导数的四则运算法则 公开课课件
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课件6：3.2.3 导数的四则运算法则
课堂小结
2．曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处的切线方程为y－ f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．若没有给出切点，往往先设切 点为M(x0，f(x0))，再利用导数求斜率及切线方程， 最后根据给定的条件求解问题．
∴－ b－b＋ 2c＝a＝0，0， c－1＝0，
解得ab＝ ＝22， ， c＝1.
∴f(x)＝2x2＋2x＋1.
考点3：求曲线的切线方程
例3：求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直 线方程． 【解析】解答本题可先设出切点坐标，对函数求 导，写出切线方程；再利用切点在曲线上，切线 过点(1，－1)代入求解．
点 A(0,16)在切线上，则有 16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)． 化简得 x03＝－8，解得 x0＝－2. 所以切点为 M(－2，－2)， 切线方程为 9x－y＋16＝0.
课堂小结
1．利用公式和求导法则求导数是要注意： (1)在求导之前，先对函数式进行化简，然后再 求导，这样既可减少计算量，也可少出差错． (2)在函数中有两个以上因式连乘时，要注意多 次使用积的求导法则．
一点通：求曲线的切线方程有以下两种情况 (1)求曲线在点P处的切线方程． (2)求过点P与曲线相切的直线方程，这时点P 不一定是切点，也不一定在曲线上，求解步骤为：
题组集训
5．设曲线 y＝xx－＋11在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0
垂直，则 a 等于
()
A．2
1 B.2
C．－12
D．－2
3.2.3 导数的四则运算法则
已知函数 f(x)＝1x，g(x)＝x2，那么 f′(x)＝－x12， g′(x)＝2x. 问题 1：如何求 h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？
大学数学导数名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
x) x
u( x0 )
v( x0
x)
lim
x
0
u(
x0
)
v( x0
x) x
v( x0 )
u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 ) .
注意: (uv)× uv ,千万不要把导数乘积公式 (2)
记错了.
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例1 求 f ( x) a0 xn a1xn1 an1x an 的导数.
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解 (i) y arcsin x, x (1, 1 ) 是 x sin y 在 (π 2，π 2 ) 上旳反函数，故 (arcsin x) 1 1 1 , x (1, 1).
(sin y) cos y 1 x2 同理, (arccos x) 1 , x (1, 1) .
y x ln .
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定理5.7 若函数 u( x),v( x) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0 ,
则
f ( x) u( x) v( x)
在点 x0 也可导，且
u( x)
v(
x)
x x0
u(
x0
)v(
x0 v
)
2
u( ( x0 )
x0
)v(
x0
)
.
(4)
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d y d y du , dx du d x
若将
其中 y f (u),u ( x) , 这么就轻易了解 “链”
旳
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意义了.
在链式法则中一定要区别 f ( ( x)) f (u) | u ( x) 与 ( f ( ( x))) f ( ( x))( x) 的不同含义.
求导法则公开课一等奖课件省赛课获奖课件
i1k 1
ki
(4)
1 g(x)
g ( x) g2(x)
( g(x) 0 )
以n 3为例，可证(3)：
f (x)g(x)h(x) f (x) g(x)h(x) f (x) g(x)h(x) f (x) g(x)h(x)
f (x)g(x)h(x) f (x) g(x)h(x) g(x)h(x)
h0
h
u(x h)v(x h) u(x)v(x)
lim
h0
h
[u(x h) u(x)]v(x h) u(x)[v(x h) v(x)]
lim
h0
h
lim
h0
v(
x
h
)
u(
x
h) h
u(
x
)
u(
x)
v(
x
h)
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x)
f ( x)在x处可导.
证明：设在点可导，令
H (x) tan
H
(x)
f
(x) x
f ( x0 ) x0
,
x U
( x0 )
f (x0 ),
x x0
y f (x)
则因 lim H ( x) lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
x x0
f ( x0 ) H ( x0 )
x0 x x
所以H (x)在点 x0连续， 且 f (x) f (x0 ) H (x)(x x0 )， x U (x0 ) 反之，设存在H (x)， x U (x0 )，它在 x0点连续， 且 f (x) f (x0 ) H ( x)( x x0 ) x U (x0 )
ki
(4)
1 g(x)
g ( x) g2(x)
( g(x) 0 )
以n 3为例，可证(3)：
f (x)g(x)h(x) f (x) g(x)h(x) f (x) g(x)h(x) f (x) g(x)h(x)
f (x)g(x)h(x) f (x) g(x)h(x) g(x)h(x)
h0
h
u(x h)v(x h) u(x)v(x)
lim
h0
h
[u(x h) u(x)]v(x h) u(x)[v(x h) v(x)]
lim
h0
h
lim
h0
v(
x
h
)
u(
x
h) h
u(
x
)
u(
x)
v(
x
h)
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x)
f ( x)在x处可导.
证明：设在点可导，令
H (x) tan
H
(x)
f
(x) x
f ( x0 ) x0
,
x U
( x0 )
f (x0 ),
x x0
y f (x)
则因 lim H ( x) lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
x x0
f ( x0 ) H ( x0 )
x0 x x
所以H (x)在点 x0连续， 且 f (x) f (x0 ) H (x)(x x0 )， x U (x0 ) 反之，设存在H (x)， x U (x0 )，它在 x0点连续， 且 f (x) f (x0 ) H ( x)( x x0 ) x U (x0 )
5.2.2导数的运算法则课件(人教版)
导数的四则运算法则
复习回顾
基本初等函数的导数公式
公 式1.若f ( x ) c， 则f ' ( x ) 0;
公 式2.若f ( x ) x ， 则f ' ( x ) nx
n
n 1
;
公 式3.若f ( x ) sin x， 则f ' ( x ) cos x;
公 式4.若f ( x ) cos x， 则f ' ( x ) sin x;
巩固练习
例2 求导数：
2sin
3
（1） = e ； （2） = 2 ;
巩固练习
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需
净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用(单位：元)为
5284
c( x )
(80 x 100)
100 x
(2)98％
巩固练习 练习：求下列函数的导数:
1 2
x
2
(1) y 2 x x ;
(2) y
;
2
x x
1 x
(3) y tan x;
ln x
(4) y (2 x 3)(3 x 2)； (5) y x tan x;
(6) y
x
1
2
1
4 5 3
2
x ;
解：(1) y ( )'( 2 )' x x ' 2 3
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)
复习回顾
基本初等函数的导数公式
公 式1.若f ( x ) c， 则f ' ( x ) 0;
公 式2.若f ( x ) x ， 则f ' ( x ) nx
n
n 1
;
公 式3.若f ( x ) sin x， 则f ' ( x ) cos x;
公 式4.若f ( x ) cos x， 则f ' ( x ) sin x;
巩固练习
例2 求导数：
2sin
3
（1） = e ； （2） = 2 ;
巩固练习
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需
净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用(单位：元)为
5284
c( x )
(80 x 100)
100 x
(2)98％
巩固练习 练习：求下列函数的导数:
1 2
x
2
(1) y 2 x x ;
(2) y
;
2
x x
1 x
(3) y tan x;
ln x
(4) y (2 x 3)(3 x 2)； (5) y x tan x;
(6) y
x
1
2
1
4 5 3
2
x ;
解：(1) y ( )'( 2 )' x x ' 2 3
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)
高二数学《导数的四则运算法则》课件
导数的运算
引入新课
问题
我们学习了哪些基本初等函数的导数？
答案：1.若 = 为常数 ，则′ = 0；
2.若 = （α∈Q，且α≠0），则′ = −1 ；
3.若 = sin，则′ = cos；
4.若 = cos，则 ′ () = −sin；
知识应用
追问1
怎样求纯净度为90%和98%时，所需净化费用的瞬时变化率？
′
5284
=
100 −
5284′ × 100 − − 5284 × 100 −
=
100 − 2
′
答案：
′
0 × 100 − − 5284 × −1
5284
=
=
2
100 −
100 −
所以 ′
5284
90 =
100 − 90
2
=
52.84, ′
2
5284
98 =
100 − 98
.
2
= 1321.
知识应用
追问2
根据导数的物理意义，结合两个计算结果，对比纯净度及资金投
入的变化，你有什么发现？
答案：
′ 98 = 25 ′ 90 .
净化到纯净度为98%时净化费用的瞬时变化率是净化到纯净
度为90%时的25倍.
知识应用
例1
求下列函数的导数：
（1） = 3 − + 3；
（2） = 2 + cos.
解：（1） ′ = 3 − + 3 ′ = 3 ′ − ′ + 3 ′ = 3 2 − 1；
（2）′ = (2 + cos)′ = 2
引入新课
问题
我们学习了哪些基本初等函数的导数？
答案：1.若 = 为常数 ，则′ = 0；
2.若 = （α∈Q，且α≠0），则′ = −1 ；
3.若 = sin，则′ = cos；
4.若 = cos，则 ′ () = −sin；
知识应用
追问1
怎样求纯净度为90%和98%时，所需净化费用的瞬时变化率？
′
5284
=
100 −
5284′ × 100 − − 5284 × 100 −
=
100 − 2
′
答案：
′
0 × 100 − − 5284 × −1
5284
=
=
2
100 −
100 −
所以 ′
5284
90 =
100 − 90
2
=
52.84, ′
2
5284
98 =
100 − 98
.
2
= 1321.
知识应用
追问2
根据导数的物理意义，结合两个计算结果，对比纯净度及资金投
入的变化，你有什么发现？
答案：
′ 98 = 25 ′ 90 .
净化到纯净度为98%时净化费用的瞬时变化率是净化到纯净
度为90%时的25倍.
知识应用
例1
求下列函数的导数：
（1） = 3 − + 3；
（2） = 2 + cos.
解：（1） ′ = 3 − + 3 ′ = 3 ′ − ′ + 3 ′ = 3 2 − 1；
（2）′ = (2 + cos)′ = 2
导数的四则运算法则课件
详细描述
导数的符号可以用来判断函数在某一点的增减性，进而确定极值的存在性和类型（极大值或极小值）。通过比较 函数值和一阶导数的符号变化，可以找到极值点，并计算出极值。
求曲线的拐点
总结词
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点。
详细描述
通过求二阶导数并找到使其等于零的点，可以找到拐点。二阶导数在该点为零意味着函数在该点的凹 凸性发生变化。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断拐点的类型（向上凸或向下凸）。
弹性分析
导数可以用来分析需求或供给对 价格的敏感度，即弹性。例如， 计算需求价格弹性可以帮助企业 预测价格变动对市场需求的影响
。
物理学中的导数应用
速度和加速度
在物理学中，导数被用来描述物 体的速度和加速度。速度是位置 函数的导数，加速度是速度函数
的导数。
热传导
在研究热传导时，导数被用来描述 温度随时间和空间的变化率，即温 度梯度。
除法法则
总结词
导数的除法法则适用于两个函数的商的导数，其导数等于被除函数的导数乘以除 数函数的倒数减去除数函数的导数乘以被除函数的值。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，且$g(x) neq 0$，那么 $frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)} = frac{f(x)}{g(x)} + frac{f^{prime}(x) times g(x) - f(x) times g^{prime}(x)}{[g(x)]^{2}}$。
电磁学
在电磁学中，导数被用来描述电场 和磁场的变化率，例如，计算电流 密度和磁感应强度的导数可以帮助 我们理解电磁波的传播。
工程学中的导数应用
控制工程
导数的符号可以用来判断函数在某一点的增减性，进而确定极值的存在性和类型（极大值或极小值）。通过比较 函数值和一阶导数的符号变化，可以找到极值点，并计算出极值。
求曲线的拐点
总结词
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点。
详细描述
通过求二阶导数并找到使其等于零的点，可以找到拐点。二阶导数在该点为零意味着函数在该点的凹 凸性发生变化。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断拐点的类型（向上凸或向下凸）。
弹性分析
导数可以用来分析需求或供给对 价格的敏感度，即弹性。例如， 计算需求价格弹性可以帮助企业 预测价格变动对市场需求的影响
。
物理学中的导数应用
速度和加速度
在物理学中，导数被用来描述物 体的速度和加速度。速度是位置 函数的导数，加速度是速度函数
的导数。
热传导
在研究热传导时，导数被用来描述 温度随时间和空间的变化率，即温 度梯度。
除法法则
总结词
导数的除法法则适用于两个函数的商的导数，其导数等于被除函数的导数乘以除 数函数的倒数减去除数函数的导数乘以被除函数的值。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，且$g(x) neq 0$，那么 $frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)} = frac{f(x)}{g(x)} + frac{f^{prime}(x) times g(x) - f(x) times g^{prime}(x)}{[g(x)]^{2}}$。
电磁学
在电磁学中，导数被用来描述电场 和磁场的变化率，例如，计算电流 密度和磁感应强度的导数可以帮助 我们理解电磁波的传播。
工程学中的导数应用
控制工程
导数的四则运算法则(课件)-2024-2025学年高二数学同步课件
u(x)v(x)·…·w′(x)．
3．函数的商的导数
f′x
fx
Hale Waihona Puke (1)注意 ′≠.
g′x
gx
g′x
fx 1 1
(2)(特殊化)当 f(x)＝1，g(x)≠0 时， ＝ ， ′＝－
2.
gx gx gx
[gx]
微辨析
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.
法二：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2 ＋3x＋2)(x＋3)＝x3 ＋6x2 ＋
11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3 ＋6x2 ＋11x＋6)′＝3x2 ＋12x＋
x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′
＝
x2＋32
－x2－6x＋3
＝
.
x2＋32
(3)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
cf′(x)
即[cf(x)]′＝ 04 __________________.
导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝
(2)[f(x)g(x)]′＝
fx
(3)
′＝
gx
f′(x)±g′(x)
；
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f′xgx－fxg′x
3．函数的商的导数
f′x
fx
Hale Waihona Puke (1)注意 ′≠.
g′x
gx
g′x
fx 1 1
(2)(特殊化)当 f(x)＝1，g(x)≠0 时， ＝ ， ′＝－
2.
gx gx gx
[gx]
微辨析
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.
法二：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2 ＋3x＋2)(x＋3)＝x3 ＋6x2 ＋
11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3 ＋6x2 ＋11x＋6)′＝3x2 ＋12x＋
x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′
＝
x2＋32
－x2－6x＋3
＝
.
x2＋32
(3)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
cf′(x)
即[cf(x)]′＝ 04 __________________.
导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝
(2)[f(x)g(x)]′＝
fx
(3)
′＝
gx
f′(x)±g′(x)
；
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f′xgx－fxg′x
相关主题
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2
五、课堂练习
1 3 4 练习 3 曲线 y x x 在点(1, ) 处的切线与坐标轴围成 3 1 3 的三角形的面积为 . 9 1 x *练习 4 已知 f ( ) ，则 f ( x )等于( D ) x 1 x 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 2 (1 x ) (1 x ) 1 x 1 x *练习 5 1 已知直线 y kx 是曲线 y ln x 的一条切线， 则k的 值为 . e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 ln x y (3) x2 .
四、典型例题
例题 2 已知直线 l1 为曲线 y = x + x - 2在点 A(1,0)处的切 线， l 2 为该曲线的另一条切线，且 l1 ^ l2 .求直线 l 2 的方程；
y
2
x
o
A(1,0)
2 20 ( , )B 3 9
l1
l2
四、典型例题
p( t ) = p0 (1 + 5%)t p0 = = 51， 其中 p0 为 t = 0时的物价.假定某种商品的 p 那么在第 10 个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)？
p(t ) 1.05 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 解析： p(t ) = p0 (1 + 5%)t = 5? 1.05t t t ) = 1.05t ln1.05 ¢ p ( 所以 pⅱ ( t ) = (5? 1.05 ) 所以 p¢ (10) = 1.0510 ln1.05 ? 0.08 (元/年) 因此,在第 10 个年,这种商品的价格约以 0.08 元/年的速度上涨.
1 x ln a 1 x .
；
一、复习与自主学习
②自主学习 教材 P83~P84 问题 1 记忆基本初等函数的导数公式; 问题 2 上述公式可以给我们的求导带来很大的便利，那 么为什么还要求导运算法则？ 问题 3 记忆求导运算法则，你发现运算法则有何规律?
二、新课引入 引例 假设某国家在 20 年间的年均通货膨胀率为 5%， 物价 p (单位：元)与时间 t (单位：年)有如下函数关系
2
y
l1
P (2, 3) x
o
l2
五、课堂练习
x 1 练习 1 函数 y 的导数是( A )． sin x 2 x sin x (1 x 2 )cos x A． y ； 2 sin x 2 x sin x (1 x 2 )cos x B. y ； 2 sin x 2 x sin x (1 x 2 ) C. y ； sin x 2 x sin x (1 x 2 ) D. y sin x 练 习 2 函 数 y ( x 1)2 ( x 1) 在 x 1 处 的 导 数 等 4 于 .
2
x0 x0 2 3 f ( x0 ) k .故有 2 x0 +1 x0 2 解得 x0 1 或 x0 3 所以 y0 0 或 y0 10 . 斜率分别为 k1 3 或 k2 7 所求切线的方程分别是 3 x y 3 0 或 7 x y 11 0
四则运算求导法则：
①[ f ( x ) ? g( x )]ⅱ f ( x ) ? g ? ( x) x e x ()] 答案： (x )) ?e ln (1) xⅱ ) 12 ?gf (x f x (x )1 ?； g((2) x ) f f (x g? ( x) x ； ②[ f ( x ) x f ( x) 2 f ⅱ ( x ) ?g ( x ) f ( x ) ?g ( x ) ]¢= (3)③ f [ (x ) g( x )( x 1)2 . g2 ( x)
例题 3 已知函数 f ( x) x x 2 ，过点 A(2,3)作该函数图象 的切线，求该切线的方程. 解：显然点 A(2,3)不在函数图象上，故该点不是切点. 2 P ( x , y ) 设切点的坐标是 0 0 f ( x) x x 2 f ( x) 2 x+1 所以，过切点 P( x0 , y0 ) 的切线的斜率是 f ( x0 ) 2 x0 +1 ， y0 3 2 k y x 而又，过 A,P 两点的斜率可以表示为 x0 2 且 0 0 x0 2 ，
七、课外作业 ①《课时作业》
②体验高考
1. (2011 温 州 高 三 适 应 性 试 题 节 选 ) 已 知 函 数 8x y 2 0 f ( x ) x 3 ax 2 10 . (1)当 a 1时，求曲线 y f ( x )在点(2, f (2))处的切线方程. 2. (2016 新 课 标 文 ) 已 知 f ( x) 为 偶 函 数 ， 当 x 0 时 ， f ( x ) e x 1 x , 则 曲 线 y f ( x ) 在 (1,2) 处 的 切 线 方 程 式 2x y 0 _____________________________.
3.2导数的计算 ——导数的运算法则
第二课时
李吉文
教学目标：
1.掌握基本初等函数的导数公式； 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则； 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
一、复习与自主学习
①基本初等函数的导数公式 0 ； 1. f ( x) = c(c 为常数 ) ? f ¢( x ) 2. f ( x ) = x a (a 无Q* ) f ¢( x ) = a xa - 1 ； 3. f ( x ) = sin x ? f ¢( x ) cos x ； 4. f ( x ) = cos x ? f ¢( x ) - sin x ； x x a ln a ； ¢ 5. f ( x ) = a ? f ( x ) x x e ¢ 6. f ( x ) = e ? f ( x ) ； 7. f ( x ) = log a x ? f ¢( x ) 8. f ( x ) = ln x ? f ¢( x )
特别地
[c ? f ( x )]ⅱ c ? f ( x )
*引例中问题的解决 f ( x) ax f ( x) ax lna 引例 假设某国家在 20 年间的年均通货膨胀率为 5%，物 价 p (单位：元)与实践 t (单位：年)有如下函数关系
p( t ) = p0 (1 + 5%)t 其中 p0 为 t = 0时的物价.假定某种商品的 p0 = 5 ， 那么在第 10 个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)？ t t 解： p(t ) = p0 (1 + 5%) = 5? 1.05 所以 pⅱ ( t ) = (5? 1.05t )
四、典型例题
变式训练 求下列函数的导数．
2 y 3 x (2 x 3); (1) ln x y 5 ( x 0) (3) . x
x x y 1 sin cos (2) 2 2
；
变式训练答案：
2 y 18 x 9; (1)
1 y cos x (2) ; 2
Q pⅱ ( t ) = 5? (1.05t ) = 5? (1.05t ln1.05) \ p¢ (10) = 5? 1.0510 ln1.05 淮 5 0.08 = 0.40 因此,在第 10 个年,这种商品的价格约以 0. 40 元/年的速度上涨.
四、典型例题
例题 1 求下列函数的导数． (1) f ( x ) (2 x 1)(3 x 2) ； (2) f(x)＝ex ln x ( x 0) ； x－1 ( x 1) . (3) f(x)＝ x＋1
六、课堂小结
(1)本节课的主要任务是能熟练运用导数的运算法则求导. (2)请同学们用自己的话来归纳概括运算法则，以便于记忆！ (3)用运算法则进行运算时，你认为要注意哪些事项？ (4)求函数曲线的切线方程有三种基本类型：①已知切点求斜 率；②已知斜率求切点；③未知切点和斜率(过曲线外一点).解题 关键是“不知切点设切点 P( x0 , y0 ) ”.
t
f ( x) ax f ( x) ax lna
如果上式中的某种商品的 p0=5,那么在第10个年头， 这种商品的价格上涨的速度 大约是多少？
三、四则运算求导法则
①[ f ( x ) ? g( x )]ⅱ f ( x ) ? g ?( x ) ②[ f ( x )? g( x )]ⅱ f ( x ) ?g( x ) f ( x ) ?g ?( x ) f ( x) fⅱ ( x ) ?g( x ) f ( x ) ?g ( x ) ]¢= ③[ 2 g( x ) g ( x)
五、课堂练习
1 3 4 练习 3 曲线 y x x 在点(1, ) 处的切线与坐标轴围成 3 1 3 的三角形的面积为 . 9 1 x *练习 4 已知 f ( ) ，则 f ( x )等于( D ) x 1 x 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 2 (1 x ) (1 x ) 1 x 1 x *练习 5 1 已知直线 y kx 是曲线 y ln x 的一条切线， 则k的 值为 . e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 ln x y (3) x2 .
四、典型例题
例题 2 已知直线 l1 为曲线 y = x + x - 2在点 A(1,0)处的切 线， l 2 为该曲线的另一条切线，且 l1 ^ l2 .求直线 l 2 的方程；
y
2
x
o
A(1,0)
2 20 ( , )B 3 9
l1
l2
四、典型例题
p( t ) = p0 (1 + 5%)t p0 = = 51， 其中 p0 为 t = 0时的物价.假定某种商品的 p 那么在第 10 个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)？
p(t ) 1.05 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 解析： p(t ) = p0 (1 + 5%)t = 5? 1.05t t t ) = 1.05t ln1.05 ¢ p ( 所以 pⅱ ( t ) = (5? 1.05 ) 所以 p¢ (10) = 1.0510 ln1.05 ? 0.08 (元/年) 因此,在第 10 个年,这种商品的价格约以 0.08 元/年的速度上涨.
1 x ln a 1 x .
；
一、复习与自主学习
②自主学习 教材 P83~P84 问题 1 记忆基本初等函数的导数公式; 问题 2 上述公式可以给我们的求导带来很大的便利，那 么为什么还要求导运算法则？ 问题 3 记忆求导运算法则，你发现运算法则有何规律?
二、新课引入 引例 假设某国家在 20 年间的年均通货膨胀率为 5%， 物价 p (单位：元)与时间 t (单位：年)有如下函数关系
2
y
l1
P (2, 3) x
o
l2
五、课堂练习
x 1 练习 1 函数 y 的导数是( A )． sin x 2 x sin x (1 x 2 )cos x A． y ； 2 sin x 2 x sin x (1 x 2 )cos x B. y ； 2 sin x 2 x sin x (1 x 2 ) C. y ； sin x 2 x sin x (1 x 2 ) D. y sin x 练 习 2 函 数 y ( x 1)2 ( x 1) 在 x 1 处 的 导 数 等 4 于 .
2
x0 x0 2 3 f ( x0 ) k .故有 2 x0 +1 x0 2 解得 x0 1 或 x0 3 所以 y0 0 或 y0 10 . 斜率分别为 k1 3 或 k2 7 所求切线的方程分别是 3 x y 3 0 或 7 x y 11 0
四则运算求导法则：
①[ f ( x ) ? g( x )]ⅱ f ( x ) ? g ? ( x) x e x ()] 答案： (x )) ?e ln (1) xⅱ ) 12 ?gf (x f x (x )1 ?； g((2) x ) f f (x g? ( x) x ； ②[ f ( x ) x f ( x) 2 f ⅱ ( x ) ?g ( x ) f ( x ) ?g ( x ) ]¢= (3)③ f [ (x ) g( x )( x 1)2 . g2 ( x)
例题 3 已知函数 f ( x) x x 2 ，过点 A(2,3)作该函数图象 的切线，求该切线的方程. 解：显然点 A(2,3)不在函数图象上，故该点不是切点. 2 P ( x , y ) 设切点的坐标是 0 0 f ( x) x x 2 f ( x) 2 x+1 所以，过切点 P( x0 , y0 ) 的切线的斜率是 f ( x0 ) 2 x0 +1 ， y0 3 2 k y x 而又，过 A,P 两点的斜率可以表示为 x0 2 且 0 0 x0 2 ，
七、课外作业 ①《课时作业》
②体验高考
1. (2011 温 州 高 三 适 应 性 试 题 节 选 ) 已 知 函 数 8x y 2 0 f ( x ) x 3 ax 2 10 . (1)当 a 1时，求曲线 y f ( x )在点(2, f (2))处的切线方程. 2. (2016 新 课 标 文 ) 已 知 f ( x) 为 偶 函 数 ， 当 x 0 时 ， f ( x ) e x 1 x , 则 曲 线 y f ( x ) 在 (1,2) 处 的 切 线 方 程 式 2x y 0 _____________________________.
3.2导数的计算 ——导数的运算法则
第二课时
李吉文
教学目标：
1.掌握基本初等函数的导数公式； 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则； 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
一、复习与自主学习
①基本初等函数的导数公式 0 ； 1. f ( x) = c(c 为常数 ) ? f ¢( x ) 2. f ( x ) = x a (a 无Q* ) f ¢( x ) = a xa - 1 ； 3. f ( x ) = sin x ? f ¢( x ) cos x ； 4. f ( x ) = cos x ? f ¢( x ) - sin x ； x x a ln a ； ¢ 5. f ( x ) = a ? f ( x ) x x e ¢ 6. f ( x ) = e ? f ( x ) ； 7. f ( x ) = log a x ? f ¢( x ) 8. f ( x ) = ln x ? f ¢( x )
特别地
[c ? f ( x )]ⅱ c ? f ( x )
*引例中问题的解决 f ( x) ax f ( x) ax lna 引例 假设某国家在 20 年间的年均通货膨胀率为 5%，物 价 p (单位：元)与实践 t (单位：年)有如下函数关系
p( t ) = p0 (1 + 5%)t 其中 p0 为 t = 0时的物价.假定某种商品的 p0 = 5 ， 那么在第 10 个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)？ t t 解： p(t ) = p0 (1 + 5%) = 5? 1.05 所以 pⅱ ( t ) = (5? 1.05t )
四、典型例题
变式训练 求下列函数的导数．
2 y 3 x (2 x 3); (1) ln x y 5 ( x 0) (3) . x
x x y 1 sin cos (2) 2 2
；
变式训练答案：
2 y 18 x 9; (1)
1 y cos x (2) ; 2
Q pⅱ ( t ) = 5? (1.05t ) = 5? (1.05t ln1.05) \ p¢ (10) = 5? 1.0510 ln1.05 淮 5 0.08 = 0.40 因此,在第 10 个年,这种商品的价格约以 0. 40 元/年的速度上涨.
四、典型例题
例题 1 求下列函数的导数． (1) f ( x ) (2 x 1)(3 x 2) ； (2) f(x)＝ex ln x ( x 0) ； x－1 ( x 1) . (3) f(x)＝ x＋1
六、课堂小结
(1)本节课的主要任务是能熟练运用导数的运算法则求导. (2)请同学们用自己的话来归纳概括运算法则，以便于记忆！ (3)用运算法则进行运算时，你认为要注意哪些事项？ (4)求函数曲线的切线方程有三种基本类型：①已知切点求斜 率；②已知斜率求切点；③未知切点和斜率(过曲线外一点).解题 关键是“不知切点设切点 P( x0 , y0 ) ”.
t
f ( x) ax f ( x) ax lna
如果上式中的某种商品的 p0=5,那么在第10个年头， 这种商品的价格上涨的速度 大约是多少？
三、四则运算求导法则
①[ f ( x ) ? g( x )]ⅱ f ( x ) ? g ?( x ) ②[ f ( x )? g( x )]ⅱ f ( x ) ?g( x ) f ( x ) ?g ?( x ) f ( x) fⅱ ( x ) ?g( x ) f ( x ) ?g ( x ) ]¢= ③[ 2 g( x ) g ( x)