湖南地区高考数学第一轮复习 曲线与方程学案(教师)

曲线与方程

一、学习目标：优化设计P88考纲解读（数形转化）

二、自主学习：

1.已知坐标满足方程F （x ，y ）=0的点都在曲线C 上，那么下列说法错误的是 （只填序号）.

①曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x ，y ）=0

②凡坐标不适合F （x ，y ）=0的点都不在C 上

③不在C 上的点的坐标有些适合F （x ，y ）=0，有些不适合F （x ，y ）=0

④不在C 上的点的坐标必不适合F （x ，y ）=0

答案 ①②③

2.到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是 . 答案 线段AB

3.动点P 到两坐标轴的距离之和等于2，则点P 的轨迹所围成的图形面积

是 .

答案 8

4.（2008·北京理）若点P 到直线x=-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，

则点P 的轨迹为 (写出曲线形状即可).

答案 抛物线

5.已知直线l 的方程是f （x ，y ）=0，点M （x 0，y 0）不在l 上，则方程f （x ，y ）

-f （x 0，y 0）=0表示的曲线与l 的位置关系是 .

答案 平行

【考点梳理】见优化设计P90考点梳理

三、合作探究：

例3 如图所示，已知P （4，0）是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.

解 设AB 的中点为R ，坐标为（x 1，y 1），Q 点坐标为（x ，y ），

则在Rt △ABP 中，|AR|=|PR|，

又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理有

Rt △OAR 中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（x

21+y 21）.又

|AR|=|PR|=()21214y x +-，

所以有（x 1-4）2+y 21=36-（x 21+y 21）.即x 21+y 21-4x 1-10=0. 因为R 为PQ 的中点，所以x 1=24+x ，y 1=20+y .代入方程x 21+y 21-4x 1-10=0，得

22224⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x -4·2

4+x -10=0.整理得x 2+y 2=56.这就是Q 点的轨迹方程. 9.如图所示，已知点C 的坐标是（2，2），过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过

点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B.设点M 是线段AB 的中点，求

点M 的轨迹方程.

解 方法一 （参数法）：设M 的坐标为（x,y ）.

若直线CA 与x 轴垂直，则可得到M 的坐标为（1，1）.

若直线CA 不与x 轴垂直，设直线CA 的斜率为k ，则直线CB

的斜率为-k 1， 故直线CA 方程为：y=k(x-2)+2, 令y=0得x=2-k 2,则A 点坐标为(2-k 2,0). CB 的方程为：y=-k 1(x-2)+2,令x=0,得y=2+k

2， 则B 点坐标为（0,2+k

2），由中点坐标公式得M 点的坐标为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=-=+-=k k k k 112022112022y x ①

消去参数k 得到x+y-2=0 (x ≠1),点M （1，1）在直线x+y-2=0上，

综上所述，所求轨迹方程为x+y-2=0.

方法二 （直接法）设M （x ，y ），依题意A 点坐标为（2x,0）,B 点坐标为（0，2y ）.∵|MA|=|MC|，

∴22)2(y x x +-=22)2()2(-+-y x ,化简得x+y-2=0.

方法三 （定义法）依题意|MA|=|MC|=|MO|,

即:|MC|=|MO|,所以动点M 是线段OC 的中垂线，故由点斜式方程得到：x+y-2=0.

四、课堂总结：

知识

方法

思想

五、检测巩固：

1.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P （2，4），则该抛物线的方程是 .

答案 y 2=8x

2.已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 .

答案 4π

3.长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC =2CB ，则点C 的轨迹是 （写出形状即可）.

答案 椭圆

4.平面直角坐标系中，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足OC =1λOA +2λOB （O 为原点），其中1λ，2λ∈R ，且1λ+2λ=1，则点C 的轨迹是 （写出形

状即可）. 答案直线

5.F

1、F

2

是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向△F

1

MF

2

顶点M的

外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为（写出形状即可）. 答案圆

6.一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为（写出形状即可）.

答案椭圆

7.已知△ABC的顶点B（0，0），C（5，0），AB边上的中线长|CD|=3，则顶点A 的轨迹方程为 .

答案(x-10)2+y2=36(y≠0)

8.平面上有三点A（-2，y），B（0，

2

y），C（x，y），若⊥BC，则动点C的轨迹方程为 .

答案y2=8x

六、学习反思：