离散变量的最优化方法

§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
4、N-P维连续设计空间 N个设计变量中有P个离散变量，此外有N-P个 连续变量。
N-P维连续设计空间
XC xp1, xp2,, xn T Rnp
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
4、N维设计空间 Rn R p Rn p
其中：离散设计空间为 XD x1, x2,, xp T R p
在调优迭代运算中必须保持复合形各顶点的可行 性，故如果有部分顶点落在可行域外面，则需将其移 入可行域之内。
定义离散复合形的有效目标函数 f (X ) 为：
7.4 凑整解法与网格法（续）
图中A、B两点分别表示二维离散变量优化问题 凑整法中的连续最优点与离散最优点。
7.4 凑整解法与网格法（续）
凑整法可能出现的两个问题：
1、与连续最优点A最接近的离散点B落在可行域外，不可 以接受；
2、与连续最优点A最接近的离散点B并非离散最优点C， 点B仅是一个工程实际可能接受的较好的设计方案。
UC(X ) B, D, E,G, X
一般在p维离散变量情况下 离散坐标邻域的离散点总数 为N=2p+1。
7.3 离散最优解（续）
3．离散局部最优解 若 X*D ，对所有 X UN(X*) D 恒有 f (X *) f (X )
则称X*是离散局部最优点 4、拟离散局部最优解
若 X*D ，对所有 X UC(X*) D 恒有 f (X *) f (X ) 则称X*是拟离散局部最优点
H
HH 00.2.2mamx a(xm(m)；)；
海 海浪浪 对堤堤的坝 的：压P强 ： 0.P13 m20ax.1( M3P2maa)x ( M P a)
8.1 引 言（续）
b
现在需要设计堤坝的
截面尺寸 b 和 h，在保
证不受灾害的概率不低
h
H
于99.9%，堤坝不受冲
压损坏的概率不低于
99.0% 的要求下，使投
X
X
D
X C
X
D
x1,
T
x2 ,...xp
RD
XC
T
xp1, xp2 ,...xn
RC
N—设计变量维数；m—不等式约束条件个数 P—离散变量的个数； XD—离散子空间；RD—离散变量子集； XC—连续子空间；RC—连续变量子集；
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
二、非均匀离散变量和连续变量的均匀离散化处理 1、整型变量的离散
UN
(
X
)
X
xi
i , xi , xi
i , i 1, 2,...p)
X xi i , xi , xi i , i p 1, p 2,...n)
7.3 离散最优解（续） 图示为二维设计空间中离散点X的离散单位邻域
UN(X ) A, B,C, D, E, F,G, H, X
一般情况下，设离散变量
7.5 离散复合形法（续）
一、初始离散复合形的产生 1、初始离散点的确定
用复合形法在n维离散设计空间搜索时，通常取 初始离散复合形的顶点数为k=2n+1个。先给定一个 初始离散点X(0)，X(0)必须满足各离散变量值的边界 条件，即：
xiL
x(0) i
xiU
(i 1, 2,..., n)
xiL 、xiU 分别是第i个变量的下限值和上限值。
7.4 凑整解法与网格法（续）
二、网格法 网格法是解离散变量优化问题的一种最原始的遍数法。
在离散变量的值域内，先按 各变量的可取离散值在设计空间 内构成全部离散网格点，全域最 优点X’”应是可行域中诸网格点目 标函数值最小者．这就需要逐个 检查网格点是否可行和择其最优。
7.4 凑整解法与网格法（续） 点若不可行，则去掉；
连续设计空间为 XC xp1, xp2,, xn T Rnp
若Rp为空集时，Rn为全连续变量设计问题； 若Rn-p为空集时，Rn 为全离散变量设计问题。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
在机械优化设计中．常见的约束非线性离散变
量最优化问题的数学模型为：
min f (X ) D
D X gu ( X ) 0 (u 1, 2,...m)
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
p个离散变量全部可取的离散值的集合称为p维 离散变量的值域，可用一个p*l阶的矩阵Q来表示
q11 q12 q1l
Q
q21
q22
q2l
q p1
qp2
q
pl
pl
l为各离散设计变量可取离散值个数中的最大值
注：①因为离散变量是有限个,所以离散空间是有界的。 ②某个离散变量的取值不足l个，其余值可用预先 规定的自然数补齐。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
4、P维离散设计空间 对于p维离散变量，过每个变量离散值作该变量
坐标轴的垂直面，这些超平面的交点的集合就是p维
离散设计空间，用R表p 示。
而这些交点就是p维离散设计空间中的离散点，用
x D表示。
X D x1, x2 ,
,
xp
T
Rp
P 个离散设计变量组成P维离散设计空间。
5、离散全域最优解 若 X **D，对所有 X D 恒有 f (X **) f (X )
则称X**是离散全域最优点
7.3 离散最优解（续）
严格说来，离散优化问题的最优解应 是指离散全域最优点而言，但它与一般的 非线性优化问题一样，离散优化方法所求 得的最优点一般是局部最优点，这样通常 所说的最优解均指局部最优解。
各种类型变量的混合。有：
连续变量
确定型
整型变量
离散变量
随机变量 不确定型
混合变量
所以需要相应的优化方法。
8.1 引 言（续）
二、工程实际设计的需要
例：决定修建一条防洪堤坝。
b
根据历年的水文资料，台风的
年最大风速：
即 即 其 方 其 方 海 海 mmma中 差 浪 a中 差 浪 xaxmx服 m服服 ： a高x： 高 axx～ 2从均 2度 x从均 L度 正L值 HN1对 1H2N值 与态正 2(与 数 m(x年mx分/,xx年 正 s最 分 ,8/布)； x02s最 态 大 布8()2x； m(0m(， 大 分 (x/mm,/速 s风 )s布 /， x2/)成ss()速 ， m)正，/成 s比) 正 ，h比，
x(3)是离散最优点。
● X(3)
● X(2)
● x*
● X(1)
0
x1
§7.2 离散变量优化设计的基本概念
一、离散设计空间 1、一维离散设计空间
qij-1
●
qij
qij+1
●
●
Xi
i
i
在一条表示变量的坐标轴上的一些间隔点的集 合，这些点的集合称为离散设计空间；
这些点的坐标值是该变量可取的离散值，这些点 称为一维离散设计空间的离散点。
7.5 离散复合形法
离散复合形法是在求解连续变量复合形法的基础 上进行改造，使之能在离散空间中直接搜索离散点， 从而满足求解离散变量优化问题的需要。
基本思想： 通过对初始复合形调优迭代．使新的复合形不断向
最优点移动和收缩，直至满足一定的终止条件为止。
特点：复合形顶点必须是可行的离散点。
连续变量的复合形法
8.1 引 言
在许多工程问题中，设计变量实际上不是连续 变化的。
齿轮的齿数只能是正整数．是整型变量；
齿轮的模数应按标准系列取用；
钢丝直径、钢板厚度、型钢的型号也都应符合 金属材料的供应规范等等
属于这样的一些必须取离散数值的设计变量 均称为离散变量。
8.1 引 言（续）
一、 变量类型 工程实际问题中不是单一的连续变量，经常是
x( j) i
ai
ri( j) (bi
ai )
i 1, 2, , n ; j 2,3, , k
将第q+1点朝着点X (s)的方向移动，新点X (q+1)为： X(q+1)= X(s)+0.5 (X(q+1)—X(s))
X (r) X (c) (X (c) X (h))
反射系数的初值一般取 1.3
资最小。
8.1 引 言（续） 三、传统方法的局限性
求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变 量优化设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到 离散值上。
弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是 离散最优解。
8.1 引 言（续）
x*是连续变量的最优点；
x(1)是圆整后最近的离散点，但不可行；
x2
x(2)是最近的可行离散 点，但不是离散最优点；
7.5 离散复合形法（续）
2、初始复合形各顶点的产生
二维问题产生的离散复合 形的5个顶点
x(1) i
x(0) i
(i 1,2,...,n)
xi(
j 1)
x(0) i
(i 1,2,...,n;i j; j 1,2,...,n)
x(j j1) xLj (i 1, 2,..., n)
这样有2n个顶点分别 分布于n个设计变量的
x2
A
B
●
●
wk.baidu.com
的维数为p，则UN(X)内的离 C 散点总数为N=3p(p次方）
●
D ● i
εix
●
εi
i
E
●
●
●
F
G
●
H
0
7.3 离散最优解（续） 2、离散坐标邻域（UC(X))
在设计空间中离散点X的离散坐标邻域UC(X)是指 以X点为原点的坐标轴线和离散单位邻域UN（X）的 交点的集合。
图示离散坐标邻域为：
7.3 离散最优解（续） 三、收敛准则
设当前搜索到的最好点为x(k)，需要判断其是否收 敛。 在x(k)的单位邻域中查3n – 1个点，若未查到比x(k) 的 目标函数值更小的点，则收敛，x*=x(k) 。
7.4 凑整解法与网格法 一、凑整解法
解决离散变量的优化问题很容易考虑为；将离 散变量全都权宜地视为连续变量，用一般连续变量 最优化方法求得最优点（称为连续最优点），然后 再把该点的坐标按相应的设计规范和标准调整为与 其最接近的整数值或离散值，作为离散变量优化问 题的最优（称为离散最优点）的坐标．这便构成离 散变量最优化问题的凑整解法。
二维离散设计空间则 是上述平面上的某些 点的集合；
这些点的坐标值分别离 散变量可取的离散值．称 为二维离散设计空间的离 散点，
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续） 3、三维离散设计空间
对于三维离散变量，过每个变量离散值作该变 量坐标轴的垂直面．这些平面的交点的集合就是 三维离散设计空间。
这些交点就是三维离 散设计空间中的离散点。
整型变量可看作为是离散间隔恒定为1的离散变 量。是离散变量的特例。
2、连续变量的离散化 有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量转
化为拟离散变量。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
3、连续变量离散化的方法
i
xiu li
xil 1
i p 1，p 2，，n
其中： xiu，xil 为连续变量xi的上、下界，
X(k)点 若可行，则计算目标函数值f(X(k))，并与以前计 算取得的可行最好点x(l)比较,若f(X(k))<f(X(l)),则 将X(k)作为新的最好点
继续检查所有的全部离散点后，其最好点就是该 优化问题的最优解X**。
优点：原理简单
缺点：设计变量维数n以及每个变量离散值数目很 多时，计算量大。
li 为欲取离散值的个数。
xi坐标轴上的第j个拟离散点为：xij，
其相邻两个拟离散点为：xij i，xij，xij i
7.3 离散最优解
由于离散设计空间的不连续性，离散变量最优点与 连续变量最优点不是同一概念，必须重新定义。
1．离散单位邻域（UN(X))
在设计空间中，离散点X的单位邻域UN(X)是 指如下定义的集合。
改进：即在求得连续最优点A并调整到最接近的 离散点B以后，在B的离散单位邻域UN（X）或离 散坐标邻域UC（X)内找出所有的离散点，逐个判 断其可行性并比较其函数值的大小．从中找到离 散局部最优点或拟离散局部最优点。
凑整解或改进的凑整法 都是基于离散最优点就 在连续最优点的附近。 但实际问题有时并非如 此，如图，真正的离散 最优点C离连续最优点A 很远。
x x (n j1) (0)
i
i
(i 1,2,...,n;i j; j 1,2,...,n) 上下限约束边界上。
x(n j
j 1)
xUj
(i 1,2,...,n)
7.5 离散复合形法（续）
二、约束条件的处理 由于初始复合形顶点的产生未考虑约束条件，此时
产生的初始复合形顶点可能会有部分甚至全部落在可 行域 D的外面。
离散点： ，qij1 , qij , qij1, i 1,2,, n j 1,2,, l代表离散点个数；
离散间隔： i ，i 只有在均匀离散空间中 ：i i
XD x1, x2,, xp T R p
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
2、二维离散设计空间
二维连续设计变量的设计空间是代表该两个 变量的两条坐标轴形成的平面；