空间直线与平面总结知识结构图 例题

【同步教育信息】一. 本周教学内容：期中复习［知识串讲］空间直线和平面： （一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥(a//b,b//c a//c)αβαγβγ//,// ==⇒⎫⎬⎭a b a b面面平行性质 线面平行性质a ab a b////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪面面平行性质1αβαβ////a a ⊂⇒⎫⎬⎭面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：面面垂直判定α面面垂直定义αβαβαβ=--⇒⊥⎫⎬⎭l l，且二面角成直二面角3. 平行与垂直关系的转化：面面∥面面平行判定2线面垂直性质2面面平行性质3a bab//⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααaba b⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//aa⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//aa⊥⊥⎫⎬⎭a4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。

”5. 唯一性结论：（三）空间中的角与距离1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=︒⊂0b b（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。

3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。

4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。

常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。

简单几何体：（一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）性质侧棱都相等侧面是平行四边形对角面是平行四边形两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形直截面周长侧棱长底面积高直截面面积侧棱长侧柱S V =⨯=⨯=⨯⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪（二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）h S 31V ⋅=底锥定理：截面与底面平行则有221h h S S =底截正棱锥的性质⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆=+=-=∆α=+=+=∆θ=α=-=∆OEB Rt n 180sin 2a a 41r h l R SEB Rt cos r a 41l r h h SOE Rt sin l sin h R l h SOBRt 2222222222 图）及元素之间的关系四个直角三角形（如上全等的等腰三角形侧棱都相等，侧面都是O O OO S S 11221=λ是两个平行截面且、如图）（与定比分点公式比较则λ+λ+=1SS S 21概率与统计（一）散型随机变量的分布列性质：⎩⎨⎧=++=≥1p p 21i 0p 21i ，，二项分布：)p 1q (npq D np E )p n k (b qp C )p n (B ~kn k k-==ξ=ξ=⋅ξ-，，，，， 若b a +ξ=η则b aE )b a (E E +ξ=+ξ=ηξ-=+ξ=ηD a )b a (D D 2期望： ++++=ξn n 2211p x p x p x E方差： +ξ-++ξ-+ξ-=ξn 2n 222121p )Ex (p )E x (p )E x (D（二）抽样方法⎪⎩⎪⎨⎧分层抽样系统抽样简单随机抽样【典型例题】例1. 如图，在四面体ABCD 中作截面EFG ，若EG ，DC 的延长线交于M ，FG 、BC 的延长线交于N ，EF 、DB 的延长线交于P ，求证M 、N 、P 三点共线。

证明：由已知，显然M 、N 、P 在平面EFG 上 又M 、N 、P 分别在直线DC 、BC 、DB 上故也在平面BCD 上即M 、N 、P 是平面BCD 与平面EFG 的公共点 ∴它们必在这两个平面的交线上 根据公理2. M 、N 、P 三点共线例2. 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么AM 与CM 所成角的余弦值为（ ）52.D 53.C 210.B 23.A分析：如图，取AB 中点E ，CC 1中点F 连结B 1E 、B 1F 、EF则B 1E//AM ，B 1F//NC∴∠EB 1F 为AM 与CN 所成的角 又棱长为1∴===B E B F EF 11525262，，∴∠=+-⋅=c o s EB F B E B F EF B E B F 11212211225 ∴选D例3. 已知直线平面，直线平面，有下面四个命题：l m ⊥⊂αβ①②③④αβαβαβαβ/⇒⊥⊥⇒⇒⊥⊥⇒///////l m l ml m l m 其中正确的两个命题是（ ） A. ①与② B. ③与④ C. ②与④D. ①与③分析：对于①①正确l l m l m ⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭⇒⊥∴ααβββ//对于②，如图l a m l m ⊥⊥⊂⎫⎬⎪⎭⎪⇒αββ///∴②错对于③③正确l l m m m ⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭⇒⊥∴ααβαβ//对于④，如图l l m m ⊥⊥⊂⎫⎬⎪⎭⎪⇒αβαβ///∴④错∴①③正确，选D例4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。

（1）证明PA//面EDB 。

（2）PB ⊥平面EFD 。

证：（1）连AC ，AC 交BD 于O ，连EO ∵底面ABCD 是正方形 ∴点O 是AC 中点 又E 为PC 中点 ∴EO//PA又面，且面EO EDB PA EDB ⊂⊄ ∴PA//面EDB（2）∵PD ⊥底面ABCD ∴BC ⊥PD又且BC DC PD DC D ⊥= ∴BC ⊥面PDC ∴BC ⊥DE 又E 为等直角三角形中点∴⊥=DE PC PC BC C 且 ∴DE ⊥面PBC ∴DE ⊥PB 又已知且EF PB EF DE E ⊥= ∴PB ⊥面DEF例5. 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，求证：A 1C ⊥BC 1。

证明：设E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，连AE ，A 1E 1，B 1E ，E 1C 则面，面及AE B BCC A E B BCC EB E C ⊥⊥11111111//AE B BCC AB BC EB BCEB E C E C BC A E B BCC A C BC ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥面面1111111111111111//注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。

例6. 下列正方体中，l 是一条体对角线，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，如何证明l ⊥面MNP 。

（1） D 1 P C 1（2） DC 1N（3） DC 1B分析：①在侧面的射影显然与、垂直l MP MN ∴⊥⊥∴⊥MP l MN ll MNP ，面②显然分别与在底面上射影垂直及与垂直l MN MP∴⊥l MNP 面③如图，取棱A 1A 、DC 、B 1C 1的中点，分别记为E 、F 、G ，显然EMFNGP 为平面图形，而D 1B 与该平面垂直 ∴l ⊥面MNP例7. 如图，斜三棱柱中，，，，ABC A B C AC A B AA AC AB -⊥===''''''810 ∠ACB=90°，侧棱与底面成60°的角。

（）求证：面面；1AA C C ABC ''⊥ （）求侧面的面积。

2AA B B ''分析：要证明面面，只要证明面，又，只要AA C C ABC BC AA C C BC AC ''''⊥⊥⊥证明，故只要证明平面。

BC AC AC A BC ⊥⊥'''证明：（）∵为菱形1AA C C '' ∴⊥AC A C '' 又面AC A BAC A BC AC BC '''''⊥∴⊥∴⊥又∠ACB=90°，即AC ⊥BC∴⊥BC AA C C 面'' 又面面面BC ABC ABC AA C C ⊂∴⊥''（）作于2A D AC D '⊥面面，为交线AA C C ABC AC ''⊥∴⊥A D ABC '面°与底面成的角，即∠为侧棱∠60AC 'A AA AD 'A =∴ 过作于，连结，则D DE AB E A E A E AB ⊥⊥'' 又，AD A D =︒==︒=860486043cos 'sin∴D 为AC 中点 在中Rt ABC ∆DE BC ADABDE =∴=⨯=4610125∴=+=+=A E A D DE ''()()2222431258521∴=⨯=⨯=S AB A EA ABB 平行四边形'''1085211621例8. 已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，沿DE 将△ABC 折成直二面角，使A 到A’的位置（如图）。

求： （1）C 到A’D 的距离；（2）D 到平面A’BC 的距离；（3）A’D 与平面A’BC 所成角的正弦值。

解：（1）∵二面角A’－DE －B 是直二面角又A’E ⊥ED ，CE ⊥ED∴ED ⊥面A’EC 及EC ⊥面A’ED作EF ⊥A’D 于F ，连结CF ，则CF ⊥A’D ∴CF 即为C 点到直线A’D 的距离 在Rt △A’ED 中，EF ·A’D=A’E ·ED∴=⨯=EF 435125∴=+=+=FC EF EC 222212544345()/BC 'A DE BC 'A BC BC //DE 2面，面，）（⊂⊂ ∴DE//面A’BC∴E 到面A’BC 的距离即为D 点到平面A’BC 的距离 过E 作EM ⊥A’C 于M ∵ED ⊥面A’EC 又BC//ED∴BC ⊥面A’EC ∴BC ⊥EM∴EM ⊥面A’BC∴为点到平面的距离即为点到面的距离且EM E A BC D A BC EM ''=22 或者用体积法： 由V V D A BC A BCD --=''即1313S h S A E A BC BCD ∆∆''⋅=⋅∴=⋅=⋅⋅⋅=h S A E S BC CE A EBC A C BCD A BC∆∆''''121222（）设与平面所成角为3A D A BC ''θ5D 'A 22h BC 'A D 2==及的距离为点到面）知又由（∴==s i n 'θh A D 225例9. 如图，直三棱柱中，∠°，，，侧棱ABC A B C ACB AC CB -===1119012AA AA B B D B C M 111111=，侧面的两条对角线交点为，的中点为。