最新同济大学高数试卷 大一下学期 期末考试

同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷

一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案）

1、下列微分方程为一阶线性方程的是： 【 D 】 :A '1yy =； :B 'e 1y

y +=； :C 2

'y y y +=； :D 2

'y y x =+。 2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=，且()

0a b c ⨯⋅=，则k = 【 B 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。

3、若向量()1,2,a k =-在向量()2,1,2b =-上的投影为2-，则k = 【 C 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。

4、设e cos x x z x y y =+

-，则z

y

∂=∂ 【 A 】 :A 2e sin x x y y -

+； :B 21e sin x x y y -+； :C 21e sin x y y -+； :D 2e sin x x y y

-。 5、交换二次积分的次序：()2

220d ,d y

y y

f x y x =⎰⎰

【 A 】

()4

2

:

d ,d x A x f x y y ⎰

⎰； ()4

:d ,d x

B x f x y y ⎰；

()2220

:d ,d x x

C x f x y y ⎰⎰； ()2

:d ,d x

D x f x y y ⎰。

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =()

12e cos sin x c x c x +.

7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-，若,x a x b ⊥⊥，且7x =。则向量x =()3,2,6±。

8、空间直线240

329x y z x y z -+=⎧⎨

--=⎩在xoy 面上的投影直线方程为：

7990x y z -=⎧⎨

=⎩

。

9、设函数()2z f x y =-，其中函数f 具有二阶导数，则

2z

x y

∂=∂∂()

2"2f x y --。

三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出具体解题过程） 10、求微分方程：2d 1d y

x

y x

-= 的通解。 [2d d 1y x y x =+⎰⎰()tan ln y x c ⇒=+] 11、一平面过原点及点()6,3,2-，且与另一平面428x y z -+=垂直，求平面方程。

[()()()6,3,24,1,24,4,6n =-⨯-=--2230x y z ⇒+-=]

12、已知函数(),z z x y =由()()ln 1sin z z xy =++所确定，求d z 。

[()()

()1cos d d d z xy z y x x y z

+=+]

13、求函数()()2

2

,4f x y x y x y =---的极值点。

[420420x y

f x f y =-=⎧⎨

=--=⎩2

2x y =⎧⇒⎨

=-⎩,20,0,2;0A B C =-<==-∆<,(2,2)-为极大值点] 14、计算二重积分：sin d d D

y

I x x y x =

⎰⎰，其中D 由直线,0y x y ==和1x =所围。 [10

d sin d x

y I x x y x =

⎰⎰

12

00cos d x

y x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣

⎦⎰()1201cos1d x x =-⎰()11cos13=-]

15、计算二重积分：d d D

I x x y =

⎰⎰，其中(){}

()2

22,,00D x y x

y a y a =+≤≥>。

[π20

2

d cos d a

I θρθρρ=⋅⎰

⎰π

320

2cos d 3a θθ=⎰

32

3

a =] 四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出具体解题过程） 16、求微分方程：()

()21d 2cos d 0x y xy x x -+-= 满足初始条件：01x y == 的特解。

[222cos '11x x y y x x +

=--()2

1'cos x y x ⎡⎤⇒-=⎣⎦,2sin 1x c y x +=-,1c =-,2sin 11

x y x -=-] 17、求函数：2z x y =+ 在椭圆 2

212

x y += 上的最值。 [2

22(1)2x L x y y λ=+++-,222012022x y x y λλ+=⎧⎪

+=⎨⎪+=⎩

,41(,)33

,41(,)33--,max min 3;3z z ==-]

18、球面2222x y z a ++=含在柱面()222

0x y b b a +=<<内部分的面积恰为全球面积的

一半，求 b 。

[222

2

d x y b S x y +≤=⎰⎰

(4πa a =22πa

=2

b a ⇒=

]