阻尼振动和受迫振动实验报告
阻尼振动与受迫振动
【实验目的】1．观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的方法。
2．研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象。
3．观察不同阻尼对受迫振动的影响。
【实验原理】当摆轮受到周期性强迫外力矩t M M ωcos 0=的作用，并在有空气阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为 ），其运动方程为t M dt d b k dtd J ωθθθcos 022+--= （1）其中，J 为摆轮的转动惯量，θk -为弹性力矩，0M 为强迫力矩的幅值，ω为强迫力的圆频率。
令J k =20ω，J b=β2，JM m 0=，则（1）式变为 t m dt d dtd ωθωθβθcos 22022=++ （2） 其中，β为阻尼系数，0ω为系统的固有频率，m 为强迫力矩。
当0cos =t m ω时，（2）式即为阻尼振动方程，当0=β，即在无阻尼情况时，（2）式变为简谐振动方程。
方程（2）的通解为()()0201cos cos ϕωθαωθθβ+++=-t t e t （3）由（3）式可见，受迫振动可分为两部分：第一部分，()αωθβ+-t e t 01cos 表示阻尼振动，经过一定时间后衰减消失。
第二部分，说明强迫力矩对摆轮作功，向振动体传递能量，最后达到一个稳定的振动状态，其振幅为()22222024ωβωωθ+-=m（4）它与强迫力矩之间的相位差ϕ为()2022022012T T T T tg -=-=-πβωωβωϕ （5） 由（4）式和（5）式可看出，振幅2θ与相位差ϕ的数值取决于强迫力矩m 、频率ω、固有频率0ω和阻尼系数β四个因素，而与振动起始状态无关。
由()[]04222220=+-∂∂ωβωωω极值条件可得出，当受迫力的圆频率2202βωω-= 时产生共振，θ有极大值。
若共振时的圆频率和振幅分别用r ω 、r θ表示，则dtd b θ-2202βωω-=r （6）2222βωβθ-=m r （7）（6）式和（7）式表示，阻尼系数β越小，共振时圆频率越接近于系统固有频率，振幅也越大。
实验报告
用波耳共振仪研究受迫振动振动是物体运动的一种普遍现象。
比较生动与直观的机械振动在科研与生活中随处可见。
而广义地说物质或物理量在某一数值附近作周期性的变化，都叫做振动。
所以活塞的往复机械运动是振动，电磁学领域中空间电场的电场强度随时间作周期性的变化是振动，微观领域中微观物质的原子运动也是振动.研究振动与受迫振动所导致的共振现象是重要的工程物理现象。
在机械制造和建筑工程等科技领域中振动与共振现象既有破坏作用，也有许多实用价值。
众多电声器件，是运用共振原理设计制作的。
利用核磁共振和顺磁共振研究物质结构是在微观科学领域研究振动的重要手段。
而大桥由于共振遭至倒塌是世人尽知的。
所以，研究振动与受迫振动是一个很有意义的物理实验项目。
表征受迫振动性质的是受迫振动的振幅-频率特性和相位-频率特性（简称幅频和相频特性）。
本实验中，采用波耳共振仪定量测定机械受迫振动的幅频特性和相频特性，并利用频闪方法来测定动态的物理量——相位差。
数据处理与误差分析方面内容也较丰富。
[实验目的]1、 研究波尔共振仪中摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性。
2、 研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，观察共振现象。
3、 学习用频闪法测定运动物体的某些量。
[实验原理]物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为强迫力。
如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动，其振动频率与外力频率相同。
此时，振幅保持恒定，振幅的大小与强迫力的频率，原振动系统无阻尼时的固有振动频率，以及阻尼系数有关。
在受迫振动状态下，系统除了受到强迫力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。
所以在稳定状态时物体的位移、速度变化与强迫力变化不是同相位的，存在一个相位差。
（当强迫力频率与系统的固有频率相同时产生共振，此时振幅最大，相位差为90°。
）采用波耳共振仪研究与测量自由振动、阻尼振动、受迫振动等的基本物理特性，是十分直观与全面的。
受迫振动的实验报告
受迫振动的实验报告实验报告：受迫振动一、实验目的：1. 了解受迫振动的基本概念和特性；2. 掌握受迫振动系统的建模和分析方法；3. 验证理论分析模型与实验结果的一致性。
二、实验器材和仪器：1. 受迫振动装置（包括弹簧、质量块、驱动器等）；2. 实验台；3. 示波器；4. 动力计。
三、实验原理与内容：1. 受迫振动的基本概念：受迫振动是指振动系统在外界周期性作用力的驱动下发生的振动。
外力的周期性变化会使振动系统发生非简谐振动，其振幅和频率与驱动力的特性有关。
2. 实验装置和建模：实验中使用的受迫振动装置由一个弹簧和一个质量块组成。
弹簧与质量块形成振动系统，驱动器通过周期性的施加力将振动系统带入受迫振动状态。
建立受迫振动系统的模型时，可以将振动系统简化为单自由度振动系统，并假设该系统的阻尼为零。
通过对质量块的运动进行观察和分析，可以得到受迫振动系统的振幅和频率等特性。
3. 实验步骤：（1）将实验装置稳固地安装在实验台上，并将驱动器与质量块相连接；（2）调节驱动器的频率和振幅，观察质量块的振动情况；（3）记录不同驱动频率下质量块的振幅和相位差。
四、实验结果与数据处理：1. 驱动频率-振幅曲线：将驱动频率作为横坐标，振幅作为纵坐标绘制曲线图。
根据实验数据得到的曲线，可以观察到受迫振动系统的共振现象，并可以确定共振频率和振幅。
2. 驱动频率-相位差曲线：将驱动频率作为横坐标，相位差作为纵坐标绘制曲线图。
根据实验数据得到的曲线，可以判断受迫振动系统的相位差与驱动频率的关系。
3. 对比理论模型与实验数据：将实验得到的驱动频率-振幅曲线和相位差曲线与理论模型进行对比。
通过对比可以评估理论模型的准确性和适用范围。
五、实验结论与讨论：1. 根据实验结果可以得出受迫振动系统具有共振现象，在共振频率附近振幅显著增大。
2. 实验数据与理论模型的对比结果显示，理论模型能够较好地描述受迫振动系统的振幅和相位差特性。
3. 受迫振动实验可能存在的误差主要来自驱动器的精度和实验环境的影响。
阻尼振动和受迫振动实验报告
清华大学实验报告工程物理系工物40 钱心怡 2014011775实验日期：2015年3月3日一．实验名称阻尼振动和受迫振动 二．实验目的1.观测阻尼振动，学习测量振动系统参数的基本方法2.研究受迫振动的频幅特性和相频特性，观察共振现象3.观察不同阻尼对振动的影响 三．实验原理 1.阻尼振动在转动系统中，设其无阻尼时的固有角频率为ω0，并定义阻尼系数β其转动的角度与时间的关系满足如下方程d d d dd d +dd dd dd+d d dd =d 解上述方程可得当系统处于弱阻尼状态下时，即β<ω0时，θ和t 满足如下关系θ(t )=θi exp （−βt）cos （√ω02−β2t +∅i ）解得阻尼振动角频率为ωd =√ω02−β2，阻尼振动周期为T d =√ω02−β2同时可知ln θ和t 成线性关系，只要能通过实验数据得到二者之间线性关系的系数，就可以进一步解得阻尼系数和阻尼比。
2.周期性外力作用下的受迫振动当存在周期性外力作用时，振动系统满足方程J d 2θdt2+γd θdt +k θ=M ωtθ和t 满足如下关系：θ(t )=θi exp (−βt )cos (√ω02−β2t +ϕi )+θm cos （ωt −ϕ）该式中的第一项随着时间t 的增大逐渐趋于0，因此经过足够长时间后，系统在外力作用下达到平衡，第一项等于0，在该稳定状态下，系统的θ和t 满足关系：θ(t )=θm cos （ωt −ϕ） 其中θm =MJ√（ω02−ω2）+4β2ω2 ；ϕ=arctan2βωω02−ω2（θ∈（0，π））3.电机运动时的受迫振动当波尔共振仪的长杆和连杆的长度远大于偏心轮半径时，当偏心轮电机匀速转动时，设其角速度为ω，此时弹簧的支座是弹簧受迫振动的外激励源，摆轮转角满足以下方程：J d 2θdt2+γd θdt +k (θ−αm cos ωt )=0即为 Jd 2θdt 2+γd θdt+k θ=k αm cos ωt与受周期性外力矩时的运动方程相同，即有θ(t )=θi exp (−βt )cos (√ω02−β2t +ϕi )+θm cos （ωt −ϕ）θm =αω02√（ω02−ω2）2+4β2ω2=α√（1−（ωω0）2）2+4ζ2（ωω0）2ϕ=arctan2βωω2−ω2=arctan2ζ（ωω0）1−（ωω0）可知，当ω=ω0时φ最大为π2，此时系统处于共振状态。
阻尼振动、受迫振动和共振
v F γ
O x
v v F = −kx
x
dx 动力学方程 m 2 = −kx − γ dt dt k γ 2 令 ω0 = ,2β = m m 2 dx dx 2 + 2β + ω0 x = 0 dt 2 dt
ω0
d2 x
：无阻尼时振子的固有频率
β ：阻尼因子
方程解： 方程解：
x = Ae
−β t
f0 dA d 求极值： 求极值： = =0 dω dω ω2 −ω2 2 + 4β 2ω2 0
(
)
共振频率： 共振频率： 共振振幅： 共振振幅：
2 ωr = ω0 − 2β 2
ω0为固有频率
Ar =
f0
2 2β ω0 − β 2
结论： 阻尼系数 β 越 小，共振角频率ωr 越接近于系统的固 有频率 ω0 ，同时 共振振幅A 也越大。 共振振幅 r也越大。
cos( ω − β
2 0
2
t +ϕ
)
x = Ae
−β t
cos(ωt +ϕ)
2π
A
2
x
周期： 周期： T =
ω −β
2 0
O
t
2 β 2 < ω0
角频率： 角频率： ω =
ω −β
2 0
2
A
x = Ae
讨论： 讨论：
−β t
cos ω − β t +ϕ
2 0 2
(
)
2 β 2 < ω2 阻尼较小时（ ），振动为减幅振动 振动为减幅振动， 1. 阻尼较小时（β 2 < ω0 ），振动为减幅振动，振幅
利用波尔共振仪研究受迫振动实验报告
利用波尔共振仪研究受迫振动实验报告一、实验目的1、观察摆轮的自由振动、阻尼振动和受迫振动现象。
2、研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，并测定阻尼系数。
3、研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象，测定受迫振动的共振频率和共振振幅。
二、实验仪器波尔共振仪，包括振动系统、电磁阻尼系统、电机驱动系统、光电计数系统和智能控制仪等部分。
三、实验原理1、自由振动无阻尼的自由振动方程为：＄m\frac{d^2\theta}｛dt^2}＝k\theta$，其中$m$为摆轮的转动惯量，＄k$为扭转弹性系数，＄＼theta$为角位移。
其解为：＄＼theta ＝ A\cos(＼omega_0 t ＋＼varphi)＄，其中$＼omega_0 ＝＼sqrt{＼frac{k}｛m}｝＄为固有角频率，＄A$和$＼varphi$为初始条件决定的常数。
2、阻尼振动考虑阻尼时，振动方程为：＄m\frac{d^2\theta}｛dt^2} ＋b\frac{d\theta}｛dt} ＋ k\theta ＝ 0$，其中$b$为阻尼系数。
根据阻尼的大小，可分为三种情况：小阻尼：＄＼omega ＝＼sqrt{＼omega_0^2 ＼frac{b^2}｛4m^2}｝＄，振动逐渐衰减。
临界阻尼：振动较快地回到平衡位置。
大阻尼：不产生振动。
3、受迫振动在周期性外力矩$M ＝ M_0\cos\omega t$作用下，振动方程为：＄m\frac{d^2\theta}｛dt^2} ＋ b\frac{d\theta}｛dt} ＋ k\theta ＝M_0\cos\omega t$。
稳定时，振动的角位移为：＄＼theta ＝ A\cos(＼omega t ＋＼varphi)＄，其中振幅$A ＝＼frac{M_0}｛＼sqrt{（k m\omega^2)＾2 ＋（b\omega)＾2}｝＄，相位差$＼varphi ＝＼arctan\frac{b\omega}｛k m\omega^2}＄。
阻尼和受迫振动
T0
T0 ：固有周期
四、阻尼振动的分类
1、欠阻尼 0
2、过阻尼 0 3、临界阻尼 0
x
o
: 固有频率 0 t
例、有一单摆在空气（室温20oC)中摆动,其摆线长1.0m，摆锤是 一半径为5.0mm的铅球。求： （1）摆动周期 （2）振幅减小10%所需时间 （3）能量减小10%所需时间 （已知铅球密度为2.65 g/ml，20oC时空气粘度1.78 x 10-5Pa s）
0
0
阻尼摆动时的周期 :T 2 2 2s
0
（2）在欠阻尼情况下，
由：xt A et cost 0
A A e 单摆的振幅
t
0
设振幅减小10%所需时间为t1,则有：
0.9 A A e t1
0
0
ln 1
t 0.9 174s 3min
1
（3）因为能量与振幅的二次方成正比
E ( A )2 e2t (2)共振振幅 :
r 02 2 2
Ar
2
h
2 0
2
共振现象的危害 1940 年7月1日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌
气流经过圆柱体时产生的作用相间的涡旋 卡尔曼涡旋
0
0
0
随时间很快衰减为零
等幅振动
3、稳态解： x=Acos( t+)
在达到稳定态时，系统振动频率等于策驱动力的频率
共振
受迫振动的振幅:
h A
[(02 2 )2 4 2 2 ]1/ 2
共振频率
A
小阻尼
阻尼 0
大阻尼
o
0
P
受迫振动在一定条件下, 振幅出现 极大值, 振动剧烈的现象被称为共振。
阻尼振动和受迫振动
横轴：表示驱动力的频率
纵轴：表示受迫振动的振幅
图象的意义：
f驱= f固时，振幅有最大值
f驱与 f固差别越大时，振幅越
小
四、共振的应用和防止
1、共振的应用
①测量发动机转速的转速计
②共振筛
发动机的转速计原理图
共振筛的原理图
生活中的共振现象
美国有一农场农妇，习惯于用吹笛的方式招
关，阻尼越大，振幅减小得越快。
b、物体做阻尼振动时频率不变。
3、自由振动：系统不受外力作用，也不受任
何阻力，只在自身回复力作用下的振动，称
为自由振动。
自由振动的频率，叫做系统的固有频率。来自思考：二、受迫振动
用什么方法才能得到持续的振动呢？
阻尼振动会受到阻力作用，其振幅减小，如
果想让其周期性地振动下去，就需要施加周
第一章 机械振动
4 阻尼振动 受迫振动
如下图所示，在鼓皮上放几颗米粒，猛敲一下鼓，
观察米粒在鼓皮上的运动。
一、阻尼振动
阻尼振动
振动幅
度减小
受到阻力作用
能量的损失
1、定义：系统在振动过程中受到阻力的作用，
振动逐渐消逝，振动能量逐步转变为其他能
量，这种振动叫做阻尼振动。
2、注意：a、振幅减小的快慢跟所受的阻尼有
呼丈夫回家吃饭，可当她有一次吹笛时，居
然发现树上的毛毛虫纷纷坠地而死，惊讶之
余，她到自己的果园吹了几个小时，一下子
将果树上的毛毛虫收拾的一干二净，究其原
因，还是笛子发出的声音引起毛毛虫内脏发
生剧烈共振而死亡。
2、共振的防止
①军队过桥随步走，以免产生周期性驱动力。
2、共振的防止
机械振动中的阻尼振动与受迫振动
机械振动中的阻尼振动与受迫振动在机械系统中，振动是一种普遍存在的现象，它包含着阻尼振动和受迫振动两种类型。
阻尼振动是指系统在一定的阻尼作用下运动的周期性减弱振动，而受迫振动是指系统受到外部力的作用而发生周期性振动。
本文将探讨机械振动中的阻尼振动和受迫振动的特点及其应用。
一、阻尼振动阻尼振动是指振动系统在受到阻力的作用下产生的振动。
阻尼力可以分为粘性阻尼、干摩擦阻尼和液体摩擦阻尼等不同形式。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，振动频率也逐渐减小。
阻尼振动的主要原因是能量的损失。
当机械系统受到阻尼力的作用时，振动系统的机械能会逐渐转化为热能而损失。
这导致振动幅度逐渐减小，最终停止振动。
例如，摆钟在受到空气阻力的影响下，其摆动幅度会逐渐减小，最终停止。
阻尼振动的应用广泛。
在机械工程中，阻尼振动常常被用于减震和能量吸收的装置设计。
例如，在车辆的悬挂系统中使用减震器，可以有效地缓解车辆行驶中的颠簸感。
同时，阻尼振动还常用于物体的减振和抗震设计，例如建筑物中的隔震装置。
二、受迫振动受迫振动是指振动系统在外部力的作用下产生的振动。
外力可以是周期性的，也可以是非周期性的。
受迫振动的特点是振幅和频率与外力的频率相关。
外力对振动系统的影响可以分为共振和强迫两种情况。
共振是指外力的频率接近或等于振动系统的固有频率时，振动幅度会显著增大。
强迫是指外力的频率与振动系统的固有频率有一定的差别，但仍然能引起系统振动。
受迫振动在实际生活中有许多应用。
例如，在音乐中，乐器的共振现象使得乐器能够产生特定的音调。
另外，受迫振动还在工程领域中有着广泛的应用，如振动筛、振动输送机等。
它们利用外力作用产生振动，以完成特定的分选和输送任务。
三、阻尼振动与受迫振动的关系阻尼振动与受迫振动是机械振动中两种常见的振动类型，它们在某些情况下可以相互转化。
当受迫振动系统存在阻尼时，会产生阻尼振动。
此时，外力的频率与振动系统的固有频率相同或接近时，阻尼振动的幅度会受到外力的影响，产生共振效应。
清华大学物理实验A1阻尼振动与受迫振动实验报告.
Di yi 25 yi
-0.159332039 -0.160682382 -0.162055859 -0.162055859 -0.155484903 -0.164874643 -0.156842471 -0.167793456 -0.169292057 -0.161061557 -0.170817732 -0.162518929 -0.164002976 -0.165514438 -0.157003749 -0.175564774 -0.177206456 -0.168622712 -0.17022115 -0.171850257 -0.171850257 -0.173510927 -0.175204089 -0.175204089 -0.167880873 -4.166448636 -0.166657945
序号 6 7 8 9 10
i
（）
88 78 68 60 53
yi ln i
4.477336814 4.356708827 4.219507705 4.094344562 3.970291914
Di yi 5 yi
-0.616413386 -0.613104473 -0.624679381 -0.633043256 -0.634878272 -3.122118769 -0.624423754
2 2
2 1.014964 10 -3 0.01455508013 -4 2.705689144 10 2 1.4964 1 0.01455508013
2
6.782819534 10 -4
角频率的不确定度为：
2 2
T d b Td b
6.3阻尼振动受迫振动共振MOOC
编者：陈信义
*6.3.4 品质因数（Quality factor）
振动系统（如弹簧、电感线圈）所 受阻尼作用的大小，可以用系统能量衰 减情况反映。 品质因数定义为
Q 2π E(t) E(t) E(t T)
Q值越大，系统在阻尼振动中能量衰减 得越慢。
通常阻尼很小， 2 02 ，计算公式： Q 0 2
Q值越高（阻尼小），共振峰值就 越大、越尖锐，系统对外界激励的选 择性就越好。
20
证明：t 时刻系统的能量
E(t)
1 2
kA02e2 t
k：系统等效劲度系数
Q
2π E(t) E(t) E(t T)
1
2π E(t
T)
2π 1 e2T
作近似计算：
E(t)
2 02， T 2π 02 2 2π 0
*6.3 阻尼振动 受迫振动 共振 *6.3.1阻尼振动 *6.3.2受迫振动 *6.3.3共振 *6.3.4品质因数
【演示实验】耦合摆球演示共振
简谐振动是一种自由振动。 实际振动系统总会受到阻力而 损耗能量，振幅不断减小。通 过施加周期性外力可以维持等 幅振动，在一定条件下，会发 生共振现象。
*6.3.1 阻尼振动 振幅不断减小的振动，称为阻尼振动。 当物体的运动速度不太大时，粘性力
通常所说的受迫振动，都是指这种欠阻 尼、稳态受迫振动。
x 2x 02 x hcos t
x Acos( t )
代入方程，令 sin t 和 cos t 的系数
等于零，得受迫振动的振幅和初相：
A
h
(02 2 )2 02 2
“周期”：T 2π 2π
实验二阻尼和受迫振动
令
，
，
则式（1）变为
（2）
当
时，式（2）即为阻尼振动方程。
当 ，即在无阻尼情况时式（2）变为简谐振动方程，系统的 固有频率为 。方程（2）的通解为
由式（3）可见，受迫振动可分成两部分：
（3）
第一部分， 减消失。
和初始条件有关，经过一定时间后衰
第二部分，说明强迫力矩对摆轮作功，向振动体传送能量，最后 达到一个稳定的振动状态。振幅为
摆轮振幅是利用光电门 H 测出摆轮读数 A 处圈上凹型缺口个数，并在控制 箱液晶显示器上直接显示出此值，精度为 10。
波耳共振仪电器控制箱的前面板和后面板分别如图 1-4 和图 1-5 所示。
电机转速调节旋钮，系带有刻度的十圈电位器，调节此旋钮时可以精确改 变电机转速，即改变强迫力矩的周期。锁定开关处于图 1-6 的位置时，电位器 刻度锁定，要调节大小须将其置于该位置的另一边。×0.1 档旋转一圈，×1 档 走一个字。一般调节刻度仅供实验时作参考，以便大致确定强迫力矩周期值在 多圈电位器上的相应位置。
④ 学生做完实验后测量数据需保存后，才可在主机上查看特性曲线及振 幅比值。
5、关机
在图二状态下，按住复位按钮保持不动，几秒钟后仪器自动复位，此时所做实验数据 全部清除，然后按下电源按钮，结束实验。
ZKY-BG 型波尔共振仪由振动仪与电器控制箱两部分组成。振动仪部分如图 1-3 所示，铜质圆形 摆轮 A 安装在机架上，弹簧 B 的一端与摆轮 A 的轴相联， 另一端可固定在机架支柱上，在弹簧弹性力的作用下，摆轮可绕轴自由往复摆 动。在摆轮的外围有一卷槽型缺口，其中一个长形凹槽 C 比其它凹槽长出许多。 机架上对准长型缺口处有一个光电门 H，它与电器控制箱相联接，用来测量摆轮 的振幅角度值和摆轮的振动周期。在机架下方有一对带有铁芯的线圈 K，摆轮 A 恰巧嵌在铁芯的空隙，当线圈中通过直流电流后，摆轮受到一个电磁阻尼力的 作用。改变电流的大小即可使阻尼大小相应变化。为使摆轮 A 作受迫振动，在 电动机轴上装有偏心轮，通过连杆机构 E 带动摆轮，在电动机轴上装有带刻线 的有机玻璃转盘 F，它随电机一起转动。由它可以从角度读数盘 G 读出相位差Φ。 调节控制箱上的十圈电机转速调节旋钮，可以精确改变加于电机上的电压，使 电机的转速在实验范围（30-45 转/分）内连续可调，由于电路中采用特殊稳速 装置、电动机采用惯性很小的带有测速发电机的特种电机，所以转速极为稳定。 电机的有机玻璃转盘 F 上装有两个挡光片。在角度读数盘 G 中央上方 900 处也有 光电门 I（强迫力矩信号），并与控制箱相连，以测量强迫力矩的周期。
阻尼振动和受迫振动实验报告
清华大学实验报告工程物理系工物40 钱心怡 2014011775实验日期：2015年3月3日一．实验名称阻尼振动和受迫振动二．实验目的1.观测阻尼振动，学习测量振动系统参数的基本方法2.研究受迫振动的频幅特性和相频特性，观察共振现象3.观察不同阻尼对振动的影响三．实验原理1.阻尼振动在转动系统中，设其无阻尼时的固有角频率为ω0，并定义阻尼系数β其转动的角度与时间的关系满足如下方程解上述方程可得当系统处于弱阻尼状态下时，即β<ω0时，θ和t满足如下关系解得阻尼振动角频率为ωd=，阻尼振动周期为T d=同时可知lnθ和t成线性关系，只要能通过实验数据得到二者之间线性关系的系数，就可以进一步解得阻尼系数和阻尼比。
2.周期性外力作用下的受迫振动当存在周期性外力作用时，振动系统满足方程θ和t满足如下关系：该式中的第一项随着时间t的增大逐渐趋于0，因此经过足够长时间后，系统在外力作用下达到平衡，第一项等于0，在该稳定状态下，系统的θ和t满足关系：其中；（θ∈（0，π）） 3.电机运动时的受迫振动当波尔共振仪的长杆和连杆的长度远大于偏心轮半径时，当偏心轮电机匀速转动时，设其角速度为ω，此时弹簧的支座是弹簧受迫振动的外激励源，摆轮转角满足以下方程：即为与受周期性外力矩时的运动方程相同，即有可知，当ω=ω0时φ最大为，此时系统处于共振状态。
四．主要实验仪器和实验步骤1.实验仪器波尔共振仪主要由振动系统和提供外激励的两个部分组成。
振动系统包括弹簧和摆轮。
弹簧一端固定在摇杆上。
摆轮周围有一圈槽型缺口，其中有一个长缺口在平衡时对准光电门。
右侧的部分通过连杆向振动装置提供外激励，其周期可进行调节。
上面的有机玻璃盘随电机一起转动。
当摆轮转到平衡位置时，闪光灯闪烁，照亮玻璃盘上的白色刻度线，其示数即为在外激励下摆轮转动时落后于电动机的相位。
2.实验步骤（1）调整仪器打开电源并断开电机和闪光灯的开关。
阻尼调至0档。
手动调整电机的偏心轮使其0标志线与0度刻线对齐。
物理受迫振动实验报告
一、实验目的1. 了解受迫振动的概念及其特性；2. 掌握测量受迫振动系统固有频率的方法；3. 研究受迫振动的幅频特性和相频特性；4. 通过实验观察共振现象。
二、实验原理1. 受迫振动：物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为策动力。
当策动力的频率与物体的固有频率相等时，系统发生共振，振幅达到最大。
2. 固有频率：物体在无外力作用下自由振动时，其振动频率称为固有频率。
3. 幅频特性：受迫振动系统在不同策动频率下的振幅变化规律。
4. 相频特性：受迫振动系统在不同策动频率下的相位差变化规律。
三、实验仪器与设备1. 波尔共振仪；2. 秒表；3. 频率计；4. 数据采集器；5. 计算机。
四、实验步骤1. 将波尔共振仪的弹性摆轮固定在支架上，调整摆轮的初始位置，使其静止。
2. 打开波尔共振仪，设置初始频率，开始实验。
3. 使用秒表记录摆轮振动周期，计算频率。
4. 逐渐改变策动频率，记录不同频率下的振幅和相位差。
5. 重复步骤3和4，直到获得足够的数据。
6. 分析数据，绘制幅频曲线和相频曲线。
五、实验结果与分析1. 固有频率的测量：通过实验，测得受迫振动系统的固有频率为f0。
2. 幅频特性：根据实验数据，绘制幅频曲线。
曲线表明，当策动频率接近固有频率时，振幅逐渐增大，直至共振时达到最大值。
3. 相频特性：根据实验数据，绘制相频曲线。
曲线表明，当策动频率接近固有频率时，相位差逐渐增大，直至共振时达到90°。
4. 共振现象：在实验过程中，观察到当策动频率接近固有频率时，摆轮振幅明显增大，共振现象明显。
六、实验结论1. 受迫振动系统在不同策动频率下的振幅和相位差具有明显的规律性。
2. 当策动频率接近固有频率时，系统发生共振，振幅达到最大。
3. 通过实验，成功测量了受迫振动系统的固有频率，并研究了其幅频特性和相频特性。
七、实验讨论1. 在实验过程中，发现阻尼力矩对振幅和相位差有显著影响。
阻尼振动与受迫振动
阻尼振动与受迫振动●阻尼振动●受迫振动●共振1．阻尼振动实例a. 阻尼弹簧振子，阻力γγ其中。
实例b. RLC谐振电路或写作其中。
分析：引入阻尼将引起能量的减小，计算能量改变率，β（等于阻尼做功的功率）。
如果很小，基本上还是简谐振动，但由于能量消耗，振幅会逐渐减小，解的形式近似为：能量，β一个周期内能量的消耗率：其中称为品质因数(quality factor)，简称值(Q factor)。
从数量级上讲，Q值就是把储存的能量衰减完，振子中能够振荡的次数。
（注：RLC谐振电路，）精确解：(a)弱阻尼()其中。
与近似分析的结果相比，只是频率有所减小。
(b)过阻尼()其中。
无振荡，呈指数衰减。
注意是的减函数，衰减速度随增大反而减慢。
(c)临界阻尼()，无振荡，但衰减最快。
2．受迫振动实例a. 驱动弹簧振子γ实例b. RLC串联电路非齐次线性方程解的一般形式：其中是原方程的一个解（称为特解），是齐次方程的任意解。
写成复数形式，令满足方程则满足方程令，其中所以可取称为稳态解，而把称为暂态解。
3．共振为简单起见，只讨论速度共振。
的振幅为性质：(1)驱动频率与固有频率相等（）时，时速度振幅（或平均动能）最大，出现共振。
(2)共振时，速度与驱动力同相位，驱动一直做正功。
(3)驱动频率与固有频率相差越大，振幅（动能）越小，形成一个共振峰。
(4)Q值越大，共振峰越高，同时也越窄（对驱动频率的选择性越高）。
共振的应用：乐器、无线电接收、调Q激光、核磁共振与电子自旋共振等。
共振有时会造成破坏，需要避免。
阻尼振动和受迫振动实验报告
清华大学实验报告工程物理系工物40 钱心怡 75实验日期：2015年3月3日一．实验名称阻尼振动和受迫振动二．实验目的1.观测阻尼振动，学习测量振动系统参数的基本方法2.研究受迫振动的频幅特性和相频特性，观察共振现象3.观察不同阻尼对振动的影响三．实验原理1.阻尼振动在转动系统中，设其无阻尼时的固有角频率为ω0，并定义阻尼系数β其转动的角度与时间的关系满足如下方程d2θdt2+2βdθdt+ω02θ=0解上述方程可得当系统处于弱阻尼状态下时，即β<ω0时，θ和t满足如下关系θ(t)=θi exp（−βt）cos（√ω02−β2t+∅i）解得阻尼振动角频率为ωd=√ω02−β2，阻尼振动周期为T d=√ω02−β2同时可知lnθ和t成线性关系，只要能通过实验数据得到二者之间线性关系的系数，就可以进一步解得阻尼系数和阻尼比。
2.周期性外力作用下的受迫振动当存在周期性外力作用时，振动系统满足方程Jd 2θdt 2+γdθdt+kθ=Mωtθ和t 满足如下关系：θ(t )=θi exp (−βt )cos (√ω02−β2t +ϕi )+θm cos（ωt −ϕ）该式中的第一项随着时间t 的增大逐渐趋于0，因此经过足够长时间后，系统在外力作用下达到平衡，第一项等于0，在该稳定状态下，系统的θ和t 满足关系：θ(t )=θm cos（ωt −ϕ） 其中θm =MJ√（ω02−ω2）+4β2ω2 ；ϕ=arctan2βωω02−ω2（θ∈（0，π））3.电机运动时的受迫振动当波尔共振仪的长杆和连杆的长度远大于偏心轮半径时，当偏心轮电机匀速转动时，设其角速度为ω，此时弹簧的支座是弹簧受迫振动的外激励源，摆轮转角满足以下方程：J d 2θdt 2+γdθdt+k (θ−αm cosωt )=0 即为 Jd 2θdt 2+γdθdt+kθ=kαm cosωt与受周期性外力矩时的运动方程相同，即有θ(t )=θi exp (−βt )cos (√ω02−β2t +ϕi )+θm cos（ωt −ϕ）θm =αω2√（ω02−ω2）+4β2ω2=α√（1−（ωω0）2）2+4ζ2（ωω0）2ϕ=arctan 2βωω02−ω2=arctan 2ζ（ωω0）1−（ωω0）2 可知，当ω=ω0时φ最大为π2，此时系统处于共振状态。
《阻尼振动与受迫振动》实验报告
《阻尼振动与受迫振动》实验报告《阻尼振动与受迫振动》实验报告《阻尼振动与受迫振动》实验报告⼯程物理系核41 崔迎欢 2014011787 ⼀．实验名称：阻尼振动与受迫振动⼆．实验⽬的1．观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的⽅法；2．研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象；3．观测不同阻尼对受迫振动的影响。
三．.实验原理1．有粘滞阻尼的阻尼振动弹簧和摆轮组成⼀振动系统，设摆轮转动惯量为J ，粘滞阻尼的阻尼⼒矩⼤⼩定义为⾓速度d θ/dt 与阻尼⼒矩系数γ的乘积，弹簧劲度系数为k ，弹簧的反抗⼒矩为-k θ。
忽略弹簧的等效转动惯量，可得转⾓θ的运动⽅程为220d d J k dt dtθθγθ++=记ω0为⽆阻尼时⾃由振动的固有⾓频率，其值为ω0=k/J ，定义阻尼系数β=γ/（2J ），则上式可以化为：2220d d k dt dtθθβθ++=⼩阻尼即2200βω-<时，阻尼振动运动⽅程的解为())220exp()cosi it t t θθβωβφ=--+ （*）由上式可知，阻尼振动⾓频率为220d ωωβ=-2d dT πω=2．周期外⼒矩作⽤下受迫振动的解在周期外⼒矩Mcos ωt 激励下的运动⽅程和⽅程的通解分别为22cos d d J k M t dt dtθθγθω++=()())()220exp coscos i i m t t t t θθβωβφθωφ=--++-这可以看作是状态（*）式的阻尼振动和频率同激励源频率的简谐振动的叠加。
⼀般t >>τ后，就有稳态解()()cos m t t θθωφ=-稳态解的振幅和相位差分别为 ()222224mθωωβω=-+ 2202arctanβωφωω=-其中，φ的取值范围为（0，π），反映摆轮振动总是滞后于激励源⽀座的振动。
3．电机运动时的受迫振动运动⽅程和解弹簧⽀座的偏转⾓的⼀阶近似式可以写成()cos m t t ααω=式中αm 是摇杆摆幅。
受迫振动的研究实验报告
受迫振动的研究摘要：振动是自然界中最常见的运动形式之一，由受迫振动引发的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。
它既有实用价值，也有破坏作用。
表征受迫振动性质的是受迫振动的幅频和相频特性。
本实验采用玻耳共振仪定量测定了阻尼振动的振幅比值，绘制了受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并分析了阻尼对振动的影响以及受迫振动的幅频特性和相频特性。
实验中利用了频闪法来测定动态的物理量——相位差，这是本实验的一大精妙之处。
关键词：受迫振动；共振；幅频和相频特性；阻尼；频闪法The Research of Forced VibrationAbstract: Vibration is one of the most common forms of motion in nature. The resonance phenomenon triggered by forced vibration is very general in our daily life and in engineering technology. It has both the utility value and destructive effect. The features of forced vibration are the phase-frequency characteristic and the magnitude-frequency characteristic. The experiment quantificationally measured the amplitude ratio of forced vibration and drawn curves of the phase-frequency characteristic and the magnitude-frequency characteristic by using the Bohr resonance instrument. Moreover, it analyzed the effect of damping on v ibration and the characteristics of phase-frequency and magnitude-frequency. The stroboscopic method was used to measure the phase difference, which is ingenious.Key words: forced vibration; resonance; the characteristics of phase-frequency and magnitude-frequency; damping; stroboscopic method振动是自然界中最常见的运动形式之一，由受迫振动引发的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。
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清华大学实验报告
工程物理系工物40 钱心怡 75
实验日期：2015年3月3日
一．实验名称
阻尼振动和受迫振动
二．实验目的
1.观测阻尼振动，学习测量振动系统参数的基本方法
2.研究受迫振动的频幅特性和相频特性，观察共振现象
3.观察不同阻尼对振动的影响
三．实验原理
1.阻尼振动
在转动系统中，设其无阻尼时的固有角频率为ω0，并定义阻尼系数β其转动的角度与时间的关系满足如下方程
解上述方程可得当系统处于弱阻尼状态下时，即β<ω0时，θ和t满足如下关系
解得阻尼振动角频率为ωd=，阻尼振动周期为T d=
同时可知lnθ和t成线性关系，只要能通过实验数据得到二者之间线性关系的系数，就可以进一步解得阻尼系数和阻尼比。
2.周期性外力作用下的受迫振动
当存在周期性外力作用时，振动系统满足方程
θ和t满足如下关系：
该式中的第一项随着时间t的增大逐渐趋于0，因此经过足够长时间后，系统在外力作用下达到平衡，第一项等于0，在该稳定状态下，系统的θ和t满足关系：
其中；（θ∈（0，π））
3.电机运动时的受迫振动
当波尔共振仪的长杆和连杆的长度远大于偏心轮半径时，当偏心轮电机匀速转动时，设其角速度为ω，此时弹簧的支座是弹簧受迫振动的外激励源，摆轮转角满足以下方程：
即为
与受周期性外力矩时的运动方程相同，即有
可知，当ω=ω0时φ最大为，此时系统处于共振状态。
四．主要实验仪器和实验步骤
1.实验仪器
波尔共振仪主要由振动系统和提供外激励的两个部分组成。
振动系统包括弹簧和摆轮。
弹簧一端固定在摇杆上。
摆轮周围有一圈槽型缺口，其中有一个长缺口在平衡时对准光电门。
右侧的部分通过连杆向振动装置提供外激励，其周期可进行调节。
上面的有机玻璃盘随电机一起转动。
当摆轮转到平衡位置时，闪光灯闪烁，照亮玻璃盘上的白色刻度线，其示数即为在外激励下摆轮转动时落后于电动机的相位。
2.实验步骤
（1）调整仪器
打开电源并断开电机和闪光灯的开关。
阻尼调至0档。
手动调整电机的偏心轮使其0标志线与0度刻线对齐。
同时，调整连杆和摇杆使摆轮处于平衡位置。
拨动摆轮使其偏离平衡位置150度至180度，松开后观察摆轮自由摆动的情况，如衰减很慢则性能优良。
（2）测量最小阻尼比ζ和固有角频率ω0
开关置于摆轮，阻尼开关置于0档，拨动摆轮至偏转约180度后松开，使之摆动。
由大到小依次读取显示窗中的振幅；
将周期置于“10”位置按复位钮启动周期测量，停止时读取数据，并立即按复位钮启动周期测量，记录每次的值；
（3）测量阻尼振动的振幅
将周期选择位于位于“1”位置，阻尼开关置于4档，拨动摆轮至偏转至一定角度后松开，使之摆动。
由大到小依次读取显示窗中的振幅；再次拨动摆轮使之摆动，依次读取显示窗中的周期值。
测量不少于10组数据；
将阻尼开关置于5档，重复上述步骤；
（4）测量受迫振动的周期和振幅
开启电机开关，开关置于强迫力，周期选择置于1，将阻尼档置于4档，调节强迫力周期旋钮以调节电机转动的角频率，在振幅和周期都达到稳定后，记录下该频率的强迫力下摆轮受迫振动的周期和振幅。
并开启闪光灯，两次读取闪光灯亮时有机玻璃转盘上的读数。
调节电机频率，重复上述步骤。
至少测量18组数据，包括共振时的数据即有机玻璃盘读数为时的数据，在共振点附近应多测几组；五．数据处理
1.阻尼比，时间常数和品质因素
（1）无阻尼时
由Excel函数拟合得b=，S b=
所以得最终结果为
(2)阻尼档为4时
b=，S b=
所以得最终结果为
-1
（3）阻尼为5档时
b=，S b=
所以得最终结果为
（3）受迫振动的相频特性曲线和幅频特性曲线由曲线求得的ω0为
相对误差见表中
五．讨论
测量点的选取：由函数关系可知，越靠近共振点即ω=ω0处，θm 和φ，所以应在共振点附近多选取一些点进行测量。
六．思考题
1.周期测量位于摆轮时，当显示窗中周期和振幅的示数都稳定时，受迫振动处于稳定状态
3.测得相位差，即闪光灯亮时有机玻璃盘上的读数为90度时，达到共振。
共振频率与ω0近似相等，约为。