2018学年第一学期浙江省名校协作体高三数学2019模拟试题 -答案(数学)

2018学年第一学期浙江省名校协作体试题模拟卷
高三年级数学学科答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1-5 BDABB 6-10 CADCC
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）
11．53- ，724． 12．i 5251+
，5
13．6，60 14．22，]2,3
2
[-．
15
．⎡⎣ 16．20 17．3
3
2-4
三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．解：（Ⅰ）(
)1cos 21
22x f x ω+=-------------------2分
cos 23x πω⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭--------------------------------------------5分
由22π
πω
=，得1ω=；-----------------------------------------7分
（Ⅱ）()cos 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
， 因为[0,
]2
x π
∈，所以22,333x π
ππ⎡⎤
-
∈-⎢⎥⎣⎦
，------------------------------10分 所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
．------------------------------------------------------------14分
19．解：（Ⅰ）AB ⊥PC 不成立，证明如下：-------------2分 假设AB ⊥PC ，因为AB AC ⊥，
且PC AC C =，所以AB ⊥面PAC ，---------5分 所以AB PA ⊥，这与已知4PB AB ==矛盾，------7分 所以AB ⊥PC 不成立．
（Ⅱ）解法1：取AC 中点O ，BC 中点G ，连,,PO OG PG ，
由已知计算得2PO OG PG ===，------------9分
由已知得,AC PO AC OG ⊥⊥, 且PO OG O =， 所以AC ⊥平面POG ，所以平面ABC ⊥平面POG ，--------------12分 取OG 中点H ，连BH ，
则PH ⊥平面ABC ，从而，PBH ∠就是直线PB 与平面ABC 所成的角，
A B
C
P
O G H
因为PH =4PB =
，所以sin PH PBH PB ∠=
=
----------------------15分
解法2：如图，以A 为原点，,AB AC 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系， 则()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0A B C ，-----------------------------------------9分
设(),,P x y z ，由()()222222
222841648x y z x y z x y z ⎧++=⎪⎪-++=⎨⎪+-+=⎪⎩
解得：(P -----------------------------11分
(3,2,PB =--，因为平面ABC 的
法向量是()0,0,1n =，--------13分 由sin PB n PB n
θ=⋅ =
------------15分
20．解：I.由n n n a a a 22
1+=+得2
2
11121）（+=++=++n n n n a a a a 由31=a 易得0>n a ，所以两边取对数得到
）（）（1
log 21log )1(log 22
212+=+=++n n n a a a 即n n b b 21=+ ……………2分 又02)1(log 121≠=+=a b
}{n b ∴是以2为公比的等比数列，即n n b 2= 221-=∴+n n S ……………………6分
又)1(log 2+=n n a b 122-=∴n
n a ………………………7分
II 证法一、用数学归纳法证明：
1当2=n 时，左边为26
11
31211<=++
=右边，此时不等式成立；………8分 2假设当2≥=k n 时，不等式成立， 则当1+=k n 时，左边
12112121121312111-++++-++++=+k k k k ………10分
121121211-++++<+k k k k
个
k k k k k 2212121+++<
1+<k =右边
∴当1+=k n 时，不等式成立。

综上可得：对一切2,*
≥∈n N n ，命题成立 ………………………15分
证法二
1
2131211-+⋯+++
n
)121
21()715141()3121(11-+⋯++⋯++⋯+++++=-n n
112
1
24142121--⋅+⋯+⋅+⋅+<n n
n = ………………………15分 21．解：（Ⅰ）因为2p =，
设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，
124
AF BF x x p +=++=
所以122x x +=，即01x =-------3分 设直线AB 的方程是：x my n =+， 代入24y x =得，2440y my n --=，
所以124y y m +=，故02y m =，因为01x =，所以AB 中点坐标为)2,1(m 又因为AB 的中垂线方程是()21y m m x -=--，令0y =，得()3,0P ，-------7分 （Ⅱ）因为AB 中点)2,1(m 在直线x my n =+上 所以221m n +=，且216160m n ∆=+>，
解得201m <<------------------------------------------9分
所以121
32
PAB S n y y ∆=
--(
222m =+
=分
令21m t -=，()0,1t
∈，则PAB S ∆=， 设()()()2
2,0,1f t t t t =-∈，则()()()232f t t t '=--，
易得，()f t 在20,3⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递增，在2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减， 所以()2
max
224333f t f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，所以()max PAB S ∆=分
22．解：（Ⅰ）当0a =时，()x
f x e -'=-，
设()00,P x y 是切点，则
00
0x x e k
kx e
--⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得01x k e =-⎧⎨=-⎩ ------------------5分 （Ⅱ）
()x
f x e -'=-+=x
x e x x
ae 22-，------------------7分 令()0f x
'=，即0x ae -
=，则()x a g x e
==，
()g x '=，所以当10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，
当1,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '<，且当x →+∞时，()0g x →，
所以当()0f x '=有两个不等的根时，
所以e e a 20<
< 此时2
1
01<<x ，------------------12分
()()
111121x x f x e x e --=+=+，
因为()()111120x f x x e -'=->恒成立，
所以()1f x 在)21,0(上单调递增，所以()1f x )2
,
1(e
∈------------------15分。