连续型随机变量及其概率密度

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1 -x (3) F ( x) e dx - 2 1 x x 1 x 当x<0时， F ( x) e dx e 2 - 2 当x≥0时, 1 x -x 1 0 x 1 x -x 1 -x F ( x) e dx e dx e dx 1 - e 2 - 2 - 2 0 2
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第17页
2. 指数分布
设连续型随机变量X具有概率密度
x 1 - x0 e f ( x) 0 x0 则称X服从参数为θ 的指数分布。记作X~E(θ).
其分布函数为
F ( x) P( X x)
x - x 1 - e f (t )dt 0
f ( x)dx
a b
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第8页
离散型
1. 分布列: pn = P(X=xn)
2. F(x) =
xi x
连续型
1. 密度函数 X ~ p(x) 2. F ( x) p(t )dt
- x
P( X x )
i
3.
F(a+0) = F(a);
dt
0
x
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第23页
2. 正态分布的密度函数f(x)的图形的性质
1 f ( x) e 2 ( x- )2 2 2
,- x
(1) f(x) 关于 是对称的. 在 点 p(x) 取得最大值. (2) 若 固定, 改变, f(x)左右移动, 形状保持不变.
x0 x0
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第18页
指数分布的另一种表示形式 若随机变量X的密度函数为
e - x , f ( x) 0,
x0 x0
f ( x)
0
x
其中λ＞0是常数，则称X服从参数 为λ的指数分布。记作X~E(λ). 分布函数为
1 - e - x , F ( x) 0, x0 x0
f(x) σ 小 0 μ x
σ大 (3) 若 固定, 改变, 越大曲线越平坦; 越小曲线越陡峭.
Baidu Nhomakorabea
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第24页
标准正态分布N(0, 1)
密度函数记为 (x), 分布函数记为 (x).
( - x )
2
(x)
1. 定义 若X的概率密度为
1 f ( x) e 2
( x- )2 2 2
,- x
其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服 从参数为μ,σ2的正态分布或高 斯（Gauss）分布。记作 X～ N（μ,σ2） 分布函数为：
F(x)
F ( x)
x
1 2
-
e
( x- )2 2 2
求 F(x).
解：
0, x -1 x2 x 1 , -1 x 0 2 2 F ( x) 2 x - x 1 , 0 x 1 2 2 1, 1 x
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第13页
练习3
设X与Y同分布，X的密度为 已知事件 A = { X > a } 8 x2 , 0 x 2 3 f ( x) 和 B ={ Y > a } 独立， 其他 0, 且 P(AB)=3/4, 求常数 a .
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例4 假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位： h）服从指数分布，其概率密度为
0.002e-0.002 x， x 0 f ( x) ， x0 0 （1）该热水器在100 h内需要维修的概率是多少？ （2）该热水器能正常使用600 h以上的概率是多少？
解 （1） {在100 h以内需要维修} P( X 100} P
P{a X b} F (b) - F (a - 0)
f(x)
P(a X b) F (b - 0) - F (a)
0
x
x -
P(a X b) F (b - 0) - F (a - 0)
F ( x) P{ X x} f ( x)dx
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
解：
(1) k =3. (2)
1 - e-3 x , x 0, F ( x) x 0. 0,
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第12页
练习2
1 x, 设 X ~ f ( x ) 1 - x, 0,
-1 x 0 0 x 1 其 它
a b
(4) 在f(x)的连续点处有：
f ( x) F ' ( x)
(5) 连续型随机变量的分布函数F(x)不仅右连续，而 且是连续函数。 (6) 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0. 由性质(6)可得：
P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第1页
分布函数
F(x)=P{X≤x}
( -∞< x <+∞ )




P{X≤b}=F(b) P{X>a}=1 - P{X≤a}=1-F(a)
x
P{a X b} F (b) - F (a)
P{ X a} F (a) - F (a - 0)
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第14页
2.3.2 常见的连续型随机变量的分布 1 、均匀分布 如果随机变量X的概率密度为
1 , a xb f ( x) b - a 0, 其它
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。记为 X～U[a,b] d d 1 d -c 由P{c x d } f ( x)dx dx c c b-a b-a 可知X落在[a,b]内任一小区间[c,d]内的概率与该小区间 的长度成正比，而与该小区间的位置无关．
x
1 x x0 2 e , 即X的分布函数为 F ( x) 1 - 1 e - x , x 0 2
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
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练习1
ke-3 x , 设 X ~ f ( x) 0,
x 0, x 0.
求 (1) 常数 k.
(2) F(x).
F ( x) P{X x} f (t )dt
- x
则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数， 简称为概率密度或密度函数或密度。 二、性质 (1) f(x)≥0
(2)


-
f ( x)dx 1
1

x
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第7页
二、性质
(3) P{a X b} f ( x)dx
P(a<Xb) = F(b)-F(a).
4. P(X=a) = 0 5. F(x)为连续函数。 F(a-0) = F(a).
4. 点点计较 5. F(x)为阶梯函数。 F(a-0) F(a).
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§2.3 连续型随机变量及其概率密度
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例1 设随机变量的概率密度函数为 (x)=Ae-|x|（ -<x<+ ） 试求: (1) 常数A ；(2) P{0<X<2}；(3) 分布函数F(x). 解 (1) 由
解： 记 A = { X > 3 }, 则 P(A) = P( X> 3) = 2/3 设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,
则 Y~ B(3, 2/3)，所求概率为 P(Y≥2) = P(Y=2)+P(Y=3) 2 3 0 2 2 1 3 2 1 C3 C3 =20/27 3 3 3 3
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3. 正态分布
正态分布是应用最广泛的一种连续 型分布. 德莫佛（De Moivre)最早发现了二 项分布的一个近似公式，这一公式被认 为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由高斯 (Gauss)加以推广，所以通常称为高斯 分布.
德莫佛
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
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第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
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下面根据这些数据绘制频率分布直方图．
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
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从频率直方图看出，该校16岁女生的身高的分布状况具有“中 间高、两头低”的特点，即身高在157.5cm至160.5cm的人数最多， 往左右两边区间内的人数越少，而且左右两边近似对称．
解: 因为 P(A) = P(B), 且由A、B 独立，得 P(AB) = P(A)+P(B)-P(A)P(B) = 2P(A) - [P(A)]2 = 3/4 从中解得: P(A)=1/2, 由此得 0<a <2 , 23 a3 2 因此 1/2 = P(A) = P( X > a ) x dx 1 a 8 8 3 从中解得 a 4
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为了了解中职学校女学生的身体发育情况，在某校16岁的女 生中，选出60名学生进行身高测量，结果如下（单位：cm） 167 154 159 166 169 159 156 166 162 158 159 156 166 160 164 160 157 151 157 161 158 158 153 158 164 158 163 158 153 157 162 162 159 154 165 166 157 151 146 151 158 160 165 158 163 163 162 161 154 165 162 162 159 157 159 149 164 168 159 153
F( x) 1
0
x
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
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指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电 子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间 都常假定服从指数分布．
特别：指数分布具有无忆性，即： P( X > s+t | X > s )=P( X > t )
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
函数． 如图， 在区间（a，b）内取值的概率 P(a b)恰好为 图中阴影部分的面积． 在区间（-∞，a）取值的概率 P( a) 恰好是位于曲线与x轴之间，直线x＝a左侧部分图形的面积．
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第6页
§2.3
连续型随机变量及其概率密度
一、定义 如果对于随机变量X的分布函数，存在非负 可积函数f (x) ，使对任意实数x，有
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第15页
分布函数为：
f ( x) a
F( x)
xa 0, x-a F ( x) a xb b - a xb 1,
b
x
a
b
x
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第16页
例3
X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立 观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.
样本容量越大，所分组数会相应越多，频率分布直方图中的小 矩形就变窄．设想如果样本容量无限增大，且分组的组距无限缩小， 那么频率分布直方图所有的小矩形的上端会无限地接近于一条光滑 曲线 y f ( x)，我们把这条曲线叫做概率密度曲线（如图）．
第2章
第5页 §2.3 连续型随机变量及其概率密度 概率密度曲线精确地反映了随机变量 在各个范围内取值 的规律．以这条曲线为图像的函数y＝f（x）叫做 的概率密度

100 0
100 -
f ( x)dx
0.002e-0.002 x dx 1 - e-0.2 0.1813
（2）P{能无故障使用600 h以上} P( X 600)

600
0.002e-0.002 xdx e-1.2 0.3012
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度

- -x
f ( x)dx 1 得：
0

-
Ae dx 2 A
e- x dx 2 A 1
故：A = 0.5；
1 2 -x 1 - e-2 (2) P{0 X 2} e dx 0.4323 2 0 2
第2章
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