人教版高数必修三第8讲：变量间的相关关系(教师版)

变量间的相关关系

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1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.

2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.

3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．

1．相关关系

(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的________性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．

(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从________角到________角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从________角到________角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关．

随机 左下 右上 左上 右下

两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．

2．线性相关

(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条________附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做_________．

(2)最小二乘法：求线性回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^

时，使得样本数据的点到它的________________最小的方法叫做最小二乘法，其中a ，b 的值由以下公式给出：

直线 回归直线 距离的平方和

其中，b ^

是回归方程的________，a ^

是回归方程在y 轴上的________．

ˆy

bx

斜率 截距 线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用．

类型一变量之间的相关关系的判断

例1：(1)下列变量之间的关系不是相关关系的是()

A ．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ，c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是判别式Δ＝b 2－4ac

B ．光照时间和果树亩产量

C ．降雪量和交通事故发生率

D ．每亩田施肥量和粮食亩产量

(2)现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x 与入学后的第一次数学成绩y ，数据如下：

请利用散点图判断这10名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系．

[解析](1)在A 中，若b 确定，则a ，b ，c 都是常数，Δ＝b 2－4ac 也就唯一确这了，因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B ，C ，D 是相关关系．故选A.

(2)两次数学考试成绩散点图如图所示，

由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，具有正相关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系．

练习1：对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()

A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关

B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关

C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关

D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 [答案]C 类型二回归直线方程

例2：随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x 与所支出的总费用y (万元)有如下的数据资料：

若由资料，知y 对x (1)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的回归系数a ^、b ^

；

(2)估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？ [解析]第一步，列表x i ，y i ，x i y i ；

第二步，计算x －，y －，∑i ＝1

n x 2i ，∑i ＝1

n y 2i ，∑i ＝1

n

x i y i ；

第三步，代入公式计算b ，a 的值； 第四步，写出回归直线方程． (1)利用公式：

⎩⎪⎨

⎪⎧

b ^

＝

i ＝1

n (x i －x －)(y i －y －

)

i ＝1

n (x i －x －)2

＝

∑i ＝1

n

x i y i －n x － y

－

∑

i ＝1

n

x 2i －nx －

2

a ^＝y －－

b ^

x －，

来计算回归系数．有时为了方便常列表，对应列出x i y i 、x 2i ，以利于求和．(2)获得线性回归方程后，取x ＝10，即得所求．