，我们利用圆周角定理，得到圆内接四边形的一个性质：______________________. 二．探索新知思考1 你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？说说你有多少种方法？思考2 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是_____三角形。

请证明这个结论.三．应用新知例1 如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， (1)求BC 、BD 、AD 的长。

(2)求CD 的长。

例2 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，（1）求证： BD = DE ；（2）连接BE ，如果BC=6，AB=5，求BE 的长．O ED CB A OC B A图3O D C B A E OCA B初中-数学-打印版四．发现总结1．解决圆周角的问题时常根据_______所对的圆周角是______作为依据，添加辅助线构造______三角形.2．求三角形的高的常用方法有哪些？五．巩固提高如图，点D 为Rt △ABC 斜边AB 上的一点，以CD 为直径的圆分别交△ABC 三边于点E 、F 、G三点，连EF 、FG.（1）求证：∠EFG =∠B ；（2）若AC=2BC=54，D 为AE 的中点，求CD 的长.六．课堂检测1．如图1，若AB 是⊙0的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=（） A.116° B.32° C.58° D.64°2．如图2，⊙O 的直径AB=13，弦AC=5，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，则CD 的长（） A. 7 B. 9 C.2217D. 29 3．如图3，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE=____________.4．如图4，AB 是半圆O 的直径，D 为 AC 的中点，∠B=40°，求∠C 的度数为________.图1 图2 图3 图45．如图，AB 为⊙O 的直径，点Q 在弦BC 的延长线上，且∠PCQ =∠PCA. （1）求证：PA=PB ；（2）求PCBC AC 的值.6．如图，BC 为⊙O 的直径，F 是半圆上异于B 、C 的一点，A 是弧BF 的中点，AD ⊥BC ，垂足为D ，BF 交AD 于点E.O ABD CDG E FB AC Q POC BCB（1）求证：AE = BE.（2）若⊙O的半径为5，AD= 4，求AE的长.初中-数学-打印版。

人教版九年级上24.1.4圆周角定理导学案(共2课时)

（5）（4）A24.1.4圆周角导学案（1）学习目标：1.了解圆周角的概念．理解圆周角的定理．理解圆周角定理的推论.（重点）2.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．（难点）自主学习：阅读教材85至86页 1.定义：顶点在，并且两边都和圆的角叫做圆周角.（完成书后练习第1题） 2. ① 如图，AB 为⊙O 的直径，∠BOC 、∠BAC 分别是所对的圆心角、圆周角，利用以前所学知识求出图（1），（2），（3）中∠BAC 的度数分别为．通过计算发现：∠BAC ＝ ∠BOC ，即，。

② 观察图（4）和（5）中的圆周角和圆心角，它们与图（1）（2）（3）有什么不同？还能得到与①相同的结论吗？你是怎么得到的？③ 圆周角定理的证明运用了什么数学思想？3.如图（6），在⊙O 中，所对的圆心角为，所对的圆周角是，你能得到什么结论？合作探究探究1 教材88页练习3 探究2 教材88页练习2 典型题例1.如图（7），点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，∠BAC=350①∠BDC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ②∠BOC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 2.如图（8），点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠BAC=60°，则∠BOC=____°；若∠AOB=90°，则∠ACB=____°. 3.如图（9），点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC 的形状，并说明理由.4.如图（10），⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°，求弦DC 的长.BC （1）（2）（3）BC （6）（7）（8）(9)（10）B（13）圆周角（1）限时训练1.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°2.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°3.如图,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°4.如图，A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中，相等的角有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对5.如图,D 是弧AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个6.如图,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°7.如图⊙O 中弧AB 的度数为60°，AC 是⊙O 的直径，那么∠BOC 等于 ( ) A ．150° B ．130° C ．120° D ．60°8.如图,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是弧AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.9.如图,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BD 相交于点E,那么图中有_________对全等三角形.10.已知,如图,∠BAC 的邻补角∠BAD=100°,则∠BOC=_____度. 11.如图,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_____度.12.如图,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °,则点O 到CD 的距离OE= . 13.如图（13）,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径，且AD=6cm ，若∠ABC=∠CAD,求弦AC 的长.第2题第3题第4题第5题第7题第6题第9题第10题 CD 第11题第12题24.1.4圆周角导学案（2）学习目标：1．掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径。

24.1.4-圆周角第一课时导学案

24.1.4 圆周角（1）一、学习目标：1. 了解圆周角的概念。

2. 理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半。

3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径。

二、学习重点、难点：1. 重点：探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征。

2. 难点：发现并论证圆周角定理。

三、学习过程：（一）学生预习教师导学一、导学预习自学课本Ｐ84---P 86思考下列问题：1、圆周角的定义：顶点在，其它两边都和圆的角，叫做2、辨一辨：下列各图中哪些角是圆周角？是的打“√”，不是的打“×”。

3.在下面空白处作一个圆，作同弧所对的一些圆心角及圆周角。

通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．（1）同弧所对的圆周角能作多少个？（2）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？（3）同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？4、定理：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的。

5 能去掉“同圆或等圆”吗？若把“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”性质成立吗？6、验证猜想：第一种情况：圆心在圆周角的一条边上；证明：COA ·B2、第二种情况：圆心在圆周角的内部；证明：作直径AD.（转化为第一种情况）3、第三种情况：圆心在圆周角的外部。

证明：作直径AD.（转化为第一种情况）（三）学生展示教师激励二、练习1、求圆中角X 的度数2．如图，在⊙O 中，∠BAC=32º，则∠BOC=________º．探究二：同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？在右图中任意画出一个直径所对的圆周角，你能发现它是什么角吗？由此你能得出什么结论？推论1：推论2：例1、如又图⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长。

九年级数学上册 24.1.4 圆周角精品导学案新人教版

O CB A D E O A BC O AB C E D C OB A 圆周角课题：24.1.4.圆周角序号:学习目标：1、知识与技能(1) 了解圆周角与圆心角的关系(2) 掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的性质(3) 能运用圆周角的性质解决问题2、过程与方法：在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题3、情感.态度与价值观：引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

学习重点：圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对的圆周角的特征学习难点：发现并证明圆周角定理导学过程课前预习：阅读课本P84---86的有关内容，完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。

.二、课堂导学：1．情境导入.阅读《导学案》87页的问题导学2. 出示任务，自主学习阅读84-86页内容解决下列问题问题1、如图1,在⊙O 中,∠B,∠D,∠E 的大小有什么关系?为什么?问题2、如图2，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任一点，你能确定∠ACB 的度数吗?问题3、如图3，圆周角∠B C A=90º，弦AB 经过圆心O 吗？为什么？圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，所对的圆周角相等；同圆或等圆中，所对的弧也相等。

圆周角定理的推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是；所对的弦是直径。

3.合作探究《导学》难点探究和展题设计三、展示与反馈检查预习情况，解决学生疑惑四、课堂小结1. 圆周角定理:2.圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，所对的圆周角相等；同圆或等圆中，所对的弧也相等。

ED CO B A3.圆周角的推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是；所对的弦是直径。

五、达标检测：教材86-87页3练习1-3题完成87页《导学案》.自主测评1—4题课后作业：1必做题：教材89页习题24.1 12-15题板书设计：24.1.4圆周角1. 圆周角的定义2. 圆周角定理及其推论课后反思：通过本节课的学习，教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

人教版九年级上册数学24.1.4圆周角优秀教学案例

（二）讲授新知
1.利用多媒体课件，讲解圆周角的定义及其性质。
2.通过动画演示，让学生直观地感受圆周角的形成过程。
3.运用几何图形，解释圆周角定理及其推论。
在讲授新知环节，我将利用多媒体课件，讲解圆周角的定义及其性质。通过动画演示，让学生直观地感受圆周角的形成过程。在此基础上，我会运用几何图形，解释圆周角定理及其推论。在这个过程中，注重引导学生积极参与，鼓励他们提出问题，以便更好地理解和掌握圆周角的知识。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论。
2.让学生通过合作、交流，共同探究圆周角的性质。
3.组织学生展示讨论成果，分享彼此的想法和收获。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体课件，展示生活中的圆周角实例，引导学生认识圆周角。
2.通过动画演示，让学生直观地感受圆周角的形成过程。
3.设计有趣的数学问题，激发学生的求知欲。
在情景创设方面，我将运用多媒体课件，以生动形象的方式展示圆周角的特点，帮助学生建立起空间观念。通过展示生活中的圆周角实例，引导学生认识圆周角，激发他们的学习兴趣。同时，设计有趣的数学问题，激发学生的求知欲，让他们在解决问题的过程中，自然而然地引入圆周角的知识。
人教版九年级上册数学24.1.4圆周角优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为人教版九年级上册数学24.1.4圆周角，旨在让学生掌握圆周角的定义、性质及其在几何中的应用。通过对圆周角的学习，培养学生观察、思考、推理的能力，提高他们的空间想象力。
圆周角是圆心角的一种，它在圆中具有重要的地位。在本节内容中，学生需要了解圆周角的定义、性质，并能运用圆周角定理解决实际问题。在教学过程中，我将结合生活实例，引导学生认识圆周角，并通过小组合作、讨论交流的方式，让学生探究圆周角的性质，从而提高他们的合作意识和解决问题的能力。

《24.1.4 圆周角》教案、导学案

《24．1.4 圆周角》教案【教学目标】1．掌握圆周角定理及其推论并能应用其进行简单的计算与证明．2．掌握圆内接多边形的有关概念及性质．3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法．【教学过程】一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第十九届世界杯决赛于2014年在巴西举行，共有来自世界各地的32支球队参加赛事，共进行64场比赛决定冠军队伍．比赛中如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于( )A．25° B．30° C．35° D．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.探究点二：圆周角定理的推论【类型一】利用圆周角定理的推论求角如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°，故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B．45° C ．60° D ．75°解析：由BD 是直径得∠BCD ＝90°.∵∠CBD ＝30°，∴∠BDC ＝60°.∵∠A 与∠BDC 是同弧所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ＝60°.故选C.【类型二】利用圆周角定理的推论求线段长如图所示，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AB ＝10cm ，∠A ＝30°，则BC的长为________．解析：由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，因为∠A ＝30°，所以BC ＝12AB ＝12×10＝5cm.【类型三】利用圆周角定理的推论进行有关证明如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C ，∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．探究点三：圆的内接四边形及性质【类型一】利用圆的内接四边形的性质进行计算如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝________度．解析：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠ADC ＝180°.∵四边形OABC 为平行四边形，∴∠AOC ＝∠B .又由题意可知∠AOC ＝2∠ADC .∴∠ADC ＝180°÷3＝60°.连接OD ，可得AO ＝OD ，CO ＝OD .∴∠OAD ＝∠ODA ，∠OCD ＝∠ODC .∴∠OAD ＋∠OCD ＝∠ODA ＋∠ODC ＝∠D ＝60°.【类型二】利用圆的内接四边形的性质进行证明如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E ＝∠A.证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE.∴∠A＝∠E.∴AD＝DE.∴△ADE是等腰三角形．方法总结：圆内接四边形对角互补.三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑.《24.1.4 圆周角》教案第1课时圆周角定理及推论【教学内容】1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．【教学目标】1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．【重难点、关键】1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．【教学过程】一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天A 要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．CC（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、巩固练习1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习．四、应用拓展例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C =2R ．分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin cC =2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2cR，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin aA同理可证：sin b B =2R ，sin cC=2R∴sin a A =sin b B =sin c C=2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握： 1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．第2课时圆内接四边形的性质及圆周角定理的综合运用【教学目标】1.知道圆内接多边形和多边形的外接圆的意义，知道圆内接四边形的对角互补，会简单运用这个结论.2.培养演绎推理能力和识图能力. 【教学重点和难点】1.重点：圆内接四边形的对角互补.2.难点：结论的证明. 【教学过程】（一）基本训练，巩固旧知 1.填空：如图， x= °.2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°，则∠DBC= °，∠BDC= °， ∠BCD= °.3.用三角尺画出下面这个圆的圆心.（二）创设情境，导入新课（师出示下面的板书）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.师：（指准板书）前面我们学习了圆周角定理和它的两个结论，本节课我们要学习什么？我们要学习圆周角定理的第三个推论（板书：推论3）.师：推论3怎么说？让我们先来看下面的问题. （三）尝试指导，讲授新课（师出示下图）x 50︒40︒ABCDOABCD.师：（指准图）这是四边形ABCD，这个四边形有一个特点，什么特点？（稍停）这个四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上，我们把这个四边形叫做圆内接四边形（板书：四边形ABCD叫做圆内接四边形），我们还把⊙O 叫做四边形ABCD的外接圆（板书：⊙O叫做四边形ABCD的外接圆）.师：（出示圆内接三角形图片，并指准）这是一个三角形，这个三角形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个三角形叫做圆内接三角形，把这个圆叫做这个三角形的外接圆.师：（出示圆内接五边形图片，并指准）这是五边形，这个五边形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个五边形叫做圆内接五边形，把这个圆叫做这个五边形的外接圆.师：（出示圆内接五边形图片，并指准）一般地说，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.师：知道了圆内接多边形的概念，（指黑板上的圆内接四边形）现在我们还是回来看圆内接四边形.师：圆内接四边形有一个重要的性质，什么性质？圆内接四边形的对角互补（板书：圆内接四边形的对角互补）.师：圆内接四边形的对角互补，什么意思？（指准图）就是说，∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，（板书：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）.师：用圆周角定理可以推出这个结论，怎么推？大家自己先想一想（让生思考片刻）.师：我们一起来证明，（指板书）先证明∠A+∠C=180°.师：怎么证明∠A+∠C=180°？连结OB，OD（边讲边用虚线连结OB，OD）.师：（把BAD描成红色，并指准）这条红弧所对的圆周角是哪个？生：（齐答）∠C.师：红弧所对的圆周角是∠C（边讲边用红笔标∠C），那红弧所对的圆心角是哪个？生：（齐答）∠BOD.师：红弧所对的圆心角是∠BOD （边讲边用红笔标∠BOD ）. 师：（把BCD 描成黄色，并指准）这条黄弧所对的圆周角是哪个？生：（齐答）∠A.师：黄弧所对的圆周角是∠A （边讲边用红笔标∠A ），那黄弧所对的圆心角是哪个？生：……师：（指准图）黄弧所对的圆心角是这个角（边讲边用黄笔标这个角）. 师：（指准图）根据圆周角定理，∠A 等于这个圆心角的一半，∠C 等于这个圆心角的一半，所以∠A+∠C 等于这个角加上这个角的一半.这个角加上这个角等于360°，所以∠A+∠C 等于360°的一半，等于180°.师：同样道理可以证明∠B+∠D=180°.师：（指板书）推论3是一个很有用的结论，下面就请同学们利用这个结论来做几个练习.（四）试探练习，回授调节4.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A=60°，填空：(1)∠BCD= °； (2)∠DCE= °； (3)∠B+∠D= °.5.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∠BOD=100°，则∠BAD= °， ∠BCD= °.（五）尝试指导，讲授新课师：下面我们来看一道例题. （师出示例题）例求证：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.（师画出图形写出已知求证，然后让生说证明思路，最后师写出证明过程，图形、已知、求证及证明过程如下）E.D CBAOA BOC D已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形. 求证：∠DCE=∠A.证明：∵∠DCE+∠BCD=180°，又∵∠A+∠BCD=180°， ∴∠DCE=∠A.（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了圆周角定理的推论3，圆内接四边形的对角互补；还学习了一个例题，利用推论3证明了圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.这个结论像别的定理、推论一样可以在做题的时候直接拿来用.（作业：P 88习题6.7.）课外补充作业6.如图，∠A=30°，∠ABC=50°，则∠E= °， ∠D= °，∠ACB= °. 四、板书设计《24.1.4 圆周角》教案EDAOB C.ABCDE5、几何语言：∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 三、应用举例：例1、若四边形ABCD 为圆内接四边形，则下列选项可能成立的是（）A.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=1﹕2﹕3﹕4B.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=2﹕1﹕3﹕4C.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=3﹕2﹕1﹕4D.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=4﹕3﹕2﹕1例2、如图，点C 、D 是⊙O 上不与点A 、B 重合的两点，（1）若∠AOB=70°，则∠ACB= ° （2）若∠ACB=130°，求∠AOB 的度数. （写出推理过程）练习：1、如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A+∠C= °，∠B+∠ADC= °，若∠B=80°，则∠ADC= ，∠CDE= ；2、如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠AOC=100°，则∠B= ， ∠D= ；3、四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ：∠C=1:3，则∠A= ；4、如图3，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，∠B=75°，则∠C= °。

九年级上册数学 24.1.4 圆周角学案

24.1.4 圆周角学案【学习目标】1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2、掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明. 【重点难点】重点：圆周角定理及定理的三个推论的应用．难点：圆周角定理的证明，三个推论的灵活应用.【课堂探究】一、自主探究探究一作一个圆，并在圆中画出两个圆周角，根据你画出的角，（1）说出圆周角的顶点的位置，两边与圆的关系是什么？（2）说出圆周角与圆心角的异同点？探究二1、拿出课前准备好的圆形纸片，先在上面任意画一个圆周角∠BAC ，然后画出同弧所对的圆心角∠BOC ，再分别量出∠BAC 和 ∠BOC 的度数，比较一下，你有什么发现？小组交流一下，能得出什么共同结论？2、为了进一步探究上面的发现，请同学们将刚才的圆形纸片沿圆周角的顶点A 和圆心O 对折，小组交流、归纳，看看这时折痕和圆周角∠BAC 的位置可能有哪几种关系？分别一一画出来.B 图c图b图aD D3、利用第2题的图形，分别证明图a、图b、图c中的∠B OC=2∠B AC.4、用自己的语言说出圆周角定理的内容是什么？5、利用上面的结论，完成下列问题：（1）∠C与∠D相等吗?为什么？（2）若AB是直径，则∠C= ，∠D=（3）若∠C=90°，则弦AB是⊙O的直径吗？（4）若圆周角∠ACB与∠DAB相等，则它们所对的弧相等吗？为什么？通过以上4个小题的解答，你又能得到什么结论？归纳一下.探究三1、什么是圆的内接多边形？什么是多边形的外接圆？2、画一个圆内接四边形ABCD，它有什么性质，你是如何得到的？与同学交流一下.二、尝试运用1、教材第88页练习1、22、如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BOD则∠BAD = ，∠BCD = .3、教材第87页例24、足球场上正在进行激烈的比赛，队员甲、队员乙正准备射门，是队员甲直接射门好，还是传给队员乙让队员乙射门好，为什么？三、补偿提高1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC =30°,点D 在圆上,则∠ADC 等于( ) .A. 30°B.40°C.50°D.60°2、求证：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.四、小结与作业学生小结：1、必做题：教材第88页练习3，习题24.1第89页5，6题2、选做题如图，点A,B,D,E在⊙O上，弦AE,BD的延长线相交于点C，若AB是⊙O的直径，D是BC的中点.（1）试判断AB与AC之间的大小关系，并给出证明；（2）在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？（直接写出结论）。

人教版九年级数学上册24.1.4《圆周角》优秀教学案例

2.引导学生通过讨论、交流、分享等方式，共同探讨圆周角的性质，提高他们的合作交流能力。
3.教师要关注小组合作的过程，及时发现和解决问题，确保小组合作活动的有效进行。
4.利用小组合作评价，鼓励学生积极参与，培养他们勇于承担责任的精神。
（四）总结归纳
1.引导学生对所学知识进行反思，巩固所学内容，提高他们的自我学习能力。
2.探究性学习的设计：在教学过程中，我设计了具有挑战性和梯度的问题，引导学生逐步深入探讨圆周角的性质和定理。同时，我鼓励学生提出问题，培养他们敢于质疑的精神，使他们在问题中发现问题、解决问题。这种探究性学习的设计有效地培养了学生的独立思考能力和解决问题的能力。
3.小组合作的学习方式：我设计了小组合作探究活动，让学生在小组内部分工合作，共同完成任务，培养他们的团队协作能力和沟通能力。通过小组合作，学生能够相互学习、相互帮助，提高了他们的合作交流能力，同时也增加了课堂的活力和互动性。
2.通过实物展示或模型制作，让学生直观地感受到圆周角的形成过程，帮助学生建立圆周角的概念。
3.设计具有启发性的问题，引导学生思考圆周角与日常生活的联系，提高他们的实际应用能力。
4.创设轻松愉快的学习氛围，使学生在愉悦的情感状态下学习，提高他们的学习效率。
（二）讲授新知
1.引导学生通过观察、操作、推理等方法，自主探索圆周角的性质，培养他们的独立思考能力。
2.引导学生通过观察、操作、推理等方法，自主探索圆周角的性质，培养他们的独立思考能力。
3.在问题解决过程中，教师要给予学生及时的点拨和指导，帮助他们克服困难，提高他们的解决问题的能力。
4.鼓励学生提出问题，培养他们敢于质疑的精神，使他们在问题中发现问题、解决问题。
（三）小组合作
1.设计小组合作探究活动，让学生在小组内部分工合作，共同完成任务，培养他们的团队协作能力。

人教版九年级上册数学 24.1.4 圆周角优秀导学案

24.1.4 圆周角
姓名：班级：组别：评定等级
【自主学习】
（一）复习巩固：
1．圆周角的定义.
2．圆周角定理.
3.在半径为R的圆内，长为R的弦所对的圆周角为 .
（二）新知导学
1.直径（或半圆）所对的圆周角是 .
2.900的圆周角所对的弦是 .
3.圆的内接多边形，多边形的内接圆。

圆内接四边形的对角。

【合作探究】
如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，D、E在⊙O上．求证：BD=DE．
【自我检测】
1．如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，
则∠AOD= ．
2．如图，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
3．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM= ，∠AMB= ．
4．如图，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半径＝．
5．下列说法正确的是（）
A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半6．下列说法错误的是（）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
7．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）
A．相等B．互补C．相等或互补 D．都不对
8．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（）
A．5对 B．6对 C．7对D．8对。

人教版九年级数学上册24.1.4圆周角(1)导学案

第5课时 24.1.4圆周角(1)［学习目标］1．理解圆周角的定义,了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角．2．掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明. ［学习流程］一、依标独学1．阅读教材认真读图，如图1，视角∠AOB 叫做角， 2.顶点在，并且两边都与圆的角叫做圆周角．圆周角定义的两个特征：（1）顶点都在；（2）两边都与圆．二、扣标展示活动1：(1) 阅读教材内容，动手量一量（如图2）：问题1：同弧（弧AB ）所对的圆心角AOB ∠ 与圆周角ACB ∠的大小关系是怎样的？问题2：同弧（弧AB ）所对的圆周角ACB ∠与圆周角ADB ∠的大小关系是怎样的？（2）规律：同弧所对的圆周角的度数，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的．活动2：（1）同学们在下面图3的⊙O 中任取AB ⌒所对的圆周角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系?（2）实际上，圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如图）（3）如何对活动1得到的规律进行证明呢？证明：①当圆心在圆周角的一边上，如上图(1),②当圆心在圆周角内部（或在圆周角外部）（4）同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．其实，等弧的情况下该命题也是成立的，命题“同弧或等弧所对的圆周角相等”也是正确的，想一想为什么？（5）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的．活动3：（小组讨论）由图5，结合圆周角定理思考问题1：半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？问题2：90°的圆周角所对的弦是什么?推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是；的圆周角所对的弦是直径．四、达标测评1. 在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？2. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∠ACD =30°，AE =2cm ．求DB 长．（1）（2）（3）（4）（2）（3）（1）（2）（8）五、课后反思。

九年级数学上册 24.1.4 圆周角导学案 (新版)新人教版

24.1.4 圆周角1.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.2.理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆各个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题.自学指导阅读教材第85至88页，完成下列问题.知识探究1.顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.在同圆或等圆中，等弧或等弦所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.4.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.5.圆内接四边形的对角互补.自学反馈1.如图所示，点A、B、C在圆周上，∠A=65°，求∠D的度数.解：65°.第1题图第2题图2.如图所示，已知圆心角∠BOC=100°，点A为优弧⌒BC上一点，求圆周角∠BAC的度数.解：50°.3.如图所示，在⊙O中，∠AOB=100°，C为优弧⌒AB的中点，求∠CAB的度数.解：65°.第3题图第4题图4.如图所示，已知AB是⊙O的直径，∠BAC=32°，D是⌒AC的中点，那么∠DAC的度数是多少？解：29°.活动1 小组讨论例1如图所示，点A、B、C在⊙O上，连接OA、OB，若∠ABO=25°，则∠C=65°.第1题图第2题图例2如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO=32°，则∠COB=64°.例3如图所示，OA为⊙O的半径，以OA为直径的圆⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，若OD=5cm，则BE=10cm.第3题图第4题图例4 如图所示，点A、B、C在⊙O上，已知∠B=60°，则∠CAO=30°.(1)求圆周角通常先求同弧所对的圆心角.(2)求圆心角可先求对应的圆周角.(3)利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线.(4)连结OC，构造圆心角的同时构造等腰三角形.活动2 跟踪训练1.如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为６cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长.解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°.∴BC=22=8 (cm).∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.AB AC∴AD=BD.由AB为直径，知AD⊥BD.∴△ABD为等腰直角三角形.∴AD2+BD2=2AD2=2BD2=AB2.∴AD=52cm，BD=52cm.由直径产生直角三角形，由相等的圆周角带来弦等产生等腰三角形.2.OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∵∠AOB是劣弧⌒AB所对的圆心角，∠ACB是劣弧⌒AB所对的圆周角，∴∠AOB=2∠ACB.同理∠BOC=2∠BAC.∵∠AOB=2∠BOC.∴∠ACB=2∠BAC.看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角. 3.如图，在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°，求∠A.解：∠A=50°圆内接四边形的对角互补.活动3 课堂小结圆周角的定义、定理及推论.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。

人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》教案

（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示圆周角定理的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
此外，学生小组讨论环节，我发现大家在讨论“圆周角在实际生活中的应用”这一主题时，思路较为局限。为了拓宽学生的思维，我今后可以多提供一些与圆周角相关的实际案例，让他们在讨论时有更多的借鉴和启发。
最后，总结回顾环节，我希望通过提问的方式了解学生对课堂内容的掌握情况。但从学生的回答来看，他们对圆周角知识点的掌握还不够扎实。因此，我计划在接下来的课堂中，增加一些针对性的练习，帮助他们巩固所学知识。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆周角的定义、圆周角定理以及它们在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆周角的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角的基本概念。圆周角是由圆上两条半径或弦所夹的角。它是研究圆的重要几何性质之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。

人教版九年级数学上册第24章24.1.4《圆周角》第1课时导学案

24.1.4圆周角
第1课时
1.知道圆周角的概念,能分清圆周角和圆心角.
2.能说出圆周角定理及其推论,并会熟练地运用它们解决问题.
3.重点:圆周角定理及其推论以及它们的应用.
知识梳理圆周角的概念
阅读教材本课时第一段,解决下列问题.
1.顶点在圆上,并且两边都与圆相交,我们把这样的角叫做圆周角.
2.填表,体会圆周角与圆心角之间的关系:
圆心角圆周角
区别
顶点在圆心顶点在圆上
在同圆中,一条弧所对的圆
心角有一个
在同圆中,一条弧所对的圆
周角有无数个
联系两边都和圆相交
【预习自测】下列四个图中,∠x是圆周角的是(C)
A. B. C. D.
知识点圆周角定理及其推论
阅读教材本课时第二段至结束,解决下列问题.
1.圆周角与圆心的位置有以下几种关系,试测量各图中∠BOC与∠BAC的关系.
圆心在角的一边上圆心在角的内部圆心在角的外部
通过测量,可得∠BAC=∠BOC .
2.当圆心在角的一边上时,由∠BOC=∠A+∠C,而OA=OC,有∠A=∠C,从而可得∠BOC= 2∠BAC .当圆心在角的内部或外部时,可以连接经过O点、A点的直径,将问题转化为圆心在角的一边上的情况,再利用角的和、差加以说明.
【归纳总结】圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论:同弧或等弧所对的圆周角相等.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.。

新人教版九年级数学上册24.1.4圆周角 (2)导学案

新人教版九年级数学上册24.1.4圆周角（2）导学案学习目标：了解圆内接四边形的概念及其性质,能运用圆周角定理及其推论进行计算和证明.重难点：圆内接四边形的性质.教学过程一、预习导学： 1.如图1，AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点，则∠ACB = . 2.如图2，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=55°，则∠BCD=3如图3，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC=45°，则∠DAB=图1 图2 图3 二、学习研讨：例如图所示，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，求BC,AD,BD 的长.OB C A 简记D B O A OC B A★如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做 ,这个圆叫做这个 .思考：右图中的四边形ABCD 叫做⊙O 的内接四边形, ⊙O 叫做四边形ABCD 的外接圆.猜想：∠A 与∠C, ∠B 与∠D 之间有什么关系？由此得出圆内接四边形的性质： . 练习： 1.如图，点A 、B 、C 、D 是⊙O 上的点，∠BO D =100°，则∠A= ，∠C= .2．⊙O 内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= .三、课堂小结：四、当堂达标2.如图，⊙C 过原点O ，且与两坐标轴分别交于点A ，B.点A 的坐标为（0,3），M 是第三象限内弧OB 上一点，∠BMO=120°，求⊙C 的直径.五、学后反思：O D C B A D OB C A简记 CA O MB x y。

人教版-数学-九年级上册24.1.4 圆周角导学案

一、基础知识1、理解圆周角的概念掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；理解圆周角概念,理解圆周用与圆心角的异同;2.掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征;3.能灵活运用圆周角的性质解决问题;圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(注意两点:1.角的顶点在圆上;2.角的两边都与圆相交,二者缺一不可.)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论1：同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

（也是圆周角定理的逆定理，要通过圆心角来转换）推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。

二、重难点分析本课教学重点：圆周角与圆心角的关系,圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.本课教学难点：发现并证明圆周角定理.三、典例精析：例1：（2014•齐齐哈尔）如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD 的度数等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°例2．(2014年天津市)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O 于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．四、感悟中考1、（2014•牡丹江）如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是( )Ａ．30°B．45°C．60°D．75°【点评】本题可直接根据圆周角的性质和等边三角形性质来解答。

2、（2014•齐齐哈尔）如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（）Ａ．15°B．20°C．25°D．30°五、专项训练。

24.1.4 圆周角教案2

经过测量∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,
思考圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
如图，连接OB，OD.
∵∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD,
又BCD和BAD所对的圆心角的和是周角,
∴∠A+∠C= =180°,
同理∠B+∠D=180°.
归纳：圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
教学目标
1.理解圆周角概念；并掌握圆周角与圆心角及其所对弧的关系；
2.了解并证明圆周角定理及其推论
3.掌握圆内接多边形的性质的证明方法及应用
教学重点
1.圆周角的概念和圆周角定理
2.理解圆内接四边形的性质并能熟练运用圆周角定理及推论进行有关的计算和证明.
教学难点
综合运用知识进行有关的计算和证明时，培养自己的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力
学生活动3：
各小组根据白板中的问题进行讨论并进行交流.
学生代表上台将小组内的图片展示在黑板上.并写出结论：通过度量，我们可以发现，同弧上的圆周角是圆心角的一半.
学生自己把证明思路在学案中写下来，同时分小组展示本组交流的结果，一个小组展示一种情况，学生对展示结果进行点评.
师生共同归纳圆周角定理
活动意图说明：动手、猜想和预见是学生的天性，抓住学生这个心理采取，“先猜后证”的教学设计，有效地激发学生的积极性，唤起他们在课堂上主动探索，构建知识.
∴AD=BD= AB=5 cm
学生活动5：
学生思考，解答
活动意图说明：通过例题，帮助学生熟练掌握圆周角的定理的应用，从而培养学生分析问题、解决问题的能力.
环节六：新知讲解
教师活动6：
回答下面问题
1）什么是圆内接三角形？