最新同济大学高数试卷 大一下学期 期末考试
同济大学大一高等数学期末试题精确答案
课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）-1 .2．交 换ln 10(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =___I =10(,)y e e dy f x y dx ⎰⎰__________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为→→→-+-k j i 242 .4. 已知0!n xn x e n ∞==∑，则xxe -=1(1)!n n n x n +∞=-∑ . 5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 (2,2).三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x=, 求z x ∂∂,zy ∂∂.解：222y x y x z +-=∂∂; (3分)99or -解：)3(31)(-+=x x f =33(1131-+⋅x , ( 2分) 因为 ∑∞=+=-011)1(n n n x x ，)1,1(-∈x ,所以∑∞=-⋅-=-+⋅033(31)1(33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ,其中1331<-<-x ，即60<<x .( 5分)当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3(31()1(n n n n x ，)6,0(∈x ， ( 7分)5．（本小题满分7分）求由方程08822222=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值。
高等数学同济下册期末考试题及答案套
大学高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（。
6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小； （D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ∂∂+∂∂等于（） （A ）y x +；（B ）x ；(C)y ；(D)0。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I等于（） （A ）4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰200102sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。
同济大学大一高等数学期末试题精确答案
同济大学大一高等数学期末试题精确答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B xln ln ln .ln x xy yC yydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分） 1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x=, 求z x ∂∂,z y∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量132l i j =+方向的方向导数。
同济大学大一高等数学期末试题精确答案
课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）C 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在D 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．C 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．题 号（型）一二三四 核分人 得 分总分评卷人B 4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定A 5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z =-1 .2．交 换ln 1(,)e xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =___I =1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰__________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为→→→-+-k j i 242 .4. 已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -=1(1)!n n n x n +∞=-∑ . 5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 (2,2).三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctany z y x=, 求z x ∂∂,z y ∂∂.解：222yx y x z +-=∂∂; (3分)y z ∂∂=x y arctan +22y x xy +2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =r满足：00023232x y z ==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- ( 4分)， 法线方程分别为：112232x y z +-+==-或者112232x y z -+-==- ( 6分)3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+r r r方向的方向导数。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)之欧阳文创编
高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr rd d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ； （C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。
同济大学大一 高等数学期末试题 精确答案
课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）C 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在D 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．C 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则题 号（型）一二三四 核分人得 分总分评卷人(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．B 4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定A 5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z =-1 .2．交 换ln 10(,)e xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =___I =1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰__________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为→→→-+-k j i 242 .4.已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -=1(1)!n n n x n +∞=-∑ .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 (2,2).三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x =, 求z x ∂∂,z y∂∂. 解：222yx y x z +-=∂∂; (3分)y z ∂∂=x y arctan +22y x xy +2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =r满足：00023232x y z ==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- (4分)， 法线方程分别为：112232x y z +-+==-或者112232x y z -+-==- ( 6分)3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+r r r方向的方向导数。
高等数学同济版下册期末考四套试题及答案
高等数学同济版下册期末考四套试题及答案高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、$z=\log_a(x+y)$ $(a>0)$的定义域为$D=\{(x,y)|x+y>0\}$。
2、二重积分$\iint_{|x|+|y|\leq1}2\ln(x+y)dxdy$的符号为正。
3、由曲线$y=\ln x$及直线$x+y=e+1$，$y=1$所围图形的面积用二重积分表示为$\iint_D dxdy$，其值为$e-2$。
4、设曲线$L$的参数方程表示为$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$$(\alpha\leqx\leq\beta)$，则弧长元素$ds=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}dt$。
5、设曲面$\Sigma$为$x+y=9$介于$z=0$及$z=3$间的部分的外侧，则$(x+y+1)ds=\iint_{\Sigma}(x+y+1)dS=27$。
6、微分方程$\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$的通解为$y=\varphi(x,c)$，其中$c$为任意常数，$\varphi(x,c)$是微分方程的一族特解。
7、方程$y^{(4)}+y'''-4y=0$的通解为$y=c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3\cos x+c_4\sin x-\dfrac{1}{2}x\cos x$。
8、级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n(n+1)}{2}$的和为$\dfrac{1}{6}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(n+2)$，再利用$\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(n+2)=\dfrac{1}{4}\sum\limits _{n=1}^{\infty}n(n+1)(2n+1)$，最终得到$\dfrac{1}{12}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(2n+1)(n+1)=\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 4=\dfrac{1}{3}$。
同济大学高数试卷大一下学期期末考试
同济大学2021-2021学年第二学期高等数学C(下)期终试卷一、选择题.〔此题共有5小题，每题3分，总分值15分，每题只有一个正确答案〕1、以下微分方程为一阶线性方程的是：【D】y A:yy'1；B:y'e1；C:2y'yy；D:2y'yx。
2、假设向量a2,1,0,b1,1,2,c0,1,2k，且abc0，那么k【B】A；B:2；C:3；D:4。
:13、假设向量a1,2,k在向量b2,1,2上的投影为2，那么k【C】A；B:2；C:3；D:4。
:1xx 4、设ecoszxyy，那么zy【A】A:xx2esinyy ；B:xx1esin2yy ；C:12yxesin y ；D:xx2esinyy 。
5、交换二次积分的次序：22yd,dyfxyx【A】20y4xA:dxfx,ydy；x2x4Bx2fxyy；:d,dBx2fxyy；0x22x Cxfxyy；:d,d20x22x Dxfxyy。
:d,d0x二、填空题〔此题共4小题，每题4分，总分值16分，只需将答案填入空格〕6、微分方程y"2y'2y0的通解为y x ecossincxcx.127、设向量a2,3,2,b2,3,0，假设xax,b，且x7。
那么向量x3,2,6。
8、空间直线2x4yz03x y2z9在xoy面上的投影直线方程为：7x9y9z0。
9、设函数zf2xy，其中函数f具有二阶导数，那么2zxy2f"2xy。
1三、解答题〔此题共有6小题，每题7分，总分值42分，需写出具体解题过程〕10、求微分方程：dyxydx2 1的通解。
[1d ydx2yxyxc]tanln11、一平面过原点及点6,3,2，且与另一平面4xy2z8垂直，求平面方程。
[n6,3,24,1,24,4,62x2y3z0]12、函数zzx,y由zlnz1sinxy所确定，求d z。
[z1cosxydzydxxdyz]13、求函数22fx,y4xyxy的极值点。
高等数学同济下册期末考试题及答案套
大学高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y 的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学学科试卷（完成时间：120分钟 满分，150分）一､填空题（本题满分54分，共12小题，第1—6题每题4分，7—12题每题5分）1. 已知向量，满足，则______.2.，则__.3. 已知复数满足，则______________.4. 函数的单调递减区间是_________________.5. 已知，，则在上的投影向量为________．6. 已知，则______．7. 已知，是第三象限角，则_____.8. 若，则__________.9. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有__________.①有2个极值点②处取得极小值③有极大值，没有极小值④在上单调递增在()1,2a =r ()3,b k = a b ⊥ k =tan 3α=sin cos sin cos αααα-=+z (1i)13i z +=+||z =3cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1,0a =()1,1b =a b()cos 2f x x =()f x '=3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=βπsin 4β⎛⎫-=⎪⎝⎭1(1)2f '=0(12)(1)lim k f k f k →--=()y f x =()f x '()f x ()f x 1x =()f x ()f x (),3∞-10. △ABC 中，D 为AB 中点，，则___．11. 已知，则满足的实数的取值范围是__________.12. 莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊的曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为______.二､选择题（本题满分18分，共4小题，13､14每题4分，15､16每题5分）13. 下列各组向量中，可以作为基底是（ ）A. B. C. D. 14. 都是复数，则下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. C. D. 则15. 已知非零向量，满足，且，则为（ ）A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形16. 已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（ ）A. 当时，可作两条切线，则b 的值为B. 当，时，可作两条切线的的4,2AB AC ==2BE EC = CD AE ⋅=()43sin f x x x=-+()()290f a f +->a ABC A B ，P ()PA PA PB PC⋅++()()121,2,2,3e e ==()()123,2,6,4e e =-=-()()120,0,1,3e e ==-()()121,1,2,2e e ==12,z z 22120z z +=120z z ==2211=z z 1212z z z z ⋅=⋅11z <111z -<<AB AC AB BC AC CB AB AC⋅⋅= 12AB AC AB AC ⋅=ABC V ()ex xf x =(),a b ()f x 02a <<24ea-2a =0b >C. 当，时，有且仅有一条切线D. 当时，可作三条切线，则三､解答题（本大题满分78分，共5小题）17. 实系数一元二次方程有虚根，另一根为.（1）求实数的值；（2）求的值.18. 已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最小值.19. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）求函数的极值.20. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上.岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上.设，.（1）用，表示，；（2）如果，海里，且，求岛屿到补给站的距离以及岛屿到的距离.21. 已知集合，为坐标原点，若，，0a =24e b =0a =240eb <<20x px q ++=1α=-+β,p q 22αβ+()2cos 222x x x f x =⋅+()f x ()f x []π,0-()21xx x f x e+-=()y f x =()()0,0f ()y f x =ABC V D E F A D A B 25A C E F C BC CB a = CA b =a b EF CD60ACB ∠=︒20AC =CD EF ⊥C D CDA B AB(){}**2,,,S a a x y x y ==∈∈N N O ()11,OA x y = ()22,OB x y =、，定义点、之间距离为.（1）若，，，求的值；（2）记，若（为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、；（3）若，试判断“存在，使”是“”的什么条件？并证明.的OA 2OB S ∈A B ()1212,d A B x x y y =-+-()3,2OA =()1,OB x = (),3≤d A B x ()21,1OI S =∈()(),,d I A d I B p ==p (),d A B OA OB()332,OC x y S =∈ 0λ>AB BC λ= ()()(),,,+=d A B d B C d A C上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学学科试卷 答案一､填空题（本题满分54分，共12小题，第1—6题每题4分，7—12题每题5分）【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】##【3题答案】【4题答案】【答案】【5题答案】【答案】【6题答案】【答案】【7题答案】【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】③④【10题答案】【答案】0【11题答案】【答案】【12题答案】32-120.5,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11(,)222sin 2x -1-()3,3-【答案】二､选择题（本题满分18分，共4小题，13､14每题4分，15､16每题5分）【13题答案】【答案】A 【14题答案】【答案】C 【15题答案】【答案】D 【16题答案】【答案】D三､解答题（本大题满分78分，共5小题）【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）； （2.【19题答案】【答案】（1）；（2）极小值为，极大值为.【20题答案】【答案】（1）；（2）；【21题答案】【答案】（1）、、；（2）最大值为，可取，；（3）充分不必要条件，证明略.的18-2,4p q ==4-2π1210x y --=e -25e1132EF a b =- 2355CD a b =+CD = AB =123(),d A B 2p ()1,1OA p =+ ()1,1OB p =+。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)
高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰22013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
上海市同济大学第一附属中学2024届数学高一下期末联考试题含解析
上海市同济大学第一附属中学2024届数学高一下期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知向量1a =，2b =，a ，b 的夹角为45°，若c a b =+，则a c ⋅=（ ） A ．2B ．322C ．2D ．32．已知实数,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不．一定成立的是（ ） A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．()0ac a c -<D ．22cb ab <3．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( ) A ．12倍 B ．2倍 C ．24倍 D ．22倍 4．已知三条相交于一点的线段,,PA PB PC 两两垂直且,,A B C 在同一平面内，P 在平面ABC 外、PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心5．如图，在ABC ∆中，,,4AB a AC b BC BD ===，用向量a ，b 表示AD ，正确的是A ．1144AD a b =+ B ．5144AD a b =+C ．3144AD a b =+ D ．5144AD a b =- 6．角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于 （ ） A ．55B ．255C ．55-D ．255-7．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则必有（ ） A ．0AD = B ．0AB =或0AD = C ．ABCD 是矩形D ．ABCD 是正方形8．某校进行了一次消防安全知识竞赛，参赛学生的得分经统计得到如图的频率分布直方图，若得分在[40,60)的有60人，则参赛学生的总人数为（ ）A ．100B ．120C ．150D ．2009．已知集{}1()22xA x =<，集合{}2B x x =<，则A B =A ．(-2,-1)B ．(-1,0)C ．(0,2)D ．(-1,2)10．已知函数257lg 66y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点是1tan x α=和2tan x β=（,αβ均为锐角），则αβ+=（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案）1、下列微分方程为一阶线性方程的是： 【 D 】 :A '1yy =； :B 'e 1yy +=； :C 2'y y y +=； :D 2'y y x =+。
2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=，且()0a b c ⨯⋅=，则k = 【 B 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。
3、若向量()1,2,a k =-在向量()2,1,2b =-上的投影为2-，则k = 【 C 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。
4、设e cos x x z x y y =+-，则zy∂=∂ 【 A 】 :A 2e sin x x y y -+； :B 21e sin x x y y -+； :C 21e sin x y y -+； :D 2e sin x x y y-。
5、交换二次积分的次序：()2220d ,d yy yf x y x =⎰⎰【 A 】()42:d ,d x A x f x y y ⎰⎰； ()4:d ,d xB x f x y y ⎰；()2220:d ,d x xC x f x y y ⎰⎰； ()2:d ,d xD x f x y y ⎰。
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =()12e cos sin x c x c x +.7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-，若,x a x b ⊥⊥，且7x =。
则向量x =()3,2,6±。
8、空间直线240329x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩在xoy 面上的投影直线方程为：7990x y z -=⎧⎨=⎩。
9、设函数()2z f x y =-，其中函数f 具有二阶导数，则2zx y∂=∂∂()2"2f x y --。
三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出具体解题过程） 10、求微分方程：2d 1d yxy x-= 的通解。
[2d d 1y x y x =+⎰⎰()tan ln y x c ⇒=+] 11、一平面过原点及点()6,3,2-，且与另一平面428x y z -+=垂直，求平面方程。
[()()()6,3,24,1,24,4,6n =-⨯-=--2230x y z ⇒+-=]12、已知函数(),z z x y =由()()ln 1sin z z xy =++所确定，求d z 。
[()()()1cos d d d z xy z y x x y z+=+]13、求函数()()22,4f x y x y x y =---的极值点。
[420420x yf x f y =-=⎧⎨=--=⎩22x y =⎧⇒⎨=-⎩,20,0,2;0A B C =-<==-∆<,(2,2)-为极大值点] 14、计算二重积分：sin d d DyI x x y x =⎰⎰，其中D 由直线,0y x y ==和1x =所围。
[10d sin d xy I x x y x =⎰⎰1200cos d xy x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰()1201cos1d x x =-⎰()11cos13=-]15、计算二重积分：d d DI x x y =⎰⎰，其中(){}()222,,00D x y xy a y a =+≤≥>。
[π202d cos d aI θρθρρ=⋅⎰⎰π3202cos d 3a θθ=⎰323a =] 四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出具体解题过程） 16、求微分方程：()()21d 2cos d 0x y xy x x -+-= 满足初始条件：01x y == 的特解。
[222cos '11x x y y x x +=--()21'cos x y x ⎡⎤⇒-=⎣⎦,2sin 1x c y x +=-,1c =-,2sin 11x y x -=-] 17、求函数：2z x y =+ 在椭圆 2212x y += 上的最值。
[222(1)2x L x y y λ=+++-,222012022x y x y λλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,41(,)33,41(,)33--,max min 3;3z z ==-]18、球面2222x y z a ++=含在柱面()2220x y b b a +=<<内部分的面积恰为全球面积的一半，求 b 。
[2222d x y b S x y +≤=⎰⎰(4πa a =22πa=2b a ⇒=]2009—2010学年第二学期《高等数学C 》(下) 重修一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案） 1、微分方程'y y =的通解为： 【 C 】:A e x y =； :B e xy c =+； :C e xy c =； :D e cxy =。
2、若向量()()1,2,3,2,,6a b k ==，且a b ⊥，则k = 【 D 】 :0A ； :4B ； :6C -； :10D -。
3、计算向量：()()23a b a b -⨯+= 【 B 】 ():5A a b ⨯； ():7B a b ⨯； ():5C b a ⨯； ():7D b a ⨯。
4、设e lnxyx z y =+，则zx∂=∂ 【 A 】 :A 1e xyy x +； :B 1e xy y x -； :C 11e xy x y +-； :D e xyy y x+。
5、二重积分：()222213d d x y xy x y +≤+=⎰⎰ 【 A 】:πA ； :2πB ； :3πC ； :4πD 。
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"0y y -=的通解为y =12e e x xc c -+.7、到平面1z =和到原点的距离相等的点的轨迹方程为：2221x y z ++=。
8、曲面：()2222220a z x a y --= 在点()(),,0a a a a ≠处的切平面方程为：0x y z a --+=。
9、设函数(),y xz f x y=，其中函数(),f u v 可微，则z y∂=∂112ln ''y x x y f xy f -⋅+。
三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出解题过程） 10、求微分方程：d 1d y yx x=+ 的通解。
解： '1y y x -= 1'y x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ ln y x c x =+ ()ln y x x c =+11、已知三点()()()2,3,1,2,1,1,6,3,1A B C --，求点A 到直线BC 的距离。
解： ()()0,2,2,4,2,0BA BC == BA BC d BC⨯===12、已知函数(),z z x y =由e 3zz xy -+=所确定，求,z z x y∂∂∂∂。
解： 令e 3zF z xy =-+- ,,e 1z x y z F y F x F ===-,1e 1e z zz y z x x y ∂∂==∂-∂- 13、求函数22222(,)()2()f x y x y x y =+--的极值点。
解： 22224()404()40x y f x x y x f y x y y ⎧=+-=⎪⎨=++=⎪⎩ 驻点为：()()()0,0,1,0,10-，22221244,8,4124xx xy yy f x y f xy f x y =+-==++,有极小值点:()1,0和()1,0-14、计算积分：2220d )d x x y y +⎰。
解： π2cos 220d d I θθρρρ=⋅⎰⎰π4204cos d θθ=⎰ 3π4=15、计算二重积分：22d x y xx y +≤⎰⎰。
解：0I x y =⎰1x =⎰12204(1)d t t t =-⎰815= 四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出解题过程） 16、求微分方程："'1y y += 的通解。
解：200,1λλλ+=⇒=- *y Ax = 1A = 12e x y c c x -=++17、求抛物面22z x y =+到平面10x y z +++=的最近距离。
解： 令222(1)()L x y z x y z λ=+++++-()()()2221202120210x x x L x y z x L x y z y L x y z z x y λλλ⎧=++++=⎪=++++=⎪⎨=+++-=⎪⎪=+⎩11,22x y z ==-=min 111,,)2226d --==18、求由曲面：22z x =-与222z x y =+ 所围的立体体积。
解： (){}22,1xy D x y xy =+≤222[2(2)]d d xyD V x x y x y =--+⎰⎰2π1200d (22)d θρρρ=-⎰⎰112π2()24=⨯⨯-π=*()'2,10'y xy y x yy -==+ ()22arctan ln 0y x y x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦* 2'xy xy y +=* ()()3'321,00e 12xy y x y y x ⎡⎤=++=⇒=--⎣⎦* 22'y y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭* 'cot 3y x y +=-* "4'5cos y y y x ++= * ()()231d d 0x y y x x x ++++= * e lny xx z y =，求z x∂∂。
* ,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求22uy ∂∂。
* 设()z x yf z =+，其中f 可微，且()1'0yf z -≠，求d z 。
* 求曲线2223023540x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩在点()1,1,1处的切线。
* ()0211d ,d yy f x y x --⎰⎰《应聘》-5人搞笑小品剧本（爆笑)人物：2个考官，3个应聘者 （某公司招聘推销主管）应聘者：龙民：一个农业养殖户，泰有才：一个没有社会背景的高才生，贞有权：一个官家子弟。
泰有才（背这手，度着步子，抬着头思索状）：岁月不留人，时间飞逝过，如今的市场，我也来竞争贞有权（西装革履，大步走上）：根据本人的调查，在这个竞争日益激烈的市场，要求一份好的工作的确很难，同志们呐，为了生存我也来此应聘了。