勾股定理讲解

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勾股数规律

勾股数规律
勾股数规律是一种典型的数学规律，又称勾股定理，根据该定理，任何一个正整数都可以表示成两个正整数的平方和。

即c2 = a2 + b2 (a, b, c 为正整数)，其中a、b、c称为勾股数，也称勾股三元组。

规律由希腊数学家勃拉姆斯在《几何原本》中提出，因此又称为勃拉姆斯定理。

勾股数由于其简洁又具有独特性，一直被广泛应用，比如，作为结构设计和建筑工程的尺寸经常采用勾股数来表示，这有助于更好地保持结构的稳定性和安全性。

在数学上，勾股数规律可以通过两种方式来表示：
1. 三角形定理：任意一个勾股数可以用一个直角三角形表示，其两个直角边分别是a和b，斜边则是c。

2. 数学证明：任何一个正整数都可以表示成两个正整数的平方和，即：c2=a2+b2。

具体讲解勾股数规律，其实就是要对其特性做出更加具体的解释。

首先要明确的是，勾股数的特性是不变的，也就是说任何一个正整数都可以表示成两个正整数的平方和，即：c2=a2+b2。

这其中就包含了一个很重要的特性：一定存在三个正整数a、b、c，使得它们满足c2=a2+b2，即满足勾股数等
式；而且这个勾股数也有一定的性质，也就是a、b、c三者要么全部是偶数，要么有且只有一个是奇数。

勾股数规律也可以用来求解一些复杂的问题，比如求解多边形的面积和周长等，因为多边形的各边长可以用勾股三元组来表示，所以可以用勾股数规律来计算出多边形的面积和周长。

另外，勾股数规律还可以用于解决一些实际生活中的问题，比如计算两个城市之间的距离，解决一些物理问题等。

总体而言，勾股数规律不仅是数学学习中一种有趣的研究课题，而且也是一种有效的实用工具，能够帮助我们解决实际生活中遇到的一些复杂问题。

勾股定理的应用讲解

勾股定理的应用讲解1.引言1.1 概述勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，是几何学中一项重要的基本定理。

它描述了直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方的关系，即a²+ b²= c²。

勾股定理虽然古老，但在现代数学和实际应用中仍然具有广泛的重要性。

在这篇文章中，我们将深入探讨勾股定理的应用。

首先，我们会详细介绍勾股定理的定义和原理，以帮助读者全面理解这个定理。

然后，我们将重点讨论勾股定理在几何学中的应用，包括三角形的边长关系、判定直角三角形和计算未知边长等方面。

通过举例和图示，我们将帮助读者更加直观地理解勾股定理在实际问题中的应用。

本文的目的是向读者说明勾股定理在数学和实际生活中的重要性和广泛应用。

通过深入研究勾股定理的定义、原理和几何学中的应用，我们希望读者能够更好地理解和运用这一定理。

最后，我们将总结勾股定理的应用，并展望它在未来的发展方向。

无论是数学爱好者还是学生，对于勾股定理的理解都是重要的。

因为勾股定理不仅仅是一条单独的数学定理，更是一种思维方式和解决问题的工具。

通过学习勾股定理的应用，读者能够培养出准确观察和分析问题的能力，从而在解决实际问题中找到更加合理和有效的方法。

在接下来的篇章中，我们将全面介绍勾股定理的定义、原理和应用，希望读者能够通过阅读本文，深入理解勾股定理的重要性和实际应用。

让我们开始这段有关勾股定理的探索之旅吧！1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构来讲解勾股定理的应用：第一部分，引言。

我们将对勾股定理进行概述，介绍它的定义和原理，并明确文章的目的。

第二部分，正文。

我们将详细介绍勾股定理的定义和原理，在几何学中的应用。

我们将讨论勾股定理的几何证明方法，并给出一些应用实例，包括计算直角三角形的边长、判断三角形是否为直角三角形以及在建筑工程中的实际应用等。

第三部分，结论。

我们将对勾股定理的应用进行总结，强调其重要性和实用性，并展望勾股定理在未来的发展方向。

勾股定理应用典型题型讲解

勾股定理应用典型题型讲解摘要：一、引言二、勾股定理的概念及公式三、勾股定理的应用范围四、典型题型讲解1.直角三角形中的勾股定理应用2.锐角三角形和钝角三角形中的勾股定理应用3.应用勾股定理解决实际问题五、总结与展望正文：一、勾股定理的概念及公式勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边平方和等于斜边的平方。

数学表达式为：a + b = c。

其中a、b为直角边，c为斜边。

二、勾股定理的应用范围勾股定理的应用范围非常广泛，包括几何、物理、工程等领域。

在解决实际问题时，了解勾股定理的适用场景和条件是关键。

三、典型题型讲解1.直角三角形中的勾股定理应用在直角三角形中，已知两边长度求第三边长度或已知两边及夹角求第三边长度等问题，可以利用勾股定理轻松解决。

例题：已知直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，求AB的长度。

解：由勾股定理可知，AB = AC + BC = 3 + 4 = 9 + 16 = 25。

故AB = 5。

2.锐角三角形和钝角三角形中的勾股定理应用在锐角三角形和钝角三角形中，我们可以利用勾股定理判断三角形是否为直角三角形，或者求解三角形中的角度和边长。

例题：已知三角形ABC中，AB = 5，AC = 4，BC = 3，求∠B的度数。

解：由勾股定理可知，AB = AC + BC，故∠B为直角，∠B = 90°。

3.应用勾股定理解决实际问题在实际问题中，如测量距离、构建支架等，可以利用勾股定理进行计算和估算。

例题：一块矩形土地的长为100米，宽为60米，现欲在其四个角上搭建四个高为h米的支架，求支架高度h的最大值。

解：设矩形对角线的长度为d，则d = 100 + 60 = 10000 + 3600 = 13600。

由勾股定理可知，d = √(13600)。

支架高度h的最大值即为d/2，故h = √(13600)/2。

四、总结与展望本文通过对勾股定理的概念、应用范围及典型题型的讲解，旨在帮助读者更好地理解和运用勾股定理。

华师版八年级数学 14.1勾股定理(学习、上课课件)

感悟新知
知1－练
2-1. 若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能
有( B )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
感悟新知
知识点 2 勾股定理的证明
知2－讲
1. 常用证法验证勾股定理的方法有很多，如测量法、几何证明法等，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系来验证.
出第三边.
3. 运用勾股定理求解时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能的情况，以免漏解或错解.
感悟新知
知1－练
例 1 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b， c，∠C＝90°. (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝12，求b； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b(结果保留根号). 解题秘方：紧扣“勾股定理的特征”解答.
感悟新知
知1－练
1-1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75，求a，b；解：设a＝3x(x>0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2，则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15. ∴a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
图形
赵爽的“赵爽弦图”
知2－讲
证明
∵ 大正方形的边长为c，
∴ 大正方形的面积为c2.
又∵大正方形的面积＝
4×
1 2
ab＋(a－b)2＝a2＋b2，
∴ a2＋b2＝c2
感悟新知
续表：方法
刘徽的“青朱出入图”
图形
知2－讲
证明
设大正方形的面积为S，则 S＝c2. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，有S＝ a2＋b2，∴ a2＋b2＝c2

初中数学解题模型专题讲解29---勾股定理知识点与常见题型总结

例 5.如图有两棵树，一棵高 8 cm ，另一棵高 2 cm ，两树相距 8 cm ，一只小鸟从一棵树
的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
m
A
E
D
B
C
分析：根据题意建立数学模型，如图 AB = 8 m ，CD = 2 m ，BC = 8 m ，过点 D 作 DE ⊥ AB ，垂足为 E ，则 AE = 6 m ， DE = 8 m 在 Rt∆ADE 中，由勾股定理得 AD = AE2 + DE2 = 10 答案：10 m
8/8
一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一： 4S∆
初中数学解题模型专题讲解
一．知识归纳
专题 29 勾股定理复习
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a2 + b2 = c2
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代
把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进
+ S正方形EFGH
=
S正方形ABCD
，
4
×
1 2
ab
+
(b
−

利用勾股定理求圆中弦(半径)四种常用技巧知识讲解

利用勾股定理求圆中弦(半径)四种常用技巧知识讲解（原创版3篇）篇1 目录一、引言二、勾股定理简介三、四种常用技巧1.直径所对的圆周角为 90°2.圆内接四边形的对角线互相垂直3.直径与圆的割线4.圆的割线与直径四、每种技巧的应用举例五、结论篇1正文一、引言在解决与圆相关的几何问题时，我们常常需要求解圆中的弦（半径）。

利用勾股定理，我们可以有效地求解这类问题。

本文将介绍四种常用的技巧，帮助大家更好地理解和应用勾股定理。

二、勾股定理简介勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

在解决圆的问题时，我们可以将圆的弦与直径看作直角边，从而应用勾股定理。

三、四种常用技巧1.直径所对的圆周角为 90°当弦为直径时，根据圆的性质，直径所对的圆周角为 90°。

利用勾股定理，我们可以求解与直径相关的问题。

2.圆内接四边形的对角线互相垂直圆内接四边形的对角线互相垂直，这意味着我们可以将四边形分为两个直角三角形，应用勾股定理求解弦长。

3.直径与圆的割线在圆中，直径与割线相交，形成两个直角三角形。

利用勾股定理，我们可以求解割线与直径的关系。

4.圆的割线与直径圆的割线与直径相交，形成两个直角三角形。

同样地，我们可以利用勾股定理求解割线与直径的关系。

四、每种技巧的应用举例1.例如，已知圆的直径为 10，求圆的弦长。

根据直径所对的圆周角为 90°，我们可以将直径分为两个直角边，应用勾股定理求解弦长。

2.例如，已知圆内接四边形的对角线长分别为 6 和 8，求圆的弦长。

根据圆内接四边形的对角线互相垂直，我们可以将四边形分为两个直角三角形，应用勾股定理求解弦长。

3.例如，已知圆的直径为 6，圆的割线长为 4，求圆的弦长。

根据直径与圆的割线，我们可以将直径与割线分为两个直角三角形，应用勾股定理求解弦长。

4.例如，已知圆的直径为 8，圆的割线长为 5，求圆的弦长。

勾股定理(基础)知识讲解

勾股定理（基础）【学习目标】1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．【要点梳理】【高清课堂勾股定理知识要点】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．（2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．【答案】解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10，∴ 2222210664a c b =-=-=，∴ a ＝8．（2）设3a k =，5c k =，∵ ∠C ＝90°，b ＝32，∴ 222a b c +=．即222(3)32(5)k k +=．解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．类型二、与勾股定理有关的证明2、（2015•丰台区一模）阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．由图1可以得到（a+b）2=4×，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．所以a2+b2=c2．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到，整理，得，所以．【答案与解析】证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2．故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2【答案】连接AD 构造直角三角形，得，选A ．类型三、与勾股定理有关的线段长【高清课堂勾股定理例3】3、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D ；【解析】解：设AB ＝x ，则AF ＝x ，∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ，∴ △ABE ≌△AFE ．BE ＝EF ，EC ＝BC －BE ＝8－3＝5，在Rt △EFC 中，由勾股定理解得FC ＝4，在Rt △ABC 中，()22284x x +=+，解得6x =．【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（）A ．6B ．5C ．11D ．16【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b 是正方形，可求△ABC ≌△CDE ．由勾股定理可求b 的面积=a 的面积+c 的面积．【答案】D【解析】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC ，在△ABC 和△CDE 中，∵ABC CDE ACB DEC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE∴BC=DE∵222AB BC AC +=∴222AB DE AC +=∴b 的面积为5+11=16，故选D ．【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2015•东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1=4，S 2=9，S 3=8，S 4=10，则S=（）A.25B.31C.32D.40【答案】解：如图，由题意得：AB 2=S 1+S 2=13，AC 2=S 3+S 4=18，∴BC 2=AB 2+AC 2=31，∴S=BC 2=31，故选B ．类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm ，所以底面直径DC 长为16cm ．则在Rt △BCD 中，22222=16+12=400BD DC BC =+，所以20BD = (cm )．答：筷子最长不超过20cm ，可正好盖上盒盖．【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=．∴ 13AB =(m )．∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )．∴ 旗杆折断前的高度为18m ．。

勾股定理讲解

勾股定理讲解知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a, b,斜边长为c,那么a + b2= cl即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.要点诠释：(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

(2)勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。

(3)理解勾股定理的一些变式：c =a +b , a =c-b , b =c -a , c =(a+b) -2ab熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13;③8、15、17:④7、24、25;⑤10、24、26;⑥9、40、41. 类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ ABC中，/ C=90°(1)已知a=6, c=10，求b, (2)已知a=40, b=9,求c; (3)已知c=25, b=15，求a. 【练习】：如图/ B=Z ACD90° , AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少类型二：勾股定理的构造应用例如图，已知：在•中，_三_二'一，.匚_「，丄二_ 1 :. 求：BC的长A【练习1】如图，已知：一二一工「，-二匸一 m ,己芒—匸匸于P. 求证:，/ A=60° AB=4, CD=2 求：四边形 ABCD 的面积。

题型三：旋转问题：例如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，PA=2,PB=2・、3,PC=4,求厶ABC 的边长./ B=Z D=90°练习如图，△ ABC 为等腰直角三角形，/ BAC=90 , E 、F 是BC 上的点，且/ EAF=45，试探究BE 2、CF 2、EF 2间的关系，并说明理由.j题型四：关于翻折问题例：如图，有一块直角三角形纸片，/ C=90°, AC = 6cm, BC= 8cm,现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与AE 重合，求CD 的长。

第十七章勾股定理知识归纳总结(教案)

-勾股定理的空间几何推广：对于空间中长方体的对角线与边长的关系，学生可能难以形成直观的认识。
-突破方法：利用实物模型或计算机软件进行三维展示，帮助学生建立空间观念。
本节课的难点与重点是紧密联系的，教学过程中需针对这些难点进行深入讲解和反复练习，确保学生能够透彻理解并掌握勾股定理的精髓和应用。通过具体的例子和多样的教学方法，帮助学生克服难点，提升解题能力。
在实践活动和小组讨论中，我观察到学生们在合作解决问题时表现得非常积极。他们不仅能够运用勾股定理来解决实际问题，还能够将其与其他数学知识结合起来，这显示了他们良好的知识整合能力。但同时，我也注意到有些学生在将理论应用到具体问题中时还存在困难，这需要我在今后的教学中进一步关注和指导。
我也注意到，在小组讨论时，有些学生不够积极，可能是由于害羞或是不够自信。我会在接下来的课程中，更加注重鼓励这些学生发表自己的观点，增强他们的自信心和参与感。
第十七章勾股定理知识归纳总结（教案）
一、教学内容
第十七章勾股定理知识归纳总结
1.勾股定理的概念及表述
-直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的证明
-平面几何法
-代数法
-欧几里得证法
3.勾股定理的应用
-求直角三角形的边长
-计算平面图形的面积
-解决实际问题
4.勾股数及勾股数列
-勾股数的定义及性质
。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过勾股定理的证明过程，使学生掌握严密的逻辑推理方法，提高分析问题和解决问题的能力。
2.强化数学建模素养：引导学生运用勾股定理解决实际问题，建立数学模型，培养学生将现实问题转化为数学问题的生建立空间观念，提高空间想象力和几何直观。

勾股定理初学讲解

勾股定理初学讲解
勾股定理，又称“毕达哥拉斯定理”，指的是三角形斜边的平方
之和等于斜边的积，用数学语言可以表示为：a²+b² = c²。

勾股定理
与数学有着深远的关系，并影响着几何学的发展，具有重要的历史意义。

雅典学家毕达哥拉斯比较早地提出了这一定理，但最终正式命名
为“勾股定理”还是在1637年，法国数学家塞拉尼发表的证明代码中，赐予的名字。

勾股定理的应用非常广泛，主要应用于几何学中三角形的行程求解，并且可以用来。

它可以用来求解三角形的边长、求解任意两边之
间的关系，以及求解复杂三角形的面积等。

此外，勾股定理可以应用
于各种计算设备，如指南针和足球等运动设备，都可以利用它来使用
准确的数据。

勾股定理的详细讲解

勾股定理的详细讲解
勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。

在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

勾股定理知识讲解2

全章要点勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边2、勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13勾股定理的逆定理：：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

3、勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段例题讲解例1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。

解：30cm，300cm2例2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=32cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。

解：90，60，30，4，23例3．△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S △ABC = 。

勾股定理在日常生活中的应用

勾股定理在日常生活中的应用1. 引言：从数学公式到生活点滴哎呀，说到勾股定理，很多人脑子里可能会立马浮现出一堆枯燥的公式和数学课本。

其实，这个定理不仅仅是在黑板上发光发热的公式，它在我们日常生活中可是大有用处的。

今天就让我们一起来看看，勾股定理如何从数学课堂走进我们的生活，成为我们解决实际问题的好帮手。

2. 勾股定理简单讲解2.1 勾股定理是什么勾股定理说的是，直角三角形的三个边之间有个非常简单的关系。

简单来说，就是直角三角形中，最长的那条边（我们叫它斜边）平方等于另外两条边的平方和。

这公式就是：a² + b² = c²。

听上去可能有点晦涩，但其实很简单，想象一下一个直角三角形，你就能明白它的意思。

2.2 为什么它有用勾股定理的厉害之处在于，它可以帮助我们快速算出很多问题的答案，比如你要测量的距离、或者物体的大小等。

如果我们能把它用到实际问题中，就能变得聪明很多哦。

3. 勾股定理在生活中的应用实例3.1 家庭装修中的妙用好比说你在家里重新装修，想在墙上挂个大电视机。

可是，墙上挂架的位置有点难找，电视机的尺寸也需要考虑。

假如你不确定电视机的底边在墙上挂的位置的距离，那就可以用勾股定理来解决。

假设你已经知道电视机的高度和宽度，那就可以用勾股定理来计算电视机从地面到顶部的总高度。

这样，你就能准确地找到最合适的位置，把电视挂得又稳又好看。

3.2 旅行中的导航帮助再比如，你出去旅游，遇到个迷路的情况，找不到从一个景点到另一个景点的最佳路线。

如果你能把这些地点画成一个直角三角形，知道了两点之间的距离，就可以用勾股定理来计算直接走直线的最短距离。

这样，你就能省去不少时间，快快乐乐地享受旅行了。

3.3 体育运动中的应用勾股定理在体育运动中也能派上大用场。

比如你在打篮球时，瞄准篮筐，你可以用它来计算投篮的角度和距离。

比如你站在离篮筐一定距离的位置上，可以用勾股定理计算出你需要向上投篮的角度和力度，这样你就能更准确地投中篮筐。

勾股定理及应用(含解答)讲解

勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2 = c 2．即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长．即c 2= a 2＋b 2，a 2= c 2－b 2，b 2= c 2－a 2．点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形．请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4×21ab = 2ab ．由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c 2 =（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）．点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点．点击四：直角三角形边与面积的关系及应用ABC直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S ∆为面积，于是有：222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，12442ab ab S ∆=⨯=，所以22()4a b c S ∆+=+.即221[()]4S a b c ∆=+-.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便. 点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如图2，在Rt ABC ∆中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2 , b 2=c 2-a 2, 点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段．针对练习:1．下列说法正确的是（）A ．若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为203．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）A ． 0B ． 1C ． 2 D． 34．如图，数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2—10的立方根为（）A．．．2 D．-25．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A． 2倍B． 4倍C． 6倍D． 8倍6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm7．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42 或32D．37 或 338．如图，直线l上有三个正方形a b c，，，若a c，的面积分别为5和11，则b的面积为（）（Ａ）4 （Ｂ）6 （Ｃ）16（Ｄ）559.已知直角三角形的周长为21，求它的面积.10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于17cm，求CD的长.类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可．根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12．所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm2）．类型之二：在数轴上表示无理数例3：在数轴上作出表示l出两直角边的长度后即可在数轴上作出．解：3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，线段即可．下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2b a +的值为（）（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169解析：由勾股定理，结合题意得a 2+b 2=13 ①. 由题意，得 (b-a)2=1 ②. 由②，得 a 2+b 2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab=1 ∴ 2ab=12.∴ (a+b)2 = a 2+b 2+2ab =13+12=25. 因此，选C.类型之四：勾股定理的应用（一）求边长例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.（二）求面积（三）作线段例3 作长为、、的线段．解析：作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，∵AB>0，∴AB=．其他同理可证．点评由勾股定理，直角边长为1，1的直角三角形的斜边长就是去就可得到“勾股树”，请你试试看．（四）证明平方关系例4：已知：如图，在ABC∆中，∠E，求证：222BEAEAC-=.解析：根据勾股定理，在ACDRt∆中，在ADERt∆中，222DEAEAD+=，在Rt∆222BEBDDE-=，∴222222BDAECDDEAEAC-+=-+=又∵CDBD=，∴222BEAEAC-=.点评证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.（五）实际应用一、选择题1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（）（A）2、4、8 （B）4、8、10 （C）6、8、10 （D）8、10、122、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（）A.25，48，80 B．15，17，62 C．25，59，74 D．32，60，683、如果直角三角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（）（A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）（A）S1+S2>S3（B）S1+S2<S3（C）S1+S2=S3（D）S12+S22=S32二、填空题1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为______.2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm和12cm，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于 cm．3、如图，CD是Rt⊿ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3．已知BC＝3cm，则AB＝ cm．5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 .6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．三、解答题一、选择题1、如图，字母A 所代表的的正方形的面积为（数字表示该正方形的面积）（） A 、13B 、85C 、8D 、都不对2、在Rt△ABC 中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（） A 、5B 、7C 、5或7D 、5或113、等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积是（） A 、56B 、48C 、40D 、324、若线段a 、b 、c 能构成直角三角形，则它们的比为（） A 、2:3:4B 、3:4:6C 、5:12:13D 、4:6:75、一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm ，则长方形的面积（） A 、25cmB 、225cmC 、210cmD 、275cm6、一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（） A 、1:2:1B 、1:2:1C 、1:4:1D 、12:1:27、斜边长25，一条直角边长为7的直角三角形面积为（） A 、81B 、82C 、83D 、848、若直角三角形中，有一个锐角为 30，且斜边与较短直角边之和为18，则斜边长为（） A 、4cmB 、6cmC 、8cmD 、12cm9、如图△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（）第6题图第5题图A 、AC 2+DC 2=AD 2B 、AD 2－DE 2＝AE 2C 、AD 2=DE 2+AC 2D 、BD 2－BE 2＝41BC 210.图是2002年8 月北京第24届国际数学家大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别是6221和4，则直角三角形的两条直角边长分别为（） A 、6，4B 、6221，4 C 、6221，421 D 、6， 421二、填空：1、在△ABC 中， ∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ∠B ∠C 的对边（1）若a=6，c=10则b= （2）若a=12，b=5 则c= （3）若c=25，b=15则a= （4）若a ＝16，b=34则b=2、三边长分别为1，1，1的三角形是角三角形.3、在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，则△ABC 的面积是4、如图点C 是以为AB 直径的半圆上的一点，4,3,90==︒=∠BC AC ACB 则图中阴影部分的面积是6、在Rt△ABC 中，3:5:,90=︒=∠AC AB C 且BC=136则AC=7、直角三角形的一直角边为8cm ，斜边为10cm ，则这个直角三角形的面积是斜边上的高为8、△ABC 中， ︒=∠︒=∠30,90a C 则a:b:c=9、三角形三个内角之比为1：2：3，它的最长边为a ，那么以其余两边为边所作的正方形面积分别为10、有两根木条，长分别为60cm 和80cm ，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x 长度的取值范围三解答题1、如如图要建一个苗圃，它的宽是a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃总长是10米（1）求苗圃的占地面积（2）覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米?2、如图在四边形ABCD中，12=︒∠∠BCADBAD求正方形DCEFCBD=AB︒=,4,390,,=90=的面积3、如图在锐角△ABC中，高AD=12，AC=13，BC=14求AB的长4、八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿插到离湖边1米的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变）竿顶和湖沿的水面刚好平齐，求湖水的深度和竹竿的长．5、如图己知在△ABC中，DE∠︒==∠垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，BC,15,90︒求AC长．6、某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图80∠AC=ACB米，BC=60,90=︒米，若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米，则点D在距A点多远，水渠的造价最低，最低价是多少？勾股定理及应用勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”．例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是，求这个三角形的面积．分析由斜边长是2，周长是角边的平方和为4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积．本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握．解：设直角三角形的两直角边为a 、b ，根据题意列方程得：2222,22a b a b ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩即224,a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ②式两边同时平方再减去①式得： 2ab=2，∴12ab=12．∴S=12．因此，这个三角形的面积为12．练习11．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积．2-12．已知：长方形ABCD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=2，AD ≠DC ，长方形ABCD 的面积为S ，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长． 3．若线段a 、b 、c 能组成直角三角形，则它们的比值可以是（） A ．1：2：4 B ．1：3：5 C ．3：4：7 D ．5：12：13例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，•若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少？分析图形沿EF 折叠后A 、C 重合，可知四边形AFED ′与四边形CFED 全等，则对应边、角相等，∴AF=FC ，且FC=AE ，则△ABF ≌△AD ′E ，•由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积．解：∵图形沿EF 折叠后A 、C 重合， ∴四边形AFED ′与CFED 关于EF 对称，则四边形AFED ′≌四边形CFED ． ∴∠AFE=∠CFE ．∴AF=FC ，∠D ′=∠D=∠B=90° AB=CD=AD ′． ∵AD ∥BC ， ∴∠AEF=∠EFC ． ∴∠AEF=∠AFE ．则AE=AF ．∴Rt △ABF ≌Rt △AD ′E ．在Rt △ABF 中，∵∠B=90°， ∴AB 2+BF 2=AF 2．设BF=x ，b 2+x 2=（a-x ）2，∴x=222a b a-．∴S=2S △ABF =2×12bx=2×12·b ·222a b a -=22()2b a b a-．练习21．如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD 的面积为________．2．如图2-4，一架长2.5m 的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是0.7m ，当梯子的顶部A 向下滑0.4m 到A ′时，梯子的底部向外移动多少米？2-22-32-43．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹EF的长为（）A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？分析先确定最大边，•再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．解：∵n为正整数，∴（2n2+2n+1）-（2n2+2n）=2n2+2n+1-2n2-2n=1>0，（2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0．∴2n2+2n+1为三角形中的最大边．又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1．∴（2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2．∴这个三角形是直角三角形．练习31．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，猜想AF•与EF的位置关系，并说明理由．2-63．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．D．△ABC不是直角三角形．例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．求证：△ABC是直角三角形．分析欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，•从而有△BDE•≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．证明：延长CD到E，使DE=CD，连结BE．∵AD=BD，CD=ED，∠ADC=∠BDE．∴△ADC≌△BDE（SAS）．∴BE=AC=12．∴∠A=∠DBE．2-7∴AC∥BE．在△BCE中，∵BC2+BE2=52+122=169．CE2=（2CD）2=（2×6.5）2=169．∴BC2+BE2=CE2．∴∠EBC=90°．又∵AC∥BE，∴∠ACB=180°-∠EBC=90°．∴△ABC是直角三角形．练习41．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2-b 2c 2=a 2-b 2，试判断△ABC 的形状．先阅读下列解题过程：解：∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4， ① ∴c 2（a 2-b 2）=（a 2+b 2）（a 2-b 2）． ② ∴c 2=a 2+b 2． ③ ∴△ABC 为直角三角形． ④问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________；（2）本题的正确结论是________．2．如图2-8，△ABC 的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，求折痕AD 的长．3．如图2-9，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC 的度数．例5 如图2-10，△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长．分析若作AE ⊥BC 于E ，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD 是Rt•△ADC 的直角边．∴AD=CD-AC ，若设DE=x ，借助于AD 这个“桥”可以列出方程．解：作AE ⊥BC 于E ． ∵AB=AC ，AE ⊥BC ，∴BE=EC=12BC=12×32=16．在Rt △AEC 中，AE 2=AC 2-CE 2=202-162=144， ∴AE=12．设DE=x ，则在Rt △ADE 中，AD 2=AE 2+DE 2=144+x 2，在Rt △ACD 中，AD 2=CD 2-AC 2=（16+x ）2-202． ∴144+x 2=（16+x ）2-202 解得x=9．∴BD=BE-DE=16-9=7．2-102-11练习51．如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．求证：AD2=AC2+BD2．2-12 2．如图2-13，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．2-133．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？2-14。

勾股定理

第四讲勾股定理知识梳理一、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

三、常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13四、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段。

例题讲解1、在ABC ∆中，o90=∠C（1）若25c 20b ==，，则=a （2）若4:3:=b a ，20=c ，则=a （3）若b a 3=，10=c ，则=∆ABC S2、已知一个Rt △的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定3、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定4、已知一个△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A ．25 B ．7C ．7或25D ．无法确定5、Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( ) A ．8 B ．4C ．6D ．无法计算6、如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．102勾股数树1、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形A ，B ，C ，D 的边和长分别为2cm 、1cm 、2cm 、4cm ，则最大的正方形的面积之和为___________cm 2.2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2。

勾股定理知识点及例题讲解

第九讲勾股定理知识概要1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222a b c+=．(注：应用勾股定理的关键在于构造直角三角形)2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足222+=，那么这个三角形是直角三角形，其a b c中c为斜边。

3、勾股定理的作用|（1）已知直角三角形的两边求第三边.（2）已知在特殊直角三角形中，直角三角形的一边，求另两边的关系.（3）用于证明平方关系的问题.4、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证2c与2a+2b是否具有相等关系.若2c=2a+2b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形；:若2c≠2a+2b，则△ABC不是直角三角形.【注意】当2c≠2a+2b时有两种情况.（1）当2a+2b<2c时，此三角形为钝角三角形；（2）当2a+2b>2c时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.5、常用勾股数组：(3, 4 ,5); (5, 12 ,13); (6, 8, 10); (7, 24, 25); (8, 15, 17) ; (9, 40 ,41)；（20,21,29）……6、一组勾股数中各数的相同的正整数倍得到的一组新数还是勾股数。

7、一组勾股数中各数的相同的正数倍得到的一组新数为边，仍构成直角三角形。

8、（9、直角三角形的性质：（1）直角三角形中斜边最大；（2）直角三角形中有勾股定理；（3）直角三角形中，30度角所对应直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；（5）等积原理（ab=ch ）10、双垂图中的射影定理例题精讲~【例1】如图，证明勾股定理．【例2】填空题:》在△ABC 中,∠C 为直角.(1)若BC =2, AC=3则AB = ；若BC =5, AB=13.则AC = ；若AB=61, AC=11.则BC = .(2)若BC ∶AB =3∶5且AB =20则AC= .(3)若∠A=60°且AC=2cm 则AB= cm ，BC= cm.【巩固练习】1、2、Rt △ABC 中，C ∠是直角，3、（1）已知6BC =，8AC =，求AB 之长；4、（2）已知25AB =，14BC =，求AC 之长；（3）板块一勾股定理aaa ab b] b@（3）已知13AC =，19AB =，求BC 之长．2、已知等边三角形的边长为a ，求等边三角形一边上的高和这等边三角形的面积．￥【例 3】已知60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，求BC 和AD 的长．>【巩固练习】已知：如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形ABCD 的周长为32，求BC 和CD 的长.《【例 4】如图，已知AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15,BC AD ⊥于D ，求AD 的长.'ABCD【 BA DCB AD【例 5】如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证：222BC AP BP += ．"【例 6】如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于．$【巩固练习】 1、如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．`P M B C A ; A B S 12、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A．13 B．26 C．47 D．94^3、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则1S+2S+3S+4S=____$"1S2S3S4231【例7】在△ABC 中，如果a ∶b ∶c =1∶3∶2, 那么∠A= °,∠B= °∠C= °如果a ∶b ∶c =1∶1∶2, 那么∠A= °,∠B= °∠C= °`【例 8】判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）15a =，8b =，17c =；（2）13a =，14b =，15c =；（3）7a =，24b =，25c =．【例 9】已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，《试判断△ABC 的形状《【例 10】如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．，板块二勾股定理逆定理A【例 11】已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点即3CE ＝EB求证：AF ⊥FE ．(》【例 12】如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积.|【巩固练习】1.若一个三角形的周长为123cm,一边长为33cm,其他两边之差为3cm,则这个三角形是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°>3.有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.~ 4.如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，试求∠A 的度数。

《初二勾股定理讲解》课件

《初二勾股定理讲解》 PPT课件
本PPT课件详细讲解了初二数学课程中的勾股定理，通过图文并茂的方式，带领学生深入理解这一重要的几何定理。
引言
勾股定理是初中数学的基础，它是直角三角形中一条重要的等式，其应用广泛。学好勾股定理对于进一步学习几何和数学有重要意义。
勾股定理的定义
直角三角形
勾股定理适用于直角三角形，即其中一个角为90度。
勾股三元组是一组满足勾股定理的整数边长的三角形。
总结
勾股定理是数学中一条重要且有广泛应用的几何定理，学好勾股定理对于学生的数学学习非常重要，希望大家能够努力掌握这一定理。
参考文献
- 《数学教学参考书目》 - 《初中数学教材》
通过数学运算和代数推导，可以证明勾股定理的代数性质。
勾股定理的应用
长方形的对角线
勾股定理可以用于计算长方形对角线的长正方形的边长。
直角三角形的中线
勾股定理可以用于计算直角三角形中线的长度。
...
勾股定理的拓展
广义勾股定理
勾股三元组
...
广义勾股定理是勾股定理在非直角三角形中的推广和拓展。
斜边、直角边、另一条边
勾股定理描述了直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和的关系。
勾股定理的表述
勾股定理可以简化成 a²+ b²= c²的等式。
勾股定理的证明
1
证明一：仿射几何
通过仿射几何的方法，可以得到勾股定理的几何证明。
2
证明二：相似三角形
使用相似三角形的性质，可以证明勾股定理的几何性质。
3
证明三：代数证明

勾股定理知识讲解

勾股定理知识点学习要求：学习重点是利用计算面积和拼图的方法探索并验证勾股定理借助三角形三边关系来判断一个三角形是否是直角三角形。

难点是各种拼图的理解和勾股定理的应用。

中考热点：主要考查勾股定理及直角三角形判定条件的应用和勾股数常与三角形其他知识结合考查。

一、探索勾股定理：１．勾股定理〔重点〕内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 即：直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只使用与直角三角形。

使用勾股定理时首先确定最长边即斜边。

〔难点〕勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：见右图四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形〔22a b +＞2c 〕和钝角三角形〔22a b +＜2c 的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形〔重点〕①直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。

初中数学勾股定理(精选课件)

初中数学勾股定理聚智堂学科教师辅导讲义年级：课时数：学科教师：学员姓名：辅导科目：数学辅导时间:课题勾股定理教学目的1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

(即：a2+b２=ｃ2)2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:ａ、b、c有关系a２+b２=ｃ２，那么这个三角形是直角三角形。

３、满足的三个正整数,称为勾股数。

教学内容一、日校回顾二、知识回顾1。

勾股定理如图所示,在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系：即C的面积=B的面积+Ａ的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题,于是得到直角三角形三边之间的重要关系,即勾股定理。

勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，ｂ，斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

说明:(1)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形,那么三条边之间就没有这种关系了。

（2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦。

在没有特殊说明的情况下，直角三角形中,ａ,b是直角边，ｃ是斜边，但有时也要考虑特殊情况。

（3）除了利用a，ｂ,ｃ表示三边的关系外，还应会利用AＢ，BC，CA表示三边的关系,在△AＢC中,∠Ｂ＝９0°,利用勾股定理有。

2. 利用勾股定理的变式进行计算ﻩ由,可推出如下变形公式:(１）;（2）(3）（4)（5)（平方根将在下一章学到）说明：上述几个公式用哪一个,取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。

三、知识梳理１、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边（２）已知直角三角形的一边与另两边的关系。

求直角三角形的另两边（３)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边(如c)（2）验证与是否具有相等关系（3）若=，则△ＡBC是以∠C为直角的直角三角形；若≠则△ABＣ不是直角三角形。

勾股定理

勾股定理一、知识概述1、勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2=c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（1）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，即勾2＋股2=弦2．（2）勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，因此是直角三角形的性质定理，它为我们利用计算的方法研究几何图形的性质提供了新的途径．（3）勾股定理的证明常用面积法证明，读者可根据下图的几种拼图方式，用面积证明勾股定理．（4）勾股定理只适用于直角三角形，对于一般非直角三角形就不存在这种关系．勾股定理的作用是：①已知直角三角形的两边求第三边；②在直角三角形中，已知其中的一边，求另两边的关系；③用于证明平方关系；④利用勾股定理，作出长为的线段．2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法．这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的．实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的．这里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，打破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边关系判定直角的新方法．它将数形之间的联系体现得淋漓尽致，因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”！二、重点、难点、疑点突破1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥斯定理，它有着悠久的历史，蕴涵着丰富的文化价值．勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理”．勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边）的三边关系，即c 2=a 2＋b 2．它的变形为c 2－a 2=b 2或c 2－b 2=a 2．运用它可以由直角三角形中的两条边长求第三边．例如：已知一个直角三角形两边长分别为3cm ，4cm ，求第三边长．因为该题没有说明哪条边是直角三角形的斜边，所以要进行分类讨论．当两直角边分别为3cm ，4cm 时，由勾股定理有斜边为=5cm ；当斜边为4cm ，一直角边为3cm 时，则另一直角边为．故第三边为5cm 或cm ．2、直角三角形的几个性质（1）两锐角互余；（2）三边长满足勾股定理；（3）如果有一个锐角等于30°，那么所对的直角边（设此边长为a ）等于斜边的一半，三边长的关系为a ，，2a ；（4）等腰直角三角形（直角边边长为a ）三边长的关系为a ，a ，；（5）面积等于两直角边乘积的一半． 3、勾股数组①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、专题讲解：专题1 已知两边，求第三边（222a b c +=）例1（1）在直角△ABC 中， ∠C=90°，a=5，b=12，则c= 。