二项分布

且最后一局必需是甲胜 , 而前面甲需胜1 局. 胜局情况可能是 :
“甲甲”, “乙甲甲”, “甲乙甲”; 甲甲” 甲甲”
∴ 采用三局二胜制 ,甲最终获胜的概率： 甲最终获胜的概率： p1 = P2 ( 2) + P2 (1) ⋅ p
k P (k) = Cn pk (1 − p)n−k n
2 1 = C 2 p 2 + C 2 p(1 − p ). p
由于 p2 − p1 = p 2 (6 p 3 − 15 p 2 + 12 p − 3) = 3 p 2 ( p − 1)2 ( 2 p − 1).
1 1 1 当 p > 时, p2 > p1; 当 p = 时 p2 = p1 = . 2 2 2 1 故当 p > 时, 对甲来说采用五局三胜 制为有利 . 2 1 当 p = 时, 两种赛制甲 、 乙最终获胜的概率 2 是相同的, 都是 50% .
（2000年高考题）某厂生产电子元件，其 年高考题）某厂生产电子元件， 产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地 连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布． 的概率分布． 解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以， 依题意， 所以，
95 95 1 5 ⋅ = 0.095 P(ζ = 0) = C = 0.9025, P(ζ = 1) = C 2 100 100 100
解 设 A = {甲胜} E ：观察1局比赛甲是否获胜 En: 可看成将 E 重复了n次, 这是一个n重 贝努里试验. 设在n次试验中，A恰好出现 k 次的概率为： 次试验中， 次的概率为：
k P (k) = Cn pk (1 − p)n−k n
(1) 采用三局二胜制 ,甲最终获胜 , 至少需比赛 2 局,
P( Ak ) = C p (1− p)
k n k
n−k
(k = 0,1, 2,⋯, n)
三、二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数是X，且 次独立重复试验中， 在每次试验中事件A发生的概率是p，那么事件A恰好 k 发生k次的概率是为 = k ) = C n p k (1 − p)n− k , k = 0,1, 2, ..., n P( X 于是得到随机变量X的概率分布如下：(q=1－p) 的概率分布如下：
∴ 在五局三胜制下 ,甲最终获胜的概率为 : 甲最终获胜的概率为
k p2 = P3 ( 3) + P3 ( 2) ⋅ p + P4 ( 2) ⋅ p Pn(k) = Cn pk (1 − p)n−k
2 2 = p 3 + C 3 p 3 (1 − p ) + C 4 p 3 (1 − p )2
= p 3[1 + 3(1 − p ) + 6(1 − p )2 ].
一、 n次独立重复试验 次独立重复试验
是指在相同条件下重复做n次试验，各次试验的 是指在相同条件下重复做 次试验， 在相同条件下 结果不会受其他试验的影响，即有 结果不会受其他试验的影响， P( A1 A2 ⋯An ) = P( A1 )P( A2 )⋯P( An ) ☆n 重贝努利(Bernoulli)试验： 重贝努利 试验： 若n 次重复试验具有下列特点： 次重复试验具有下列特点： 特点 1) 每次试验的可能结果只有两个A 或A 是常数） 且 P( A) = p, P( A) = 1 − p ( 各次试验中p是常数） 2) 各次试验的结果相互独立 则称这n次重复试验为n重贝努利试验，简称为 重贝努利试验， 贝努利概型.
k 对比公式Cn pk (1− p)n−k 与表示二项 思考一： 思考一：
式定理的公式，它们之间有何联系？ 式定理的公式，它们之间有何联系？
0 1 r n 就是(q + p)n = Cn p0qn + Cnqn−1 p1 +⋯+ Cnqn−r pr +⋯+ Cn qn p0
且
∑C
k=0
n
k n
p (1− p)
( A)C p (1 − p )
3 10 7 3
3ຫໍສະໝຸດ Baidu
( B ) C p (1 − p )
3 10 3 3
7
(C ) p (1 − p )
3
( D ) p (1 − p )
7
答案：D 答案： 说明：非二项分布，为几何分布 说明：非二项分布，
探究： 探究： 甲 、 乙两人进行乒乓球比赛 , 每局甲胜的
概率为 p, p ≥ 1 2 ,问对甲而言 , 采用三局二胜制 有利 , 还是采用五局三胜制有 利 . 设各局胜负相 互独立 .
一、 n次独立重复试验 次独立重复试验 二、n次独立重复试验的概率公式 次独立重复试验的概率公式 三、二项分布
制作 冯健璇
你能给出一个统一的公式吗？ 你能给出一个统一的公式吗？
分析：先定义随机变量，列出分布列， 分析：先定义随机变量，列出分布列， 然后再求概率． 然后再求概率．
次独立重复试验的概率公式： 二、n次独立重复试验的概率公式： 次独立重复试验的概率公式
如果在1次试验中，事件A出现的概率为p, 次试验中， 则在n次试验中，A恰好出现 k 次的概率为： 次试验中， 次的概率为：
实例1
抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬币抛 n 次,就是n重贝努利试验.
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”,
就是 n重贝努利试验.
与之前学的什么分布有 关系，有何关系？ 关系，有何关系？
探究： 探究：重复掷一枚骰子3次，
分别求出现6点的次数恰是0次、1次、
2次、3次的概率？ 次的概率？
某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 求这名射手在10次射击中， 次射击中， (1)恰有8次击中目标的概率; (2)至少有8次击中目标的概率. (结果保留两个有效数字) 引申一：要保证击中目标的概率大于0.99，至 引申一： 少要射击多少次？ 少要射击多少次？ 引申二：他在10次射击中，最有可能击中目标 引申二： 次射击中， 几次？ 几次？
k
n−k
=1
思考二：二项分布与两点分布有何关系？ 思考二：二项分布与两点分布有何关系？ 例：篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，某
篮球运动员的罚球命中率为0.7，在某次比赛中他一共 罚球20次，则（1）他一次罚球的得分服从两点分布； 他一次罚球的得分服从两点分布； （2）这次比赛中，命中次数X服从二项分布， 这次比赛中， 服从二项分布， 即 X~B(20,0.7)
0 2 2 5 P(ζ = 2) = C 2 = 0.0025 100 2 2
因此，次品数ξ的概率分布是 因此，
ξ P 0 0.9025 . 1 0.095 . 2 0.0025 .
每次试验的成功率为 p(0<p<1) ， 重复进行 10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为 10次试验，其中前7次都未成功后3 次试验 （ ）
X p 0 1 … k
k Cn p k q n − k
… …
n
n Cn p n q 0
0 1 Cn p 0 q n Cn p1q n −1 …
我们称这样的随机变量X服从二项分布，记作 我们称这样的随机变量 服从二项分布， X ~ B( n, p) 其中p为成功概率. Bernoulli分布 两个参数 二项分布也叫伯努利分布 二项分布也叫伯努利分布
= p + 2 p (1 − p ).
2 2
( 2) 采用五局三胜制 ,甲最终获胜 , 至少需比赛 3 局, 且最后一局必需是甲胜 , 而前面甲需胜二 局.
甲的胜局情况是 : 如：比赛3局， “甲甲甲”； 甲甲甲” 比赛4局， 甲的胜局情况可能是 : 甲甲甲 甲甲乙 “甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”; ······