面面垂直答案

1．已知如图，P ∉平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC

【答案】

【解析】要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC 中点D ，证明AD 垂直平PBC 即可

证明： 取BC 中点D 连结AD 、PD

∵PA=PB ；∠APB=60°

∴ΔPAB 为正三角形

同理ΔPAC 为正三角形

设PA=a

在RT ΔBPC 中，PB=PC=a

BC=2a

∴PD=

22a 在ΔABC 中

AD=

22BD AB - =2

2a ∵AD 2+PD 2=2

22222⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a =a 2=AP 2

∴ΔAPD 为直角三角形

即AD ⊥DP

又∵AD ⊥BC

∴AD ⊥平面PBC

∴平面ABC ⊥平面PBC 2．如图（1）在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD 且AB=AD=12

CD=1，现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿AD 将正方形翻拆，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直如图（2）。

（1）求证平面BDE ⊥平面BEC

（2）求直线BD 与平面BEF 所成角的正弦值。

【答案】⑴证见解析 ⑵

1sin 2AH BD θ== 【解析】（1）由折前折后线面的位置关系得ED ⊥平面ABCD ，所以ED ⊥BC ，又在BCD ∆中，2DB BC ==，2DC =，三边满足勾股定理，BC BD ∴⊥。由线面垂直的判定定理即证得结论。

（2）因为2,DB =只需求出点D 到平面BEF 的距离也是点A 到平面BEF 的距离，易证出//AD EF ，AD ⊥平面BEF ，由面面垂直的判定定理得平面ABF ⊥平面BEF ，ABF ∆中BF 边上的高就是点A 到平面BEF 的距离。根据线面角的定义可求直线BD 与平面

BEF 所成角的正弦值。

3．（本小题满分14分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中

点．

（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．

【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）略

【解析】（1）证明：连结BD .在长方体1AC 中，对角线

11//BD B D . ……………2分

又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点， ∴//EF BD . ∴11//EF B D . ……………4分

又B 1D 1 平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴EF ∥平面CB 1D 1. ……………7分

（2）

在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1 平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1.…9分 又

在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又 B 1D 1 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．……14分

4．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，22==AD AB ，3=BD ，PD ⊥底面ABCD .

A C

D E

F 图2 A B

E C

图1 F D A C D A 1 B 1 1 E F

(1)证明：平面⊥PBC 平面PBD ；

(2)若二面角D BC P --为6

π，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值。 【答案】（1）略

（2）46

223

sin =⋅=•=n AP n

AP θ

【解析】本试题主要是考查了面面垂直的证明和二面角与线面角的求解的综合运用。考查了同学们的逻辑推理能力和计算能力，以及分析问题和解决问题的能力。

（1）根据面面垂直的判定定理，先得到线面垂直，然后得到结论。

（2）对于该试题可以合理的建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量，得到向量与向量的夹角，从而得到线面角的表示。

5．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，

若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.

(Ⅰ) EF //平面PAD ；(Ⅱ) 求证:平面PDC ⊥平面PAD ； F

E

D

C A

【答案】 同解析

【解析】Ⅰ)证明：连结AC ，在CPA ∆中，CPA EF ∆是的中位线,EF //PA ，且PA ⊂平面PAD ,EF ⊄平面

PAD ，∴PAD EF 平面//

(Ⅱ)证明：∵面PAD ⊥面ABCD ，平面PAD 面ABCD AD = ，

CD AD ⊥∴CD ⊥平面PAD ，又PDC PC 平面⊂,

∴面PAD ⊥面PDC

A

6． (本小题12分) 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形, PA ⊥底面ABCD , PA ＝2, ∠PDA =45°, 点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点.

（1）求证: AF ∥平面PCE ;

（2）求证: 平面PCE ⊥平面PCD ;

（3）求AF 与平面PCB 所成的角的大小.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）30°

【解析】证明: （1）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ，

∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG 21//

CD ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点

∴AB 2

1//CD ∴FG //AE ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF ∥EG 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ∴AF ∥平面PCE

（2）∵ PA ⊥底面ABCD

∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，PA AD =A

∴CD ⊥平面ADP ，又AF ⊂平面ADP ∴CD ⊥AF

直角三角形PAD 中，∠PDA =45°

∴△PAD 为等腰直角三角形 ∴PA ＝AD =2

∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ，又CD PD =D

∴AF ⊥平面PCD ∵AF ∥EG ∴EG ⊥平面PCD

又EG ⊂平面PCE 平面PCE ⊥平面PCD

（3）过E 作EQ ⊥PB 于Q 点, 连QG , CB ⊥面PAB

∴⎩⎨⎧⊥⊥EQ

PB EQ CB ⇒QE ⊥面PCB , 则∠QGE 为所求的角.