【全国百强校】河北省武邑中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题
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21．已知函数 在区间 上单调，当 时， 取得最大值5，当 时， 取得最小值-1.
（1）求 的解析式
（2）当 时，函数 有8个零点，求实数 的取值范围．
22．已知 为 的三个内角，向量 与向量 共线，且角 为锐角.
(1）求角 的大小；
（2）求函数 的值域.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．
∴a＞c＞b，
故选C．
【点睛】
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．B
【分析】
根据指数函数、对数函数的单调性分别判断 的取值范围，即可得结果.
【详解】
由对数函数的单调性可得，
根据指数函数的单调性可得，
即 ，
，故选B.
【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
7．C
【解析】
的单调增区间即为 的减区间，
令 ,解得 故选C.
点睛：本题属于易错题型，在研究函数 的单调区间是，基本思路是将 看作整体，利用 的单调性求解即可，而在本题中， 中 的系数是负的，所以用复合函数的单调性解释的化应该为“同增异减”，即需要将负号提出，得到 ，进而研究函数 的单减区间才行.
8．C
4．A
【分析】
根据幂函数的定义判断即可．
【详解】
由 是幂函数，
知 ，解得 或 .
∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴ .
故 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，属于基础题．
5．C
【解析】
【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【详解】
∵a=22.5＞1， ＜0， ，
【详解】
cos（-780°）=cos780°=cos60°= ．
故选C．
【点睛】
本题考查余弦函数的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．
2．C
【分析】
由已知 ，可得 0，根据平面向量的数量积坐标运算公式，可得一个关于m的方程，解方程可得m值．
【详解】
∵ ，
又∵ ，
∴ 0
即﹣1×3+2m＝0
即m
故选C．
【点睛】
本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据两个向量垂直，数量积为0，构造关于m的方程，是解答本题的关键．
3．C
【分析】
由特殊角的三角函数值结合在△ABC中，可求得A的值；
【详解】
，
又∵A∈（0，π），
∴ ．
故选C.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值及三角形中角的范围，属于基础题.
A． B． C． D．
4．已知 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则 的值为()
A．－3B．2C．－3或2D．3
5．若 , , ,则a,b,c之间的大小关系是()
A．c>b>aB．c>a>bC．a>c>bD．b>a>c
6．实数 ， ， 的大小关系正确的是()
A． B． C． D．
7．函数 的单调增区间是（）
故选 ．
【点睛】
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论思想方法，属于基础题．
9．B
【分析】
根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得 ，再由球的表面积公式，即可求解．
【详解】
设球的半径为 ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得 ，解得 ，所以球的表面积为 .
故选B
【点睛】
本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
10．A
【解析】
【分析】
表示直线上的点到原点的距离，利用点到直线的距离公式求得最小值.
【详解】
依题意可知 表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为 ，故选A.
A． B． C． D．
12．形如 的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字,故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数 ( 且 )有最小值,则当 时的“囧函数”与函数 的图象交点个数为
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知 对于任意x,y均有 ,且 时， ，则 是_____（填奇或偶）函数
14．化简： =____________
【分析】
分类讨论：两条直线的斜率存在与不存在两种情况，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可．
【详解】
解：①当 时，利用直线的方程分别化为： ， ，此时两条直线相互垂直．
②如果 ，两条直线的方程分别为 与 ，不垂直，故 ；
③ ，当 时，此两条直线的斜率分别为 ， ．
两条直线相互垂直，
，化为 ，
综上可知： ．
A． B．
C． D．
8．若直线 与直线 互相垂直,则 等于( )
A．1B．-1C．±1D．-2
9．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）
A． B． C． D．都不对
10．已知实数满足 ,那么 的最小值为( )
A． B． C． D．
11．已知 且 ，函数 ，满足对任意实数 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（）
【全国百强校】河北省武邑中学【最新】高一上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算cos(－780°)的值是()
A．－ B．－ C． D．
2．已知 ，若 ，则 （）
A．1B．2C． D．4
3．在 中，如果 ，则角 （）
15．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆的标准方程为_____________________.
16．两圆x2+y2+6x-4y+9=0和x2+y2-6x+12y-19=0的位置关系是___________________.
三、解答题
17．已知集合 ,
（1）当 时，求 ；
（2）若集合 是集合A的子集,求实数 的取值范围.
18．设 是实数，源自文库
（1）证明：f(x)是增函数；
（2）试确定 的值，使f(x)为奇函数。
19．已知向量m＝(cos ，sin )，n＝(2 ＋sinx，2 －cos )，函数 ＝m·n，x∈R.
(1)求函数 的最大值；
(2)若 且 ＝1，求 的值.
20．求同时满足条件：①与 轴相切，②圆心在直线 上，③直线 被截得的弦长为 的圆的方程．
（1）求 的解析式
（2）当 时，函数 有8个零点，求实数 的取值范围．
22．已知 为 的三个内角，向量 与向量 共线，且角 为锐角.
(1）求角 的大小；
（2）求函数 的值域.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．
∴a＞c＞b，
故选C．
【点睛】
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．B
【分析】
根据指数函数、对数函数的单调性分别判断 的取值范围，即可得结果.
【详解】
由对数函数的单调性可得，
根据指数函数的单调性可得，
即 ，
，故选B.
【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
7．C
【解析】
的单调增区间即为 的减区间，
令 ,解得 故选C.
点睛：本题属于易错题型，在研究函数 的单调区间是，基本思路是将 看作整体，利用 的单调性求解即可，而在本题中， 中 的系数是负的，所以用复合函数的单调性解释的化应该为“同增异减”，即需要将负号提出，得到 ，进而研究函数 的单减区间才行.
8．C
4．A
【分析】
根据幂函数的定义判断即可．
【详解】
由 是幂函数，
知 ，解得 或 .
∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴ .
故 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，属于基础题．
5．C
【解析】
【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【详解】
∵a=22.5＞1， ＜0， ，
【详解】
cos（-780°）=cos780°=cos60°= ．
故选C．
【点睛】
本题考查余弦函数的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．
2．C
【分析】
由已知 ，可得 0，根据平面向量的数量积坐标运算公式，可得一个关于m的方程，解方程可得m值．
【详解】
∵ ，
又∵ ，
∴ 0
即﹣1×3+2m＝0
即m
故选C．
【点睛】
本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据两个向量垂直，数量积为0，构造关于m的方程，是解答本题的关键．
3．C
【分析】
由特殊角的三角函数值结合在△ABC中，可求得A的值；
【详解】
，
又∵A∈（0，π），
∴ ．
故选C.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值及三角形中角的范围，属于基础题.
A． B． C． D．
4．已知 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则 的值为()
A．－3B．2C．－3或2D．3
5．若 , , ,则a,b,c之间的大小关系是()
A．c>b>aB．c>a>bC．a>c>bD．b>a>c
6．实数 ， ， 的大小关系正确的是()
A． B． C． D．
7．函数 的单调增区间是（）
故选 ．
【点睛】
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论思想方法，属于基础题．
9．B
【分析】
根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得 ，再由球的表面积公式，即可求解．
【详解】
设球的半径为 ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得 ，解得 ，所以球的表面积为 .
故选B
【点睛】
本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
10．A
【解析】
【分析】
表示直线上的点到原点的距离，利用点到直线的距离公式求得最小值.
【详解】
依题意可知 表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为 ，故选A.
A． B． C． D．
12．形如 的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字,故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数 ( 且 )有最小值,则当 时的“囧函数”与函数 的图象交点个数为
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知 对于任意x,y均有 ,且 时， ，则 是_____（填奇或偶）函数
14．化简： =____________
【分析】
分类讨论：两条直线的斜率存在与不存在两种情况，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可．
【详解】
解：①当 时，利用直线的方程分别化为： ， ，此时两条直线相互垂直．
②如果 ，两条直线的方程分别为 与 ，不垂直，故 ；
③ ，当 时，此两条直线的斜率分别为 ， ．
两条直线相互垂直，
，化为 ，
综上可知： ．
A． B．
C． D．
8．若直线 与直线 互相垂直,则 等于( )
A．1B．-1C．±1D．-2
9．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）
A． B． C． D．都不对
10．已知实数满足 ,那么 的最小值为( )
A． B． C． D．
11．已知 且 ，函数 ，满足对任意实数 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（）
【全国百强校】河北省武邑中学【最新】高一上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算cos(－780°)的值是()
A．－ B．－ C． D．
2．已知 ，若 ，则 （）
A．1B．2C． D．4
3．在 中，如果 ，则角 （）
15．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆的标准方程为_____________________.
16．两圆x2+y2+6x-4y+9=0和x2+y2-6x+12y-19=0的位置关系是___________________.
三、解答题
17．已知集合 ,
（1）当 时，求 ；
（2）若集合 是集合A的子集,求实数 的取值范围.
18．设 是实数，源自文库
（1）证明：f(x)是增函数；
（2）试确定 的值，使f(x)为奇函数。
19．已知向量m＝(cos ，sin )，n＝(2 ＋sinx，2 －cos )，函数 ＝m·n，x∈R.
(1)求函数 的最大值；
(2)若 且 ＝1，求 的值.
20．求同时满足条件：①与 轴相切，②圆心在直线 上，③直线 被截得的弦长为 的圆的方程．