梁的变形与刚度计算
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梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于
下面三个因素：
材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EI） 2、调整跨长和改变结构 方法——同提高梁的强度的措施相同
(
)
F q
A
C a a
B
1、 按叠加原理求A点转角和C点挠 度. 解:(1)载荷分解如图 (2)由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形.
F
A
=
B
PA
Fa 2 4 EI
qa 3 EI
3
w PC
Fa 3 6 EI
+
q
A B
qA
wqC
5qa 4 24 EI
F q
A
3
4
Pl 48 EI Pl 16 EI 2 Pl 16 EI
2
3
ml 16 EI
ml 3EI ml 3EI
2
A
B
梁的刚度校核 一、梁的刚度条件
w
max
L
w L
max
1 1 w (对土建工程: ( ~ )) 250 1000 L
轴方向的线位移，称为该截面的挠度。
C B
A
x
y挠度
C'
y
B
挠度方程：一般各横截面的挠度是不相同的，是位置x的 函数，称为挠度方程，记做y=y（x）
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 2、转角（） ：横截面对其原来位置的角位移（横截面 绕中性轴转动的角度） , 称为该截面的转角。
梁的变形及刚度计算 一、基本概念（挠度、转角、挠曲线） 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ，横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵 向对称平面
x
A
y
B
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 1、挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x
用叠加法求梁的变形 叠加法的分类 直接叠加——梁上荷载可以化成若干个典型荷载， 每个典型荷载都可以直接查表求出位移，然后直 接叠加； 间接叠加——梁上荷载不能化成直接查表的若干 个典型荷载，需将梁进行适当转换后才能利用表 中结果进行叠加计算。
叠加原理： 若干类荷载所引起的变形 ( 挠度或转角 ) 各单一荷载引起的变形之和。
B
查表，得
y
C
y
4
Cq
y
Cm
l
q
A
2 5ql ml 384EI 16 EI
()
Bq
θ A θ Aq θ Am
3 ml ql 24 EI 3EI
Aq
m
A
C y cq
(
)
Bm
Am
C ycm
θ B θ Bq θ Bm
3 ml ql 24 EI 6 EI
各类单一荷载引起的变形，可以查表得出， 见表。
例题：一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图所示。 试按叠加原理求梁跨中点的挠度 yC 和支座处横截面
的转角 A 、 B 。
m
A C
q
B
l
m q
解：将梁上荷载分为两项 简单的荷载，如图b、c 所 示
A C
B
l
(b)
q
B
A
C
(C)
m
B
A
C
m q
A C
f 2 B f 2C 2C ( L a)
qa 4 f 2C 8EI z qa3 2C 6EI z
f2B qa 4 qa3 ( L a) 8EI z 6 EI z
c L (1) L a
f2c
B
B
2c
B B
A
q
c
(2)
由叠加原理
f B f1B f 2 B
B
A
C
x
挠曲线
C'
B
转角
y挠度
y
4、挠度和转角的符号约定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
挠曲线
C'
B
转角
y挠度
y
用叠加法求梁的变形
力的独立作用原理——在线弹性及小变形条件下， 梁的变形（挠度y和转角θ）与荷载始终保持线性关 系，而且每个荷载引起的变形与其他同时作用的荷 载无关。 叠加原理：梁在小变形、弹性范围内工作时， 梁 在几项荷载（可以是集中力, 集中力偶或分布力） 同时作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单 独作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向 ), 其转角是在同一平面内 ( 如均在 xy 平面 内 ) 时,则叠加就是代数和。
A C
B
x
C'
y
转角
y挠度
B
转角方程：一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的 函数，称为转角方程，记做= （x）
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
3、挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。 挠曲线方程为 y y ( x) ——挠度方程
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，y为该点的挠度。
3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到 一定的抵消作用）
例：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3，[ v ]= l／500，E=200GPa，
[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁
的许可载荷 [P]，并校核强度。
CL9TU40
解：由刚度条件
其中[]称为许用转角；[w/L]称为许用挠跨比。通常依此 条件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
w max L w L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度
、设计载荷：
常处于从属地位。特殊构件例外）
三、提高梁的刚度的措施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：
v max
得
Pl l [v ] 48EI 500
3
48 EI P 7.11 kN 2 500l
所以
[ P] 711 . kN
max
M max Pl 60MPa [ ] 4Wz Wz
所以满足强度条件。
C a a
B
PA
Fa 4 EI
qa 3 EI
3
2
w PC
Fa 6 EI
3
qA
wqC
F
A
5qa 24 EI
4
=
B
(3)叠加
A PA qA
a (3 F 4qa ) 12 EI 5qa 4 Fa 3 wC ( ) 24 EI 6 EI
2
+
q
A B
例题求图示梁截面B的挠度
q A EIz
a C
B
L
解法1：为了利用附录IV表中的结果，可将原荷载视 为图(1)和图(2)两种情况的叠加
q A EIz
a C
B
L L c q (2) B
q A c L (1) B A
a
q
f1B qL4 8EI z
A
图(2) CB段M=0，所以CB为直线
qL4 qa 4 qa3 ( L a) 8EI zΒιβλιοθήκη Baidu8EI z 6EI z
q 6 EI z 3L4 a4 3 4 La 4
例：用叠加法求 vC 、 A 、 B
CL9TU20
解：
vC
5q l 384 EI ql 24 EI 3 ql 24 EI
下面三个因素：
材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EI） 2、调整跨长和改变结构 方法——同提高梁的强度的措施相同
(
)
F q
A
C a a
B
1、 按叠加原理求A点转角和C点挠 度. 解:(1)载荷分解如图 (2)由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形.
F
A
=
B
PA
Fa 2 4 EI
qa 3 EI
3
w PC
Fa 3 6 EI
+
q
A B
qA
wqC
5qa 4 24 EI
F q
A
3
4
Pl 48 EI Pl 16 EI 2 Pl 16 EI
2
3
ml 16 EI
ml 3EI ml 3EI
2
A
B
梁的刚度校核 一、梁的刚度条件
w
max
L
w L
max
1 1 w (对土建工程: ( ~ )) 250 1000 L
轴方向的线位移，称为该截面的挠度。
C B
A
x
y挠度
C'
y
B
挠度方程：一般各横截面的挠度是不相同的，是位置x的 函数，称为挠度方程，记做y=y（x）
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 2、转角（） ：横截面对其原来位置的角位移（横截面 绕中性轴转动的角度） , 称为该截面的转角。
梁的变形及刚度计算 一、基本概念（挠度、转角、挠曲线） 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ，横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵 向对称平面
x
A
y
B
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 1、挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x
用叠加法求梁的变形 叠加法的分类 直接叠加——梁上荷载可以化成若干个典型荷载， 每个典型荷载都可以直接查表求出位移，然后直 接叠加； 间接叠加——梁上荷载不能化成直接查表的若干 个典型荷载，需将梁进行适当转换后才能利用表 中结果进行叠加计算。
叠加原理： 若干类荷载所引起的变形 ( 挠度或转角 ) 各单一荷载引起的变形之和。
B
查表，得
y
C
y
4
Cq
y
Cm
l
q
A
2 5ql ml 384EI 16 EI
()
Bq
θ A θ Aq θ Am
3 ml ql 24 EI 3EI
Aq
m
A
C y cq
(
)
Bm
Am
C ycm
θ B θ Bq θ Bm
3 ml ql 24 EI 6 EI
各类单一荷载引起的变形，可以查表得出， 见表。
例题：一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图所示。 试按叠加原理求梁跨中点的挠度 yC 和支座处横截面
的转角 A 、 B 。
m
A C
q
B
l
m q
解：将梁上荷载分为两项 简单的荷载，如图b、c 所 示
A C
B
l
(b)
q
B
A
C
(C)
m
B
A
C
m q
A C
f 2 B f 2C 2C ( L a)
qa 4 f 2C 8EI z qa3 2C 6EI z
f2B qa 4 qa3 ( L a) 8EI z 6 EI z
c L (1) L a
f2c
B
B
2c
B B
A
q
c
(2)
由叠加原理
f B f1B f 2 B
B
A
C
x
挠曲线
C'
B
转角
y挠度
y
4、挠度和转角的符号约定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
挠曲线
C'
B
转角
y挠度
y
用叠加法求梁的变形
力的独立作用原理——在线弹性及小变形条件下， 梁的变形（挠度y和转角θ）与荷载始终保持线性关 系，而且每个荷载引起的变形与其他同时作用的荷 载无关。 叠加原理：梁在小变形、弹性范围内工作时， 梁 在几项荷载（可以是集中力, 集中力偶或分布力） 同时作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单 独作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向 ), 其转角是在同一平面内 ( 如均在 xy 平面 内 ) 时,则叠加就是代数和。
A C
B
x
C'
y
转角
y挠度
B
转角方程：一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的 函数，称为转角方程，记做= （x）
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
3、挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。 挠曲线方程为 y y ( x) ——挠度方程
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，y为该点的挠度。
3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到 一定的抵消作用）
例：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3，[ v ]= l／500，E=200GPa，
[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁
的许可载荷 [P]，并校核强度。
CL9TU40
解：由刚度条件
其中[]称为许用转角；[w/L]称为许用挠跨比。通常依此 条件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
w max L w L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度
、设计载荷：
常处于从属地位。特殊构件例外）
三、提高梁的刚度的措施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：
v max
得
Pl l [v ] 48EI 500
3
48 EI P 7.11 kN 2 500l
所以
[ P] 711 . kN
max
M max Pl 60MPa [ ] 4Wz Wz
所以满足强度条件。
C a a
B
PA
Fa 4 EI
qa 3 EI
3
2
w PC
Fa 6 EI
3
qA
wqC
F
A
5qa 24 EI
4
=
B
(3)叠加
A PA qA
a (3 F 4qa ) 12 EI 5qa 4 Fa 3 wC ( ) 24 EI 6 EI
2
+
q
A B
例题求图示梁截面B的挠度
q A EIz
a C
B
L
解法1：为了利用附录IV表中的结果，可将原荷载视 为图(1)和图(2)两种情况的叠加
q A EIz
a C
B
L L c q (2) B
q A c L (1) B A
a
q
f1B qL4 8EI z
A
图(2) CB段M=0，所以CB为直线
qL4 qa 4 qa3 ( L a) 8EI zΒιβλιοθήκη Baidu8EI z 6EI z
q 6 EI z 3L4 a4 3 4 La 4
例：用叠加法求 vC 、 A 、 B
CL9TU20
解：
vC
5q l 384 EI ql 24 EI 3 ql 24 EI