西北师范大学数学与应用数学专业-西北师范大学数学与统计学院

西北师范大学数学与应用数学专业

专业选修课程教学大纲

常微分方程Ⅱ

一、说明

（一）课程性质

该课程是数学与应用数学专业应用数学方向的专业限选课程之一.

（二）教学目的

拓宽选修基础数学方向高年级学生的知识视野，加强和巩固学生在专业必修课《常微分方程》中所学的基本知识。使学生了解近代常微分方程的一些动态和实际应用背景。

（三）教学内容

一阶方程（组）初值问题解的局部存在性、延拓性、解对初值、参数和右端函数的相依性；二阶线性微分方程边值问题理论；二阶非线性微分方程边值问题的一些基本结果；定性理论以及相关实际应用。

（四）教学时数

50学时

（五）教学方式

课堂讲授

二、正文

常微分方程Ⅱ

第一章Caratheodory关于常微分方程初值问题基本定理教学要点：

Caratheodory条件下关于常微分方程初值问题的基本定理与Lipschitz条件的基本定理的区别和联系；动力系统的一般概念，Poincare-Birkhoff环域定理。

教学时数：

20学时

教学内容：Caratheodory关于常微分方程初值问题解的局部存在性定理、唯一性定理、解的延展定理、解对参数的连续依赖性定理；动力系统的一般概念；平面上的动力系统的基本结果以及相关实际应用。

第一节Caratheodory关于常微分方程初值问题的解的存在性和唯一性定理（6学时）

讲授Caratheodory 关于常微分方程初值问题的解的存在性和唯一性定理。比

较Caratheodory 条件下常微分方程初值问题的存在性和唯一性定理与

Lipschitz 条件下常微分方程初值问题解的存在性和唯一性定理区别和联系；

介绍Cauchy-Peano 定理。

第二节 Caratheodory 关于常微分方程初值问题的解延拓性定理 （2学时）

证明Caratheodory 关于常微分方程初值问题的解延拓性定理；介绍和证明

Winter 定理。

第三节 Caratheodory 关于常微分方程初值问题的解对初值的连续依赖性定理（2学时）

对n 维系统在非线性项满足Caratheodory 条件时讨论常微分方程初值问题的

解对初值的连续依赖性问题。介绍和证明Grownwall 引理、Bellman 引理以及

Bihari 引理.

第四节 动力系统的一般概念（4学时）

讲授拓扑动力系统的一些最基本的基础知识。介绍定常系统和非定常系统、抽

象动力系统、拓扑动力系统、微分动力系统、)( αw 极限点、P 式渐近轨线等

概念。讲授 )( P P A Ω 的基本性质。

第五节 平面上的动力系统（2学时）

介绍平面上的动力系统的主要结果。特别讲授关于Jordan 定理、无切线段、

流盒、奇点、闭轨线、Poincare-Birkhoff 环域定理、极限环、闭轨线附近轨线

分布的五种类型等内容。

第六节 生态数学简介（2学时）

介绍生物种群之间的四种基本关系：捕食者与食饵关系、竞争关系、互惠共

生关系以及寄生虫与宿主关系，以及相应的微分模型。

考核要求：

熟练掌握Caratheodory 关于常微分方程初值问题的解的存在性和唯一性定理、

初值问题的解延拓性定理以及解对初值的连续依赖性定理的条件和结论；掌

握这些定理的证明思路。理解Caratheodory 条件下常微分方程初值问题的存在

性和唯一性定理与Lipschitz 条件下常微分方程初值问题解的存在性和唯一性

定理主要区别。熟练掌握Grownwall 引理、Bellman 引理以及Bihari 引理的条

件和结论.了解拓扑动力系统的基本概念。掌握定常系统和非定常系统、抽象

动力系统、拓扑动力系统、微分动力系统、)( αw 极限点、P 式渐近轨线等概

念以及相关的基本性质。熟练掌握无切线段、流盒、奇点、闭轨线、极限环、

闭轨线等概念。理解和掌握Poincare-Birkhoff 环域定理及闭轨线附近轨线分布

的五种类型等内容。了解生物种群之间的四种基本关系和相应的微分模型。

第二章 常微分方程边值问题

教学要点：

常微分方程边值问题与初值问题的区别和联系； 线性Sturm-Liouville 边值问题的基本理论；打靶法、比较定理压缩映射原理在非线性边值问题中的应用。

教学时数：

30学时

教学内容：

线性常微分方程Sturm-Liouville边值问题的基本理论；二阶非线性常微分方

程边值问题的基本类型、基本方法（打靶法和Banach压缩映射原理等）以及

基本结果；零点间的距离与唯一性区间之间的联系；比较定理及其应用。

第一节线性常微分方程Sturm-Liouville边值问题（8学时）

线性常微分方程Sturm-Liouville边值问题的概念。线性Sturm-Liouville

边值问题可解的充分必要条件。特征值的存在与分布、特征函数的振动性质以

及按特征函数展开方面的基础知识。

第二节非线性常微分方程边值问题的类型（4学时）

提出常微分方程Dirichlet问题、Neumann问题、Robin问题、周期边值问题、

多点边值问题、静态简支梁方程边值问题等概念及实际背景。

第三节边值问题与初值问题的区别和联系（6学时）

举例说明：Lipschitz条件无法保证一些简单的非线性常微分方程边值问题的解

的存在性和唯一性。举例说明：一些简单的非齐次的非线性常微分方程边值问

题解的数目随参数变化。进而说明非线性常微分方程边值问题与非线性常微分

方程初值问题的本质区别。用打靶法证明一类非线性常微分方程边值问题解的

存在性。

第四节压缩映射与边值问题（4学时）

通过引进一系列的赋范线性空间及多种不同形式的范数，将Banach压缩映射

原理用于讨论非线性常微分方程边值问题的解的存在性和唯一性。逐步逼近

最优条件。

第五节零点间的距离与唯一性区间（4学时）

讲授非强迫方程的零点间距与非线性常微分方程边值问题解的唯一性区间之

间的联系。通过非强迫线性方程的零点间距给出非线性常微分方程边值问题存

在唯一解的最大区间估计。

第六节比较定理（6学时）

证明Sturm比较定理,并将其用于建立非线性常微分方程边值问题解的存在唯

一性定理

考核要求：

熟练掌握线性常微分方程Sturm-Liouville边值问题的概念以及线性

Sturm-Liouville边值问题可解的充分必要条件。熟练掌握常微分方程

Dirichlet问题、Neumann问题、Robin问题、周期边值问题、多点边值问题、

静态简支梁方程边值问题、Green函数等概念。熟练掌握用打靶法证明一些非

线性常微分方程边值问题解的存在性的技巧。能够熟练地运用Banach压缩映

射原理在多种不同的赋范线性空间中证明非线性常微分方程边值问题的解的