切线不等式的应用

利用不等式“1x x R,e x ∀∈≥+”解决高考压轴题

呼和浩特市第二中学

郎砺志

“1x

x R,e x ∀∈≥+”这一结论频繁地出现在与导数相关的各种教辅材料中，可以说学生很熟悉这个不等式的结论和证明过程，但是大多数人可能仅仅把它当成是一道练习题，殊不知，就是这样一个看似不起眼的结论，却撑起了近5年高考理科数学导数试题（压轴题）的半边天，所以本文的主要内容就是：分析近几年高考导数试题，诱发新的解题线索，提供高效而实用的解题方案，最后给出2013年全国理科数学新课标卷第21题的一种新解法。 命题1. 1x x R,e x ∀∈≥+.

可以从两个角度证明这个命题的正确性。

角度1. 构造函数

证明：设1x f (x )e x ,x R =--∈，则1x f (x )e '=-

令1x f (x )e '=-=0，解得0x =，

则当0x (,)∈-∞时，0f (x )'<，f (x )单调递减；

则当0x (,)∈+∞时，0f (x )'>，f (x )单调递增；

于是由单调性可知，00min f (x )f (x )=f ()==极小 ，即1x x R,e x ∀∈≥+。 角度2.数形结合

在同一坐标平面内作出两个函数1x

f (x )e ,g(x )x ==+的图象，如下图所示，

证完！

由上图可知，这个不等式实际上反映的是曲线x f (x )e =和其图象上的点01(,)处的切线图形的高低关系。

于是这里得到，

定理*. 1x x R,e x ∀∈≥+，当且仅当0x =时取等号。

由上面的定理可以立即得到，

推论1. 21[0,),12

x x e x x ∀∈+∞≥++ 证明：让我们换一套思路证明它， 1t t R ,e t +∀∈≥+，则 001x x t

x R ,e dt (x )dt +∀∈>+⎰⎰， 根据牛顿-莱布尼茨公式可得2112

x e x x ≥++，证完！ 这里要点明，这个结论实际上在高等数学中是显然的，根据函数的幂级数展开可得，

).,0[,211!3!21232∞+∈++≥++++=x x x x x x e x

。 推论2. 1x R ,ln x x +∀∈≤-，当且仅当1x =时取等号。

证明：由定理*可得，1x x R ,e x +-∀∈≥，两边同时取以e 为底的对数得，

1ln x x ≤-，当且仅当1x =时取等号。

推论3. 1112x [,),ln x (x )x

∀∈+∞≤-. 证明：11t [,),lnt t ∀∈+∞≤-，则1111x x

x [,),

lntdt (t )dt ∀∈+∞≤-⎰⎰， 化简可得推论3.

接下来就是高考试题的分析。

题1（2010年全国理科数学Ⅱ卷第22题节选）

设函数1x f (x )e -=-. 求证：当1x >-时，1

x f (x )x ≥

+。 证明：欲证 当1x >-时，1

x f (x )x ≥+，只须证明： 1

111+-≥--x e x ，即 11+≤-x e x ，也即 1+≥x e x ，得证。

题2.(2013年辽宁理科数学卷第21题节选)

已知函数.)1()(2x e x x f -+=

求证：当]1,0[∈x 时，x x f +≤

11)(. 证明：事实上，等价于证明22)1(+≥x e x ，也即

1+≥x e x .

题3.(2010年理科数学新课标卷第21题节选)

设函数21)(ax x e x f x ---=，

当0≥x 时，.0)(≥x f 求实数a 的取值范围。

解：由推论1可知，21=a 满足条件，于是当21≤a 时均满足条件，事实上，当2

1>a 时，a e x f ax e x f x x 2)(,21)(-=''--='，故当))2ln(,0(a x ∈时，,

02)(<-=''a e x f x 此时函数)(x f '单调递减，有,0)0()(='<'f x f 从而函数)(x f 单调递减，所以0)0()(=

1≤a 。 这里顺便指出，利用这道题的结论可以轻松断定2012年辽宁理科数学高考第12题的A 选项是错误的，从而我们也能感受到高考试题的延续性。

题4.（2011年湖北省理科数学卷第21题节选）

设),,3,2,1(,n k b a k k =均为正数，证明：

若,212211n n n b b b b a b a b a +++≤+++

则12121≤n b n

b b a a a 。 证明：欲证12121≤n b n b b a a a ，只须证01ln )ln(2121=≤n b n b b a a a ，

即0ln ln ln 2211≤+++n n a b a b a b ①

事实上，根据题意即推论2可知，

n k a a k k ,,3,2,1,1ln =-≤，带到①式左边可得，

)1()1()1(ln ln ln 22112211-++-+-≤+++n n n n a b a b a b a b a b a b

=,0)()(212211≤+++-+++n n n b b b a b a b a b 证完。

题5.（2010年湖北省理科数学卷21题节选）

求证：)

1(2)1ln(131211+++>++++n n n n 证明：由推论3知：11[1,),ln ()2x x x x

∀∈+∞≤-； 且 当)1(21ln ,1x

x x x -<>； 令),,3,2,1(,11n k k k x =>+= 有)1

11(211ln +-+≤+k k k k k

于是有，.,3,2,1),1

11(21ln )1ln(n k k k k k =++<-+ 将这n 个同向不等式相加并整理即可得：

)

1(2)1ln(131211+++>++++

n n n n 证完。 下面给出2013年全国新课标卷第21题的一种新解法。

题6.已知函数)ln()(m x e x f x

+-=

当2≤m 时，0)(>x f .

证明：很明显，)2ln()(+-≥x e x f x ，若记)2ln()(+-=x e x g x ，则只须证明0)2ln()(≥+-=x e x g x 即可，事实上，由推论2，1)2ln(+≤+x x 知，

)1()(+-≥x e x g x ，设)1()(+-=x e x h x ，由定理*可知0)(≥x h 成立，但上述等号无法同时取得，综上，利用“>”的传递性可得，当2≤m 时，0)(>x f . 证完！ 上面的各个例题告诉我们，不等式“1x x R,e x ∀∈≥+”及其推论在高考试卷中的应用是广泛而重要的，能灵活地运用这些结论对快速高效地解决高考导数大题意义深远，另外，通过分析高考试题，我们也可以得到一个结论：看似纷繁芜杂的导数试题中其实蕴含着永恒的规律，遵循本文给出的解题线索，你一定能拥有针对性极强的解题意识，在高考压轴题的海洋中遨游。 )111(21)]1

11()11[(21++=+--+=k k k k