大学物理 质心、动量
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06-6质心力学定理
V M
C O
的速度) 对 的速度 又 ∵ v ≈ v ′ ( v ′是m对M的速度 1 ∴ m υ ′ 2 + ∆E引 = 0 2 地球参考系不是惯性系⇒ • 地球参考系不是惯性系⇒ 动量守恒不成立 地球参考系仍可正确表示系统的功能 功能关系 • 地球参考系仍可正确表示系统的功能关系
03/2006 S.H.Deng
12
质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和. 质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和. S.H.Deng
理学院 邓胜华
第6章 质心力学定理
二.重力势能与质心势能
定义： 定义：E C = Mgh C
E =
i i i
——质心重力势能 质心重力势能
质点组重力势能 ∑ m gh ——质点组重力势能 M =∑m ∑m h E = ∑ m gh = g ∑ m h = g ∑m ∑m
× m i v iC ) + ∑ (riC × m i v C )
i
S.H.Deng
i
OiBiblioteka C03/200614
理学院 邓胜华
第6章 质心力学定理
L = rC × ∑ m i v C + ∑ (riC × m i v iC ) + rC × ∑ (m i v iC ) i i i + ∑ (m i riC ) × v C
质心动量的改变量等于和外力的冲量. 质心动量的改变量等于和外力的冲量.
dv C = 又：M dt
∑F
i
i
即 M aC =
∑F
i
i
——质心运动定理 质心运动定理
质点组总质量与质心加速度的乘 积等于质点组所受到的合外力. 积等于质点组所受到的合外力. S.H.Deng 03/2006
12 大学物理动量矩定理
O
φ
化简即得单摆的运动微分方程
g 微幅摆动时，sin , 并令 n 2
d 2 g sin 0 2 dt l
v
A
0
2 n
l
0 0) 则运动方程 解微分方程,并代入初始条件 (t 0, 0 ,
0 cos
g t ，摆动周期 l
第十二章 §12–1
动量矩定理
质点与质点系的动量矩
§12–2
§12–3 §12–4 §12–5 §12–6
动量矩定理
刚体定轴转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
1
质点 动量定理： 质点系 动量的改变
外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢） 物体在移动时运动与受力之间的关系 －动量定理。
将表达式 (b) 和 (c) 代入方程 (a)，即得
(c)
PA 2 PB 2 d (JO r r ) ( PA PB )r g g dt
从而求出定滑轮的角加速度
d dt
方向为逆钟向。
PA PB r PA 2 PA 2 JO r r g g
21
例题
动量矩定理
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 若 若
M O (F ) 0
(M z ( F ) 0).
则 则
M O (mv ) 常矢量
(M z (mv ) 常量)
称为质点的动量矩守恒。
左边交换求和与导数运算的顺序: L O M O ( mi vi ), 而:
φ
化简即得单摆的运动微分方程
g 微幅摆动时，sin , 并令 n 2
d 2 g sin 0 2 dt l
v
A
0
2 n
l
0 0) 则运动方程 解微分方程,并代入初始条件 (t 0, 0 ,
0 cos
g t ，摆动周期 l
第十二章 §12–1
动量矩定理
质点与质点系的动量矩
§12–2
§12–3 §12–4 §12–5 §12–6
动量矩定理
刚体定轴转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
1
质点 动量定理： 质点系 动量的改变
外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢） 物体在移动时运动与受力之间的关系 －动量定理。
将表达式 (b) 和 (c) 代入方程 (a)，即得
(c)
PA 2 PB 2 d (JO r r ) ( PA PB )r g g dt
从而求出定滑轮的角加速度
d dt
方向为逆钟向。
PA PB r PA 2 PA 2 JO r r g g
21
例题
动量矩定理
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 若 若
M O (F ) 0
(M z ( F ) 0).
则 则
M O (mv ) 常矢量
(M z (mv ) 常量)
称为质点的动量矩守恒。
左边交换求和与导数运算的顺序: L O M O ( mi vi ), 而:
大学物理学课件(南开大学)力学
I y F y d m t v 2 s3 i m n 0 v 1 s4 i n F 5 y t
撞击时间为0.01s，板施于球的平均冲力大小和方向：
m2.5g t 0.0 v 1 1 1 m 0 s ,v ,2 / s 2 m 0
Ix0 .06 N； 1s Iy0 .00 N7s
I Ix 2Iy 26.1 41 0 2Ns
*系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 * 动量守恒可在某一方向上成立。 * 动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
a
18
例3.11 一个有1/4圆弧滑槽的大物体质量为M，停在
光滑的水平面上，另一质量为m的小物体自圆弧
顶点由静止下滑。
求：当小物体滑到底时，大物体
mR
M在水平面上移动的距离？
解：选如图坐标系，在m下滑 过程中，M和m组成的系统在 水平方向上合外力为零，因此
M
dm MdM x
在外t 时力刻的总影动响量。Mv沿x方向
t
t dt
在t +dt时刻总动量: d( v m u ) ( M d)v m (d v )
dm dM 由动量守恒定律：
d( v M u ) ( M d)v M ( d v ) M v
略去二阶无穷小量 dMdv ud M M v d 0
以上讨论均在实验室参照系（惯性系）中。
a
9
§2 动量 动量定理及动量守恒
一、2.1动量动（量描动述量质定点理运动状态，矢量）P mv
大小：mv 方向：速度的方向
单位：kgm/s 量纲：MLT－1
二、冲量（力的作用对时间的积累，矢量）I
t2
Fdt
大小：|
t2
Fdt
|
方向：速度变化的方向
撞击时间为0.01s，板施于球的平均冲力大小和方向：
m2.5g t 0.0 v 1 1 1 m 0 s ,v ,2 / s 2 m 0
Ix0 .06 N； 1s Iy0 .00 N7s
I Ix 2Iy 26.1 41 0 2Ns
*系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 * 动量守恒可在某一方向上成立。 * 动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
a
18
例3.11 一个有1/4圆弧滑槽的大物体质量为M，停在
光滑的水平面上，另一质量为m的小物体自圆弧
顶点由静止下滑。
求：当小物体滑到底时，大物体
mR
M在水平面上移动的距离？
解：选如图坐标系，在m下滑 过程中，M和m组成的系统在 水平方向上合外力为零，因此
M
dm MdM x
在外t 时力刻的总影动响量。Mv沿x方向
t
t dt
在t +dt时刻总动量: d( v m u ) ( M d)v m (d v )
dm dM 由动量守恒定律：
d( v M u ) ( M d)v M ( d v ) M v
略去二阶无穷小量 dMdv ud M M v d 0
以上讨论均在实验室参照系（惯性系）中。
a
9
§2 动量 动量定理及动量守恒
一、2.1动量动（量描动述量质定点理运动状态，矢量）P mv
大小：mv 方向：速度的方向
单位：kgm/s 量纲：MLT－1
二、冲量（力的作用对时间的积累，矢量）I
t2
Fdt
大小：|
t2
Fdt
|
方向：速度变化的方向
大学物理 第3章动量定理
(m2
m1)v2o m1 m2
2m1v1o
2v1o
vr1o
m2 m1
当m1>>m2时，且第二个 球静止，则碰后，第一个球 速度不变，而第二球以2倍 于第一个球的初速度运动。
第一篇 力学
2.完全非弹性碰撞 totally non-elastic collision
特点：机械能不守恒，动量守恒。碰撞
大
数
理 学
例如：两队运动员拔河，有的人说甲队力气大，乙队
院 力气小，所以甲队能获胜，这种说法是否正确?
赵 承 均
甲队
乙队
第一篇 力学
重
大
数
理
学 院
r
F1
r F2
赵 承
均 分析：
拔河时，甲队拉乙队的力，与乙队拉甲队的力是一对作用 力与反作用力，为系统的内力，不会改变系统总的动量。只 有运动员脚下的摩擦力才是系统外力，因此哪个队脚下的摩 擦力大，哪个队能获胜。所以拔河应选质量大的运动员，以 增加系统外力。
重
大 数
质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。
理
rr
学 院
p mv
单位：千克·米/秒, kg·m/s
赵 承 均
由Newton第二定律，得：F
ma
m
dv
d (mv)
dp
dt dt
即：
F dt
这就是动量定理。
在经典力学范围内，m=constant，动量定理与F=ma等价，但在高 速运动情况下，只有动量定理成立。
杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别
为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击力。
大学物理第2章-质点动力学基本定律
②保守力作功。
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
大学物理-质心质心运动定律
角动量守恒条件
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
大学物理力学第三章1动量与冲量
I
F
t
I
Fx
t2
x
t1
Fy
t
Iy t
2
1
F
I
t
mu一定
Ft 一定
0 t1
t2
面积相等
作用时间长 缓冲
由于力是随时间变化的，当变化较快 时，力的瞬时值很难确定，用一平均的力 代替该过程中的变力。
平均力的作用效果与这段时间内变力
的作用效果相同，用F~t 图表示，曲线下
面积，用与之相同的矩形面积来代替。
F外 0 时，P 常矢量
1.动量定理及动量守恒定律在不同的惯性系中 的形式不变。
2.式中的速度是同一惯性系中的速度；求和是 同一时刻的速度求和.
3.若某个方向上合外力为零，则该方向上动 量守恒。 4.当外力<<内力时（如碰撞、爆炸），动量 守恒。
5.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本 的定律，它在宏观和微观领域均适用。
篮板上，设碰撞时间t =0.01 s 求：篮板受到的
平均作用力。
解：对球用动量定理
x
P1
F t mv2 mv1
P2 ， I P1 P2 m v
I
F I t
600N
y
F 600i N
篮板受平均作用力。F 600i N
§3-2 质点系的动量定理 动量守恒定律
一、质点系 N个质点组成的系统-- 研究对象
用守恒定律作题， 应注意分析 过程、系统和条件。
例题1 已知船的质量 M=300kg , 人的质量m=60kg ,开始
船速V1=2 ms-2 ，人跳离后,船速V2=1 ms-1 求：起 跳时人相对于船的水平速度 v人-船。
解 v v v
动量定理 质心运动定理
动量定理质心运动定理动量定理质心运动定理质点的动量定理可以表述为:质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。
用公式d(mv),Fdt表达为 (17-7)d(mv),Fdt (17-8)tptp2211设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将(17-8)式积分，积分区tt21间为从到，得t2p,p,Fdt21,t 1 (17-9)t2Fdt,I,tttF211记，称为力在到时间间隔内的冲量。
式(17-9)为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。
(e)(i)MFFiii对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得dv(e)(i)im,F，F(e)(i)iiima,F，Fdtiiii 即mi除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。
如果质点的质量不dmv()(e)(i)ii,F，Fiidt变，则有上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得ndm(v),iinn()()ei,1i,，FF,,iidt,1,1iinn(e)(i)FF,,iii,1i,1 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于零。
上式中是质点dp(e),F(e)RFdtR系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为(17-10)1这就是质点系动量定理的微分形式，它表明:质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。
(e)dp,Fdt 将式(17-10)写成微分形式 Rtptptt222111 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积分，得t2(e)p,p,Fdt21R,t,I1 (17-11)p,p0 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。
4.4 质心 质心运动定理
解根据火箭速度公式,在第一级火箭燃料耗尽时 达到的速度为 v1 uln N1
大学物理 第三次修订本
17
第4章 冲量和动量
在第二级火箭燃料耗尽时, 火箭主体的 速度达到了v2 , 由公式得
v v0 uln
M0 M
v2 v1 uln N 2
在第三级火箭燃料耗尽时, 火箭主体最后 达到的速度为v, 应满足
M v [(M dM )(v dv) (dM )(v dv u )]
即
M dv udM 0
v
0
积分得 v
dv u
M
dM M
0
M0
v v 0 u(ln M ln M 0 ) 0 v v 0 u ln
M0 M
12
大学物理 第三次修订本
第4章 冲量和动量
16
第4章 冲量和动量
例3有一个三级火箭, 第一级火箭脱落前的质量 比为 N1 , 第二级火箭刚发动时火箭的质量与第 二级火箭燃料耗尽时火箭的质量之比为 N2 , 第 三级火箭刚点燃时火箭的质量与燃料耗尽时火 箭的质量之比为N3 。 若取N1 = N2 = N3 = 7.4；各级火箭的喷射速 度都为u =2.5kms-1。不计重力影响, 求该火箭最 后达到的速度。
第4章 冲量和动量
各级火箭中燃料烧完后, 火箭的速率为
v1 u ln N1
v2 v1 u ln N 2
v3 v2 u ln N 3
若火箭粒子流的喷射速率u=2.5kms-1，每 一级的质量比分别为N1=4, N2=3, N3=2, 可得: v3=7.93kms-1。
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ri
rc
mi
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第4章 冲量和动量
在第二级火箭燃料耗尽时, 火箭主体的 速度达到了v2 , 由公式得
v v0 uln
M0 M
v2 v1 uln N 2
在第三级火箭燃料耗尽时, 火箭主体最后 达到的速度为v, 应满足
M v [(M dM )(v dv) (dM )(v dv u )]
即
M dv udM 0
v
0
积分得 v
dv u
M
dM M
0
M0
v v 0 u(ln M ln M 0 ) 0 v v 0 u ln
M0 M
12
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第4章 冲量和动量
16
第4章 冲量和动量
例3有一个三级火箭, 第一级火箭脱落前的质量 比为 N1 , 第二级火箭刚发动时火箭的质量与第 二级火箭燃料耗尽时火箭的质量之比为 N2 , 第 三级火箭刚点燃时火箭的质量与燃料耗尽时火 箭的质量之比为N3 。 若取N1 = N2 = N3 = 7.4；各级火箭的喷射速 度都为u =2.5kms-1。不计重力影响, 求该火箭最 后达到的速度。
第4章 冲量和动量
各级火箭中燃料烧完后, 火箭的速率为
v1 u ln N1
v2 v1 u ln N 2
v3 v2 u ln N 3
若火箭粒子流的喷射速率u=2.5kms-1，每 一级的质量比分别为N1=4, N2=3, N3=2, 可得: v3=7.93kms-1。
大学物理 第三次修订本
ri
rc
mi
大学物理 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 3-9 质心 质心运动定律
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
一 质心
1 质心的概念
板上C点的运动轨迹是抛物线 板上 点的运动轨迹是抛物线 其余点的运动=随 点的平动+绕 点的 点的平动 点的转动 其余点的运动 随C点的平动 绕C点的转动
第三章 动量守恒和能量守恒
1
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
2 质心的位置 由n个质点组成 个质点组成 的质点系， 的质点系，其质心 的位置： 的位置：
13
物理学
第五版
3-9 质心 n n v v v m'vC = ∑ mi vi = ∑ pi = p i =1 i =1
质心运动定律
求一阶导数， 再对时间 t 求一阶导数，得
质心加速度
dp v m'aC = dt v v dp ex 根据质点系动量定理 = Fi dt
第三章 动量守恒和能量守恒
}⇒
x2 = 2 xC
17
第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
例4 用质心运动定律 y F 来讨论以下问题． 来讨论以下问题． 一长为l 一长为 、密度均匀的 y 柔软链条， 柔软链条，其单位长度的质 c yC 量为 λ ．将其卷成一堆放在 地面． 若手提链条的一端， 地面． 若手提链条的一端， o 以匀速v 将其上提．当一端 以匀速 将其上提． 被提离地面高度为 y 时，求手的提力． 求手的提力．
竖直方向作用于链条的合外力为 F − λyg
第三章 动量守恒和能量守恒
20
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
v 得到 F − yλg = lλ ⋅ l
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
一 质心
1 质心的概念
板上C点的运动轨迹是抛物线 板上 点的运动轨迹是抛物线 其余点的运动=随 点的平动+绕 点的 点的平动 点的转动 其余点的运动 随C点的平动 绕C点的转动
第三章 动量守恒和能量守恒
1
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
2 质心的位置 由n个质点组成 个质点组成 的质点系， 的质点系，其质心 的位置： 的位置：
13
物理学
第五版
3-9 质心 n n v v v m'vC = ∑ mi vi = ∑ pi = p i =1 i =1
质心运动定律
求一阶导数， 再对时间 t 求一阶导数，得
质心加速度
dp v m'aC = dt v v dp ex 根据质点系动量定理 = Fi dt
第三章 动量守恒和能量守恒
}⇒
x2 = 2 xC
17
第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
例4 用质心运动定律 y F 来讨论以下问题． 来讨论以下问题． 一长为l 一长为 、密度均匀的 y 柔软链条， 柔软链条，其单位长度的质 c yC 量为 λ ．将其卷成一堆放在 地面． 若手提链条的一端， 地面． 若手提链条的一端， o 以匀速v 将其上提．当一端 以匀速 将其上提． 被提离地面高度为 y 时，求手的提力． 求手的提力．
竖直方向作用于链条的合外力为 F − λyg
第三章 动量守恒和能量守恒
20
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
v 得到 F − yλg = lλ ⋅ l
4质心运动定理、动量守恒定律
2m 2 gh F′ = j t
= 3.8×10 j
2
(N) )
17
逆风行舟动量分析
18
三,动量守恒定律
如果系统所受的外力之和为零, 如果系统所受的外力之和为零,则系统的总动量保 持不变.这个结论叫做动量守恒定律 动量守恒定律. 持不变.这个结论叫做动量守恒定律. Fi = 0 结论 ∑mi vi = C 条件 ∑mivi = C 由质心运动定理: 由质心运动定理: Fi = MaC aC = 0 vC = C vC = M ∑ 明确几点 1.对于一个质点系,若合外力为 0,系统的总动量 对于一个质点系, , 对于一个质点系 保持不变,但系统内的动量可以相互转移. 保持不变,但系统内的动量可以相互转移.
dm = 2xσ dx
三角形质心坐标x 三角形质心坐标 c是
y
xc =
∫ xdm
m
∫ =
a/ 2
0
2σ x2dx
a
1 2 σ a 2
2 = a 3
O x dx
x
9
例
确定半径为R的均质半球的质心位置. 确定半径为 的均质半球的质心位置. 的均质半球的质心位置
解:建立如图所示坐标 已知薄圆盘的质心位于圆心, 已知薄圆盘的质心位于圆心,取 厚度为dy的薄圆盘为质量微元 的薄圆盘为质量微元. 厚度为 的薄圆盘为质量微元.
19
例
xC总 = 0
v车 m x车 x车 = = = M v人 x人 Li + x车
x人地 = x人车 + x车地
x 人 = Li + x 车
m x车 = Li m+M
20
作 业:
2-1 2-25 2-5 2-27
§2-4质心 质心的运动定律
m1v1x m2v2 x mn vnx =常量
m1v1 y m2v2 y mn vny =常量
m1v1z m2v2 z mn vnz
=常量
太原理工大学物理系
例1 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们 将在何处相遇？
y
o
解：
l
x
人和船组成系统，水平方向上不受外力。原来质 心静止，在人走动过程中质心始终静止，因而质 心的坐标值不变。 太原理工大学物理系
m1 x1 m2 x2 当人站在船的左端时 xc m1 m2 m1 x'1 m2 x'2 当人站在船的右端时 x'c m1 m2
m1x1 m2 x2 m2 x2 xc xc y x 1 x l d x x
m2 O m1
x
解 把两个小孩和绳看作一个系统，系统在水平 方向不受外力作用，水平方向质心速度不变。开 始时质心静止，两个孩子在运动过程中质心的位 置始终不变，所以在质心处相遇。
太原理工大学物理系
m2 O
C
m1
x20
xC
x10
x
m1 x1 m2 x2 xc m1 m2
在初始位置时，取 x20 0
F Mac 质心运动定理
质心的运动只由合外力决定，内力不能改变质 心的运动情况。
太原理工大学物理系
质心处的质点（质点系总质量）代替质点系 整体的平动.
4.合外力为零时质心的运动 如果系统所受的外力之和为零
由质心运动定理 F Ma c 得到 ac 0
Fi 0
太原理工大学物理系
大学物理-力学中的动量
第2级火箭脱落时，火箭组的速率为
V2 = V1 + uln N2 = ulnN1 + ulnN2 = u ln( N 1N 2 )
第 n 级火箭脱落时，火箭组的速率为
Vn = u ln( N1N 2 " N n ) (N1>1, N2>1, · · · Nn>1)
§4 质心 ( Center of Mass)
例：任意三角形的每个顶点有一质量 m，求质心
y
（x1，y1）
o
x2
x
xc
=
mx1 + mx2 3m
=
x1
+ x2 3
yc
=
my1 3m
=
y1 3
例：求半径为 R 的半圆形铁丝的质心。(Semicircular Hoop)
解
xc
=
∫
xdm m
yc
=
∫
ydm m
dm = λdl = m dl = m Rdθ
K M ,V
dm
GG
M − dm,V + dV
K
K
K
x
V气地 = V气箭 + V箭地
P0 = P1 + P2
MV= （M–dm）(V+dV)+ dm(V+dV – u)
MV= MV–Vdm + MdV– dmdV+Vdm +dmdV– udm
MdV = udm
dm = – dM
MdV= – udM
M dV = – u dM
T
m v0 m vm
T
M vM
Δp
mg
Δp
Mg
质点的动量定理
22
同理，对 N 个质点组成的质点组进行类似推导可以得到：
I
t t
t
F dt m v (t t ) m v (t ) p p
i 1 i i 1 i i i 1 i i
t t t
N
N
0
定义： I
F dt
i 1 i
外力的冲量和
i
2
ac
F
i i
m r
m
N i
N
i i
应用：
i i
质心速度:
drC vC dt
2
m v
m
N i
运动员、炮弹等的轨迹 筛选法（大小土豆）
F 0 ，自然界如没摩擦力
质心加速度: aC d rC dt 2
m a
m
i i
的情形设想……
4
质点系的质心运动
质心与质心运动定律
质点系质心运动
iz i
z
p0 z
23
例4.2.2-1质量为 m0 的板静止于水平桌面上，板上放有
m 的小物体。当板在水平外力的作用下从小物 体下抽出时，物体与板的速度分别为 v1 和 v2 。已知各
一质量为 接触面之间的摩擦因数均相同，求在此过程中所加水平 外力的冲量。 解：对 m0 和
m构成的系统应用质点系动量定理：
m1
xC1
c l xC1
v0 m2
联立得：
16
质点系动量定理与守恒定律
质点的动量定理 质点系动量定理
质点系运动定理
与守恒定律 质心动量定理 质点系动量守恒 质心系下质点系动量
17
质点的动量定理
由牛顿第二定律原始表达式：
同理，对 N 个质点组成的质点组进行类似推导可以得到：
I
t t
t
F dt m v (t t ) m v (t ) p p
i 1 i i 1 i i i 1 i i
t t t
N
N
0
定义： I
F dt
i 1 i
外力的冲量和
i
2
ac
F
i i
m r
m
N i
N
i i
应用：
i i
质心速度:
drC vC dt
2
m v
m
N i
运动员、炮弹等的轨迹 筛选法（大小土豆）
F 0 ，自然界如没摩擦力
质心加速度: aC d rC dt 2
m a
m
i i
的情形设想……
4
质点系的质心运动
质心与质心运动定律
质点系质心运动
iz i
z
p0 z
23
例4.2.2-1质量为 m0 的板静止于水平桌面上，板上放有
m 的小物体。当板在水平外力的作用下从小物 体下抽出时，物体与板的速度分别为 v1 和 v2 。已知各
一质量为 接触面之间的摩擦因数均相同，求在此过程中所加水平 外力的冲量。 解：对 m0 和
m构成的系统应用质点系动量定理：
m1
xC1
c l xC1
v0 m2
联立得：
16
质点系动量定理与守恒定律
质点的动量定理 质点系动量定理
质点系运动定理
与守恒定律 质心动量定理 质点系动量守恒 质心系下质点系动量
17
质点的动量定理
由牛顿第二定律原始表达式：
3-2 质点系动量定理和质心运动定理
解：
dm = 2xσdx
a/ 2
y a
三角形质心坐标x 三角形质心坐标 c是
xc
∫ xdm = ∫ = ∫ dm ∫
0
a/
0
2 a = 2 3 2σxdx
2σx dx
2
O x dx
x
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。 这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
11
三、质心运动定理 右边: 右边:
r d 据质点系动量定理: 据质点系动量定理 ∑ F = (∑m v ).
质点系动量定理：在一段时间内， 质点系动量定理：在一段时间内，作用于质点系的 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量. 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量
1
v d n v 微分形式） Fi = (∑mivi ) （微分形式） ∑ dt i=1 i=1
n
其分量式
Fixdt = ∑mi vix − ∑mi vi 0x ∫t0 ∑ t ∫t0 ∑Fiydt = ∑miviy − ∑mivi0 y t Fizdt = ∑mi viz − ∑mi vi 0z ∫t0 ∑
z
dm ( x , y , z )
体分布 面分布 线分布
dm = ρdV
r r
x o
M
dm = σdS dm = λdl
y
dm ρ= dτ dm σ= ds dm λ= dl
dm：宏观小，微观大 宏观小，
xc =
r rc =
∫ ∫
xdm M ydm M
注意： 注意：
1.质心的坐标值与坐标系的选取有关； 2.质量分布均匀、形状对称的实物，质 心位于其几何中心处； 3.不太大的实物，质心与重心相重合。
大学物理-质心 质心运动定律
n
3-9 质心 质点 系内
质心运动定律
v in ∑ Fi = 0
n i =1
v ex F
v dvC v = m′ = m′aC dt
质心运动定律:作用在系统上的合外力等于系统 质心运动定律 作用在系统上的合外力等于系统 的总质量乘以质心的加速度. 的总质量乘以质心的加速度 The law of motion of center of mass: The combined external force on the system is equal to the total mass of the system times the acceleration of the center of mass
第三章 动量守恒和能量守恒
8/12
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律 设有一质量为2m的弹丸 从地面斜抛出去,它 的弹丸,从地面斜抛出去 例3 设有一质量为 的弹丸 从地面斜抛出去 它 飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片,其中一个 飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片 其中一个 竖直自由下落,另一个水平抛出 它们同时落地.问第二个 另一个水平抛出,它们同时落地 竖直自由下落 另一个水平抛出 它们同时落地 问第二个 碎片落地点在何处? 碎片落地点在何处 选弹丸为一系统,爆 解:选弹丸为一系统 爆 选弹丸为一系统 炸前、 炸前、后质心运动轨迹 2m m m C 不变.建立图示坐标系 建立图示坐标系. 不变 建立图示坐标系 xC x O xC
解： C x
∑m x = ∑m
i =1 i
n
i i
mHd sin37.7o + mO × 0 + mHd sin37.7o = mH + mO + mH
3-9 质心 质点 系内
质心运动定律
v in ∑ Fi = 0
n i =1
v ex F
v dvC v = m′ = m′aC dt
质心运动定律:作用在系统上的合外力等于系统 质心运动定律 作用在系统上的合外力等于系统 的总质量乘以质心的加速度. 的总质量乘以质心的加速度 The law of motion of center of mass: The combined external force on the system is equal to the total mass of the system times the acceleration of the center of mass
第三章 动量守恒和能量守恒
8/12
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律 设有一质量为2m的弹丸 从地面斜抛出去,它 的弹丸,从地面斜抛出去 例3 设有一质量为 的弹丸 从地面斜抛出去 它 飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片,其中一个 飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片 其中一个 竖直自由下落,另一个水平抛出 它们同时落地.问第二个 另一个水平抛出,它们同时落地 竖直自由下落 另一个水平抛出 它们同时落地 问第二个 碎片落地点在何处? 碎片落地点在何处 选弹丸为一系统,爆 解:选弹丸为一系统 爆 选弹丸为一系统 炸前、 炸前、后质心运动轨迹 2m m m C 不变.建立图示坐标系 建立图示坐标系. 不变 建立图示坐标系 xC x O xC
解： C x
∑m x = ∑m
i =1 i
n
i i
mHd sin37.7o + mO × 0 + mHd sin37.7o = mH + mO + mH
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z
rc C
mi
N
rc
mi ri
i 1 N
mi
N
mi ri
i 1
m
i 1
ri
x
N
mi xi
y
xc
i 1
m
2.质量连续分布的物质
N
rc
mi ri
i 1 N
mi
r dm m
i 1
z
r
xO
dm
×C
rC m
y
xdm
ydm
zdm
xc m
xC总 0
C
x·c O
O′
x
r
d
2. 再计算挖去的部分的质心位置
xC挖 d
y
m总xC总 m挖 xC挖
m剩xC剩
R
C
x·c O
O′
r
x
3. 则剩余部分的质心位置 d
xC
0 d r2 R2 r2
d
R / r2
1
三、质心运动定律
质点系的运动可用全部质量集中在质心的质点来描述
二、动量定理
1.推导
v F
m
dvv
d
(mvv)
dt dt
t2
v Fdt
t1
vv2 vv1
d
(mvv)
mvv2 mvv1
t2 t1
Fx dt
mv2 x
mv1x
t2 t1
Fy dt
mv2 y
mv1y
2.平均冲力 ：
t2 t1
Fx dt
Fx
t2 t1
2.内容
质点系质心的运动决定于质点系合外力
若 F合外力 0 ， 则 vc (Pc ) 不变
即系统内力不会影响质心的运动
如抛掷的物体、 跳水的运动员、 爆炸的焰火等
例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球， 球的质量M，纸被拉动时与球的摩擦力为 F， 求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？
y
Fx
Fx 0 t1
t2
t
用平均冲力表示的动量原理为：
Fx t2 t1 mv2x mv1x
[ 例1 ] 质量为一吨的蒸汽锤自1.5m高的地方落 下，它与工件的碰撞时间为τ =0.01s,
求：打击的平均冲力。
(N mg )τ = 0 ( m v0 )
v0 2gh
m 2gh
N
mg
FiΔ t i FnΔ tn
力对时间的积累 2) 变力的冲量
I vv
I Fiti
3) 当力连续变化时
v
I
t2
v Fdt
t1
Fx
Ix
t2 t1
Fx dt
+
I y
t2 t1
Fy dt
0 t1
t2
t
冲量的几何意义：冲量 Ix 在数值上等于
Fx ~ t 图线与坐标轴所围的面积。
xc
mx1 mx2 3m
x1 x2 3
yc
my1 3m
y1 3
[例] 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块
半径为r的小圆盘，两圆盘中心O和O′相距为d，
且（d + r）< R 。
求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标y。
解：由对称性分析，
质心C应在 x 轴上。
R
用挖补法
1.先将挖去的部分补上 计算总的质心位置
yc m
zc m
3. 质心的计算 1) 均匀的杆、圆盘、圆环和球的质心 —— 几何中心 2) 小线度物体质心和重心是重合的
3) 对于确定的质点系,质心位置是唯一确定的
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y
（x1，y1）
o
x2 x
N
mi xi
xc
i 1
m
1.质心公式 2.求质心
显然，越小，N越大
mN v0
hm
m
0
工件 mg
[ 例2 ] 已知 M，m，h，绳子拉紧瞬间绳子 与m ,M 之间的相互作用时间为Δt。
求：绳子拉紧后，M 与 m 的共同速度
解：
T 0 T v0
M
m
Mg v mg v
m
( T Mg )Δ t =M v 0
M
h
( T mg )Δ t = mv ( mv0)
(4). 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本
例，已知: m，M， = 0，
车速 v0 及人对车的速度 u 求：人跳离瞬时车速 v
(m M )v0 Mv m(v u)
mu v v0 m M
u
v0
选 m+M 质点系
=0
作业
1.32,1.33,2.3,2.25,2.27
2、内容:
t2 t1
v Fi外dt
mivvi2
mivvi1
1）内力冲量和为零，内力不改变系统的总动量
2） 任意情况下，
( f f ')t o
三、动量守恒定律
1. 推导
t2 t1
v Fi外dt
mivvi2
mivvi1
若 Fi外 0 即外力矢量和为零
o N F mg
解： 质心运动定理
F Mac
F
x
ac M
xc
1 2
act 2
1 2
F M
t2
答：沿拉动纸的方向移动 1 F t 2 2M
2 - 2 动量定理 动量守恒定律
一、基本概念 1. 动量
pv mvv
2. 冲量 过程中力的积累
1) 常力的冲量
vv I Ft
F2Δ t 2 F1Δ t 1
则：
mi vvi
v C
2. 动量守恒定律
1)内容：质点系所受合外力为零时，质 点系总动量保持不变
------ 动量守恒定律
2)说明： (1). 守恒条件必须是
r
F合外力 0
而非
t
0 F合外力dt 0
(2). 常用分量守恒
若 Fx 0 则 px p0x
(3). 只适用于惯性系
1.推导
N
P i 1
质点系总动量
pi
N
mivi
i 1
N i 1
midri
dt
d
N
mi
r ri
i 1
dt
d (mrc )
dt
m drc
dt
mvc
质点系总动量
F
dP
dt
p mvc
F mac
三、质点系的动量定理
v
1. 推导
Σ
t2 t1
v Fi 外
dt
Σ
v
t2 t1
v Fi 内
dt
F2
Σ mivvi2 Σ mivvi1
v
v F21
F12
2v
F23
F1
1v
F13v
v
F31
3
F32 v
F3
t2 t1
v Fi外dt
mivvi2 律
2 - 1 质心 质心运动定理
一、质点系的内力和外力
v
内力总是成对出现，矢量和为零
v
质点系的合力：
F2
F F外 F内 F外
v
v F21
F12
2v
F23
F1
1v
F13v
v
F31
3
F32 v
F3
二、质心
N个粒子系统（质点系），
mi rri
1.定义 质量中心