互斥事件的概率公式
概率运算公式大全初中
概率运算公式大全初中
概率运算在初中数学中主要涉及到基本概率公式、排列组合等内容。
以下是一些初中阶段常见的概率运算公式：
1. 基本概率公式：
- 事件A发生的概率：\[ P(A) = \frac{{\text{有利结果的个数}}}{{\text{总结果的个数}}} \] - 事件A不发生的概率：\[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) \]
2. 互斥事件：
- 两个互斥事件A、B同时发生的概率为0：\[ P(A \cap B) = 0 \]
- 两个互斥事件的和事件概率：\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
3. 独立事件：
- 两个独立事件A、B同时发生的概率为它们各自概率的乘积：\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]
4. 排列组合：
- 排列公式：\[ A_n^m = \frac{{n!}}{{(n - m)!}} \]
- 组合公式：\[ C_n^m = \frac{{n!}}{{m! \times (n - m)!}} \]
这些公式在解决概率问题时会有所帮助，但在具体应用时，还需要根据题目的情境灵活运用。
独立事件概率公式大全
独立事件概率公式大全1.事件的概率计算：事件的概率是指该事件出现的可能性大小。
对于一个随机试验，事件A的概率可以通过以下公式计算：P(A)=N(A)/N其中，P(A)是事件A的概率，N(A)是事件A发生的次数，N是试验的总次数。
2.互斥事件的概率计算：互斥事件指的是两个事件不能同时发生的情况。
对于两个互斥事件A和B，它们的概率可以通过以下公式计算：P(A或B)=P(A)+P(B)其中，P(A或B)是事件A或事件B发生的概率。
3.相互独立事件的概率计算：相互独立事件指的是两个事件的发生与另一个事件的发生无关。
对于两个相互独立的事件A和B，它们同时发生的概率可以通过以下公式计算：P(A和B)=P(A)*P(B)其中，P(A和B)是事件A和事件B同时发生的概率。
4.条件概率计算：条件概率指的是在另一个事件发生的条件下，一些事件发生的概率。
对于事件A在事件B已经发生的条件下的概率，可以通过以下公式计算：P(A，B)=P(A和B)/P(B)其中，P(A，B)是事件A在事件B已经发生的条件下的概率。
5.乘法法则：乘法法则指的是两个事件同时发生的概率可以通过条件概率计算得到。
对于事件A和B同时发生的概率，可以通过以下公式计算：P(A和B)=P(A)*P(B，A)其中，P(A和B)是事件A和事件B同时发生的概率。
6.加法法则：加法法则指的是两个事件至少有一个发生的概率可以通过条件概率计算得到。
对于事件A或事件B发生的概率，可以通过以下公式计算：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A和B)其中，P(A或B)是事件A或事件B发生的概率。
7.全概率公式：全概率公式用于计算一个事件在多个互斥事件发生的情况下的概率。
对于事件A在互斥事件B1、B2、..、Bn中发生的概率，可以通过以下公式计算：P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)其中，P(A，Bi)是事件A在事件Bi发生的条件下的概率，P(Bi)是事件Bi发生的概率。
独立事件概率公式大全
独立事件概率公式大全概率论是数学中重要的一个分支，它研究的是随机事件的发生规律。
而独立事件指的是两个或多个事件之间的发生不会相互影响的事件。
在概率论中，我们常常需要计算和应用独立事件的概率。
本文将给出一些常见的独立事件概率公式，帮助读者更好地理解和应用概率论的知识。
1.独立事件的概率乘法公式：如果事件A和事件B是相互独立的事件，那么它们同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积。
即P(A∩B)=P(A)×P(B)。
2.独立事件的概率和公式：如果事件A和事件B是相互独立的事件，那么它们至少有一个发生的概率等于各自发生概率之和减去它们同时发生的概率。
即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
3.互斥事件的概率公式：如果事件A和事件B是互斥的事件，即两个事件不能同时发生，那么它们取任意一个事件发生的概率等于各自发生的概率之和。
即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
4.独立事件的n次发生的概率公式：如果事件A是一个独立事件，那么它发生n次的概率等于各次发生概率的乘积。
即P(A)的n次方。
5.反向事件的概率公式：如果事件A发生的概率等于p，那么事件A不发生的概率等于1-p。
6.否定事件的概率公式：如果事件A发生的概率等于p，那么事件A的否定事件（即事件A不发生）的概率等于1-p。
7.组合事件的概率公式：如果事件A、B、C是三个相互独立的事件，且它们的发生均相互独立，那么它们同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积。
即P(A∩B∩C)=P(A)×P(B)×P(C)。
8.独立事件的概率的加法公式：如果事件A和事件B是相互独立的事件，那么它们分别发生的概率之和等于它们交集为空集的联合发生的概率。
即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
9.完全事件的概率公式：如果一个样本空间S的所有可能事件组成一个完全事件组，那么完全事件组中的所有事件发生的概率之和等于110.全概率公式：如果事件A可以被划分为多个互不相交的子事件B1、B2、B3...，那么事件A的概率等于每个子事件发生时A发生的条件概率之和，即P(A)=P(A，B1)×P(B1)+P(A，B2)×P(B2)+P(A，B3)×P(B3)+...。
独立事件概率公式大全
独立事件概率公式大全在概率论中，独立事件指的是两个或多个事件之间没有相互影响的事件。
换句话说，一些事件的发生与其它事件的发生没有关联，它们之间不会相互影响。
因此，我们可以通过简单的概率公式来计算独立事件的概率。
下面是一些常用的独立事件概率公式：1.单一事件的概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A中有利结果的个数，n(S)表示样本空间中可能的结果总数。
2.互斥事件的概率公式：P(A or B) = P(A) + P(B)其中，P(A or B) 表示事件 A 或事件 B 发生的概率，P(A) 和 P(B) 分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。
这个公式适用于事件 A 和事件B 是互斥的情况，即两个事件不能同时发生。
3.独立事件的概率公式：P(A and B) = P(A) * P(B)其中，P(A and B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 和P(B) 分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。
这个公式适用于事件 A 和事件 B 是独立的情况。
4.复合事件的概率公式：P(A and B) = P(A) * P(B，A)其中，P(A and B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B，A) 表示在已知事件 A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
5.事件的补事件概率公式：P(A')=1-P(A)其中，P(A')表示事件A的补事件发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
以上是一些常用的独立事件概率公式，可以用来计算独立事件的概率。
在实际应用中，还可以根据具体情况和问题来选择和运用适当的概率公式。
互斥对立事件的概率公式
互斥对立事件的概率公式在概率论中，互斥对立事件是指两个事件之间不存在重叠部分，即两个事件不能同时发生。
对于互斥对立事件，存在一种概率公式可以帮助我们计算它们的概率。
本文将介绍互斥对立事件的概念和相应的概率公式，并通过实际例子加深理解。
一、互斥对立事件的概念互斥对立事件是指两个事件不能同时发生的情况。
例如，抛一枚硬币，它的正面和反面是互斥对立事件；投掷一颗骰子，出现奇数和出现偶数也是互斥对立事件。
在数学中，我们用符号“∩”表示两个事件的交集为空集，即没有共同的结果。
二、互斥对立事件的概率公式对于互斥对立事件，其概率公式为：P(A或B) = P(A) + P(B)。
即两个互斥对立事件的概率等于它们各自的概率之和。
三、实例解析为了更好地理解互斥对立事件的概率公式，我们通过几个实例进行解析。
1. 抛硬币实验假设我们抛一枚硬币，事件A表示出现正面，事件B表示出现反面。
由于硬币只有两面，所以事件A和事件B是互斥对立事件。
根据概率公式，我们可以计算出事件A或事件B发生的概率为P(A或B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1。
2. 投掷骰子实验假设我们投掷一颗骰子，事件A表示出现奇数，事件B表示出现偶数。
同样地，事件A和事件B是互斥对立事件。
根据概率公式，我们可以计算出事件A或事件B发生的概率为P(A或B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1。
通过以上两个实例，我们可以看到互斥对立事件的概率公式在计算概率时非常简单明了。
四、互斥对立事件的应用互斥对立事件的概率公式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在赌场中赌博的概率计算、生产线上产品合格率的概率计算等等。
在赌场中，常见的赌博游戏如轮盘赌、骰宝等都涉及到互斥对立事件的概率计算。
例如，在轮盘赌中，下注红色和下注黑色就是互斥对立事件。
根据概率公式，我们可以计算出中红色或中黑色的概率。
在生产线上，产品合格率的计算也可以使用互斥对立事件的概率公式。
独立事件概率公式大全
独立事件概率公式大全
独立事件概率是指在一系列事件中，每个事件的发生与其他事件无关。
下面是一些常见的独立事件概率公式：
1. 事件的概率公式：对于一个事件A，其概率可以用以下公式表示：
P(A) = N(A) / N(S)。
其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中的总次数。
2. 互斥事件的概率公式：对于两个互斥事件A和B（即两个事件不能同时发生），其概率可以用以下公式表示：
P(A or B) = P(A) + P(B)。
其中，P(A)表示事件A的概率，P(B)表示事件B的概率。
3. 两个独立事件的概率公式：对于两个独立事件A和B，其概
率可以用以下公式表示：
P(A and B) = P(A) P(B)。
其中，P(A)表示事件A的概率，P(B)表示事件B的概率。
4. 三个及以上独立事件的概率公式：对于三个及以上的独立事件A、B、C...，其概率可以用以下公式表示：
P(A and B and C...) = P(A) P(B) P(C) ...
其中，P(A)、P(B)、P(C)等分别表示事件A、B、C的概率。
需要注意的是，以上公式适用于独立事件的情况。
如果事件之间存在依赖关系，那么计算概率需要考虑条件概率等相关概念。
希望以上回答能够满足你的需求。
如果你有其他问题，请随时提出。
数学知识点：概率的基本性质(互斥事件、对立事件)_知识点总结
数学知识点：概率的基本性质（互斥事件、对立事件）_知识点总结
数学知识点：概率的基本性质（互斥事件、对立事件）互斥事件：事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥。
对立事件：
两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做。
注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。
事件A+B的意义及其计算公式：
（1）事件A+B：如果事件A，B中有一个发生发生。
（2）如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
（3）对立事件：P（A+）=P（A）+P（）=1。
概率的几个基本性质：
（1）概率的取值范围：[0,高考地理，1].
（2）必然事件的概率为1.
（3）不可能事件的概率为0.
（4）互斥事件的概率的加法公式：
如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
如果事件A，B对立事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）=1。
互斥事件与对立事件的区别和联系：
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。
因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件。
六年级概率计算公式
六年级的概率计算公式主要包括事件的概率计算和复合事件的概率计算。
下面详细介绍这些公式。
一、事件的概率计算公式：如果一个随机事件发生的可能性与所有可能事件的总数成比例，那么该事件的概率可以计算出来。
1.事件的概率计算公式：事件的概率（P）=有利结果的数量（n）/所有可能结果的数量（N）例如：如果有一个有标号的盒子，里面装有4个红色球和6个蓝色球，现在从盒子中随机取出一个球，求取到红色球的概率。
有利结果的数量n=4（红色球的数量），所有可能结果的数量N=10（总球的数量）。
则红色球的概率P=4/10=2/5=0.4=40%2.互斥事件的概率计算公式：互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况，例如掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上是互斥事件。
如果事件A和事件B是互斥事件，那么它们的概率之和等于每个事件发生的概率之和，即：P(A或B)=P(A)+P(B)例如：在一副标准的扑克牌中，红桃和黑桃是互斥事件，求抽取到红桃或黑桃的概率。
由于一副标准扑克牌共有52张牌，其中红桃有13张，黑桃有13张。
则红桃或黑桃的概率=红桃概率+黑桃概率=13/52+13/52=26/52=1/2=50%二、复合事件的概率计算公式：复合事件是由两个或多个简单事件组成的事件。
1.事件的并的概率计算公式：事件的并是指两个事件中至少有一个发生的情况。
如果事件A和事件B是两个事件的并，那么它们的概率等于每个事件发生的概率之和减去它们的交集的概率，即：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A和B)例如：在一副标准的扑克牌中，求抽取到红桃或方块的概率。
由于一副标准扑克牌共有52张牌，其中红桃有13张，方块有13张，红桃和方块的交集为0张（即红桃方块不存在）。
则红桃或方块的概率=红桃概率+方块概率-红桃方块的交集概率=13/52+13/52-0/52=26/52=1/2=50%2.事件的交的概率计算公式：事件的交是指两个事件同时发生的情况。
如果事件A和事件B是两个事件的交，那么它们的概率等于事件A发生的概率乘以事件B在A发生的条件下发生的概率，即：P(A和B)=P(A)×P(B，A)例如：在扑克牌中抽取两张红桃的概率。
行测容斥原理三个公式
行测容斥原理三个公式容斥原理是概率论和组合数学中一个重要的计数方法，用于解决求交集、并集等问题。
下面将介绍容斥原理的三个公式：互斥事件的加法原理、重叠事件的减法原理和容斥原理。
一、互斥事件的加法原理：在概率论中，如果A和B是两个互斥事件，那么它们的并集的概率等于它们的概率之和。
数学上可以表达为：P(A∪B)=P(A)+P(B)其中P(A∪B)表示事件A和事件B的并集的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
二、重叠事件的减法原理：在概率论中，如果A和B是两个事件，那么它们的交集的概率等于它们的和减去它们的并集。
数学上可以表达为：P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)其中P(A∩B)表示事件A和事件B的交集的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率，P(A∪B)表示事件A和事件B的并集的概率。
三、容斥原理：容斥原理是一种组合数学中的计数方法，用于求多个集合的交集和并集的元素个数。
如果有n个集合A1，A2，...，An，那么它们的交集的元素个数可以用容斥原理表示为：A1∩A2∩...∩An，=∑，Ai，-∑，Ai∩Aj，+∑，Ai∩Aj∩Ak，-...+(-1)^(n+1)，A1∩A2∩...∩An其中，X，表示集合X中元素的个数，∑表示求和，Ai表示第i个集合。
容斥原理的应用：1.求多个集合的并集的元素个数：A1∪A2∪...∪An，=∑，Ai，-∑，Ai∩Aj，+∑，Ai∩Aj∩Ak，-...+(-1)^n，A1∩A2∩...∩An2.求多个集合的交集的元素个数：A1∩A2∩...∩An，=∑(-1)^(i+1)(，Ai，-∑(-1)^(j+1)(，Ai∩Aj，-∑(-1)^(k+1)(...)))容斥原理的推广：容斥原理可以推广到更多的事件，不仅限于两个或三个事件。
总结：容斥原理是概率论和组合数学中重要的计数方法，通过互斥事件的加法原理、重叠事件的减法原理和容斥原理可以求解事件的概率和集合的元素个数。
互斥事件和加法公式
互斥事件和加法公式首先，我们来介绍一下互斥事件。
互斥事件是指两个或多个事件之间不能同时发生的情况。
换句话说，互斥事件是指它们的交集为空集的事件。
例如，掷一枚硬币的结果只会出现正面或反面，不能同时出现，所以正面和反面是互斥事件。
再比如，从一副扑克牌中抽取一张牌，抽到黑桃和抽到红桃也是互斥事件。
那么如何计算互斥事件的概率呢？根据概率的公式，事件A的概率可以用P(A)表示，事件B的概率可以用P(B)表示。
如果事件A和事件B是互斥事件，那么它们的概率之和等于它们的并集的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
这个公式称为加法公式。
接下来我们通过一个具体的案例来说明加法公式的应用。
假设有一个班级，其中男生和女生的人数分别为20人和30人。
现在从班级中随机抽取一名学生，问抽到男生或者抽到女生的概率是多少？根据加法公式，我们可以得到P(男生或女生)=P(男生)+P(女生)=20/50+30/50=50/50=1、所以抽到男生或者抽到女生的概率是1另外，加法公式还可以推广到多个互斥事件的情况。
如果事件A、B和C是互斥事件，那么它们的概率之和等于它们的并集的概率，即P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)。
同理，对于更多的互斥事件也可以类似推导。
除了互斥事件，加法公式还适用于非互斥事件的情况。
当事件A和事件B不是互斥事件时，它们的并集的概率可以用加法公式表示为：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，也称为事件A和事件B的交集。
以掷两枚硬币的结果为例来说明加法公式在非互斥事件中的应用。
假设一枚硬币正面的概率为0.6，另一枚硬币正面的概率为0.7，那么同时抛两枚硬币抛出正面的概率是多少？根据加法公式，我们可以得到P(第一枚硬币正面或第二枚硬币正面)=P(第一枚硬币正面)+P(第二枚硬币正面)-P(第一枚硬币正面和第二枚硬币正面)=0.6+0.7-(0.6*0.7)=0.6+0.7-0.42=0.88、所以同时抛两枚硬币抛出正面的概率是0.88综上所述，互斥事件和加法公式是概率论中的两个重要概念。
互斥事件与对立事件的概率计算
P (A B)= P (A) + P (B) - P()
2.上述公式可推广，即如果随机事件A1，A2， ……，An中任何两个都是互斥事件，那么有
P (A1 A2 … An)= P (A1) + P (A2)+…+P(n)
8环、7环的概率分别是0.24、0.28、0.19、
0.16，计算这名射手射击一次
1）射中10环或9环的概率； 0.52
2）至少射中7环的概率.
0.87
3）射中环数不足8环的概率. 0.29
2021/6/20
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练习2、一盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、 2白、1绿，从中取1球．求：
(1)取出球的颜色是红或黑的概率；
“乙胜”的对立事件，P=1-1/3=2/3。
2021/6/20
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概率的基本性质
新兴县田家炳中学高一备课组 欧龙进
2021/6/20
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1.概率的加法公式： 如果事件A与事件B互斥，则
P (A B)= P (A) + P (B)
2.对立事件的概率公式 若事件A，B为对立事件,则 P(B)=1－P(A)
2021/6/20
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如果事件A与事件B互斥，则
P (A B)= P (A) + P (B)
（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。
分析：甲乙两人下棋，其结果有甲胜，和棋， 乙胜三种，它们是互斥事件。
解（1）“甲获胜”是“和棋或乙胜” 的对立事件，所以甲获胜的概率是P=11/2-1/3=1/6。
高中数学公式大全概率计算与统计分析的实例公式
高中数学公式大全概率计算与统计分析的实例公式高中数学公式大全：概率计算与统计分析的实例公式一、概率计算公式1. 事件的概率计算公式：P(A) = (事件A的样本点数) / (样本空间的样本点数)2. 加法法则：对于两个互斥事件A和B，有P(A或B) = P(A) + P(B)3. 减法法则：对于事件A和B，有P(A且B的补集) = P(A的补集) - P(A且B)4. 乘法法则：对于两个独立事件A和B，有P(A且B) = P(A) × P(B)5. 条件概率公式：对于事件A和B，有P(A|B) = P(A且B) / P(B)6. 全概率公式：对于事件A和B1、B2、...、Bn构成的样本空间分割，有P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)二、统计分析的实例公式1. 平均数（均值）公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，均值（平均数）为平均数 = (x1 + x2 + ... + xn) / n2. 加权平均数公式：对于一组数据x1、x2、...、xn及其对应的权重w1、w2、...、wn，加权平均数为加权平均数 = (x1w1 + x2w2 + ... + xnwn) / (w1 + w2 + ... + wn)3. 中位数公式：对于一组有序数据，中位数为若数据个数为奇数，中位数为第(n+1)/2个数据；若数据个数为偶数，中位数为第n/2个数据和第(n/2+1)个数据的平均数。
4. 众数公式：对于一组数据，众数为数据中出现次数最多的值。
5. 方差公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，均值为μ，方差为方差 = ( (x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2 ) / n6. 标准差公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，均值为μ，标准差为标准差= √方差7. 相关系数公式：对于两组数据x1、x2、...、xn和y1、y2、...、yn，其相关系数为相关系数 = (协方差) / (x的标准差 × y的标准差)其中，协方差的计算公式为协方差 = ( (x1 - μx)(y1 - μy) + ... + (xn - μx)(yn - μy) ) / n8. 样本方差公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，样本均值为x，样本方差为样本方差 = ( (x1 - x)^2 + (x2 - x)^2 + ... + (xn - x)^2 ) / (n - 1)9. 样本标准差公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，样本均值为x，样本标准差为样本标准差= √样本方差综上所述，以上是高中数学中概率计算和统计分析的常用公式。
互斥事件与非互斥事件的概率计算
互斥事件与非互斥事件的概率计算在概率理论中，互斥事件与非互斥事件是常见的概念。
通过计算它们的概率，我们能够更好地理解和预测事件发生的可能性。
本文将介绍互斥事件和非互斥事件的定义以及相应的概率计算方法。
一、互斥事件的概念和计算方法互斥事件是指两个或多个事件在同一次试验中不能同时发生的情况。
简单来说，互斥事件之间是互相排斥的，只能发生其中一个事件。
下面以两个事件A和B为例进行说明。
事件A的概率表示为P(A)，事件B的概率表示为P(B)。
如果事件A和事件B是互斥事件，则它们的发生是互相排斥的，即同时只能发生其中一个事件。
根据概率的定义，事件A和事件B同时发生的概率为0，即P(A∩B) = 0。
在计算互斥事件的概率时，可以使用加法法则。
根据加法法则，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B不发生的概率之和，表示为P(A∪B) = P(A) + P(B)。
二、非互斥事件的概念和计算方法非互斥事件是指两个或多个事件在同一次试验中可以同时发生的情况。
简单来说，非互斥事件之间是相互兼容的，可以同时发生。
下面以两个事件A和B为例进行说明。
事件A的概率表示为P(A)，事件B的概率表示为P(B)。
如果事件A和事件B是非互斥事件，则它们的发生是相互兼容的，即可以同时发生。
根据概率的定义，事件A和事件B同时发生的概率为它们的交集的概率，表示为P(A∩B)。
在计算非互斥事件的概率时，可以使用乘法法则。
根据乘法法则，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B在已知事件A发生的条件下发生的概率，表示为P(A∩B) = P(A) * P(B|A)。
三、举例说明为了更好地理解互斥事件和非互斥事件的概率计算方法，以下举例说明。
1. 互斥事件的例子假设事件A表示掷骰子得到1的结果，事件B表示掷骰子得到6的结果。
因为在同一次掷骰子的试验中，我们不能同时得到1和6，所以事件A和事件B是互斥事件。
掷骰子得到1的概率为1/6，即P(A) = 1/6。
概率和统计公式大全
概率和统计公式大全1.基本概率公式-事件发生的概率：P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)是事件A发生的可能结果数，n(S)是总的可能结果数。
-互斥事件的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)，其中A和B是互斥事件。
-对立事件的概率：P(A')=1-P(A)，其中A'表示事件A的补集。
2.条件概率公式-两个事件A和B同时发生的概率：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)，其中P(B，A)表示已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
-两个事件A和B互斥的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
-两个事件A和B互相独立的概率：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
3.随机变量和概率分布- 随机变量的期望：E(X) = ∑(xi * P(X=xi))，其中xi是随机变量X的可能取值，P(X=xi)是随机变量X取值为xi的概率。
- 随机变量的方差：Var(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) -(E(X))^2-二项分布的概率：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个的组合数，p是单次实验成功的概率。
-正态分布的概率：P(a≤X≤b)=Φ((b-μ)/σ)-Φ((a-μ)/σ)，其中Φ(x)是标准正态分布的累积分布函数，μ是正态分布的均值，σ是标准差。
4.抽样与统计推断-样本均值的期望：E(x̄)=μ，其中μ是总体均值。
- 样本方差的无偏估计：s^2 = Σ(xi - x̄)^2 / (n-1)，其中xi是样本中的观察值，x̄是样本均值，n是样本容量。
-正态总体均值的置信区间：x̄±t*(s/√n)，其中x̄是样本均值，s是样本标准差，n是样本容量，t是自由度为n-1的t分布的临界值。
-正态总体比例的置信区间：p±z*√(p(1-p)/n)，其中p是样本比例，n是样本容量，z是标准正态分布的临界值。
独立互斥对立的公式
独立互斥对立的公式独立事件是指两个或多个事件之间的发生不会互相影响。
互斥事件是指两个或多个事件之间的发生是互相排斥的，即一个事件发生时，其他事件就不可能发生。
对立事件是指两个事件之间的发生是互相对立的，即一个事件的发生排除了另一个事件的发生。
下面将讨论独立、互斥和对立事件之间的关系，并给出相应的公式。
1.独立事件的公式：设A和B是两个独立事件，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么它们同时发生的概率为P(A∩B)=P(A)×P(B)。
独立事件的概率计算公式是基于事件之间相互独立的假设，即事件A 的发生与事件B的发生是没有关联的。
因此，独立事件的联合概率等于各自发生的概率的乘积。
2.互斥事件的公式：设A和B是两个互斥事件，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么它们发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
互斥事件的概率计算公式是基于两个事件发生的排斥性假设，即事件A和事件B的发生是互不相容的。
因此，互斥事件的并集概率等于各自发生的概率的和。
3.对立事件的公式：设A和B是两个对立事件，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么它们发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
对立事件的概率计算公式是基于事件之间的互斥和独立的关系。
由于对立事件的发生是互斥的，所以它们的交集概率为零，即P(A∩B)=0。
因此，对立事件的并集概率等于各自发生的概率的和。
需要注意的是，独立事件和互斥事件是两个不同的概念。
独立事件指的是两个事件之间的发生是相互独立的，即一个事件的发生与另一个事件的发生没有关联。
互斥事件指的是两个事件之间的发生是互相排斥的，即一个事件的发生排除了另一个事件的发生。
在实际问题中，我们需要根据具体的情况来判断事件之间的关系，并选择相应的概率计算公式进行求解。
通过运用独立、互斥和对立事件的公式，我们可以更好地理解和解决概率计算问题。
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3.什么是对立事件 对立事件有什么性质 什么是对立事件?对立事件有什么性质 什么是对立事件 对立事件有什么性质? 必有一个发生的互斥事件事件叫对立事件 为对立事件， 若A与B为对立事件，则P(A)+P(B)=1. 与 为对立事件
创设情境
甲坛子里有3个白球， 个黑球 个黑球； 甲坛子里有 个白球，2个黑球；乙坛子里 个白球 个白球， 个黑球 个黑球． 有2个白球，2个黑球．设“从甲坛子里摸出一 个白球 A 个球，得到白球” 个球，得到白球”叫做事件 ，“从乙坛子里 B 摸出一个球，得到白球” 摸出一个球，得到白球”叫做事件 A 问 与 ． B 是不是互斥事件呢？是不是对立事件？ 是不是互斥事件呢？是不是对立事件？还有其 他什么关系？ 他什么关系？
反过来，事件 是否发生对事件 是否发生对事件A发生的概 反过来，事件B是否发生对事件 发生的概 率有没有影响呢? 率有没有影响呢 没有. 答:没有 没有 这就是说， 这就是说，事件 A 或 B ）是否发生对事 （ 发生的概率没有影响， 件 B 或 A ）发生的概率没有影响，这样的两 （ 相互独立事件． 个事件叫做相互独立事件 个事件叫做相互独立事件．
个球， “从甲坛子里摸出1个球，得到白球” 从甲坛子里摸出 个球 得到白球” 从乙坛子里摸出1个球 个球， 与“从乙坛子里摸出 个球，得到黑 球”同时发生的概率
3 1 3 P(A·B)=P(A)·P(B) = 5 × 2 = 10
个球， “从两个坛子里分别摸出1个球，恰得 从两个坛子里分别摸出 个球 到一个白球”的概率为 到一个白球”的概率为
人都击中目标的概率， （1）欲求 人都击中目标的概率，即求 、B ）欲求2人都击中目标的概率 即求A 同时发生的概率. 同时发生的概率 人各射击1次 恰有1人击中目标 人击中目标” （2）“2人各射击 次，恰有 人击中目标”包 ） 人各射击 括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（ 括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件 A· B 发生 ） ，另一种是甲未击中 、乙击中（事 发生） 另一种是甲未击中、乙击中（ 发生） 且事件A· 互斥. 件 ·B发生）,且事件 B 与 ·B互斥 发生 且事件 互斥 人击中目标” （3）“至少有 人击中目标”包括两种情况： ） 至少有1人击中目标 包括两种情况： 一种是恰有1人击中 另一种是恰有2人击中 人击中， 人击中. 一种是恰有 人击中，另一种是恰有 人击中
从甲坛子里摸出1个球， 从甲坛子里摸出 个球，有5种等可能的 个球 种等可能的 结果；从乙坛子里摸出1个球 个球， 种等可能 结果；从乙坛子里摸出 个球，有4种等可能 的结果，于是从两个坛子里各摸出1个球 个球， 的结果，于是从两个坛子里各摸出 个球， 共有5 种等可能的结果，表示如下： 共有5×4种等可能的结果，表示如下：
分析： 次射击， 分析：记“甲进行1次射击，击中 甲进行 次射击 目标”为事件A， 乙进行1次射击 次射击， 目标”为事件 ， “乙进行 次射击， 击中目标”为事件B， 击中目标”为事件 ，甲是否击中目标 对乙击中目标的概率没有任何影响.所以 对乙击中目标的概率没有任何影响 所以 A、B是相互独立事件 是相互独立事件. 是相互独立事件
甲射击1次 击中目标” 解 ： （ 1） 记 ： “ 甲射击 次 ， 击中目标 ” ） 为事件A， 乙射击 乙射击1次 击中目标” 为事件 ，“乙射击 次，击中目标”为事件 B,则“2人都击中目标”为事件 人都击中目标” 则 人都击中目标 为事件A·B 又∵P(A)=P（B）=0.6 （ ） ∴P（A·B）=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36 （ ） ×
P( A ⋅ A2 ⋯An ) = P( A ) ⋅ P( A2 )⋯P( An ) 1 1
A
在上面的问题中， 从两个坛子里分别摸出 个 在上面的问题中，“从两个坛子里分别摸出1个 都是黑球”这一事件的发生， 球，都是黑球”这一事件的发生，就是事件 B A ， 同时发生， 因为它们相互独立,所 同时发生，可记作 A· B ，因为它们相互独立 所 以其概率是: 以其概率是
“在先摸出白球的情况下，再摸出白球”， 在先摸出白球的情况下，再摸出白球” 是从装有1个白球 个黑球的口袋中摸出 个白球， 是从装有 个白球，2个黑球的口袋中摸出 1个白球，这时事件 的概率为；“在先摸 个白球， 的概率为； 个白球 这时事件B的概率为 出黑球的情况下，再摸出白球” 出黑球的情况下，再摸出白球”，是从装 个白球， 个黑球的口袋中摸出 个黑球的口袋中摸出1个白 有2个白球，1个黑球的口袋中摸出 个白 个白球 球，这时事件B的概率为 这时事件 的概率为. 的概率为 这就是说，事件A发生与否对事件 发生与否对事件B发生的 这就是说，事件 发生与否对事件 发生的 概率有影响，因此事件A与 不相互独立 不相互独立. 概率有影响，因此事件 与B不相互独立
人各射击1次 至少有1人击 （3）解法一：“2人各射击 次，至少有 人击 ）解法一： 人各射击 中目标”即为“ 人都击中目标 人都击中目标” 恰有1人 中目标”即为“2人都击中目标”与“恰有 人 击中目标”有一发生则事件发生， 击中目标”有一发生则事件发生，因此其概率 P=P（A·B）+［P（A· B）+P（ ·B）］ （ ） ［ （ （A ）］ =0.36+0.48=0.84
解法二： 人各射击1次 至少有1人击中目 解法二： “ 2人各射击 次 ， 至少有 人击中目 人各射击 人都未击中目标” 标”与“2人都未击中目标”互为对立事件 人都未击中目标 互为对立事件. 而P（ · ）=P（ ）·P（ ） （ （ （ =(1－0.6）×（1－0.6）=0.4×0.4=0.16 － ） － ） × 因此，至少有 人击中目标的概率 因此，至少有1人击中目标的概率 P=1－P（ · ）=1－0.16=0.84. － （ －
人各射击1次 恰有1人击中目标 人击中目标” （2）“2人各射击 次，恰有 人击中目标”就是 ） 人各射击 A·B 与 A·B有一个发生那么事件发生，因此其概率 有一个发生那么事件发生， 有一个发生那么事件发生 为 P ( A • B + A • B ) = P（A·B）+P（A·B） （ （ ） 又∵P（A =1－0.6=0.4 （） － P( B )=1－0.6=0.4 － ∴ P ( A • B + A • B ) = P(A·B)+P( A ·B) =P(A)·P(B) +P(A) ·P(B) =0.6×(1－0.6）+(1－0.6)×0.6=0.24+0.24=0.48 × － ） － ×
（白，白） （白，白） （白，白） （黑，白） （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） （黑，白） （黑，白） （白，黑） （白，黑） （白，黑） （黑，黑） （黑，黑） （白，黑） （白，黑） （白，黑） （黑，黑） （黑，黑）
在上面5× 种结果中 种结果中， 在上面 ×4种结果中，同时摸出白球的结 果有3× 种 因此，从两个坛子里分别摸出1 果有 ×2种．因此，从两个坛子里分别摸出 个球， 个球，都是白球的概率是
2 1 1 P(A·B)=P(A )·P(B) = × = 5 2 5
个球， “从甲坛子里摸出1个球，得到黑球”与 从甲坛子里摸出 个球 得到黑球” 从乙坛子里摸出1个球 得到白球” 个球， “从乙坛子里摸出 个球，得到白球”同时 发生的概率
2 1 1 P( A·B)=P( A )·P (B)= × = 5 2 5
课堂练习
一个口袋内装有2个白球和 个黑球 一个口袋内装有 个白球和2个黑球 把“从 个白球和 个黑球,把 中任意摸出一个球，得到白球” 中任意摸出一个球，得到白球”记作事 从剩下的3个球中任意摸出 个球中任意摸出1个 件A，把“从剩下的 个球中任意摸出 个 ， 得到白球”记作事件B。那么， 球，得到白球”记作事件 。那么，在先 摸出白球后，再摸出白球的概率是多少？ 摸出白球后，再摸出白球的概率是多少？ 在先摸出黑球后， 在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是 多少？这里的事件A与事件 与1 3 1 7 = + + = 5 10 5 10
例题讲解
［例1］甲 、 乙 2人各进行 次射击 ， 如果 例 ］ 人各进行1次射击 人各进行 次射击，如果2 人击中目标的概率都是0.6,计算： 计算： 人击中目标的概率都是 计算 人都击中目标的概率； （1）2人都击中目标的概率； ） 人都击中目标的概率 人击中目标的概率； （2）其中恰有 人击中目标的概率； ）其中恰有1人击中目标的概率 （3）至少有1人击中目标的概率 ）至少有 人击中目标的概率. 人击中目标的概率
相互独立事件同时发生的概率 的计算公式
“从两个坛子里分别摸出1个球，都是 从两个坛子里分别摸出1个球， A 白球”是一个事件，它的发生， 白球”是一个事件，它的发生，就是事件 B 、 同时发生， 这样我们需要研究， 同时发生，记作 A⋅ B ．这样我们需要研究， 上面两个相互独立事件 ， A B 同时发生的概 P( A ⋅是多少？ B) 是多少？ 率
3× 2 P( A ⋅ B ) = 5× 5× 4
另一方面，从甲坛子里摸出 个球 个球， 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到 3 白球的概率： P ( A) =
5
从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率： 从乙坛子里摸出 个球，得到白球的概率： 个球
2 P (B ) = 4
3× 2 3 2 = × ，我们看到: 我们看到: 由 我们看到 5× 4 5 4
P( A • B + A • B)
1 3 1 = P(A· )+P(A B ·B)= 5 + 10 = 2
“从两个坛子里分别摸出1个球，至少 个球， 从两个坛子里分别摸出 个球 得到一个黑球”的概率是什么? 得到一个黑球”的概率是什么 这就是求至少有一个黑球的概率
AB P（·）+P(A· )+P( A ·B) B
P( A⋅ B) = P( A) ⋅ P(B)