天体的中三体问题

天体中的三体问题
韩博伟谈
三体问题算是经典力学里面的天体力学的老难题了，从牛顿那个时候起就是物理学家和数学家的恶梦。

先说一下什么叫三体。

用物理语言来说，在一个惯性参考系中有N个质点，求解这N个质点的运动方程就是N体问题。

参考系是惯性参考系，也就是说不受系统外的力的作用，所有的作用力都来自于体系内的这N个质点之间。

在天体力学里面，我们通常就只考虑万有引力。

用数学语言来说，经典力学的N体问题模型就是，在三维平直空间里有N个质点，每个质点的质量都已知而且不会变化。

在初始时刻，所有质点的位置和速度都已知。

每个质点都只受到来自其它质点的万有引力，引力大小由牛顿的同距离平方成反比的公式描述。

要求解的就是，任意一个时刻，某个质点的位置。

N=2，就是二体问题。

N=3，也就是我们要说的三体问题了。

N=2的情况，早在牛顿时候就已经基本解决了。

学过中学物理后，大家都会知道，两个质点在一个平面上绕着共同质心作圆锥曲线运动，轨道可以是圆、椭圆、抛物线或者双曲线。

然而三体运动的情况就糟糕得多。

攻克二体问题后，牛顿很自然地开始研究三体问题，结果也是十分自然的——头痛难忍。

牛顿自述对付这种头痛的方法是：用布带用力缠紧脑袋，直至发晕为止—虽则这个办法治标不治本而且没多少创意，然而毕竟还是有效果的。

其实，三体运动已经是对物理实际简化得很厉害了。

比如说对质点，自转啦、形状啦我们统统不用考虑。

但是只要研究实际的地球运动，就已经比质点复杂得多。

比如说，地球别说不是点，连球形都不是，粗略看来是个赤道上胖出来一圈的椭球体。

于是，在月球引力下，地球的自转轴方向就不固定，北极星也不会永远是那一颗。

而考虑潮汐作用时，地球都不能看成是“硬”的了，地球自转也因此越来越慢。

然而即使是极其简化了的三体问题，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱等等大师们为这个祭坛献上了无数脑汁也未能将它攻克。

当然，努力不会完全白费的，许多有效的近似方法被鼓捣了出来。

对于太阳系，摄动理论就是非常有效的解决问题的近似方法。

而对于地月系统，则可以先把地球和月球看作是二体系统，再考虑太阳引力的影响。

“月亮绕着地球转，地球绕着太阳转”的理论计算已经作得非常精确，上下几千年的日食月食都能很好地预测。

而对一颗受到行星引力干扰的彗星，人们也能算出一段时间内很精确的轨道，比如天文学家可以提前几年就预测出彗星撞木星。

而且，太阳系的稳定性也在很大程度上得到了证明，比如说大行星的轨道变化大体上是周期性的，不会始终单向变化下去直到行星系统解体。

为了解三体问题，那就考虑再简化些吧。

认为一个质点的质量非常小，从而它对其它两个质
点的万有引力可以忽略。

这样一来，三体问题就简化成了“限制性三体问题”。

实际上，这个简化等于是先解一个二体问题，然后再加入一个质量很小的质点，再解这个质点在二体体系中的运动方程。

然而，即使这样也还是太复杂了。

于是，再作简化，就得到了“平面限制性三体问题”，就是要求三个质点都在同一个平面上。

然而，即使是对这样极度简化的模型，也还是没有解析通解，也就是得到一个普遍适用的公式是不可能的。

对“平面限制性三体问题”再作简化，认为两个大质点作圆周运动，就是“平面圆型限制性三体问题”。

1772年，拉格朗日在这种限制条件下找到了5个特解，也就是著名的拉格朗日点。

比如下面这张图上，木星和太阳连线上有L1，L2，L3三个拉格朗日点，而在木星轨道上则有L4，L5这两个点，和太阳以及木星构成等边三角形。

L1，L2，L3是不稳定的，如果小质点离开这三个点，就会越跑越远。

L4，L5则是稳定的。

本来，拉格朗日点多少显得有点象数学游戏，但是自然界证明，稳定解在太阳系里确实存在实例。

对于木星来说，L4和L5上各有一群小行星，就是著名的特洛伊群和希腊群小行星。

从数学方法来说，解2体问题的方法是解微分方程组，通过求积分的方式可以圆满解决，得到解析解。

很自然的，物理学家和数学家们也用这种方法去对付三体问题。

1772年，拉格朗日就已经把三体问题的18个方程简化成了只有6个。

然而，进步到此为止了。

19世纪末期的研究更是给了数学家们一连串打击。

布伦斯（1887），庞加莱（1889）和潘勒斯（1898）年给出了一个比一个更严格的证明，堵死了求积分的许多途径。

1941年西格尔干脆证明了代数积分法的死刑，宣布找到足够的代数积分是不可能的。

当然，三体问题的数学研究不是除了失败外就一无所有，它还是带来了许多新发现，比如混沌理论就是从它的废墟中诞生的。

当然，我们还只是谈到了牛顿力学。

如果考虑到广义相对论的修正，那就更糟糕了，连二体问题都只有近似解。

而且，广义相对论的二体问题也不稳定，由于发射引力波损失能量，两个星体迟早会撞在一起，虽说要等的时间可能比宇宙寿命还长。

在牛顿的经典力学体系里面，对三体问题的简化可以用下面这张图大体表示一下（在这里把月球火箭的轨道计算作为一个三体运动的一个实际应用的例子，实际上比三体运动还要复杂）
二十世纪50年代后，数学家们多了一个新帮手：计算机。

于是，两个新办法出来了，一个是用级数表示积分（简单代数积分不指望了），另一个则干脆是使用数值方法求近似解。

级数解在理论上获得了很大成功，比如在限制性圆型三体问题中，已经证明了所需要的积分是存在的（但是另一方面早就证明了用代数公式是不能表达的）。

这些积分可以用幂级数表达，而且证明了幂级数是收敛的。

但是这些幂级数收敛得太慢了，比如对拉格朗日点，为了达到可以接受的精度，至少要取10^80000项！而整个宇宙中的粒子数也就10^80个的样子。

计算机的加盟使人们对三体问题不是那么无助了。

虽然没有代数公式，但用数值算法硬算的结果，精确性也不错。

比如，发射飞船去探测其他行星就是典型的三体问题，旅行者2号说去海王星就一定到得了。

再比如，太阳系大行星4000万年内的运动也算了出来，至少往后这段时间，太阳系的行星系统还不至于散架。

让我们看看三体问题的大致现状吧：
1．目前的研究主要集中在限制性三体问题，因为比较简化，而且有实用价值。

2．对于限制性三体问题，通过级数法证明了解的存在性（这已经是非常大的成果了）。

而且，天体力学的定性分析和天文观测（比如地球上繁衍了几十亿年的生命）都证明了限制性三体体系的稳定解的存在性。

3．用解决二体问题的方法，也就是代数积分的方法被确认不可能解决三体问题。

4．用计算机进行较长期的三体问题的数值计算是成功的。

5．三体问题的算法还大有可改进之处。

毕竟，10^80000项的计算是太过于可怕了。

回到《三体》小说，有了“秦始皇”的“人计算机系统” ，算个简化的三体问题还是可以的。

不过，如果是小说中那种三个太阳的质量差不多，而且相互距离也差不多的情况，他们面对的三体问题就不能简化为限制性三体问题，计算的难度要大很多。

不过，用计算机算出比较短时间的预测应该是可行的。

毕竟，天气预报不一定非得要知道明年今天的具体天气，能比较准确知道一周天气就不错了（通常我们还只听听明天是否下雨呢）。

三体人知道是不是该“脱水”或者“浸泡”就已经很有好处了。

用观测不断修正预测，至少对小的“乱世代”不用害怕了。

当然，如果三体文明只是在I/II类文明的层次，不能通过移走恒星来釜底抽薪地解决三体问题。

那么，“但重要的是改变世界”这句话就仍然是正确到了残酷的地步，预测出“三星凌空”也无助于逃脱毁灭。

到目前为止，我们一直在用纸、笔还有计算机讨论三体问题，用的都是演绎法。

但不要忘了，科学方法里还有另一件更重要的武器：归纳法。

我们可以用观察和实验，看看实际中的三体会是什么样子。

由于在我们日常的尺度上，万有引力弱得可以忽略，只有到了天文尺度上，引力才显出它的威力，比如地球把我们拉在地上不放。

所以，在普通的实验室里面实现三体系统是不行的。

我们只能把视线转向天空，去考察大自然为我们安排了什么样的实例。

当然，象我们已经看到的，在太阳系里，已经充分表现了限制性三体问题是有稳定解的。

但是，就基本同量级的三体又如何呢？我们可以来看看恒星。

银河系里的恒星不下一千亿颗，象太阳这样独居的恒星其实是少数。

恒星们总的来说还是喜欢热闹的。

双星的数量非常多，而且很多都已经是几十亿年的老伴侣了（比如下面要谈到的南门二A/B），等于从实验上证明了二体系统的稳定性。

而三合星也不少见，但是一般都是一对双星再搭上一个远距离的单星。

同样，更多数量恒星组成的聚星，也多是由双星和单星组合而成的。

应该说这也强烈地暗示了，大自然也认为三体系统是不稳定的。

毕竟，银河系里的三体并不是理想的三体系统，一则恒星可以相撞而合并，二来，一旦一颗恒星被抛出太远，它就可能脱离体系而主要由银河系的整体引力而控制了。

通过这两种方式，三体系统就变成了稳定的二体系统了。

当然，还有“四边形聚星”这种系统，恒星彼此质量相近，距离也都差不多。

最著名的一个例子就是猎户座大星云M42中心的四边形聚星（用5厘米左右的望远镜，放大率50～100倍就可以分辨开）。

值得注意的是，这些四边形聚星都非常年轻，比如猎户座四边形聚星，年龄就只有几百万年，对于天文学来说，这完全是婴儿期。

没有发现年老的四边形聚星，说明大自然认为这种构型也不稳定，总归会瓦解掉。

猎户座大星云M42的中心区，图中央的4颗亮星就是猎户座四边形聚星
有意思的是，N值再增大，比如N＝100级别的疏散星团或者N＝10万级别的球状星团，又是非常稳定的力学体系了，年龄超过几十亿年乃至百亿年的这些星团比比皆是。

当然，过于密集的结果就是碰撞很多，球状星团中央就有大量碰撞后合并而成的亮星。

昴星团（M45），年龄约5000万年，算是相当年轻的疏散星团，约有100颗成员星
球状星团M13，年龄超过100亿年，成员星约有30万。