解直角三角形的方法与技巧
解直角三角形的方法与技巧
解直角三角形常用解题方法与技巧 解直角三角形所涉及的知识面较广，题目灵活性、综合性较强，因而学习起来可能会有一定的困难，为帮助大家理解并掌握其中的解题方法与解题技巧，现结合实例归纳总结如下： 一、巧妙应变，走出解题陷阱 例1 如图①，在Rt △ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠A =90°，⑴、若a =15，b =12，求c ；⑵、若b =8，c=15，求a ．简析 由∠A =90°知，本题a 才是斜边，故应运用勾股定理222b c a +=求解．解 ⑴、∵∠A =90°，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∴222b c a +=，又∵c ＞0，∴222215129c a b =-=-=．⑵、由⑴知222b c a +=，∴222281517a b c =+=+=．评注 解直角三角形问题，审题很重要，有时候稍一疏忽就有可能导致错解或者漏解的产生．本例在求解时正是注意到了斜边这一特殊边长的变化从而避免了解题错误的发生．二、巧设参数，化繁难为简易例2 如图②，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =45，求tan B 的值． 简析 要算tan B ，必须先求出直角边AC 、BC 的长，注意到题中只有“sin A =35”而没有给出相应线段的长，故考虑采用设参数的办法进行解决．解 设BC =4k ，则AB =5k （k ＞0）．∵在△ABC 中，∠C =90°，∴AC =2222(5)(4)3AB BC k k k -=-=，∴tan AC B BC ==3344k k =． 评注 对于已知特殊角而求三角函数值（或线段比值）的解直角三角形问题，有时候适当引入参数可以帮助我们在解题过程中少走不少弯路．三、巧建模型，以不变应万变例3 如图③所示，某小岛周围40海里内布满暗礁，一艘船由西向东航行，起初在A 处测得小岛在北偏东60°方向，航行30海里后在B 处又测得小岛在东北方向，如果该船不改变航行方向而继续向前航行，那么它会有触礁危险吗？简析 过O 作OH ⊥AB 于H ，将实际问题转化为解直角三角形问题．不妨设OH =x ，则由AH －BH =AB 可得方程cot30°x －cot45°x =30，从中解出x 的值，接下去只需将OH 的值与40进行比较即可得解．解 过点O 作OH ⊥AB 于H ，设OH =x ，由题意可知∠OAH =30°，∠OBH =45°，AB =30．在Rt △OAH 与Rt △OBH 中，∵cot ∠OAH =AH OH ，cot ∠OBH =BH OH∴AB =AH －BH = OH (cot30°－cot45°)，即(cot30°－cot45°)x =30，解之得x =15＋153≈40.98＞40．所以如果不改变航向，该船不会有触礁的危险．例4 如图④所示，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A ，再在河这边沿河边取两点B 、C ，使得∠ABC =60°，∠ACB =45°，现量得BC =30m ，求河的宽度．简析 河的宽度即为△ABC 中BC 边上的高，为此，过点A 作AD ⊥BC于D ，则本实际问题也转化成了解直角三角形问题．和前例一样，通过设AD =x 然后建立方程即可求得AD 的长．解 过A 作AD ⊥BC 于D ，并设AD =x ．在Rt △ABD 与Rt △ACD 中，∵cot cot 60BD ABC AD =∠=︒，cot cot 45CD ACB AD=∠=︒， ∴BC =BD ＋CD =AD (cot60°＋cot45°)，即(cot60°＋cot45°)x =30，解之得x =45－153， ∴所求河的宽度为(45－153)m ．评注 在解有双方位角或双视角类实际问题时，如果图形中没有直角三角形，则应通过添加辅助线的方法将原图形转化为两个具有公共边特征的直角三角形，然后再建立方程进行求解．为方便同类题型求解，以上两例还可归结为如下的数学模型——⑴如图⑤a ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的同侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，且α＜β，则有AB (cot α－cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β；⑵如图⑤b ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的两侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，则有AB (cot α＋cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β．。
初三数学：解直角三角形
解直角三角形知识要点：1、 锐角三角函数：正弦、余弦、正切、余切sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边A ∠,tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边A A ∠∠(1)平方关系：1cos sin 22=+A A ； (2)倒数关系：1cotA tanA =⋅； (3)商的关系：tanA=AAcos sin (4)互余两角的正余弦、正余切关系：如果ο90=∠+∠B A ，那么B A A cos )90cos(sin =-=ο；tanA=cot （90°-A ）=cotB2、 解直角三角形3、 解直角三角形的应用：坡度问题、测量问题、航海问题 关键是把实际问题转化为数学问题来解决 (构造直角三角形) 几个专用名词：俯角、仰角、坡角、坡度（或坡比）、方向角 一：转化思想在解直角三角形中的应用转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等），我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例1. 在△ABC 中，已知AB=6，∠B=45°，∠C=60°，求AC 、BC 的长．已知条件解法一边及 一锐角直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c=sin a A斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA两边两条直角边a 和b，B ＝90°-A ，直角边a 和斜边csinA=ac，B ＝90°-A ，例2. 如图所示，△ABC中，∠BAC=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC的值．例3．如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，则CDACAB-等于（）．A .sin A B. cos A C . tan A D . cot A例4．如图所示，在ΔABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的值．例5．已知：在ΔABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5，求ΔABC的面积．例6．如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值．二：可解的非直角三角形的类型与解法解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考．一、“SSS”型：例1．已知：如图１，BC=2，AC=6，AB=31+，求△ABC各内角的度数．BA DC图1二、“SAS ”型：例2．已知：如图，△ABC 中，∠A=1500，AB=5，AC=4，求△ABC 的面积三、“AAS ”型：例3．已知：如图3，△ABC 中，∠C=600，∠A=750，BC=33+， 求AB 、AC 的长． 四、“ASA ”型：例4．已知等腰∆ABC 的底边长为2，底角为75°，求腰长．五、其他类型：例5．已知：如图，△ABC 中，∠B=600，AB=5，sinC=57，求AC 和BC 的长．相关强化练习：1．等腰三角形底边为20，面积为31003，求各角的大小．2．如图，四边形BCDG 为矩形，∠ABG=45°，GB=20，BC=4，tanE=3，求EC 的长度．3．已知：如图，在△ABC 中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB 的长．CBDA BA C D图2 ACD 图4BA CD图5例题： 如图23，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若10,31tan =+=∠CE DC AEN 。
解三角形的技巧与方法归纳
解三角形的技巧与方法归纳三角形是几何学中一个非常重要的图形，研究三角形的性质和解三角形的方法对于拓展数学应用和解决实际问题都有着重要的意义。
下面是关于解三角形的一些常用技巧和方法的归纳。
一、根据已知边长和角度解三角形1. 正弦定理：如果三角形的边长和夹角都已知，可以使用正弦定理来解三角形。
正弦定理可以表示为： a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示三角形的角度。
2. 余弦定理：如果三角形的两边和夹角或三边之间的关系已知，可以使用余弦定理来解三角形。
余弦定理可以表示为：c² = a² + b² -2abcosC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，C表示三角形的角度。
二、根据已知边长解直角三角形1.求斜边：如果已知一个直角三角形的两个直角边，可利用勾股定理求出斜边的长度。
勾股定理可以表示为：c²=a²+b²，其中a、b分别表示直角三角形的两个直角边，c表示斜边的长度。
2.求直角边：如果已知一个直角三角形的斜边和一个直角边，可利用勾股定理求出另一个直角边的长度。
勾股定理可以表示为：a²=c²-b²或b²=c²-a²，其中a、b分别表示直角三角形的直角边，c表示斜边的长度。
三、利用特殊角度解三角形1.30-60-90三角形：当一个三角形的角度为30度、60度和90度时，称为30-60-90三角形。
在30-60-90三角形中，斜边的长度是短边的两倍，短边的长度是斜边的一半。
2.45-45-90三角形：当一个三角形的两个角度都为45度时，称为45-45-90三角形。
在45-45-90三角形中，两条直角边的长度相等，斜边的长度是直角边的根号2倍。
四、利用相似三角形解三角形1.比较边长比例：如果两个三角形的相应边长比例相等，那么这两个三角形是相似的。
解直角三角形
〖归纳小结二〗
• 转化思想贯穿全章。把实际问题转化为数学问题。 • 数形结合思想。画出图形，使已知元素和未知元素更直观。 • 函数思想。锐角的四个三角函数，角度与函数值一一对应。 • 方程思想。若某个元素无法直接求解，往往设未知数，根据三角形
A
BC
E
D
外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的 区域。如图，设A、B是我们的观察站，A和B之间的距离为 160海里，海岸线是过A、B的一条直线。一外国船只在P点， 在A点测得∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问此时 是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.
100海里
距离.（精确到1米）
A 2000 B
解：在RtΔABC中，
D 300
∵ ∠CAB = 900 － ∠DAC = 600
∵ tan ∠CAB = BC
AB
C
∴ BC = AB·tan ∠CAB
=2000× tan 600 ≈3464（米）
又∵cos ∠CAB =
AB AC
AC
AB COS 600
2000 400（0 米） 0.5
A
B
C
例1 如图所示，一棵大树在一次强烈的 地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落 在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
解：设RtΔABC中，∠C=900，
AC =10m，BC=24m.
10m
则 AB= BC 2 AC 2
242 102 = 26（米）
24m A
26+AB，小强从点B沿山坡向上
解直角三角形的方法和技巧
解直角三角形的方法和技巧直角三角形是三角形中最为基础和重要的一类三角形，因为它具有很多特殊的性质和应用。
解直角三角形的方法和技巧在数学的学习过程中非常重要，本文将为大家介绍10条关于解直角三角形的方法和技巧，并展开详细描述。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的定理，也是解直角三角形的最快捷的方法。
勾股定理的公式为：a² + b² = c²。
a和b表示直角边，c表示斜边。
当已知a和b的长度时，可以通过计算c的长度来确定直角三角形的大小和形状。
勾股定理非常广泛地应用于工程、科学和数学等领域，可以帮助我们计算物体的大小、距离和位置等。
二、正弦定理正弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
a、b、c分别表示三角形任意两边和斜边，A、B、C表示这些边对应的角度。
如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过正弦定理计算第三个长度。
正弦定理的应用十分广泛，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。
三、余弦定理余弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它也是一个三角形中的三角函数，公式为：c² = a² + b² - 2abcosC。
a、b表示三角形中两个边的长度，c表示斜边的长度，C表示斜边对应的角度。
如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过余弦定理计算第三个长度。
余弦定理也是应用广泛的一个数学公式，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。
四、正切定理正切定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：tanA = a/b或tanB = b/a。
a、b分别表示三角形中的两个直角边，A、B是它们对应的角度。
通过正切定理可以求得角度的大小或两直角边的比例。
五、特殊直角三角形的知识特殊直角三角形是指那些具有特殊边长和角度的直角三角形。
其中最为常见的是边长为3、4、5的特殊直角三角形。
解直角三角形的方法技巧
解直角三角形的方法技巧例1.如图1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且，求AB的长。
图1思路1：所求AB是的斜边，但在中只知一个锐角A等于，暂不可解。
而在中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解入手。
解法1：在中，因，且，AE＝1故在中，由，得在中，由，得思路2：观察图形可知，CD、DE分别是和斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。
解法2：同解法1得在中，由，得在中，由，得点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。
值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。
例2.如图2，在中，，AD是BC边上的中线。
（1）若，，求AD的长。
（2）若，求证：图2分析：（1）由AD是BC边上的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在中求解AD。
而在中，由已知BC边和可以先求出AC，从而使可解。
（2）和分别为和中的锐角，且都以直角边AC为对边，抓住图形的这个特征，根据锐角三角函数可以证明解：（1）在中，，在中，（2）证明：在中，由，，得在中，由，得故，又因BC＝2DC，故点拔：在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形，如图2，它是含有两个直角三角形的图形。
随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现出许多不同的解直角三角形问题。
例3.如图3，在中，，AD是的平分线。
（1）若，求（2）在（1）的条件下，若BD＝4，求图3分析：在（1）中已知AD是的平分线，又知AB、BD这两条线段的比为，应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到中，先求出即可求得。
解：（1）由AD是的平分线，得，即在中，由，得，（2）由，得由，得。
又点拨：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，从而找到解决问题的突破口。
解直角三角形的应用(19张ppt)课件
选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。
解直角三角形的几种方法
解直角三角形的几种方法（二）引言：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
解直角三角形是高中数学中的重要内容。
本文将介绍几种解直角三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、特殊三角函数值以及特殊角度的计算方法等。
概述：解直角三角形主要涉及到三边的关系、三角函数的计算以及角度的计算。
在本文中，我们将详细讨论这些方法，并给出具体的解题步骤和例题，以帮助读者更好地理解和掌握解直角三角形的技巧。
正文内容：一、正弦定理1.推导正弦定理的原理与公式2.利用正弦定理解直角三角形的方法3.根据已知条件求解角度和边长的具体步骤4.通过示例说明正弦定理在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析二、余弦定理1.推导余弦定理的原理与公式2.利用余弦定理解直角三角形的方法3.根据已知条件求解角度和边长的具体步骤4.通过示例说明余弦定理在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析三、特殊三角函数值1.讨论特殊角度下正弦、余弦、正切的值2.借助特殊角度的数值计算直角三角形的边长和角度3.解析特殊角度下的直角三角形示例题4.探讨特殊角度对解直角三角形的影响5.实践中注意事项和常见错误分析四、特殊角度的计算方法1.利用标准角度和标准角度的三角函数值2.利用和差角公式计算特殊角度的三角函数值3.根据特殊角度的计算方法确定直角三角形的属性4.通过示例说明特殊角度计算方法在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析五、综合运用各个方法1.结合正弦定理、余弦定理和特殊角度的计算方法解直角三角形2.根据题目条件选择合适的解题方法3.通过综合运用不同方法解答综合题目4.分析不同解题方法的优缺点和适用范围5.总结解直角三角形的方法和技巧总结：解直角三角形是数学学科中的基础内容，本文介绍了几种解直角三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、特殊三角函数值以及特殊角度的计算方法等。
对于不同的题目和条件，可以选择合适的方法进行解答。
在解题过程中，需要注意运用正确的公式和计算方法，避免常见的错误和误解。
28.2.1 解直角三角形 课件 2024-2025学年数学九年级下册人教版
知1－讲
图示
感悟新知
知1－练
例 1 根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两
直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和
斜边.
A. ②③
B. ②④
C. 只有②
D. ②④⑤
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行 解答. 解：①③④⑤能够求解，②不能求解. 答案：C
知2－练
解：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝2 3，BC＝6， ∴AB＝ AC2＋BC2＝4 3， tan B＝ABCC＝263＝ 33， ∴∠B＝30°.∴∠A＝90°－30°＝60°.
感悟新知
例 3 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C所对的边
对乘正切.
“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，
对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，
那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他的意思可类推.
感悟新知
例 2 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边
分别为a，b，c，a＝20，c＝20 2；
续表 图形
Rt△ABC
知2－讲
已知条件
解法
一 边 和 一
一直 角边 和一 锐角
一锐角与邻边 (如∠A，b)
一锐角与对边 (如∠A，a)
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； a ＝
b·tan A；c＝cosb A
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； b ＝
解rt三角形初中笔记
解rt三角形初中笔记解直角三角形是初中数学中的一个重要内容，以下是关于解直角三角形的一些重要知识点和笔记：1. 基本概念：- 直角三角形中有一个角是90度，另外两个角是锐角。
- 勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
公式表示为：$c^2 = a^2 + b^2$，其中c是斜边，a和b是两直角边。
2. 锐角三角函数：- 正切（tan）：定义为对边与邻边的比值。
即，$\tan \theta =\frac{opposite}{adjacent}$。
- 正弦（sin）：定义为对边与斜边的比值。
即，$\sin \theta =\frac{opposite}{hypotenuse}$。
- 余切（cot）：定义为邻边与对边的比值。
即，$\cot \theta =\frac{adjacent}{opposite}$。
- 余弦（cos）：定义为邻边与斜边的比值。
即，$\cos \theta =\frac{adjacent}{hypotenuse}$。
- 正割（sec）和余割（csc）定义为相应的倒数。
3. 解直角三角形的方法：- 直接应用三角函数公式求解：例如，知道一个锐角和对应的边长，可以直接求其他边长或角度。
- 利用勾股定理和三角函数求解：例如，已知两边长，可以求第三边长或相应角度。
- 利用三角函数的性质和倍角公式求解：例如，知道一个锐角，可以求其他角度或相应边长。
4. 解题技巧：- 观察题目给出的条件，选择合适的公式进行计算。
- 注意单位的一致性，特别是涉及到开方和乘除法时。
- 对于复杂的问题，尝试将其分解为多个简单步骤，逐步求解。
5. 实际应用：- 解直角三角形在日常生活和工程中有着广泛的应用，例如测量、建筑、航海等。
- 掌握解直角三角形的方法对于解决实际问题非常有帮助。
以上是关于解直角三角形的一些重要知识点和笔记，掌握这些内容有助于更好地理解和应用解直角三角形的相关知识和方法。
解直角三角形的方法技巧
解直角三角形的方法技巧解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角的大小和面积等。
首先要明确解直角三角形的依据和思路：在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数的定义。
因此，锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础。
每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，实际上就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解方程来求解。
例1.如图1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且，求AB 的长。
∠==A AE α，1图1思路1：所求AB 是的斜边，但在中只知一个锐角A 等于，暂不Rt ABC ∆Rt ABC ∆α可解。
而在中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解入手。
Rt ADE ∆Rt ADE ∆解法1：在中，因，且，AE ＝1Rt ADE ∆cos A AE AD=∠=A α故AD AE A ==cos cos 1α在中，由，得Rt ADC ∆cos A AD AC =AC AD A ===cos cos cos cos 112ααα在中，由，得Rt ABC ∆cos A AC AB =AB AC A ===cos cos cos cos 1123ααα思路2：观察图形可知，CD 、DE 分别是和斜边上的高，具备应用Rt ABC ∆Rt ACD ∆射影定理的条件，可以利用射影定理求解。
解法2：同解法1得AD =1cos α在中，由，得Rt ACD ∆AD AE AC 2=⋅AC AD AE ==221cos α在中，由，得Rt ABC ∆AC AD AB 2=⋅AB AC AD ==231cos α点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。
解直角三角形应用题
解直角三角形应用题直角三角形是日常生活中常见的一种三角形，因为其特定的角度关系，使得对其进行一系列数学运算以及技术应用都显得方便和便捷。
在学习和应用直角三角形的过程中，解决一些应用题也是非常有必要的。
本文将详细介绍一些解直角三角形应用题的重要方法与技巧。
一、三边比例与角度多少在某些情况下，通过已知直角三角形的三边比例，可以推算出其内部的角度关系。
如下所示，已知直角三角形的三边比例，求其内部所有角度的大小。
根据直角三角形的定义，可以知道斜边上对应的角度是直角，那么只需要求出其余两个角度就可以了。
设三边长度分别为a，b，c，设两个内角为A，B，那么根据三角函数的定义可以得到下列方程组：sin A = a / ccos A = b / ctan A = a / b通过这些公式，可以得到角A和角B的大小。
当然，如果只有两个角度是已知的，也可以借助三角函数式子求得第三个角度。
二、三角形上一点对角度的影响已知直角三角形ABC中，C为直角，AB=c，已知点D在斜边AC上，且满足AD=BC，求角度B和角度C的大小。
这就是典型的直角三角形应用题。
首先，因为AD和BC长度相等，那么可知三角形ACD和三角形BCD的面积相等，根据三角形面积公式得到：AD×CD/2 = BC×CD/2AD = BC×CD/AC将已知数据代入，化简得到：CD=2AC/(1+√5)接着，根据对应角的两点组合定理可得到如下关系式：tan B = BD/AB = AD/ABsin C = BD/BC = AD/AC代入已知的数据，得到：tan B = (2AC / (1+√5)) / csin C = (2AC / (1+√5)) / √(AC^2 + c^2)通过这些方程，可以计算出角B和角C的大小。
三、海伦公式海伦公式（Heron's formula）是解任意形状三角形面积的重要公式之一。
对于任意形状的三角形，海伦公式的表述如下所示：S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))其中，S表示三角形的面积，a，b，c表示三角形的三边长度，p则表示三角形半周长，即：p = (a+b+c)/2在求解直角三角形的面积时，可以运用海伦公式。
数学解三角形技巧大全
数学解三角形技巧大全解三角形是数学中的一个重要内容，也是高中数学中的一项基本知识。
掌握一些解三角形的技巧可以让我们更加方便地求解各种三角形的性质和关系。
本文将介绍一些常用的数学解三角形的技巧大全。
一、利用正弦定理求解三角形正弦定理是解三角形最基本也是最常用的方法之一。
对于任意一个三角形ABC，假设它的三个角度分别为∠A，∠B，∠C，边长分别为a，b，c。
正弦定理可以表达为：$\dfrac{a}{\sin{\angle A}} = \dfrac{b}{\sin{\angle B}} =\dfrac{c}{\sin{\angle C}}$利用正弦定理可以轻松求解三角形的任意边长或角度，只需知道已知边长或角度之间的比例关系即可。
二、利用余弦定理求解三角形余弦定理也是解三角形的重要方法之一。
当我们已知一个三角形的两边和夹角时，可以利用余弦定理求解第三边的长度。
对于任意一个三角形ABC，假设它的三个角度分别为∠A，∠B，∠C，边长分别为a，b，c。
余弦定理可以表达为：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\angle C}$利用余弦定理可以解决一些不规则的三角形，或者求解已知两边和一个角的三角形。
三、利用解析几何方法求解三角形解析几何是利用坐标系和代数方法来解决几何问题的一种方法。
对于三角形ABC，如果我们已知三个顶点的坐标，可以利用解析几何的方法来求解三角形的各种性质。
首先，假设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点B的坐标为$(x_2,y_2)$，点C的坐标为$(x_3,y_3)$。
我们可以利用距离公式来求解三边的长度，即：$a=\sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}$$b=\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}$$c=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$其中，$\sqrt{\cdot}$表示开根号运算。
通过解析几何方法，我们可以很方便地求解三角形的各种性质，如边长、角度、重心、外心等。
解直角三角形的基本类型及解法
解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形方法很多,灵活多样.解直角三角形是探究直角三角形中边角关系的问题,是现实世界中应用广泛的关系之一，本文是店铺整理解直角三角形的基本类型及解法的资料，仅供参考。
解直角三角形注意事项1.尽量使用原始数据，使计算更加准确.2.有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题.3.一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题.4.解直角三角形的方法可概括为“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦有切(正切、余切)，宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦;无斜边时，就用正切或余切;当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法;既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据.5.必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算.6.要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中.7.解含有非基本元素的直角三角形(即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等)，一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解.直角三角形面积公式因为直角三角形的两条直角边分别相当于三角形的底和高，所以直角三角形的面积，可以用两条直角边的长度相乘再除以2。
s=(1/2)x底x高s=(1/2)xaxbxsinC (C为a,b的夹角)s=1/2acsinBs=1/2bcsinA直角三角形性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2(勾股定理)2、在直角三角形中，两个锐角互余。
如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2)。
直角三角形的应用题解题技巧
直角三角形的应用题解题技巧直角三角形是初中数学中的基础知识之一，它的应用广泛且重要。
在解题过程中，我们需要掌握一些解题技巧。
本文将介绍直角三角形应用题的解题技巧。
一、勾股定理直角三角形的应用问题中，勾股定理是最常见且重要的定理之一。
勾股定理表达为：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在解题中，当我们已知直角三角形的斜边和一条直角边时，可以通过勾股定理求解另一条直角边的长度。
反之，当我们已知直角三角形的两条直角边时，可以通过勾股定理求解斜边的长度。
例如，已知直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，我们可以使用勾股定理计算另一条直角边的长度。
根据勾股定理：$$3^2 + x^2 = 5^2$$解方程得到$x$的值，即可求得另一条直角边的长度。
二、相似三角形定理在一些应用问题中，我们会遇到两个直角三角形的边长比例相等或相似的情况。
此时可以使用相似三角形定理来解题。
相似三角形定理指出，两个直角三角形的角相等并且对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
在解题时，如果我们已知一个直角三角形的边长比例，并且已知一个边长的具体值，可以通过相似三角形定理计算其他边长的值。
例如，已知直角三角形ABC与直角三角形DEF相似，且已知直角三角形ABC的斜边长为5，三角形DEF的斜边长为10。
我们可以通过相似三角形定理计算出直角三角形DEF的另一条直角边的长度。
三、特殊直角三角形在应用题中，有时会碰到特殊的直角三角形，如45-45-90三角形和30-60-90三角形。
这些特殊直角三角形有一些固定的边长比例关系，在解题时可以直接使用这些关系进行计算。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边相等，我们可以判断这是一个45-45-90三角形。
在这种三角形中，两条直角边的长度相等，斜边的长度等于直角边的长度乘以$\sqrt{2}$。
同样地，已知一个直角三角形的两条直角边的长度比为1：$\sqrt{3}$，我们可以判断这是一个30-60-90三角形。
解直角三角形(复习课)课件
结合勾股定理和三角函数计算直角三 角形中的未知量。
利用给定的条件，设计合理的方案解 决实际问题，如设计桥梁、建筑等结 构的支撑体系。
06
复习与总结
重点回顾
直角三角形的定义与性质
回顾直角三角形的定义、性质和判定条件，理解其在几何图形中 的重要地位。
求解角度。
常见错误分析
混淆边和角
在解题过程中，有时会混淆边和角，导致计算错误。
忽视勾股定理的条件
在使用勾股定理时，需要确保三角形是直角三角形，否则会导致错 误。
角度范围错误
在计算角度时，需要注意角度的范围，避免出现负角度或超过180 度的角度。
解题方法总结
勾股定理法
适用于已知两边长度， 求第三边长度的情况。
船只安全航行。
物理实验
测量角度
在物理实验中，经常需要测量各 种角度。解直角三角形的方法可 以用来计算这些角度，确保实验
结果的准确性。
计算力的大小
在物理实验中，经常需要计算力的 大小。通过解直角三角形，可以精 确地计算出力的大小，确保实验结 果的可靠性。
确定物体的位置
在物理实验中，物体的位置是非常 重要的。通过解直角三角形，可以 计算出物体的位置，确保实验的准 确性和可靠性。
04
解题技巧与策略
解题思路
01
02
03
04
明确问题要求
首先需要理解题目的要求，确 定需要求解的是什么。
选择合适的三角形
根据问题描述，选择一个合适 的直角三角形来解决问题。
利用勾股定理
在直角三角形中，勾股定理是 一个重要的工具，可以帮助我
们求解边长。
解直角三角形的方法与技巧
解直角三角形的方法与技巧直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
在解决几何问题时，了解解直角三角形的方法与技巧能够帮助我们更高效地推导和计算相关的问题。
本文将介绍一些解直角三角形的方法和技巧，希望能够对读者有所启发。
1. 边长关系在直角三角形中，三条边的关系是解题的关键。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这一关系可以表示为c^2 = a^2 + b^2，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示两条直角边的长度。
2. 比例关系直角三角形中，两个角的比例关系也是解题时需要注意的重点。
根据正弦定理和余弦定理，我们可以得到解直角三角形的更多方法。
2.1 正弦定理在直角三角形中，通过正弦定理，我们可以得到以下关系：a/sinA= b/sinB = c/sinC。
其中a、b、c分别表示三个边的长度，A、B、C分别表示与边a、b、c相对的角度。
这一定理可以帮助我们在已知两个边和一个角度的情况下求解其他未知量。
2.2 余弦定理直角三角形中，通过余弦定理，我们可以得到以下关系：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
其中c表示斜边的长度，a和b表示两条直角边的长度，C表示两条直角边之间的夹角。
这一定理可以帮助我们在已知三个边的长度时求解角度。
3. 特殊角度的解法解直角三角形时，特殊角度的解法也是十分常用的。
例如，当一个直角角度等于30度时，另外两个角度分别为60度和90度。
我们可以利用特殊角度的性质，直接计算边长和角度的数值。
4. 应用于实际问题解直角三角形的方法和技巧可以应用于各种实际问题中。
例如，在测量建筑物高度时，可以通过测量直角三角形的底边和仰角来计算建筑物的高度。
在导航中，可以利用直角三角形的边长关系来计算两点之间的距离。
5. 示例与练习为了更好地理解和应用解直角三角形的方法与技巧，我们可以通过一些实例和练习来加深学习。
以下是一些示例题目：5.1 已知一个直角三角形的斜边长为10厘米，一直角边长为6厘米，求另一直角边的长。
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解直角三角形常用解题方法与技巧
解直角三角形所涉及的知识面较广，题目灵活性、综合性较强，因而学习起来可能会有一定的困难，为帮助大家理解并掌握其中的解题方法与解题技巧，现结合实例归纳总结如下：
一、巧妙应变，走出解题陷阱
例1 如图①，在Rt △ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠A =90°，
⑴、若a =15，b =12，求c ；⑵、若b =8，c=15，求a ．
简析 由∠A =90°知，本题a 才是斜边，故应运用勾股定理
222b c a +=求解．
解 ⑴、∵∠A =90°，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∴222b c a +=，
又∵c ＞0，∴222215129c a b =-=-=．
⑵、由⑴知222b c a +=，∴222281517a b c =+=+=．
评注 解直角三角形问题，审题很重要，有时候稍一疏忽就有可能导致错解或者漏解的产生．本例在求解时正是注意到了斜边这一特殊边长的变化从而避免了解题错误的发生．
二、巧设参数，化繁难为简易
例2 如图②，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =45
，求tan B 的值． 简析 要算tan B ，必须先求出直角边AC 、BC 的长，注意到题中只
有“sin A =35
”而没有给出相应线段的长，故考虑采用设参数的办法进行解决．
解 设BC =4k ，则AB =5k （k ＞0）．
∵在△ABC 中，∠C =90°，∴AC =2222(5)(4)3AB BC k k k -=-=，
∴tan AC B BC ==3344
k k =． 评注 对于已知特殊角而求三角函数值（或线段比值）的解直角三角形问题，有时候适当引入参数可以帮助我们在解题过程中少走不少弯路．
三、巧建模型，以不变应万变
例3 如图③所示，某小岛周围40海里内布满暗礁，一艘船由西向
东航行，起初在A 处测得小岛在北偏东60°方向，航行30海里后在B 处
又测得小岛在东北方向，如果该船不改变航行方向而继续向前航行，那
么它会有触礁危险吗？
简析 过O 作OH ⊥AB 于H ，将实际问题转化为解直角三角形问
题．不妨设OH =x ，则由AH －BH =AB 可得方程cot30°x －cot45°x =30，从中解出x 的值，接下去只需将OH 的值与40进行比较即可得解．
解 过点O 作OH ⊥AB 于H ，设OH =x ，由题意可知∠OAH =30°，∠OBH =45°，AB =30．
在Rt △OAH 与Rt △OBH 中，∵cot ∠OAH =AH OH ，cot ∠OBH =BH OH
∴AB =AH －BH = OH (cot30°－cot45°)，即(cot30°－cot45°)x =30，解之得x =15＋153≈40.98＞40．
所以如果不改变航向，该船不会有触礁的危险．
例4 如图④所示，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A ，
再在河这边沿河边取两点B 、C ，使得∠ABC =60°，∠ACB =45°，现量得
BC =30m ，求河的宽度．
简析 河的宽度即为△ABC 中BC 边上的高，为此，过点A 作AD ⊥BC
于D ，则本实际问题也转化成了解直角三角形问题．和前例一样，通过
设AD =x 然后建立方程即可求得AD 的长．
解 过A 作AD ⊥BC 于D ，并设AD =x ．
在Rt △ABD 与Rt △ACD 中，∵cot cot 60BD ABC AD =∠=︒，cot cot 45CD ACB AD
=∠=︒， ∴BC =BD ＋CD =AD (cot60°＋cot45°)，即(cot60°＋cot45°)x =30，解之得x =45－153， ∴所求河的宽度为(45－153)m ．
评注 在解有双方位角或双视角类实际问题时，如果图形中没有直角三角形，则应通过添加辅助线的方法将原图形转化为两个具有公共边特征的直角三角形，然后再建立方程进行求解．为方便同类题型求解，以上两例还可归结
为如下的数学模型——
⑴如图⑤a ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的同
侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，且α＜β，则有AB (cot α
－cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β；
⑵如图⑤b ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的两
侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，则有AB (cot α＋cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β．。