《习题课——函数单调性与奇偶性的综合应用》函数PPT
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函数的奇偶性和单调性-课件
性质
偶函数的图像关于y轴对称 。
例子
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，所以 $f(x)=x^2$是偶函数。
REPORT
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DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上单 调增。
举例
应用
在经济学、生物学等领域中，单调增 函数常用于描述随着自变量增加，因 变量也增加的情况。
$f(x) = x^2$在区间$(0, +infty)$上 单调增。
单调减函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$ 上，对于任意$x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在
通过已知的函数性质和函数关系，可以求 解未知的函数解析式。
利用奇偶性和单调性研究函数图 像
通过奇偶性和单调性，我们可以研究函数 的图像性质，如对称轴、单调区间等。
奇偶性与单调性的实际应用举例
经济领域应用
在经济学中，奇偶性和单调 性可以用于研究经济数据的 趋势和周期性变化，如GDP 、就业率等。
自然科学应用
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意$x$，都有$f(x)=-f(x)$，则称$f(x)$为 奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对 称。
例子
$f(x)=x^3$，$f(-x)=x^3=-f(x)$，所以 $f(x)=x^3$是奇函数。
偶函数
定义
函数的单调性和奇偶性-PPT
一、函数的单调性
❖ 1.增函数 （1）定义
如果函数y f (x)在数集I上满足：对于任意x1, x2 I , 当x1 x2时，f (x1) f (x2 ),则称y f (x)在数集I上单调増， 也称y f (x)在数集I上是增函数。
如果函数y f (x)在某个区间上是增函数，就称该区间
如果函数y= f(x)的定义域关于原点O对称，并且 对定义域内的任意一个值x,都有f(-x)=-f(x), 我们 就称函数y= f(x) 为奇函数.
（2）图象特点
奇函数图象关于原点O成中心对称
二、函数的奇偶性
❖ 2.偶函数 （1）定义
如果函数y= f(x)的定义域关于原点O对称，并且 对定义域内的任意一个值x,都有f(-x)=f(x), 我们 就称函数y= f(x) 为偶函数.
C.y x2 2
D.y 2x2 -1
）
）
4、函数y 3的单调减区间为 x
（）
A.(,0)
B.[0,)
C.(,0), (0,) D.R
5、函数y (x 2)2的单调增区间为 ————————
6、函数y 3 2x的单调减区间为 ————————
二、函数的奇偶性
❖ 1.奇函数
（1）定义
如果函数y f (x)在某个区间上是减函数，就称该区间
为函数y f (x)的单调减区间。 y
（2）图象特点
自左向右逐渐下降
o
x
一、函数的单调性
❖ 函数单调性的判别方法
1.借助于函数的图像。 2.根据单调性的定义来判定。
基础训练
1、判断函数y=4x-2的单调性．
观察函数图像
结论：一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性
观察函数图像
❖ 1.增函数 （1）定义
如果函数y f (x)在数集I上满足：对于任意x1, x2 I , 当x1 x2时，f (x1) f (x2 ),则称y f (x)在数集I上单调増， 也称y f (x)在数集I上是增函数。
如果函数y f (x)在某个区间上是增函数，就称该区间
如果函数y= f(x)的定义域关于原点O对称，并且 对定义域内的任意一个值x,都有f(-x)=-f(x), 我们 就称函数y= f(x) 为奇函数.
（2）图象特点
奇函数图象关于原点O成中心对称
二、函数的奇偶性
❖ 2.偶函数 （1）定义
如果函数y= f(x)的定义域关于原点O对称，并且 对定义域内的任意一个值x,都有f(-x)=f(x), 我们 就称函数y= f(x) 为偶函数.
C.y x2 2
D.y 2x2 -1
）
）
4、函数y 3的单调减区间为 x
（）
A.(,0)
B.[0,)
C.(,0), (0,) D.R
5、函数y (x 2)2的单调增区间为 ————————
6、函数y 3 2x的单调减区间为 ————————
二、函数的奇偶性
❖ 1.奇函数
（1）定义
如果函数y f (x)在某个区间上是减函数，就称该区间
为函数y f (x)的单调减区间。 y
（2）图象特点
自左向右逐渐下降
o
x
一、函数的单调性
❖ 函数单调性的判别方法
1.借助于函数的图像。 2.根据单调性的定义来判定。
基础训练
1、判断函数y=4x-2的单调性．
观察函数图像
结论：一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性
观察函数图像
函数奇偶性及单调性的综合应用课件
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
函数的奇偶性和单调性1-课件
$f(x) = x^3$，满足$f(-x) = f(x)$，在全域上单调递增。
偶函数实例
$f(x) = x^2$，满足$f(-x) = f(x)$，在$x geq 0$时单调递增 。
单调性实例分析
单调递增函数实例
$f(x) = x$，在全域上单调递增。
单调递减函数实例
$f(x) = frac{1}{x}$，在$( - infty ,0)$和$(0, + infty)$上单调递减。
非奇非偶函数
定义
既不是奇函数也不是偶函数的函 数称为非奇非偶函数。
特性
非奇非偶函数的图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
举例
$f(x)=x+1$是非奇非偶函数，因为 $f(-x)=-x+1neq -f(x)$且$f(-x)neq f(x)$。
02
CHAPTER
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$的定义域内的任意 $x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如 果$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$ 在其定义域内单调递增。
奇偶性与单调性的综合应用
利用奇偶性和单调性判断函数的值域
根据函数的奇偶性和单调性，可以判断函数在不同区间的值域，进而确定整个函 数的值域。
利用奇偶性和单调性判断函数的极值
根据函数的奇偶性和单调性，可以判断函数在不同区间的增减性，进而确定函数 的极值点。
04
CHAPTER
实例分析
奇偶性实例分析
奇函数实例
递减。
性质
单调减函数的图像是沿x轴方向 下降的。
举例
正比例函数$y = -kx$（$k > 0$ ）和指数函数$y =
偶函数实例
$f(x) = x^2$，满足$f(-x) = f(x)$，在$x geq 0$时单调递增 。
单调性实例分析
单调递增函数实例
$f(x) = x$，在全域上单调递增。
单调递减函数实例
$f(x) = frac{1}{x}$，在$( - infty ,0)$和$(0, + infty)$上单调递减。
非奇非偶函数
定义
既不是奇函数也不是偶函数的函 数称为非奇非偶函数。
特性
非奇非偶函数的图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
举例
$f(x)=x+1$是非奇非偶函数，因为 $f(-x)=-x+1neq -f(x)$且$f(-x)neq f(x)$。
02
CHAPTER
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$的定义域内的任意 $x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如 果$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$ 在其定义域内单调递增。
奇偶性与单调性的综合应用
利用奇偶性和单调性判断函数的值域
根据函数的奇偶性和单调性，可以判断函数在不同区间的值域，进而确定整个函 数的值域。
利用奇偶性和单调性判断函数的极值
根据函数的奇偶性和单调性，可以判断函数在不同区间的增减性，进而确定函数 的极值点。
04
CHAPTER
实例分析
奇偶性实例分析
奇函数实例
递减。
性质
单调减函数的图像是沿x轴方向 下降的。
举例
正比例函数$y = -kx$（$k > 0$ ）和指数函数$y =
单调性与奇偶性的综合应用课件
变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的
不等式.另外,要特别注意函数的定义域.
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我
们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到
同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.
2.填空
(1)若函数f(x)是奇函数,且f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则f(x)在
其对称区间[-b,-a]上也是单调的,且单调性相同.
(2)若函数f(x)是偶函数,且f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则f(x)在
其对称区间 −,− 上也是单调的,且单调性相反.
3.做一做
(1)若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上
∴-f(x1)>-f(x2),∴f(x1)<f(x2).
∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)已知函数y=f(x)在R上是偶函数,且在(0,+∞)是减函数,y=f(x)在
它的对称区间(-∞,0)上是增函数还是减函数?
提示:偶函数的图象关于y轴对称,所以在两个对称的区间上单调
性相反.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调递增.
再由偶函数的性质得f(3)<f(-2)<f(1).
答案:f(3)<f(-2)<f(1)
探究一
探究二
思维辨析
随堂演练
4.定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)是减函数,若f(1-m)<f(m),则
实数m的取值范围是
.
解析:∵f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)是减函数,
不等式.另外,要特别注意函数的定义域.
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我
们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到
同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.
2.填空
(1)若函数f(x)是奇函数,且f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则f(x)在
其对称区间[-b,-a]上也是单调的,且单调性相同.
(2)若函数f(x)是偶函数,且f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则f(x)在
其对称区间 −,− 上也是单调的,且单调性相反.
3.做一做
(1)若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上
∴-f(x1)>-f(x2),∴f(x1)<f(x2).
∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)已知函数y=f(x)在R上是偶函数,且在(0,+∞)是减函数,y=f(x)在
它的对称区间(-∞,0)上是增函数还是减函数?
提示:偶函数的图象关于y轴对称,所以在两个对称的区间上单调
性相反.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调递增.
再由偶函数的性质得f(3)<f(-2)<f(1).
答案:f(3)<f(-2)<f(1)
探究一
探究二
思维辨析
随堂演练
4.定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)是减函数,若f(1-m)<f(m),则
实数m的取值范围是
.
解析:∵f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)是减函数,
函数的奇偶性和单调性(PPT)5-1
练习四
求下列函数的增区间与减区间： (1) y=|x2+2x-3|
(2) y x2 2x 3
(1)增区间有[-3,-1]、[1,+∞),减区间有(-∞,-3]、[-1,1] ➢(2)增区间有[-3,-1]，减区间[-1,1]
(6) f (x) x 2 x 1
在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数 在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数
现多用胶片：锌～｜铜～｜排～｜制～。②量书籍排印一次为一版，一版可包括多次印刷：第一～｜再～。③量报纸的一面叫一版：头～新闻。④筑土墙用 的夹板：～筑。 【版本】名①同一部书因编辑、传抄、刻版、排版或装订形式等的不同而产生的不同的本子。②指同一事物的不同表现形式或不同说法：这 个故事有好几种～。 【版次】名；天津不锈钢水箱 天津不锈钢水箱 ；图书出版的先后次序。图书第一次出版的叫“第一版”或 “初版”，修订后重排出版的叫“第二版”或“再版”，以下类推。 【版画】名用刀子或化学品等在铜版、锌版、木版、石版、麻胶版等版面上雕刻或蚀刻 后印刷出来的图画。 【版籍】〈书〉名①登记户口、土地的簿册。②泛指领土、疆域。③书籍。 【版刻】名文字或图画的木版雕刻。 【版口】名木版书书 框的中缝。也叫版心或页心。 【版面】名①书报杂志上每一页的整面。②书报杂志的每一面上文字图画的编排形式：～设计。 【版纳】名云南西双版纳傣族 自治州所属的旧行政区划单位，相当于县。年版纳改为县，如版纳景洪改称景洪县。 【版权】名①即著作权。②出版单位根据出版合同对特定作品所享有的 出版权和销售权。 【版权页】名书刊上印着书刊名、著作者、出版者、发行者、版次、印刷年月、印数、定价、书号等的一页。 【版式】名版面的格式。 【版税】名出版者按照出售出版物所得收入的约定百分数付给作者或其他版权所有者的报酬。 【版图】名原指户籍和地图，今泛指国家的领土、疆域：我 国～辽阔。 【版心】ī名①书刊等每面排印文字、图画的部分。②版口。 【版型】同“板型”。 【版主】名指对网站的主页或某个栏目进行管理和维护的人。 【版筑】〈书〉名筑土墙用的夹板和杵（筑土墙时，夹板中填入泥土，用杵夯实）。泛指土木营造的事情。也作板筑。 【钣】（鈑）名金属板材：铝～｜ 钢～。 【钣金】ī动对钢板、铝板、铜板等金属板材进行加工：～工。 【舨】见页［舢板］（舢舨）。 【蝂】见页［蝜蝂］。 【办】（辦）动①办理；处理； 料理：～公｜～交涉｜～入学手续｜这些事好～。②创设；经营：～工厂｜勤俭～一切事业。③采购；置备：置～｜～货｜～嫁妆｜～了几桌酒席。④惩 治：～罪｜严～｜首恶必～。 【办案】∥动办理案件。 【办差】动旧指给官府办理征集夫役、征收财物等事。 【办法】名处理事情或解决问题的方法： 好～｜他不答应，你也拿他没～。 【办复】动办理并答复：委员们的提案已基本～。 【办公】∥动办理公务；处理公事：～会议｜星期天照常～。 【办公室】 名①办公的屋子。②
人教版高中数学新教材必修第一册课件：3.2 函数的奇偶性与单调性综合习题课 (共12张PPT)
1.偶函数定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x I ， 都有－x I 且 f(－x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
2.奇函数定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x I ，都 有－x I 且 f(－x)=－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
3.奇偶函数的图象特征
偶函数的图象关于y轴成轴对称,所以在两个对称的区 间上单调性相反.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调 递减.
证明：:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则-x1>-x2>0, ∵y=f(x)在(0,+∞)上是单调递增, ∴f(-x1)>f(-x2). ∵y=f(x)在R上是偶函数,
一个函数为奇函数
它的图象关于原点对称
讲
课 人
一个函数为偶函数
：
它的图象关于y轴对称
邢
启 强
3
回顾练习
1.已知偶函数f (x)在[0,+)上是增函数，若f (a) f (b),则必有（C）
A、a b B、a b C、a b D、a b
2.若奇函数f (x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1， 则它在[7, 3]上是（ B ） A、增函数且最小值是 1 B、增函数且最大值是 1 C、减函数且最大值是 1 D、增函数且最小值是-1
若f (3) 5,则f (3) ___5___
(2)函数f (x) ax5 bx3 cx 1,
若f (3) 5,则f (3) ___3 _
解：(1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(3)=-f(-3)＝-5
解：(2)设 g(x)= ax5 bx3 cx ,g(x)是奇函数
f(x)= g(x)+1,因为 f(－3)＝5，所以 g(－3)＝4
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x I ， 都有－x I 且 f(－x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
2.奇函数定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x I ，都 有－x I 且 f(－x)=－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
3.奇偶函数的图象特征
偶函数的图象关于y轴成轴对称,所以在两个对称的区 间上单调性相反.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调 递减.
证明：:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则-x1>-x2>0, ∵y=f(x)在(0,+∞)上是单调递增, ∴f(-x1)>f(-x2). ∵y=f(x)在R上是偶函数,
一个函数为奇函数
它的图象关于原点对称
讲
课 人
一个函数为偶函数
：
它的图象关于y轴对称
邢
启 强
3
回顾练习
1.已知偶函数f (x)在[0,+)上是增函数，若f (a) f (b),则必有（C）
A、a b B、a b C、a b D、a b
2.若奇函数f (x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1， 则它在[7, 3]上是（ B ） A、增函数且最小值是 1 B、增函数且最大值是 1 C、减函数且最大值是 1 D、增函数且最小值是-1
若f (3) 5,则f (3) ___5___
(2)函数f (x) ax5 bx3 cx 1,
若f (3) 5,则f (3) ___3 _
解：(1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(3)=-f(-3)＝-5
解：(2)设 g(x)= ax5 bx3 cx ,g(x)是奇函数
f(x)= g(x)+1,因为 f(－3)＝5，所以 g(－3)＝4