2018学年第一学期浙江省名校协作体高三数学2019模拟试题 -答案(数学)

2018学年第一学期浙江省名校协作体试题模拟卷

高三年级数学学科答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1-5 BDABB 6-10 CADCC

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）

11．53- ，724． 12．i 5251+

，5

13．6，60 14．22，]2,3

2

[-．

15

．⎡⎣ 16．20 17．3

3

2-4

三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18．解：（Ⅰ）(

)1cos 21

22x f x ω+=-------------------2分

cos 23x πω⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭--------------------------------------------5分

由22π

πω

=，得1ω=；-----------------------------------------7分

（Ⅱ）()cos 23f x x π⎛⎫

=- ⎪⎝

⎭

， 因为[0,

]2

x π

∈，所以22,333x π

ππ⎡⎤

-

∈-⎢⎥⎣⎦

，------------------------------10分 所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

．------------------------------------------------------------14分

19．解：（Ⅰ）AB ⊥PC 不成立，证明如下：-------------2分 假设AB ⊥PC ，因为AB AC ⊥，

且PC AC C =，所以AB ⊥面PAC ，---------5分 所以AB PA ⊥，这与已知4PB AB ==矛盾，------7分 所以AB ⊥PC 不成立．

（Ⅱ）解法1：取AC 中点O ，BC 中点G ，连,,PO OG PG ，

由已知计算得2PO OG PG ===，------------9分

由已知得,AC PO AC OG ⊥⊥, 且PO OG O =， 所以AC ⊥平面POG ，所以平面ABC ⊥平面POG ，--------------12分 取OG 中点H ，连BH ，

则PH ⊥平面ABC ，从而，PBH ∠就是直线PB 与平面ABC 所成的角，

A B

C

P

O G H

因为PH =4PB =

，所以sin PH PBH PB ∠=

=

----------------------15分

解法2：如图，以A 为原点，,AB AC 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系， 则()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0A B C ，-----------------------------------------9分

设(),,P x y z ，由()()222222

222841648x y z x y z x y z ⎧++=⎪⎪-++=⎨⎪+-+=⎪⎩

解得：(P -----------------------------11分

(3,2,PB =--，因为平面ABC 的

法向量是()0,0,1n =，--------13分 由sin PB n PB n

θ=⋅ =

------------15分

20．解：I.由n n n a a a 22

1+=+得2

2

11121）（+=++=++n n n n a a a a 由31=a 易得0>n a ，所以两边取对数得到

）（）（1

log 21log )1(log 22

212+=+=++n n n a a a 即n n b b 21=+ ……………2分 又02)1(log 121≠=+=a b

}{n b ∴是以2为公比的等比数列，即n n b 2= 221-=∴+n n S ……………………6分

又)1(log 2+=n n a b 122-=∴n

n a ………………………7分

II 证法一、用数学归纳法证明：

1当2=n 时，左边为26

11

31211<=++

=右边，此时不等式成立；………8分 2假设当2≥=k n 时，不等式成立， 则当1+=k n 时，左边

12112121121312111-++++-++++=+k k k k ………10分

121121211-++++<+k k k k

个

k k k k k 2212121+++<

1+

∴当1+=k n 时，不等式成立。

综上可得：对一切2,*

≥∈n N n ，命题成立 ………………………15分

证法二

1

2131211-+⋯+++

n

)121

21()715141()3121(11-+⋯++⋯++⋯+++++=-n n

112

1

24142121--⋅+⋯+⋅+⋅+

n = ………………………15分 21．解：（Ⅰ）因为2p =，

设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，

124

AF BF x x p +=++=

所以122x x +=，即01x =-------3分 设直线AB 的方程是：x my n =+， 代入24y x =得，2440y my n --=，

所以124y y m +=，故02y m =，因为01x =，所以AB 中点坐标为)2,1(m 又因为AB 的中垂线方程是()21y m m x -=--，令0y =，得()3,0P ，-------7分 （Ⅱ）因为AB 中点)2,1(m 在直线x my n =+上 所以221m n +=，且216160m n ∆=+>，

解得201m <<------------------------------------------9分

所以121

32

PAB S n y y ∆=

--(

222m =+

=分

令21m t -=，()0,1t

∈，则PAB S ∆=， 设()()()2

2,0,1f t t t t =-∈，则()()()232f t t t '=--，

易得，()f t 在20,3⎛

⎫ ⎪⎝

⎭

上单调递增，在2,13⎛⎫

⎪⎝⎭

上单调递减， 所以()2

max

224333f t f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，所以()max PAB S ∆=分

22．解：（Ⅰ）当0a =时，()x

f x e -'=-，

设()00,P x y 是切点，则

00

0x x e k

kx e

--⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得01x k e =-⎧⎨=-⎩ ------------------5分 （Ⅱ）

()x

f x e -'=-+=x

x e x x

ae 22-，------------------7分 令()0f x

'=，即0x ae -

=，则()x a g x e

==，

()g x '=，所以当10,2x ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

时，()0g x '>，