理论力学-达朗贝尔原理案例
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理论力学第十四章 达朗贝尔原理与动静法 教学PPT
Fi Ni Qi 0
mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0 mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
工程实例
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
达郎贝尔原理
质点达朗贝尔原理
设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力N作用下沿曲线运动，
该质点的动力学基本方程为
N B
ma F N
考虑到式上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Mac Mrc Macn Mrc 2
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
z
RQn
mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0 mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
工程实例
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
达郎贝尔原理
质点达朗贝尔原理
设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力N作用下沿曲线运动，
该质点的动力学基本方程为
N B
ma F N
考虑到式上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Mac Mrc Macn Mrc 2
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
z
RQn
北京交通大学理论力学达朗贝尔原理课件
M gx
mi
zi
x i
2
mi yi zi
z
J yz J zy mi yi zi J zx J xz mi zi xi
刚体对z轴旳惯性积
ri
FIti
O
zi
yi
xi
x
FIin y
M gx J xz J yz 2 M gy J yz J xz 2
M gz miri2 J z
刚体作定轴转动时
FgR mac
M gc 0
（转轴与质量对称面垂直，向质量对称面与转轴交点简化）
FgR mac
M g0 M gz J z
刚体作平面运动时
（设运动平行于质量对称面、向质心C简化)
Fgc mac
M gc Jc
例1：
a
FgR maC
HC
M gc JC
a Hy
H
an HC
aA aC
均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其
质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：
圆柱体A旳角加速度。
MI
FOy
FT
FOx
拓展：
M IA
FT
FIA
FN
已知：均质圆盘 m1, 纯R,滚动.均质杆 l 2R, m2.
求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面? 纯滚动旳条件?
FgO
FOY MgO O
FOX C1
MgC2 A
FgC2 C2 B
？拟定惯性力大小
mg
mg
例3长均为l，质量均为m旳均质杆OA、AB铰接于O，在图
示水平位置由静止释放，求初始瞬时OA、AB旳角加速度。
？列什么方程 aC1
《达朗贝尔原理》课件
达朗贝尔原理的微分方程形式为：dM/dt=∫F·d(dr/dt)dr，其中dM/dt表示动量 矩对时间的变化率，dr/dt表示速度矢量，∫F·d(dr/dt)dr表示力矩对时间的积分 。
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
理论力学PPT课件第7章 达郎贝尔原理
第7章 达朗贝尔原理
• 分析力学两个基本原理之一 • 提供研究约束动力系统的普遍方法—动静法
2020年5月19日
1
❖ 惯性力的概念 ❖ 达朗贝尔原理 ❖ 刚体惯性力系的简化 ❖ 达朗贝尔原理的应用
2020年5月19日
2
工程实例
问题：汽车底盘距路面的高度为什么不同？
2020年5月19日
3
底盘可升降的轿车
2 sin2
h
mg
B
FB
当角速度0时，情况怎样？
2020年5月19日
13
§7.3 惯性力系的简化
一、主矢与主矩
1.主矢: FIR maC 与质系运动形式无关
2.主矩:
e
QM OF Ii M OF i
故 同且 理 M M IIOC M O ddF ddiLO eC L ttdd L t,O 与质系运动形式相关
O
C
B
A
2020年5月19日
24
解：点C为系统的质心，且此瞬时角速度为零。
根据运动分析虚加惯性力、惯性力偶
FIy
I C
A
acxao r
acy
a CO
r
2020年5月19日
25
acxao r
acy
a CO
r
FIxmacxmr
FIy
a0 O
FIy macy mr
MICJC167mr2 Ff
FIx A
C
acy
acx M 2mg
IC
B
MA 0 M ICF IxrF Iyr2m grF N0
12g 29r
2020年5月19日
26
2020年5月19日
4
• 分析力学两个基本原理之一 • 提供研究约束动力系统的普遍方法—动静法
2020年5月19日
1
❖ 惯性力的概念 ❖ 达朗贝尔原理 ❖ 刚体惯性力系的简化 ❖ 达朗贝尔原理的应用
2020年5月19日
2
工程实例
问题：汽车底盘距路面的高度为什么不同？
2020年5月19日
3
底盘可升降的轿车
2 sin2
h
mg
B
FB
当角速度0时，情况怎样？
2020年5月19日
13
§7.3 惯性力系的简化
一、主矢与主矩
1.主矢: FIR maC 与质系运动形式无关
2.主矩:
e
QM OF Ii M OF i
故 同且 理 M M IIOC M O ddF ddiLO eC L ttdd L t,O 与质系运动形式相关
O
C
B
A
2020年5月19日
24
解：点C为系统的质心，且此瞬时角速度为零。
根据运动分析虚加惯性力、惯性力偶
FIy
I C
A
acxao r
acy
a CO
r
2020年5月19日
25
acxao r
acy
a CO
r
FIxmacxmr
FIy
a0 O
FIy macy mr
MICJC167mr2 Ff
FIx A
C
acy
acx M 2mg
IC
B
MA 0 M ICF IxrF Iyr2m grF N0
12g 29r
2020年5月19日
26
2020年5月19日
4
理论力学14达朗贝尔原理
质点系惯性力系的主矢量和主矩分别为：
Qi
miaiMaCFra bibliotekd dt
(
mi
vi
)
dp dt
mO
(Qi
)
mO
(mi
ai
)
d dt
mO
(mi
vi
)
dLO dt
12
用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系：
X i(e) Qix 0 Yi(e) Qiy 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
RQ Q ma MaC MQO mO (Q )
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
15
一、刚体作平动
向质心C简化： RQ MaC
MQC mC (Qi )ri (miaC )miri aC 0
翻 页
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
Fi Ni Qi 0 mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
注意到
F (i) i
0
,
mO
( Fi (i )
)0
, 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
Fi(e) Qi 0
mO (Fi(e) )mO (Qi )0
11
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
厢的加速度 a 。
7
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Q ma ( Q ma ) 由动静法, 有
X 0 , mg sin Qcos 0
解得
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也 不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
理论力学课件 第十三章 达朗贝尔原理
MO(F) 0
FΙC
r
l 2
MΙC
MΙO
M
0
联立求解，可得
1 7.9rad / s2 2 4.44rad / s2
由ΣFx=0 解得轴承O 水平方向的约束反力
FOy
O
FOx M mg
A
FΙ C
M ΙO
C
M ΙC
m1 g
B
FOx
FC
m1( r1
l 2
2
)
8.91N
由ΣFy=0 解得轴承O 铅垂方向的约束反力
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
由于质点系的内力总是成对出现的，且等值反向共线，它们相互抵消，这样， 上面两式可简化为
Fie FIi 0
MO (Fie )
MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每一个质点上的惯性力 在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理的又一表述形式。
解得
FI mgtan
由于
FI
man
m
v2 lsin
FN
an
v
mg FI
解得
v gl tan sin
【例13-2】 如图所示的列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，摆锤的
质量为m。当车厢向右做匀加速运动时，单摆向左偏转的角度为 ，求车厢
的加速度a。
解：选摆锤为研究对象，受力分析 如图所示。由达朗贝尔原理，列x方向 的平衡方程
解得
FAx FBx 0
FAy 200kN
FBy 200kN
FAz 20kN
z
B FBx
理论力学经典课件第七章达朗贝尔原理
22
cos0.63
7-4-4 动约束力效应及消除方法 题型特点: 非稳定向:复力与加速度变化: 先由支国能定理，求速度和加速度 ，再用 动静法类似法: 习题7-20、7-21、7-31、7-33、7-34
r
m
r
m
r
m
r
2r
2m
r
m
(a)
(b)
静,动
静(c)Biblioteka 静,动mr mrm
(d)
静
7-4-4 动约束力效应及消除方法
1. C 0 Wc=0。
由 TTv W
R
1mvc211m2R22
C
2
23
m g ( 2 R 2 R c o s) + m g R ( 1 c o s) l
而 VC 2R ，
•
又
d
dt
di ωi ωj dt
F1
aC C
F2
rC
Fi
A
M IA y
dj ωj ωi d k 0 x
m aC
dt
dt
故 M IA ( J x α z J y ω z 2 ) i ( J y α z J x ω z 2 ) j J z α k
7-4-3 轴承动约束力
• 设动约束力如图。
z
令 d d F R 2 2 2 8 7 m g 4 8 3 m g c o s θ 4 8 3 m g s in θ 2 1 5 6 m g s in
0
sin 0 或 2 2 8 7m g4 8 3m g c o s 4 8 3 1 1 0 61 1 6 5c o s 0
即 22743 cos43105cos0
2020/3/31
cos0.63
7-4-4 动约束力效应及消除方法 题型特点: 非稳定向:复力与加速度变化: 先由支国能定理，求速度和加速度 ，再用 动静法类似法: 习题7-20、7-21、7-31、7-33、7-34
r
m
r
m
r
m
r
2r
2m
r
m
(a)
(b)
静,动
静(c)Biblioteka 静,动mr mrm
(d)
静
7-4-4 动约束力效应及消除方法
1. C 0 Wc=0。
由 TTv W
R
1mvc211m2R22
C
2
23
m g ( 2 R 2 R c o s) + m g R ( 1 c o s) l
而 VC 2R ，
•
又
d
dt
di ωi ωj dt
F1
aC C
F2
rC
Fi
A
M IA y
dj ωj ωi d k 0 x
m aC
dt
dt
故 M IA ( J x α z J y ω z 2 ) i ( J y α z J x ω z 2 ) j J z α k
7-4-3 轴承动约束力
• 设动约束力如图。
z
令 d d F R 2 2 2 8 7 m g 4 8 3 m g c o s θ 4 8 3 m g s in θ 2 1 5 6 m g s in
0
sin 0 或 2 2 8 7m g4 8 3m g c o s 4 8 3 1 1 0 61 1 6 5c o s 0
即 22743 cos43105cos0
2020/3/31
达朗贝尔原理(动静法)
达朗贝尔原理(动静法)
例15-1 用达朗贝尔原理求解
已知: m 0.1kg, l 0.3m,
60
求:
v, FT .
O θ l
达朗贝尔原理(动静法)
解: 先分析小球的受力和加速度，如图
FIn
v2
m an mlsin
mg FT FI 0
Fb 0, FT cos mg 0
Fn 0, FT sin FIn 0
解得
FT
mg
cos
1.96N
v
达朗贝尔原理(动静法)
FT l sin 2
m
2.1m s
§15-2 质点系的达朗贝尔原理
Fi FNi FIi 0
i 1,2,, n
记 Fi(e) 为作用于第i个质点上外力的合力.
F (i) i
为作用于第i个质点上内力的合力.
则有
Fie
FIR
Fie
miai maC
１ 刚体平移
惯性力系向质心简化.
由
M IC
d dt
LC
0
只简化为一个力 FIR maC
2 刚体定轴转动
大小为:
Ft Ii
mi ait
mi ri
Fn Ii
mi ain
mi ri 2
MIx
M x FIi
Mx
Fi Ii
Mx
Fn Ii
性力在形式上组成平衡力系。
达朗贝尔原理(动静法)
例15-2 如图所示,定滑轮 的半径为r,质量为m均匀分
布在轮缘上,绕水平轴Ｏ转
动.垮过滑轮的无重绳的两 端挂有质量为m1和m2的重 物(m１>m2),绳与轮间不打 滑,轴承摩擦忽略不计,求 重物的加速度.
理论力学达朗贝尔原理与动静法教学省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
例题
于是可写出汽车旳动态平衡方程
M B 0 , RQh Gc N A(b c) 0 (1) M A 0 , RQh Gb NB (b c) 0 (2)
由式(1)和(2)解得
NA
M
(gc ah) bc
NB
M (gb ah) bc
RQ C
h FB
B
G
c
NB
a
b
A
NA
例题
列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作
达朗贝尔原理与动静法
目录
达朗贝尔原理 惯性力系旳简化 动静法应用举例 定轴转动刚体对轴承旳动压力
引言
引进惯性力旳概念，将动力学系统旳二阶运动量 表达为惯性力，进而应用静力学措施研究动力学 问题 —— 达朗贝尔原理。
达朗贝尔原理为处理非自由质点系旳动力学问题 提供了有别于动力学普遍定理旳另外一类方 法。
● 主矩
合力偶旳力偶矩即为惯 性力系旳主矩，其大小等于 刚体对经过质心旳转动轴旳 转动惯量与角加速度旳乘积， 方向与角加速度方向相反。
M CQ ICz
MCQ
RQ
C
ri
mi
a
n ir
aC
a
ir
ε
aC
常见惯性力旳主失和主矩
综上所述：
1、刚体作平动 向质心简化
● 主矢 RQ＝ (－miai ) ＝－MaC
匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢
旳加速度 a 。
例题
解： 选单摆旳摆锤为研究对象 虚加惯性力
Q ma ( Q ma )
由动静法, 有
X 0 , mgsin Qcos 0
解得
a g tan
理论力学——第14章 达朗贝尔原理
Fix(e) FIix 0 Fiy(e) FIiy 0 M O (Fi(e) ) M O (FIi ) 0
Fix(e) FIix 0 ,
M x (Fi(e) ) M x (FIi ) 0
Fiy(e) FIiy 0 ,
M y (Fi(e) ) M y (FIi ) 0
由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，有
F (i) i
0,
MO (Fi(i) ) 0
则上式可改写为
Fi(e) FIi 0 MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每个质点上 惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理 的又一表述。对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程， 只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
MIO ri (miai ) ( miri )aC mrC aC
若选质心C为简化中心，则 rC=0，有： M IC 0
故平移刚体的惯性力系可以简化
为通过质心的合力，其力大小等
于刚体质量与加速度的乘积，合
力的方向与加速度方向相反。
2、定轴转动刚体 如图示定轴转动刚体，考 虑质点i，以O为简化中。 有
l 2
2
0，aCt A
l
2
方向如图所示
角加速度的计算，以杆端点A为基点，B为动点
aB
aA
a
t BA
aB
aA
aBt A
aBt A aA
ll
aC aA aCt A
B
aBt A
aB
aA
aCt A C
aA
q
A aA
因此得此杆惯性力系得主矢为
FIR
理论力学--达朗贝尔原理及其应用 ppt课件
0tetftehtftegmmii2??????????????????????cossinsincoscos??????????0thftegmmi2????????????????coscos22i?emf?coscoscos22i2hgtemthftegmm??????????????????????31ppt课件?达朗贝尔原理应用示例例例题2长为l重为w的均质杆ab其a端闰接在铅垂轴z上并以匀角速绕此轴转动
FIti miait mi ri
FIni miain mi 2 ri
ppt课件
21
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 再将平面惯性力系向点
O简化，得一力和一力偶。 因为所有质点的法向惯性力 都通过O点，所以所有质点 法向惯性力对O点之矩的和 等于零：
力偶的力偶矩等于惯性力系对转轴的主矩，其大小
为刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角
加速度的方向相反。
ppt课件
23
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
讨论：
FIR
ma C
ma
t C
ma
n C
MI O MO ( FIti ) ( miri2 ) JO
电机所受真实力有m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；惯性力如图所示。
惯性力的大小为 FI m2e 2
方向与质心加速度相反。因转子 匀速转动，只有法向加速度，故 惯性力方向沿O1O2向外。
应用动静法，由平衡方程
MA 0
M m2 g e cos t FI cos t(h e sin t) FI sin t(e cos t) 0
MIC MC (FIti ) ( miri2 ) JC
FIti miait mi ri
FIni miain mi 2 ri
ppt课件
21
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 再将平面惯性力系向点
O简化，得一力和一力偶。 因为所有质点的法向惯性力 都通过O点，所以所有质点 法向惯性力对O点之矩的和 等于零：
力偶的力偶矩等于惯性力系对转轴的主矩，其大小
为刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角
加速度的方向相反。
ppt课件
23
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
讨论：
FIR
ma C
ma
t C
ma
n C
MI O MO ( FIti ) ( miri2 ) JO
电机所受真实力有m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；惯性力如图所示。
惯性力的大小为 FI m2e 2
方向与质心加速度相反。因转子 匀速转动，只有法向加速度，故 惯性力方向沿O1O2向外。
应用动静法，由平衡方程
MA 0
M m2 g e cos t FI cos t(h e sin t) FI sin t(e cos t) 0
MIC MC (FIti ) ( miri2 ) JC
【推荐】理论力学：ch12达朗贝尔原理.ppt
§12-2 质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
对整个质点系，其主动力系、约束力系、惯性力系 在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。 可用方程表示为：
11
动力学/动静法
若将质点系受力按内力、外力划分
因为
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程， 只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
由动静法，列方程： 代入上式得：
37
动力学/动静法
解法 2 用动量矩定理求解 取系统为研究对象
根据动量矩定理，有
38
动力学/动静法
解法 3 用动能定理求解 取系统为研究对象
两边求导得：
39
动力学/动静法
动静法的优点
①用动静法和普遍定理求解动反力的主要区别为力矩 方程；前者可对任意点取矩；后者矩心一定取定点或质心。
③ 刚体作匀速转动，且转轴过质心C 。
（惯性力主矢、主矩均为零）
18
动力学/动静法
例12-2 均质杆长l ，质量m，与水平面铰接， 杆由与
水平面成 0 角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角
加速度及支座A的约束力。 解：选杆AB为研究对象
虚加惯性力系： （向铰链A简化）
19
动力学/动静法
根据动静法，有
与简化中心O的位置无关
与简化中心O的位置有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质 量与其质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
14
动力学/动静法
一、刚体作平移 向质心C简化： 刚体平移时惯性力系合成为一过质心的合力。
15
动力学/动静法
二、定轴转动刚体 这里仅讨论具有垂直于转轴的
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
对整个质点系，其主动力系、约束力系、惯性力系 在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。 可用方程表示为：
11
动力学/动静法
若将质点系受力按内力、外力划分
因为
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程， 只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
由动静法，列方程： 代入上式得：
37
动力学/动静法
解法 2 用动量矩定理求解 取系统为研究对象
根据动量矩定理，有
38
动力学/动静法
解法 3 用动能定理求解 取系统为研究对象
两边求导得：
39
动力学/动静法
动静法的优点
①用动静法和普遍定理求解动反力的主要区别为力矩 方程；前者可对任意点取矩；后者矩心一定取定点或质心。
③ 刚体作匀速转动，且转轴过质心C 。
（惯性力主矢、主矩均为零）
18
动力学/动静法
例12-2 均质杆长l ，质量m，与水平面铰接， 杆由与
水平面成 0 角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角
加速度及支座A的约束力。 解：选杆AB为研究对象
虚加惯性力系： （向铰链A简化）
19
动力学/动静法
根据动静法，有
与简化中心O的位置无关
与简化中心O的位置有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质 量与其质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
14
动力学/动静法
一、刚体作平移 向质心C简化： 刚体平移时惯性力系合成为一过质心的合力。
15
动力学/动静法
二、定轴转动刚体 这里仅讨论具有垂直于转轴的
理论力学11—达朗贝尔原理2
静平衡与动平衡的概念
静平衡：
动平衡：转轴为中心惯性主轴时， 转动时不产生附加动反力。 动平衡的刚体，一定是静平衡的； 反过来，静平衡的刚体，不一定是动平 衡的。
[例8] 质量不计的转轴以角速度 匀速转动， 其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出 在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是 动平衡的？
z B
FB
由式 (1) 和 (2) 解得
b e FA (1 )P ab g
2
FIO
A
FA
O C
e
a e FB (1 )P ab g
2
aP
(b)
b
两轴承所受的力分别和 FA 、FB 的大小相等而 方向相反。
E 例10 均质杆的质量为m, 长为2l, A 一端放在光滑地面上, 并用两软 a C 绳支持 , 如图所示。求当 BD 绳 aB t 30o 切断的瞬时, B点的加速度、AE aCB B 绳的拉力及地面的约束力。 D aB 解: 以杆AB为研究对象，杆AB y FT 作平面运动。 以点 B为基点， A E 则点C 的加速度为
sin j r l r 4
2 2
MA
y FAy
C
B
x
cos j
l
2 l 2 r2 4
将已知数值代入以上三式，解之得
FAx mra
l FAy mg ma 2
1 1 2 M A W，B端与重G、半径为 r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为M的力 偶，借助于细绳提升重为P的重物C。试求固定 l 端A的约束力。 解：先以轮和重物为研究对象 , A B 受力如图。假想地加上惯性力 M
M A (F ) 0
C
a
11理论力学达朗贝尔原理
三、 质点系的达朗贝尔原理
设质点系由n个质点组成，其中任意质点i的质量为mi， 加速度为ai。
（1）若把作用于此质点上的所有力分为主动力的合
力Fi、约束力的合力FNi，再虚拟加上此质点的 惯性力FIi= –miai。
由质点的达朗贝尔原理，有
Fi+ FNi+ FIi =0 （11－3） 该式表明：质点系中每个质点上作用的主动力、
F x 0,FIi cosi FA 0OFLeabharlann y 0,FIi sini FB 0
而
FIi = miain
m
2R
Ri
R 2
R Δθi
θi
FIi
B
x
FB
19
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
令 Δθi
0，有
FIi
cosi
2 0
m
2
R 2
cosd
mR 2 2
FIi
sini
2 0
m
2
R 2 sind
例11－3 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω定轴 转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考 虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。
y
A
R O
B
x
18
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
解：由于对称，取四分之一轮 缘为研究对象，如图所示。
轮缘横截面张力设为FA、FB。
y
FA
A
取圆心角为Δθi的微小弧段， 每段 加惯性力FIi。 列平衡方程
FIi 0
故
i 1 n
i 1 n
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
i 1
i 1
(14-4)
理论力学经典课件-第七章 达朗贝尔原理
aD
O
研究整体，由MA=0，经化简得:
aO
mg AD
A
FAx
FN ml AD 2 3mg
图(b)
FAy
(b)
7-3 动静法的应用
7-3-2 典型问题
再研究轮与BD杆，由MD=0,并注意到式(a),得
1 3 3 FN l AD mg (c) 3 2 F (b) – (c) 得
1. 质点达朗贝尔定理 由 F FN m a 即 F FN m a 0
FI ma
m
FN
引入惯性力 FI m a
F
ma
则 F FN FI 0 — 质点的达朗贝尔定理 即作用于质点的主动力，约束力与惯性力构成平衡力系。
2.关于惯性力: 1) 质点加速运动时,外部物质世界作用在质点上的
已知 G, ,求BC绳断瞬时,求AB绳张力。
A
C
FI
给小球加惯性力, 受力如图。 由 FT G FI 0
FT
B
a
FI
G
FT G cos
7-1 质点系的达朗贝尔原理
G FT
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理 1. 一般形式 对 mi 有:
Fi e FNi FIi 0
FN
FBy
B
aD
aO
FBx
mg
图(b)
mg AD
A
FAx
FAy
图(c)
7-3-2 典型问题
运动至AEB水平时，速度如图(d)，易知BD=AD。
vB 3lωAD
由T–T0=W，有
(d)
B
B
C
E
A
第7章 达朗贝尔原理
例如，系在绳子一端质量为m的小球，速度为v，用手拉住小球在 水平面内作匀速圆周运动，如图7.2所示。小球受到绳子的拉力F， 使小球改变运动状态产生法向加速度 a n ，即 F = man。小球对绳子 的反作用力 F = F = man ，这是由于小球具有惯性，力图保持其 原有的运动状态，而对绳子施加的反作用力。
7.2.1 平移刚体惯性力系的简化
当刚体作平移时，由于同一瞬时刚体上各点的加速度相等，则各点 的加速度都用质心C的加速度表示，即 aC = ai ，如图7.5所示。将 惯性力加在每个质点上，组成平行的惯性力系，且均与质心C的加 速度方向相反，惯性力系向任一点O简化，得惯性力系主矢为
= FIi = mi ai = (mi aC ) FIR
式(7-7)在直角坐标轴上的投影形式： (1) 空间力系：
i 1 i 1 n n Fiy(e ) + FIyi = 0 i 1 i 1 n n Fz(ie ) + FIzi 0 i 1 i 1 n n (e ) M x ( F ) + M x ( FIi ) = 0 i 1 i 1 n n (e ) M y ( F ) + M y ( FIi ) = 0 i 1 i 1 n n (e ) M z ( F ) + M z ( FIi ) = 0 i 1 i 1
ai aτ i F Ii
n
αω
C MIR F IR
FIi
图7.6 定轴转动刚体
图7.7 平面运动刚体
结论：具有质量对称平面且转轴垂直于此对称平面的定轴转动刚体 的惯性力系，向转轴简化为一个力和一个力偶。此力的大小等于刚 体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用 线通过转轴；此力偶矩的大小等于刚体对转轴的转动惯量与角加速 度的乘积，转向与角加速度转向相反。 = 0 ，则惯性力系简化 当转轴通过质心时，质心的加速度 aC = 0，FIR 为质心上的一个力矩。即 MIO = JO α (7-15)
《理论力学达朗贝尔原理》教案
《理论力学》教案
教学课题：§13.1 惯性力的概念达朗贝尔原理
选用教材：武清玺冯奇.《理论力学》
高等教育出版社
教学指标
课题：§13.1 惯性力的概念达朗贝尔原理
课型：新授课
课时：1课时
教学目标：
1.了解什么是惯性力；
2.知道惯性力的大小、方向及作用物体；
3.熟练掌握质点达朗贝尔原理的使用；
4.掌握质点系达朗贝尔原理表达式，能灵活应用。
教学内容：
本节内容主要学习求解非自由质点系动力学问题的新方法—达朗贝尔原理，它是用静力学平衡的观点解决动力学问题，又称为动静法。
它在解决已知运动求约束力方面显得特别方便，因此在工程中得到广泛的应用。
教学重点：质点达朗贝尔原理应用，质点系达朗贝尔原理推导及应用。
教学难点：惯性力的作用物体，质点系质点系达朗贝尔原理的应用。
教学方法与手段：知识点的推进遵从循序渐进、由表及里、有点几面的原则。
以多媒体教学为主要手段，辅以板书推导、演算，利用精炼的语言讲解，让学生通过眼、耳、大脑共同的感知，达到传授理论的目的。
讲解过程结合适当练习达到具体、直观强化理论的目的。
r
()0
-=
ma
引入惯性力表达式后，上式可改写成
u
球磨机是一种破碎机械，在鼓室中装进物料和钢球（如下图。
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3 2
m1g
Fs fs FN fs m1 m2 g
fs
Fs FN
3m1
2m1 m2
D
例13-7
已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg,
转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心
C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm.当轮盘以均转速
n
12000
r转动. min
求：轴承A,B的约束力
M A 0, M m2gesin FI hsin 0
因 t, 得
Fx m2e2 sint
Fy m1 m2 g m2e 2 cost
M m2gesin t m2e 2hsin t
例13-5
已知：如图所示,电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在支座上, 绞车与梁共重为P.绞盘半径为R,与电机转子固结在一 起,转动惯量为J ,质心位于O 处.绞车以加速度a提升质 量为m的重物,其它尺寸如图.
第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-1
已知: m 0.1kg ,l 0.3m, 60
求: v, FT.
解:
FI
man
m v2
l sin
mg FT FI 0
F b 0, FT cos mg 0
F n 0, FT sin FI 0
FT
mg
cos
1.96N
v FTl sin 2 2.1m/s
求:惯性力系向点Ｏ 简化的结果(方向在图上画出).ຫໍສະໝຸດ 解:Ft IOm
l
2
Fn IO
m
l 2
2
M IO
1 3
ml 2
FIOn
FIOt
aCn
M IO aCt
思考：向质心C简化结果如何？
例13-4
已知:如图所示,电动机定子及其外壳总质量为m1,质心位于O
处.转子的质量为m2 ,质心位于Ｃ 处,偏心矩ＯＣ＝e ,
M A 0 m2aRsin 30 m2gR cos30 0
a 3g
研究整体
FIA
m1a,
MIA
1 2
m1R
2
a R
MD 0 FR FIA R MIA FIC Rsin 30 m2gR cos30 0
Fx 0 F Fs m1 m2 a 0
F
3 2
m1
m2
3g
Fs
图示平面为转子的质量对称面.电动机用地角螺钉固定
水平基础上,轴O与水平基础间的距离为h.运动开始时,
转子质心Ｃ位于最低位置,转子以匀角速度 转动.
求:基础与地角螺钉给电动机总的约束力.
解: FI me2
Fx 0, Fx FI sin 0
Fy 0, Fy (m1 m2)g FI cos 0
FIit mir mia ,
FIin
mi
v2 r
MO 0, m1g m1a m2g m2ar miar 0
由 miar mi ar mar
解得 a m1 m2 g m1 m2 m
例133 已知:如图所示均质杆的质量为m ,长为l ,绕定轴O 转动的角
速度为 ,角加速度为 .
l2
l3
l1
a l2
ml1
J R
静约束力
附加约束力为
FA
l1
a
l2
ml2
J R
FB
l1
a l2
ml1
J R
例13-6
已知：均质圆盘 m1,纯R,滚动.均质杆 l 2R, m2.
求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面?纯滚动的条件?
解: 刚好离开地面时,地面约束力为零.
研究 AB 杆
m
应用静力学写平衡方程的方法求解动力学问题，这种 方法称为动静法。
例13-2
已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘
上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量
为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
解: FI1 m1a, FI2 m2a
求：支座A，B受到的附加约束力.
解 : FI ma
M IO
J
J
a R
MB 0 mgl2 FIl2 Pl3 MIO FA l1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
FA
mgl2 Pl3 l1 l2
l1
a l2
ml2
J R
FB
mgl1
Pl1
l1 l2
解:
an
e 2
0.1 m12000π 1000 30
s
1
2
158 m s2
FI man 3160N
FNA
FNB
1 2
mg FI
1 209.8 3160N 1680N
2