高二数学复数的定义和复数的坐标表示(学生版)
复数坐标表示
3 2
Z4
O
2
x
Z5
2
3. 复数的模
复数 z a bi 所对应的点 Z a, b 到坐标原点的距离
叫做 复数 z 的模（或绝对值），记作 z .
y
由复数模的定义：z a2 b2 z 0
注：当 b 0时，复数 z a bi是一个实数a， b
Z：a bi
它的模等于 a 即实数a的绝对值 .
思考 若 a b 呢,复数 z a bi 共有多少个？
10 9 90 个
2.复数的向量表示
y
平面直角坐标系内点 Z a,b
一一对应
b
uuur
位置向量OZ a,b
O
Z：a bi
Hale Waihona Puke ax所以一个复数 z a bi
一一对应
位置向量
uuur OZ
a,
b
uuur
即，我们可以用向量 OZ a,b 表示复数 z a bi
解：
t2 2t 0
t 1 2t 1
0
1 t2 2
uuur
复数 z 对应的点 Z 到原点的距离等于4, 即 OZ 4
满足 z 4的复数 z 对应的点 Z
y
所组成的集合(轨迹）： 是以原点为圆心，半径为4的圆.
Z：x yi 4
或设z x yi x, y R
O
4x
z x2 y2 4 即 x2 y2 16
同理，满足 2 z 4 的复数 z 对应的点Z所组成的集合：
复数的坐标表示方法
➢ x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 y
➢ 表示实数的点都在x 轴上，
表示纯虚数的点都在y轴上. b
Z：a b i
➢ 原点表示实数 0
13.2复数的坐标表示
| z | x 2 y 2 5
5
y
–5 O
5 x
x 2 y 2 25
图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上
–5
五、模的几何意义
例5.（2）满足 3<|z|<5
(z∈C)的复数z对应的点在复平 5
四、复数的模
例4.求证：下列四个复数在复平面内对应的点 在同一个圆上. 2 2 z1 1 ，z2 i，z3 cos15 sin 15i，z4 i 2 2 2 2 证明： OZ1 1 0 1
OZ 2
Hale Waihona Puke 0 1 12 2
OZ 3
cos 15 sin 15 1
(1) | Z | 1
( 2)2 Re Z 4 ( 3) | Z | 3, Im Z 0
五、模的几何意义
例7、复数Z ( x 1) 2xi, 且满足 | Z | 2, (1)求实数x的取值范围; (2)求 | Z | 的最小值.
六、课堂小结
1.复数的坐标表示；
2.复数的向量表示； 3.复数的模；
y
面上将构成怎样的图形？
设z = x+yi(x、y∈R)
3 x2 y2 5
3
O
5
–5 –3
3
5 x
9 x 2 y 2 25
–3
–5
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
五、模的几何意义
例6、根据条件，在复平面内，画出Z=x+yi,(x,y∈R)对应 的点Z所表示的图形.
复数的坐标表示
.
例1、已知集合A={n|n≤9，n∈N} (1)若一个复数的实部与虚部都是集合A的元素，则可得 多少个不同的复数，并在复平面上作出。 (2)在(1)中的复数中，有多少个虚数？多少个纯虚数？
例2、在复平面内作出表示下列复数的向量 Z1=2+2i Z2=-3-2i Z3=2i Z4=-4 Z5=-2-2i
1 (4)Z4 (t t ) 2i(t R)
.
例5、根据条件，在复平面内，画出Z=x+yi(x,y∈R)对 应的点Z所表示的图形
(1) | Z | 1 (2)2 ReZ 4 (3) | Z | 3, Im Z 0
.
例6、复数Z (x 1) 2xi, 且满足 | Z | 2, (1)求实数x的取值范围 (2)求 | Z | 的最小值
O2 4 x
复数Z所对应的点Z组成的集合是以原点 O为圆心，分别以2和4为半径的两个圆 围成的圆环（包括边界）
复数Z=a+bi(a,b∈R)的模与表示向量OZ的模一致，
所以复数的模也可以说成是其对应向量的模
.
例4、求下列复数的模：
(1)Z1 3 4i 1
(2)Z2 2 2i (3)Z3 cos150 i sin150
| Z || a bi | a2 b2
特别： 1、b=0,Z=a+bi(a,b∈R)是实数a，它的模于|a|
(即实数a的绝对值） 2、Z=0时，|Z|=0.
.
2、模的几何意义：在复平面内表示Z的点到原点的距离。
|Z|=4
y
复数Z所对应的点Z到原点的距离等于4
即以原点为圆心，以4为半径的圆 2＜|Z|≤4
x轴叫实轴，y轴叫虚轴 表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上
复数知识点归纳(一)2024
复数知识点归纳（一）引言概述：复数是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用。
本文将要介绍复数的一些重要知识点，包括复数的定义、复数的表示形式、复数的运算规则、复数的性质以及复数在实际应用中的应用场景。
正文：1. 复数的定义：- 复数是由一个实部和一个虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式。
- 实部和虚部分别由实数a和b来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2. 复数的表示形式：- 矩形形式：复数可以用直角坐标系中的点来表示，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标，形成一个复平面。
- 极坐标形式：复数可以用极坐标表示，即用模和幅角来表示。
3. 复数的运算规则：- 加法和减法：复数相加减时，实部和虚部分别进行运算。
- 乘法和除法：复数相乘除时，可以使用矩阵形式进行运算，实部和虚部分别进行运算。
- 幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转化为极坐标形式来简化运算。
4. 复数的性质：- 共轭复数：一个复数的共轭复数是将该复数的虚部取负数得到的复数。
- 模和幅角：一个复数的模是其在复平面上到原点的距离，幅角是与x轴正向的夹角。
- 相等和不等式：两个复数相等的条件是实部和虚部分别相等，两个复数的大小可以通过比较它们的模的大小来确定。
5. 复数的应用场景：- 电路分析：复数可以表示交流电压和交流电流，用于描述电路中电压和电流的相位关系。
- 信号处理：复数可以用于描述信号的频谱分析，在数字信号处理中有着重要应用。
- 工程计算：在工程中经常需要处理复杂的计算问题，复数可以简化计算过程。
总结：复数是一个由实部和虚部组成的数，可以用矩形形式和极坐标形式进行表示。
复数的运算包括加减法、乘除法和幂运算，具有一些重要的性质如共轭复数、模和幅角。
复数在实际应用中有广泛的应用场景，包括电路分析、信号处理和工程计算等。
深入理解和掌握复数知识，将对数学和工程领域的学习与应用产生积极的影响。
复数的有关概念
复数的有关概念[重点难点]1．复数的定义:形如a+bi(a,b∈R）的数叫做复数。
a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。
复数的分类如下:a+bi(a,b∈R)2．复数相等的充要条件设a,b,c,d∈R, 则a+bi=c+di a=c且b=d。
特别地:a+bi=0 a=b=0。
应当理解:（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样。
（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础。
3．复数的几何表示（1）坐标表示:在复平面内以(a,b)为坐标的点Z表示复数z=a+bi。
（2）向量表示:以原点O为起点，点Z(a,b)为终点的向量表示复数z=a+bi。
向量的长度叫做复数a+bi的模，记作|a+bi|。
V=||=|z|=≥0。
应当理解:10向量可以平移，只有位置向量零向量除外可以与点Z(a,b)以及复数z=a+bi有一一对应的关系。
20两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。
例题选讲:例1．实数m取何值时，复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
解:（1）当m2-3m+2=0即m=1或m=2时，z为实数；（2）当m2-3m+2≠0即m≠1且m≠2时，z为虚数；（3）当即m=-1时，z为纯虚数。
例2．已知复数z=(3m2-5m+2)+(m-1)i (m∈R) 若所对应的点在第四象限，求m的取值范围。
解:∵=(3m2-5m+2)-(m-1)i∴解得m>1。
∴m∈(1,+∞)为所求。
例3．已知方程2x2-(2i-1)x+m-i=0有实根，求实数m。
解:设实根为x0, 则2x02-(2i-1)x0+m-i=0,即2x02+x0+m-(2x0+1)i=0∴解得∴m=0为所求。
例4．已知z1=3-4i, z2=2-x-1+4i(x∈R), 且|z2|≤|z1|，求x的取值范围。
解:∵|z1|==5,|z2|=。
∴≤5, 解之得x≥-2。
数学职高知识点高二上册
数学职高知识点高二上册一、复数1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i构成的数，记作a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分。
2. 复数的性质- 复数的加减法：实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
- 复数的乘法：将实部的乘积减去虚部积的平方。
- 复数的除法：将被除数和除数同时乘以共轭复数，然后进行实数除法。
3. 常见的复数形式- 代数形式：a+bi- 三角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为辐角。
- 指数形式：re^iθ，其中r为复数的模，θ为辐角。
二、平面向量1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
2. 向量的坐标表示向量可以用坐标表示为(x,y)，其中x为横坐标，y为纵坐标。
3. 向量的运算- 向量的加法：将两个向量的对应坐标相加。
- 向量的减法：将两个向量的对应坐标相减。
- 向量的数量积：两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
- 向量的向量积：两个向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
三、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件：在相同条件下，可能发生也可能不发生的事件。
- 概率：某个随机事件发生的可能性大小。
2. 概率的计算- 经典概型：根据实验结果的分布特征，计算事件发生的概率。
- 几何概型：通过几何图形或面积模型，计算事件发生的概率。
- 统计概型：通过统计数据或样本资料，估计事件发生的概率。
3. 统计量与抽样- 统计量：根据样本数据计算得出的一个数值，可以用来描述总体的特征。
- 抽样：从总体中随机选取部分样本进行观察和测量。
四、函数与方程1. 函数的定义函数是两个集合之间的一种特殊关系，对于集合A的每个元素，都存在集合B中的唯一元素与之对应。
2. 二次函数与一次函数- 二次函数：函数的表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
- 一次函数：函数的表达式为y=kx+b，其中k、b为常数。
3. 方程的解- 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，其中a、b为常数。
(完整版)复数的基本概念和几何意义
复数一、考点、热点回顾1.复数的有关概念 （1）复数①定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. ②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.注意：复数m ＋n i 的实部、虚部不一定是m 、n ，只有当m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部. （2）复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母C 表示.2.复数的分类（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0）虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设a 、b 、c 、d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，即分离实部和虚部.（2）只有当a ＝c 且b ＝d 的时候才有a ＋b i ＝c ＋d i ，a ＝c 和b ＝d 有一个不成立时，就有a ＋b i ≠c ＋d i. （3）由a ＋b i ＝0，a ，b ∈R ，可得a ＝0且b ＝0.4.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.5.复数的两种几何意义 （1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）.（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应平面向量OZ →.6.复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ a 2＋b 2.注意：复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.二、典型例题考点一、复数的概念 例1、下列命题：①若a ∈R ，则（a ＋1）i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集.其中正确的是（ ）A.①B.②C.③D.④ 【解析】 对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数.对于①，若a ＝－1，则（a ＋1）i 不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i ＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选D.【答案】 D变式训练1、1.对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ ）A.若a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数B.若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－2C.若b ＝0，则a ＋b i 为实数D.i 的平方等于1解析：选C.对于A ，当a ＝0时，a ＋b i 也可能为实数； 对于B ，若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－1； 对于D ，i 的平方为－1.故选C.2.若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为（ ） A.1 B.1或－4 C.－4 D.0或－4解析：选C.易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.考点二、复数的分类例2、已知m ∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋（m 2＋2m －3）i ，当m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？【解】 （1）要使z 为实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.（2）要使z 为虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.（3）要使z 为纯虚数，m 需满足m （m ＋2）m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或－2.变式训练2、当实数m 为何值时，复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是（1）纯虚数；（2）实数.解：（1）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －7）＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.（2）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3.考点三、复数相等 例3、（1）若（x ＋y ）＋y i ＝（x ＋1）i ，求实数x ，y 的值；（2）已知a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋m i ＝0（m ∈R ）成立，求实数a 的值；（3）若关于x 的方程3x 2－a2x －1＝（10－x －2x 2）i 有实根，求实数a 的值.【解】 （1）由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12.（2）因为a ，m ∈R ，所以由a 2＋am ＋2＋（2a ＋m ）i ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋am ＋2＝0，2a ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，m ＝－22或⎩⎨⎧a ＝－2，m ＝22，所以a ＝±2.（3）设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝（10－m －2m 2）i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或－715.变式训练3、已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值.解：由题意知，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i ＝3（a ∈R ），所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1， 所以a ＝－1.考点四、复数与复平面内的点例4、已知复数z ＝（a 2－1）＋（2a －1）i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）.（1）在实轴上； （2）在第三象限.【解】 （1）若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.（2）若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0.解得－1<a <12.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12. 变式训练4、求实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点（1）位于第二象限； （2）位于直线y ＝x 上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点就是点Z （a 2＋a －2，a 2－3a ＋2）.（1）由点Z 位于第二象限，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1. 故满足条件的实数a 的取值范围为（－2，1）. （2）由点Z 位于直线y ＝x 上，得 a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1. 故满足条件的实数a 的值为1.考点五、复数与复平面内的向量例5、（1）已知M （1，3），N （4，－1），P （0，2），Q （－4，0），O 为复平面的原点，试写出OM →，ON →，OP →，OQ →所表示的复数；（2）已知复数1，－1＋2i ，－3i ，6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数.【解】 （1）OM →表示的复数为1＋3i ；ON →表示的复数为4－i ；OP →表示的复数为2i ； OQ →表示的复数为－4.（2）复数1对应的向量为OA →，其中A （1，0）；复数－1＋2i 对应的向量为OB →，其中B （－1，2）；复数－3i 对应的向量为OC →，其中C （0，－3）；复数6－7i 对应的向量为OD →，其中D （6，－7）. 如图所示.（3）记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝（2，3），OB →＝（3，2），OC →＝（－2，－3）.设OD →＝（x ，y ），则AD →＝（x －2，y －3），BC →＝（－5，－5）.由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i.变式训练5、在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是_____________.解析：3－3i 对应向量为（3，－3），与x 轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y 轴负半轴上，且模为2 3.故所得向量对应的复数是－23i.答案：－23i考点六、复数的模 例6、（1）设（1＋i ）x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝（ ）A.1B. 2C. 3D.2 （2）已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】 （1）选B.因为x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1， 所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2. （2）法一：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， 则|z |＝a 2＋b 2，代入原方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.所以z ＝－15＋8i.法二：由原方程得z ＝2－|z |＋8i （*）. 因为|z |∈R ，所以2－|z |为z 的实部， 故|z |＝（2－|z |）2＋82，即|z |2＝4－4|z |＋|z |2＋64，得|z |＝17. 将|z |＝17代入（*）式得z ＝－15＋8i.变式训练6、已知复数z ＝3＋a i （a ∈R ），且|z |<4，求实数a 的取值范围.解：法一：因为z ＝3＋a i （a ∈R ），所以|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，所以a 2<7，所以a ∈（－7，7）.法二：由|z |<4知z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB （除去端点）为动点Z （3，a ）的集合， 由图可知－7<a <7.三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A. B.2 C.0 D.1解析:由复数相等的充要条件知,x+y＝０，ｘ－１＝０故x+y=0.故2x+y=20=1.答案:D2.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得m=-1.答案:B3.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isinπ,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________.解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sinπ=0·i=0为实数,其余为虚数.答案:②③④4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为()A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i解析:A中|z|=<3;B中对应点(2,-3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第一象限;D中对应点(-3,-2)在第三象限,|z|=>3.答案:D5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析:∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,表示一个圆,故选A.答案:A6.已知在△ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3).又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1能力提升8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.解析:∵z为虚数,∴m-sinθ-cosθ≠0,即m≠sinθ+cosθ.∵sinθ+cosθ∈[],∴m∈(-∞,)∪,+∞).答案:(-∞,)∪,+∞)9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.解析:若复数为纯虚数,则有a2-a-2=0,|a-1|-1≠0即a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.答案:{a|a≠-1}10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________. 解析:依题意知Z点在第二象限且在直线y=-x上,设z=-a+ai(a>0).∵|z|=1,∴a2=12.而a>0,∴∴z=+答案:z=+11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.解析:设z=a+bi(a,b∈R),则代入方程得,2+8i,∴解得a=-15∴z=-15+8i.答案:-15+8i12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.解析:M∪P=P,∴M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,解得m=2.综上可知m=1或m=2.答案:m=1或m=213.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线. 解析:设复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i对应的点为Z(x,y),则x=2+cosθ,y=1+sinθ即cosθ=x-2,sinθ=y-1所以(x-2)2+(y-1)2=1.所以复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆. 答案:复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.14． 已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． 答案: (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0.。
高二数学同步讲义(复数的坐标表示)
复数的坐标表示1、复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数bi a z +=（,a b R ∈），都可以由一个有序实数对(,)a b 唯一确定。
由于有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做 实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的复数为000i +=.在复平面内的原点(0,0)表示实数0；实轴上的点(2,0)表示实数2；虚轴上的点(0,1)-表示纯虚数－i ；虚轴上的点(0,5)表示纯虚数5i ；一般的虚数对应的点在四个象限内，如复数23i -对应的点为(2,3)-在第四象限.2、复数与点、向量之间的对应关系： 复数z a bi =+（,a b R ∈）←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b←−−−→一一对应复平面内的向量OZ3、复数的模(绝对值)与复数z 对应的向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模(也叫绝对值)记作z . 由模的定义可知：),0(22R r r b a r bi a z ∈≥+==+=复数和向量进行类比推理：（表中,,,,,a b c d x y R ∈）z z 表示原点(0,0)O 到(,)Z x y 的距离. 12z z -表示复数12,z z 对应的点12,Z Z 之间的距离.例如：4z =表示复数z 对应的点所组成的集合是“以原点为圆心，以4为半径的圆” 类似：(23)4z i -+=表示复数z 对应的点的集合是“以(2,3)为圆心，以4为半径的圆”；12z z i -=+表示复数z 对应的点的集合是“以(1,0)、(0,2)-为端点的线段的中垂线” 【例题讲解】1、（1）复数3z i =-对应的点在第 象限；（2）复数(3)(2)i m i +-+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是 （3）设222log (33)log (3)z m m i m =--+-（m R ∈），若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是 .2、（2）“满足2z i z i -++=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆”是否正确？（3）已知复数),(R y x yi x z ∈+=，且111zx =的点在复平面上所表示的曲线是（ ）A ．直线B ． 圆C ． 椭圆D ．抛物线3、（1）复数cos sin z i =+θθ（(0,2)θπ∈）在复平面上所对应的点的轨迹是 （2）若（1）中条件改为[0,]θπ∈，则复数z 对应的点的轨迹是4、（1）已知复数12312,1,34z i z i z i =-+=-=-，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C ,若(.)O C O A O B R λμλμ=+∈，则λμ+的值是___________.（2）已知复数123,,z z z 满足12121z z z z ==-=，则12z z +=5、（1）已知121,32z i z i =+=-，求12z z -；（2）已知11,12,3z C z i z z ∈=+-=，求z 对应的点Z 的轨迹方程；变题：已知z C ∈，112z i =+，12z z -≤，则z 对应的点Z 的轨迹是 （3）已知12,23,12z C z i z i ∈=+=+且12z z z z -=-，求z 对应的点Z 的轨迹方程6、若z C ∈,且221z i +-=，则22z i --的最小值是变题：已知1,z =求6z i z ++-的最小值及取到最小值时的z【同步精练】1、O 为复平面中坐标原点，O A对应的复数为13i -，将A 点向右平移3个单位，再向上平移1个单位后对应点为B ，则OB对应的复数为2、已知复习11z i =-，235z i =-+分别和复平面上的点,A B 对应，则（1）写出向量AB和BA 对应的复数；（2）求,A B 两点之间的距离.3、复数1212,,z z z z +分别表示点，,,A B C 为原点，且1212z z z z +=-，则四边形O A C B 的形状是__ _；4、在复平面上复数32i --，45i -+，2i +所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形A B C D 的对角线B D 所对应的复数是5、已知集合{}P z z i z i =+=-，{}11Q z z =+=，则P Q =6、若复数z 满足4z i z i -++=，则z 在复平面内对应的点Z 的轨迹是7、若复数z 满足221z z +--=，则z 在复平面内对应的点Z 的轨迹是8、若22,z z i z -=-=z =9、已知复数z 满足21z -=，求z 的取值范围.10、已知复数z 满足12z i z i --=++，求z 的取值范围.11、求使12log 434x i i -≥+成立的x 的取值范围.。
数学高考文科复数知识点
数学高考文科复数知识点作为数学高考文科的一部分，复数在解析几何和代数中起着重要的作用。
它作为一个数域的扩张，拓宽了数字的概念。
本文将重点介绍高考文科复数的相关知识点，帮助学生更好地准备高考。
一、复数的定义和表示复数是由实数部分和虚数部分构成的数，通常表示为a + bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i² = -1。
虚部b取值为0时，复数就变成了实数。
二、复数的加减乘除运算1. 复数的加减运算：将实部和虚部分别相加或相减，得到结果的实部和虚部。
2. 复数的乘法运算：将实部和虚部进行分配律的展开，然后利用i² = -1化简。
3. 复数的除法运算：将除数的共轭复数作为分子和分母的乘法因子，然后进行分子分母的乘法运算和化简。
三、复数的共轭与模1. 复数的共轭：将复数的虚部取相反数，实部不变，所得的新复数称为原复数的共轭复数。
如果复数为a + bi，其共轭复数为a - bi。
2. 复数的模：复数的模是指复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
对于复数a + bi，它的模是√(a² + b²)。
四、复数的三角形式复数可以通过极坐标表示，即用模长和辐角表示。
对于复数a + bi，可以表示为|r|·e^(iθ)，其中|r|为模长，θ为辐角。
使用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ，可以将复数的三角形式转化为指数形式。
五、复数的指数和对数指数函数和对数函数可以扩展到复数域。
对于复数z = a + bi，指数函数e^z的定义是e^z = e^a * e^(ib) = e^a * [cos(b) + isin(b)]。
复数z = a + bi的对数函数定义为ln(z) = ln|z| + i arg(z)，其中ln|z|是复数的模的自然对数，arg(z)是复数的辐角。
六、复数的方程和不等式1. 复数方程：类似于实数方程的解法，复数方程也可以通过代数运算和方程的性质进行求解。
高二数学复数知识点总结
高二数学复数知识点总结【导语】高二年级有两大特点：一、教学进度快。
一年要完成二年的课程。
二、高一的新鲜过了，距离高考尚远，最容易玩的疯、走的远的时候。
导致：心理上的迷茫期，学业上进的缓慢期，自我束缚的疏松期，易误入歧路，大浪淘沙的挑选期。
因此，直面高二的挑战，认清高二，认清高二的自己，认清高二的任务，显中意义十分重大而迫切。
作者高二频道为你整理了《高二数学复数知识点总结》，期望对你的学习有所帮助！【一】复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全部复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示情势叫做复数的代数情势，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
明显，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是由于，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍旧成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
人教版高二数学必修第四册《复数的几何意义》说课稿
人教版高二数学必修第四册《复数的几何意义》说课稿一、引言在高中数学中，复数是一个非常重要的概念。
复数的引入不仅拓宽了数的域，使得我们可以解决更多的数学问题，同时也具有深刻的几何意义。
本课程旨在通过学习《复数的几何意义》，让学生了解并体会复数的几何意义，从而帮助他们更好地理解复数及其在数学中的应用。
二、教学目标通过本节课的学习，学生将达到以下教学目标： 1. 理解复数的几何意义及其在平面内表示； 2. 能够用向量表示复数，并进行复数相加、相减、相乘的运算； 3. 能够解决与复数相关的几何问题。
三、教学内容1. 复数的引入及定义首先，我们将回顾复数的引入，描述复数的定义及其表示方法。
复数是由实部和虚部组成的，可以用a+bi来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2. 复数的几何意义接下来，我们将讲解复数的几何意义。
复数可以用向量表示，实部对应向量在实轴上的投影，虚部对应向量在虚轴上的投影。
我们可以直观地理解复数在平面内的表示，并通过几个例子演示。
3. 复数的运算然后，我们将学习关于复数的运算。
复数的加法减法可以通过向量的相加减来完成。
复数的乘法可以通过向量乘法和极坐标形式来理解。
我们将通过具体的例题进行讲解和练习，帮助学生掌握复数的运算规则。
4. 解决几何问题最后，我们将应用所学的复数知识解决几何问题。
例如，平面上的旋转、缩放等问题都可以通过复数的运算来表示和解决。
我们将带领学生分析和解决一些实际问题，培养他们运用复数解决几何问题的能力。
四、教学方法1.探究方法：通过引导学生提出问题，思考并探索复数的几何意义和运算规律，培养他们的自主学习和解决问题的能力。
2.演示法：通过具体的几何图形演示复数的表示和运算，帮助学生直观地理解和记忆。
3.实践方法：通过解决实际问题，培养学生应用复数解决几何问题的能力。
五、教学步骤步骤一：复习导入1.复习上节课所学的复数的引入和定义。
2.引导学生思考：复数在平面内的几何意义是什么？步骤二：讲解复数的几何意义1.通过一些例子，让学生感受复数在平面内的表示。
复数的坐标表示方法
复数的坐标表示方法【原创实用版2篇】目录（篇1）1.复数的基本概念2.复数的坐标表示方法3.复数的几何意义4.复数的运算及其应用正文（篇1）1.复数的基本概念复数是实数的扩展，它可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
复数在科学、工程和数学分析等领域具有广泛的应用。
2.复数的坐标表示方法复数可以用直角坐标系中的点来表示。
在复平面上，横坐标表示实部，纵坐标表示虚部。
例如，复数 3+4i 可以表示为平面上的点 (3, 4)。
这种表示方法使得我们可以直观地描绘复数的几何性质，从而方便分析和计算。
3.复数的几何意义复数在复平面上的位置具有特定的几何意义。
实部表示点在 x 轴上的坐标，虚部表示点在 y 轴上的坐标。
复数的模长表示点到原点的距离，幅角表示点与 x 轴正半轴的夹角。
通过研究复数在复平面上的几何性质，我们可以更好地理解复数的概念和运算规律。
4.复数的运算及其应用复数的加法、减法、乘法和除法都可以通过复平面上的几何变换来直观地表示。
例如，复数的乘法可以看作是平面上的缩放变换，复数的除法可以看作是平面上的平移变换。
复数的运算规律和几何变换在解决实际问题中具有重要意义，如在信号处理、控制系统和量子力学等领域。
总之，复数的坐标表示方法为我们提供了一种直观、形象的描绘复数的方法，同时也有助于我们更好地理解复数的几何性质和运算规律。
目录（篇2）1.复数的基本概念2.复数的坐标表示方法3.复数的几何意义4.复数的运算及其应用正文（篇2）1.复数的基本概念复数是实数的扩展，它由实部和虚部组成，通常表示为 a+bi 的形式，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i^2=-1。
复数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
2.复数的坐标表示方法复数在平面直角坐标系中可以表示为一个点，其实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
例如，复数 3+4i 在坐标系中的表示为点 (3, 4)。
恒高教育高二数学(复数的定义和复数的坐标表示)(学生版)
恒高一对一教师辅导讲义年级：高二辅导科目：数学学生姓名：课题复数的概念和复数的坐标表示教学目的1、理解复数集、复数的代数形式、实部与虚部的概念；2、理解两个复数相等的概念；3、理解复数与向量之间的关系，为用向量的方法处理复数的加减法打下基础；4、掌握复数模的概念，理解复数的模与向量模的关系，复数模与实数绝度值的关系。
教学内容【知识梳理】 虚数单位:它的平方等于，即 ;实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.与－1的关系:就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是的周期性：, , , .复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数复数集与其它数集之间的关系：两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果，，，，那么,【典型例题分析】例1、判断下列结论是否正确（1）,则是虚数；（2），则是纯虚数；（3）z=a不是虚数；（4）是虚数变式练习：判断下列命题的真假命题1：命题2：命题3：命题4：例2、实数m取什么数值时，复数是：（1）实数（2）虚数（3）纯虚数变式练习：m取何值时，复数（1）是实数（2）是虚数（3）是纯虚数例3、已知，求实数x,y.变式练习1：已知变式练习2：例4、已知关于x,y的方程组有实数解，求实的值。
例5、求满足例6、设复数例7、已知复数例8、(1)已知复数(2)设复数z满足=3，指出其在复平面上所对应的几何图形；（3）若复数变式练习：已知复数若对任意的实数x均有成立，试求实数a的取值范围例9、已知复数，分别对应向量若向量对应的复数为纯虚数，求的值。
【苏教版】高二数学(选修2-2)讲义：第3章 3.3 复数的几何意义 (含答案)
3．3复数的几何意义[对应学生用书P43]复平面的定义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．问题1：在复平面内作出复数z 所对应的点Z . 提示：如图所示．问题2：向量OZ u u u r和点Z 有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z ＝a ＋b i 与OZ u u u r有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ u u u r ，则OZ u u u r的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |，且|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.复数加减法的几何意义如图1OZ u u u r 、2OZ u u u u r分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ u u u r 、2OZ u u u u r 及1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 、1OZ u u u r －2OZ u u u u r的坐标． 提示：1OZ u u u r ＝(a ，b )，2OZ u u u u r＝(c ，d )，1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ u u u r －2OZ u u u u r＝(a －c ，b －d )． 问题2：向量1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 及1OZ u u u r －2OZ u u u u r所对应的复数分别是什么？提示：(a ＋c )＋(b ＋d )i 及(a －c )＋(b －d )i.1．复数加法的几何意义设向量1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且1OZ u u u r 和2OZ u u u u r不共线．如图，以1OZ u u u r ，2OZ u u u u r为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ所表示的向量OZ u u u r OZ u u u r就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ u u u r，2OZ u u u u r不共线，如图．则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ u u u r －2OZ u u u u r (等于21Z Z u u u u r)对应，这就是复数减法的几何意义．3．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[对应学生用书P44]复数的几何意义[例1] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则当a <0且b <0时，复数z 对应的点在第三象限；当a >0且b <0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．[精解详析] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． 若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限； 当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限； 当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．解析：z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0 ①m 2＋3m －28＝0 ②由②得m ＝－7或m ＝4. 因m ＝－7不适合不等式①， m ＝4适合不等式①， 所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．复数模及其几何意义的应用[例2] 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．[精解详析] (1)|z 1|＝|3－i|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，所以|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝1i －1的模为________． 解析：∵z ＝1－1＋i ＝－1－i (－1＋i )(－1－i )＝－1－i2＝－12－12i ，∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22. 答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵z ＝3＋a i ，∴z －2＝1＋a i ， ∴|z －2|＝1＋a 2<2，即1＋a 2<4，∴a 2<3，即－3<a < 3. 答案：(－3，3)5．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ 解：法一：由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ u u u r的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以5为半径的圆． 法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25，∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．[例3] 已知▱OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) AO u u u r 表示的复数；(2) CA u u r表示的复数；(3)点B 对应的复数．[思路点拨] 点O ，A ，C 对应的复数――――――→向量的坐标表示AO u u u r ，CA u u r ，OBu u u r的坐标形式――――――→复数在复平面上与向量一一对应AO u u u r ，CA u u r ，OBu u u r 对应的复数[精解详析] (1)AO u u u r ＝－OA u u r ，故AO u u u r表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)CA u u r ＝OA u u r －OC u u u r ，故CA u u r表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB u u u r ＝OA u u r ＋AB u u u r ＝OA u u r ＋OC u u ur ，故OB u u u r 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB u u u r对应的复数z ，z 在平面内对应的点在第几象限？解：z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ， ∵z 的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A 、B 、C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i.以AB 、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．解：如图，由复数加减法的几何意义， AD u u u r ＝AB u u u r ＋AC u u ur ，即z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)． 所以z 4＝z 2＋z 3－z 1＝7＋3i.|AD |＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ u u u r是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ u u u r相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．[对应学生用书P45]一、填空题1．若OA u u r 、OB u u u r 对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB u u u r|＝________.解析：∵OA u u r ＝(7,1)，OB u u u r＝(3，－2)， ∴AB u u u r ＝OB u uu r －OA u u r ＝(－4，－3)，∴|AB u u u r|＝5.答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限． 解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2,1)，位于第一象限． 答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________. 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部． 于是|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________. 解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________.解析：11＋i ＋i ＝1－i(1＋i )·(1－i )＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22. 答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解：由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32. 7．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB u u u r ，BC u u ur ，AC u u u r 对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解：(1)AB u u u r对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i. BC u u u r对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC u u u r对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB u u u r|＝|1＋i|＝2，|BC u u u r |＝|－3＋i|＝10，|AC u u u r |＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB u u u r|2＋|AC u u u r |2＝|BC u u u r |2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB u uu r |·|AC u u u r |＝12×2×22＝2.8．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解：已知|z－(－2＋2i)|＝1中，z的对应点轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，|z－(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3.。
高二数学期末复习之四复数
高二数学期末复习之四复数知识小结:⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念：复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数] 2若21z z ，则021 z z -.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）1. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式：①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程.③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）.④），（2121202z z a a z z z z =---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则 ①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=.②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. 注：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- . 2. 共轭复数的性质：z z = 2121z z z z +=+ a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅ 2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） nn z z )(=注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]3. ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有 ③nn n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+ 注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i )(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++ i i ii i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 . 4. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：||||z z =. 5.复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题：①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根ab x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根abx 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根a i b x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 范例分析①实数？②虚数？③纯虚数？①复数z 是实数的充要条件是： )(0,01,1,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωωω∴当m＝-2时复数z为实数．②复数z是虚数的充要条件：∴当m≠-3且m≠-2时复数z为虚数③复数z是纯虚数的充要条件是：∴当m＝1时复数z为纯虚数．【说明】要注意复数z实部的定义域是m≠-3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件．要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．[ ]()22221441z z z z=-+=-++，所以54z=，代入①得34z i=+，故选B．解法3：选择支中的复数的模均为2314⎛⎫+⎪⎝⎭，又0z≥，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B．【说明】解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点．求：z【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z．运算简化．解：设z=x+yi(x，y∈R)将z=x+yi 代入|z -4|＝|z -4i|可得x ＝y ，∴z=x+xi(2)当|z -1|2＝13时，即有x 2-x -6=0则有x=3或x=-2 综上所述故z ＝0或z=3+3i 或z=-2-2i【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质．其性质有：(3)1+2i+32i +…+1000999i【说明】计算时要注意提取公因式，要注意利用i 的幂的周期性，要记住常用的数据：2(1)2i i ±=±，11i i i -=-+，11ii i+=-。
高二数学复数知识点
高二数学复数知识点复数是数学中一个重要的概念，它包括实数和虚数两部分。
在高二数学中，学生将进一步学习复数的性质和运算法则。
本文将系统地介绍高二数学复数的相关知识点。
一、复数的定义与表示方法复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别是实数，i是虚数单位，满足i² = -1。
在这种表示方法中，a称为复数的实部，b 称为复数的虚部。
例如，2+3i和-5i都是复数。
二、复数的运算法则1. 加减法：将复数的实部和虚部分别相加或相减，即可得到结果的实部和虚部。
例如：(2+3i) + (4+2i) = (2+4) + (3+2)i = 6 + 5i(2+3i) - (4+2i) = (2-4) + (3-2)i = -2 + 1i2. 乘法：使用分配律按照展开式的方式进行计算，并注意虚数单位i的平方为-1。
例如：(2+3i) * (4+2i) = 2*4 + 2*2i + 3i*4 + 3i*2i = 8 + 4i + 12i - 6 = 2+ 16i3. 除法：先将分母的虚部通过乘以虚数单位的负数转化为实部，然后按照有理数除法的规则进行计算。
例如：(2+3i) / (4+2i) = (2+3i) * (4-2i) / (4² - (2i)²) = (2+3i) * (4-2i) / (16 + 4) = (2+3i) * (4-2i) / 20= (8-4i+12i-6i²) / 20 = (8+8i) / 20 = 0.4 + 0.4i三、复数的模和共轭1. 复数模：复数a+bi的模记作|a+bi|，定义为√(a²+b²)。
例如，|3+4i| = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 52. 复数共轭：复数a+bi的共轭记作a-bi，即保持实部a不变，虚部b取负号。
例如，(3+4i)的共轭是3-4i复数的模和共轭有以下性质：- |a+bi| = |-a-bi|- |a+bi|² = (a+bi)(a-bi) = a² + b²- (a+bi)(a-bi) = a² + b²四、复平面与复数的坐标表示复平面是一个平面直角坐标系，横轴表示实部的数轴，纵轴表示虚部的数轴。
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学科教师辅导讲义
年级：高二辅导科目：数学课时数：
课题复数的概念和复数的坐标表示
教学目的
1、理解复数集、复数的代数形式、实部与虚部的概念；
2、理解两个复数相等的概念；
3、理解复数与向量之间的关系，为用向量的方法处理复数的加减法打下基础；
4、掌握复数模的概念，理解复数的模与向量模的关系，复数模与实数绝度值的关系。
教学内容
【知识梳理】
1.虚数单位i:
()1它的平方等于1-，即21
i=-;
()2实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2.i与－1的关系:i就是1-的一个平方根，即方程21
x=-的一个根，方程21
x=-的另一个根是i-.
3.i的周期性：41n i i
+=, 421
n
i+=-, 43n i i
+=-, 41
n
i=.
4.复数的定义：形如(,)
a bi a
b R
+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示
5.复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)
z a bi a b R
=+∈，把复数表示成a bi
+的形式，叫做复数的代数形式.
6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)
a bi a
b R
+∈，当且仅当0
b=时，复数(,)
a bi a
b R
+∈是实数a；当0
b≠时，复数z a bi
=+叫做虚数；当0
a=且0
b≠时，z bi
=叫做纯虚数；当且仅当0
a b
==时，z就是实数0
7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C
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8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a，b，c，d R
∈，那么a bi c di
+=+⇔a c=,b d
=。