齿根应力与齿根的计算方法进展与比较研究

而由大量试验得知 ,齿根弯曲疲劳裂纹发生在局 部应力最大的地方 ,且裂纹是沿着过渡曲线的法线方 向 ,因此 ,着重研究折截面 ADB (图 3) 上的应力变化规 律更合适 ,即“折截面法”。折截面法的特点是
图 2 平截面法
Байду номын сангаас
图 3 折截面法
① 危险截面的位置按照齿 根 弯 曲 疲 劳 裂 纹 的 方 向确定 ,比较接近实际情况 ;
光弹性法在齿轮应力和变形的研究进程中曾经起 到过重要的作用 ,如 ①解析解的验证 ; ②经验公式的回 归拟合 ; ③复杂应力场与位移场的探索性研究等 。但 也存在一些缺点 ,如 ①不能完全模拟材料特性和边界 条件 ,存在“过度变形”; ②存在与实验原理 、光路仪器 、 图像采集和处理相关的试验误差 。因此 ,光弹法大多 用于定性验证和探索性研究 ,在精细分析中作用有时 受到限制 。
1926 年 ,Timoshenko[22] 提供了第一份关于轮齿应 力光弹测量的结果 。1940 年 ,Dolan[23] 根据光弹试验 结果提出了与受力点位置和齿根圆角大小相关的应力 集中系数 。Heywood[24 ] 、Kelly[25 ] 根据光弹研究结果给 出了各自的齿根应力计算的经验公式 。1955 年 ,Ja2 cobson [ 26 ]根据众多的光弹研究成果提出了修正的疲劳 极限公式 。1967 年 ,Baxter[27] 用三维光弹技术来确定 双曲线锥齿轮三维模型中的应力分布 ,这一研究奠定 了三维齿形表面应力研究的基础 。近些年 ,我国的薛 春玉[28 ] 、许洪斌[29 ]等应用冻结切片三维光弹技术 ,分 别对弧齿锥齿轮和分阶式双渐开线齿轮进行了试验分 析。
3 数值计算方法
随着计算技术和计算机的迅速发展及广泛应用 , 以有限元法为代表的数值计算方法使齿轮应力和变形 分析变得方便 、可靠 、准确 。目前齿轮工程中实用的数
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把轮齿变形分解为弯曲变形 、剪切变形和压缩变形 。 Merritt[5]在 Lewis 公式中增加了考虑载荷径向分量的 项 。梅尔根据凯克的光弹实验结果 ,建议用“30°切线 法”确定 α= 20°时渐开线齿廓的最弱截面 。Niemann[6] 提出了考虑弯曲 、抗压及剪切应力在内的名义应力 。 Wellauer[7]引入齿宽方向分布载荷对齿根应力的影响 。 Cornell[8]和 Tavakoli[9] 提出了轮齿弹性变形的数值积 分法 ,综合考虑了弯曲 、剪切 、赫兹接触 、齿根圆角半径 以及轮体弹性等引起的变形 。1982 年 ,AGMA 在 Lewis 公式的基础上 ,经过不断的修正 ,提出了考虑弯曲和压 缩效应的弯曲强度设计公式 。至此 ,齿根应力计算中 的“平截面法”(图 2) 为 ISO 及绝大多数国家所采用 。
图 5 单齿模型
元单齿模型 ,按集中力 、分布力和模拟接触的三种情 况 ,考虑模数 、接触率 、齿根圆角半径 、压力角及齿数对 轮齿应力的影响 ,提出了新的齿根应力计算公式 。王 玉新[36]建立了三个轮齿的二维和三维有限元模型 ,分 析了直齿轮齿根应力 ,并开始注意到齿宽与平面弹性 问题类型存在一定的关系 。
第 28 卷 第 5 期 齿根应力与轮齿弹性变形的计算方法进展与比较研究 1 文章编号 :1004 - 2539 (2004) 05 - 0001 - 06
齿根应力与轮齿弹性变形的计算方法进展与比较研究
周长江1 ,2 唐进元1 ,2 吴运新1 ,2
第 28 卷 第 5 期 齿根应力与轮齿弹性变形的计算方法进展与比较研究 3
值解 法 主 要 有 3 种 , 有 限 差 分 法 ( FDM) 、边 界 元 法 (BEM) 和有限元法 ( FEM) 。
有限差分法的特点是直接求解基本方程和相应定 解条件的近似值 ,但它用于几何形状复杂的问题时 ,精 度将降低 ,甚至收敛困难 ,因此在复杂齿轮系统强度分 析方面应用不多 。边界元法则是先将求解域内的控制 方程用数学方法转化为求解域边界上的边界积分方 程 ,再用数值解法求出边界结点上待求量的近似解 ,然 后根据边界结点量计算得到区域内任意点的待求量 。 这种方法输入数据少 ,直接性较好 ,适合于大应力梯度 的边界问题 ;但由于所用的矩阵通常为稠密阵 ,求解效 率较低 ,求解规模也受到限制 。
①轮齿应力分析是齿轮承载能力计算的基础 ;
②轮齿变形分析则是齿轮传动动态性能与齿廓
修形研究的依据 。
在轮齿应力与变形研究方面 ,国内外的学者采用
不同的分析方法已经获得了许多有益的成果 。下文就
直齿圆柱齿轮 ,简要评述了典型的静态/ 准静态计算方
法的进展 ,并进行了比较研究 。
悬臂梁模型
材料力学法 悬臂板模型
有限元法是一种通用的工程数值分析方法 ,应用 最为广泛 。同传统的计算方法相比 ,有限元法能处理 复杂的载荷工况和边界条件 ,较全面地反映齿轮体的 应力场 、位移场 、齿根应力集中与轮齿变形等 。就齿根 应力和轮齿变形有限元分析 ,下文从弯曲和接触两个 方面进行叙述 。 3. 1 齿轮弯曲强度有限元分析
传动系统变形以及齿轮制造 、装配误差与磨损的影响 。 后来出现了改进的“悬臂板”模型和各向同性楔模
型[11] ,它们在圆弧齿的应力分析中起到了一定的作 用 ,但计算精度和应用范围非常有限 。 1. 2 弹性力学法
材料力学法由于模型与实际齿形相差较大 ,因而 较难准确地反映复杂齿形 、过渡曲线以及传动系统对 轮齿应力和变形的影响 。于是 ,以保角映射法为代表 的平面弹性力学法应运而生 。保角映射法的实质是将 轮齿曲线边界映射为直线边界 ,由作用在半平面上集 中力复变函数求解出半平面的位移场 ,从而得到轮齿 受载点的应力和变形 。其计算的精确性 ,关键在于适 当地选取映射函数及其项系数 。
轮齿接触问题是一种高度的非线性行为 ,涉及复 杂的动力学 、表面技术 、材料科学等方面的工程背景 。 1881 年 ,Hertz[38]提出两个弹性圆柱体接触面上的载荷 分布 公 式 , 奠 定 了 齿 面 接 触 强 度 计 算 的 理 论 基 础 。 1908 年 ,Videky[39]把赫兹接触应力理论首先应用于计 算轮齿齿面应力 ,并绘出了沿啮合线最大接触应力变 化图 。Jandasek , Timoshenko , Ways , Niemann ,Beeching , Nicholls , Henrio , K ser 等对点蚀的成因 ,形成初始裂纹 的位置 ,点蚀的深度等进行了研究 。但到目前为止 ,点 蚀研究仍不够成熟 。Winter[40] 指出 Hertz 接触模型的 粗略性 ,即 Hertz 公式适用于弹性范围内只承受法向压 力的均质各向同性体 ,而准确的接触强度评估应该考 虑轮齿滑动 、表面状况 、边缘层杂质以及弹性流体动力 学等因素 ,并根据圆盘滚动 - 滑动接触试验结果强调 摩擦对接触强度具有很强烈的影响 。
(1. 中南大学 , 湖南 长沙 410075) (2. 重庆大学机械传动国家重点实验室 , 重庆 400044)
摘要 在齿根应力与轮齿弹性变形方面 ,较为详细地评述了直齿轮的静态/ 准静态计算方法 (解析 法 、试验法 、数值法) 的进展 、特点及应用 。对典型的分析方法进行了比较研究 ,并提出了作为 CAE 的核 心 ,有限元法在现代齿轮传动系统设计中具有良好的应用前景 。
解析法
各向同性楔模型
弹性力学法 :保角映射法
应力变形
光测力学法
实验法
计算方法
电测力学法
有限差分法
数值法 边界元法
有限元法 :挠曲/ 接触分析
图 1 各类计算方法一览
1 解析法
1. 1 材料力学法 这种方法使用最早 。1893 年 ,Lewis[1]基于材料力
学的抛物线梁理论 ,把轮齿视为等强度悬臂梁 ;首次提 出了“齿形系数”的概念 ,并推导出著名的 Lewis 公式 , 从而奠定了轮齿弯曲强度计算的理论基础 。Rand[2]利 用等截面悬臂梁模型计算出轮齿的弹性变形 。Walk2 er[3]在研究齿廓修形时 ,结合实验与理论分析得出了 轮齿的变形 。Weber[4] 在 Walker 研究的基础上 ,首次
关键词 齿根应力 轮齿变形 计算方法 比较研究
引言
随着齿轮传动向重载 、高速 、低噪声 、高可靠性的
方向发展 ,现代齿轮传动设计对系统的静/ 动态特性提
出了更高的要求 。齿轮设计的主要内容在强度设计 ,
其核心是轮齿 。从而 ,建立精确的计算模型 ,准确求解
受载轮齿的应力与变形意义显著 。其意义是
在上述研究进程中 ,映射函数的形式和取项得到 了不断的改善 ,但系数均是通过“试算法”得到 ,与理论 齿形的吻合程度较差 ,计算精度不够理想 。
1982 年 ,Cardou[18]开始使用“直接搜索法”电算程 序 , 优 化 映 射 函 数 系 数 , 改 善 了 求 解 精 度 。程 乃 士[19～20]通过编程优化映射函数的系数 ,比较精确地 求出了轮齿受载后的挠度 。
④很难嵌入加工误差 、装配偏差及磨损等 ;
2 实验分析方法
严格说来 ,轮齿应力与变形分析属于几何形状复 杂 、载荷工况多变的力学范畴 ,具有非线性 、粘弹性和 动态等特性 。为了精确地获取轮齿的相关力学量 ,国 内外学者提出了各种力学模型和理论分析方法 ,并获 得了许多重要结论 。而在建立这些模型和理论时 ,都 曾作过一些假设和简化 。因此 ,在将这些理论所得出 的结果应用于实际生产之前 ,最好经由试验的检验 。 实验分析方法主要分为光测法和电测法 ,本文只对光 测法[21]的光弹性力学法作简要的介绍 。光弹性法的 实质是利用光弹性材料在载荷作用下产生的瞬态双折 射效应和光波干涉的结果 ,通过光弹性仪测定光程差 的大小 ,应力光图随着模型形状 、加载方式 、边界条件 等因素的变化而改变 。