非最小相位系统
非最小相位
非最小相位1. 什么是非最小相位？非最小相位（non-minimum phase）是信号处理和控制系统中常用的一个概念。
在信号处理中，每个系统都有一个冲激响应，冲激响应可以表示系统的频率特性。
非最小相位系统的冲激响应具有比最小相位系统更多的波动和峰值。
在信号处理领域，最小相位系统是指具有幅度响应没有零点的系统。
而非最小相位系统则具有幅度响应存在零点的特点。
零点可以导致相位响应的不稳定性，并且在频域上引入额外的波动。
2. 非最小相位的特性非最小相位系统具有以下特性：a. 频响波动非最小相位系统的幅度响应会在某些频率范围内出现大幅波动。
这是由于零点的存在使得系统在这些频率处不稳定。
频响波动可能会引入不可预测的结果，从而影响系统的性能。
b. 峰值传输延迟非最小相位系统的冲激响应中会出现峰值，这导致信号延迟。
峰值传输延迟会使得信号的处理时间增加，从而影响系统的实时性和响应速度。
c. 零相位频率非最小相位系统具有零相位频率，即在这个频率下系统的相位为0度。
这可能会导致相位失真，在特定频率下信号的相位与原始信号的相位不同。
3. 非最小相位系统的应用非最小相位系统被广泛应用于信号处理、控制系统等方面。
a. 音频处理在音频处理中，非最小相位系统可以用于实现音频效果，如均衡器、滤波器等。
这些效果常常需要调整幅度响应和频率特性，通过引入非最小相位特性可以实现更多的音频效果。
b. 通信系统在通信系统中，非最小相位系统可以用于均衡器的设计。
均衡器可以补偿信号在传输过程中受到的失真。
非最小相位均衡器可以更好地处理传输信号中的频率失真和相位失真，提高数据传输的可靠性。
c. 控制系统在控制系统中，非最小相位系统可以用于控制器的设计。
非最小相位控制器可以引入额外的相位延迟，从而改变控制系统的相位特性。
这对一些特殊的控制系统设计有重要的应用，如自适应控制、鲁棒控制等。
4. 如何处理非最小相位系统？处理非最小相位系统时，我们通常采用以下方法：a. 预失真通过在输入信号上应用适当的预失真，可以消除非最小相位系统的频响波动和相位失真。
第四节最小相位系统与非最小相位系统
由图可知最小相位系统是指在 具有相同幅频特性的一类系统 中，当w从0变化至∞时，系统
10
T2 的相角变化范围最小，且变化 的规律与幅频特性的斜率有关 系(如 j1(w) )。而非最小相位系 统的相角变化范围通常比前者
w 大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；
或者相角变化范围虽不大，但 相角的变化趋势与幅频特性的
-4.6
-2.3
0
2.3
数幅频特性的斜率。 4.6 u=ln(ww0)
上述公式称为伯德公式。该式说明对于最小相位系统，其幅频特
性与相频特性紧密联系的，当给定了幅频特性，其相频特性也随
之而定，反之亦然。因此，可只根据幅频特性（或只根据相频特
性）对其进行分析或综合；而非最小相位系统则不然，在进行分
析或综合时，必须同时考虑其幅频特性与相频特性。
最小相位系统与非最小相位系统
Sunday, July 12, 2020
1
最小相位系统和非最小相位系统
最小相位系统和非最小相位系统 定义：在右半S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节 的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函 数；反之，在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节 的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传 递函数。 在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小， 并且最小相位系统的幅频特性的斜率和相频特性的角度之间具 有内在的关系。
u
e e u
-u
2
2
ln ctgh = ln
2
e - e u
-u
2
2
为加权函数，曲线如图
Sunday, July 12, 2020
6
零度根轨迹非最小相位系统
问题。由于它是一种图解求根的方法，比较直观，避免了求解高阶系统
特征根的麻烦，所以，根轨迹法在工程实践中获得了广泛的应用。 采用根轨迹法分析和设计系统，必须绘制出根轨迹图。用数学解析
法去逐个求出闭环特征方程的根再绘制根轨迹图，十分困难且没有意义。
重要的是找到一些规律，以便根据开环传递函数与闭环传递函数的关系 以及开环传递函数零点和极点的分布，迅速绘出闭环系统的根轨迹。这 种作图方法的基础就是根轨迹方程。
第四章 根轨迹法
二、根轨迹方程
[例] 闭环传递函数为
( s) G(s) 1 G( s) H ( s)
R( s )
G( s) H ( s)
C ( s)
闭环特征方程是 1 G(s) H (s) 0
根轨迹增益
就其实质来说，根轨迹方程就是闭环的特征方程式 系统开环 传递函数 开环传递函数化成如下形式： 零点 m
K ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) H ( s) ( s p1 )(s p 2 ) ( s p n )
K (s zi )
i 1
(s p
j 1
n
j
)
系统开环传 递函数极点
第四章 根轨迹法
i 1 j 1
m
n
0
s2 p2
(s 2 p1 ) (s2 p2 ) 180
s2 p1
s2
满足相角条件，所以s2在根轨迹上，即s2是该系统的闭环极 点。
第四章 根轨迹法
根轨迹方程 G(s)H(s) 1
G (s)H(s) K
' i 1 n i 1
(s z )
第12讲bode最小相位系统和非最小相位系统
(1)对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot) (2)极坐标图 (Polar plot) (3)对数幅相图 (Log-magnitude versus phase plot)
对数幅频特性 对数频率 特性曲线
相频特性
20log G( j) dB G( j) ()
R(s) + -
E(s)
G(s)
C(s)
假设系统的开环传递函数为
G(s)
K (T1s 1)(T2s 1)(Tms 1) s (T1s 1)(T2s 1)(Tn s 1)
图5-21单位反馈控制系统
G(
j)
(
K (T1 j 1)(T2 j 1)(Tm j j) (T1 j 1)(T2 j 1)(Tn
n
n
时
40 log 40 log1 0 n
dB
所以高频渐近线与低频渐近线在
8
处相交。这个频率就是上述二阶因子的转角频率。
谐振频率谐振峰值
d g() 2(1 2 )(2 ) 2(2 )2 1 0
dt
n2
n2
n n
g ( )
2
2 n
(1
2 n
2
2)2
4
2 (1
2)
G( j)
n
n
L()
20 log
1 2 (
j
1
)
(
j
)2
20log
(1
2 n2
)2
(2
n
)2
n
n
低频渐近线为一条0分贝的水平线
在低频时，即当 n
-20log1=0dB
在高频时，即当 n
非最小相位系统中的内模控制
如 果 模 型精 确 ， 即Ｇ（ ） ｓ 一Ｇ（ ） 且 没 有 扰 动 ， ｓ， 即
作者简介 ： 尚继 良（ ９ ６ ）男 ， １ ５ ￣ ， 副教 授
维普资讯
文 章 编 号 ： ６ ２６ ８ （ ０ ７ ０ —２ ３ ０ １ ７ — ９ ７ ２ ０ ） ３０ ５ —３
非 最 小 相 位 系统 中的 内模 控 制
尚继 良，王 晓燕 ， 于 玮
（ 岛科 技 大 学 自动化 与 电子 工 程 学 院 ， 青 山东 青 岛 ， ６ ０ ２ ２ ６４ ）
输入 ， ｓ为 给定输 出 ， ｓ 为 干扰 输 入 ， ｓ 和 ｙ（） Ｄ（） Ｃ（）
（） Ｇ（） ｓ 一［ ｓ 一Ｇ（） Ｕ（） ｓ－ ｓ ＋Ｄ（） ｌ ｓ
（） ２
Ｇ （） 别 是 常 规 反馈 控 制 器 和 被 控 对象 的传 递 ｓ分
收 稿 日期 ： ０ ６ ０ — ９ ２ ０ — ９ ２
遍存 在 ， 其 进行 控 制 仍 然 较 难［ 。 当 系统 右 半 对 １ ］
平 面存在 奇数个 零点 时 ， 阶跃信 号 的作用下 ， 在 会
出现负调 ， 即其 被 控 量 开始 的变 化 方 向与后 来 的
变化 方 向相 反口 。这 就很 容 易 使 控 制 器 误 操 作 ， ］ 控制 作用 反 而 对 被 控 量 的 波 动 起 错 误 的 推 动 作
内模 控 制 （ＭＣ 的 概 念 是 由 Ｇａｃ Ｉ ） ｒｉ 人 于 ａ等 １ ８ 年 提 出的 ， ９２ 由于 它设 计 简单 、 踪 性 能好 、 跟 鲁
棒性 强 、 能消 除不可 测干 扰 ， ｓ为 对象 的预 测模 型 Ｇ（） 引。
所 重视 。而非 最小相 位 过程在 实 际控制 对象 中普
最小相位系统非最小相位系统一复杂系统开环传函可
L( ) 20 lg K
( ) 0
L(ω)/dB 20lgK
φ(ω)/(°)
01
ω
01
ω
2. 积分环节 G(s) 1
s
频率特性为
G( j )
1
1
j
e2
j
其幅频特性和相频特性为
A() 1/
奈氏曲线为：
Im
() 90
ω→∞ 0
当 0时，(0) 0;当 1 时，( 1 ) ;当 时，() 。
T
T4
2
不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( ω0, －45°)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。 当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的
形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线
(描点法)
L() 20 lg 1 1 2T 2
20 lg 1 2T 2
() arctgT
L()/dB
0 0.1/T
-10 -20 -30
()/(°) 0°
0.1/T -45°
渐近线 渐近线
1/T
精确曲线
1/T
10/T
10/T
-90°
当ωT=1时, ω=1/T 称为交接频率, 或转 折频率、转角频率。
φ (ω )/(°)
0.1
ω
－90°
3. 微分环节 G(s) s
微分环节的频率特性为
j
G( j ) j e 2
其幅频特性和相频特性为 A( )
奈氏曲线为：
Im ( ) 90
ω→∞
ω＝0
0 Re
基于内模设计法的非最小相位系统控制
法设计 的控制 器具有较 理想的控制效果 ， 且控 制器结构 简单．
中 图分 类 号 ：Ｂ １ ． Ｔ １４ ２
１ 引言
法设计 ＰＤ控制 器・ Ｉ ２ 内模设 计法
非 最小相位 系统 一 般指 的是存 在 不 稳定 零 点 ， 即右半 平面零点 的系统 ． 最小 相 位 系统 在控 制 工 非 程 中是 经常存在 的 ， 工业 过程 中的锅 炉 汽 包水 位 和 汽轮机 系统是典 型 的非 最小 相 位 系统 ． 其进 行 控 对 制又是 比较 困难 的． 传统 的控 制 理论 虽 然 在解 决 非 最小相位 系统 的控 制 中提 出 了许 多 有 效 的方 法 ， 但 总体来说 ， 不能令人满 意 ， 因此对 其进 行研究 具有 十
１
Ｔ．
１ 。
）
（） ３
模控 制器代人 （ ）式 中就 可 以得 到 Ｇ （） ２ ｓ 的表 达
式． （ ）式进行 化简或近 似处理得 到如 （ ）式 所 对 ２ ３ 示 的形式 ， 就可 以求 出相应 的 ＰＤ参 数 ， Ｉ 而且 这 ３个 参 数都 只和内模控制器设 计时所 引入 的滤波 器 的参 数 Ａ有关 ， 以 Ａ的取值 直接 和控 制 系统 的性 能 以 所 及 鲁棒性有关 ， 户可 以按 照 实 际过 程 的要 求来 进 用
ＰＤ控制 的难 点． Ｉ 假设 非最小相位 过程传递 函数为 ：
㈤ ＝ （） １
分作 用 ， 无需在 内模控制 器设计 时 引入 积分 环节． 另 外， 内模控 制器本 身具有很好 的鲁棒性 …． 内模控制 的结 构 如 图 １所示 ， 中 ｑ指 内模控 其 制 器 ， 指实 际对 象 ， ｐ 它 的模 型 ， 指 干扰 通 Ｇ Ｇ是 Ｇ
基于自抗扰的非最小相位伺服系统控制
＜ （ 是＋ １ ） 一ｚ ｌ （ 是 ） ＋ ｈ・ ２ （ 是 ）
ｚ
（ １ ）
渡过程 得 到 的信 号 和 扩张 状 态 观 测器 得 到 的信 号
２ 自抗 扰 控 制器 的控 制 算 法 与参 数
选 择
自抗扰 控制 技 术 是 中科 院 韩 京 清研 究 员 经 过
多年潜 心 研 究 、 发 展 完 善 的 一 种 非 线 性 自适 应 控
进行 非线 性组合 得 到 系统 的控 制 量 。一 般 采 用 式
确 的系 统零 极 点 位 置 ， 就 使 得 无 法 实 现 零 极 点 完
全对 消 ， 反而 会使 得 控 制 器 中包 含 不 稳 定 的极 点 ，
稳 定 零动 态 系统 ， 在 线 性 系 统 里 是 指 传 递 函数 中 含 有 正实部 零 点或 极 点 的 系 统 。与 最 小 相位 系统 相 比， 非最 小 相位 系统 调 节 的快 速性 较差 ， 对 系统
第１ １ 卷第 ３ 期
果 。其 中逆控 制 方 法 需 要 得 到 系 统 的 逆 模 型 ， 在 实际 系统 中要得 到 系统 的准 确 的 逆模 型是 很 困难
的； 而 另外 的一 些方 法 则需 要 建 立 经 验 规 则 ， 寻 找
变化 ， 而， ２ ２ （ ｔ ） 一ｊ 。 （ ） ， 这样 实现 了对输 入 信号 及
其 微分 的合 理跟 踪 。其离 散化 实现 形式 如式 （ １ ） ：
第12讲bode最小相位系统和非最小相位系统
传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施，
高频时将造成严重的相位滞后
18
0
-100
-200
-300
-400
-500
-600 10-1
100
101
图5-20传递延迟的相角特性曲线
19
5.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系
考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差 常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。
T
高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝/十倍频程的直线
图5-10表示了一阶因子的精确对数幅频特性曲线 及渐近线，以及精确(Exact curve)的相角曲线。
请看下页
7
1
5.2.4 二阶因子 [1 2 ( j /n ) ( j /n )2 ]1 1 2 ( j ) ( j )2
L()
( )
纵坐标均按线性分度
横坐标是角速率 按lg 分度 10倍频程，用dec 3
极坐标图(Polar plot)，=幅相频率特性曲线，=幅相曲线 G( j) 可用幅值 G( j) 和相角 () 的向量表示。 当输入信号的频率 0 ~ 变化时，向量 G( j) 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上 移动的轨迹称为极坐标图。 奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于 极坐标图阐述了反馈系统稳定性
作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典 型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正
作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区 域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线
12
5.2.5最小相位系统与非最小相位系统 Minimum phase systems and non-minimum phase systems 最小相位传递函数
自动控制原理名词解释
1.控制概念（1）开环控制：开环控制是最简单的一种控制方式。
它的特点是，按照控制信息传递的路径，控制量与被控制量之间只有前向通路而没有反馈通路。
闭环控制：凡是将系统的输出量反送至输入端，对系统的控制作用产生直接的影响，都称为闭环控制系统或反馈控制系统。
复合控制：是开、闭环控制相结合的一种控制方式。
（2）反馈：指将系统的输出返回到输入端并以某种方式改变输入，进而影响系统功能的过程，即将输出量通过恰当的检测装置返回到输入端并与输入量进行比较的过程。
（3）传递函数：在零初始条件下，系统输出信号的拉手变换与输出信号的拉氏变换的比。
（4）被控对象：指需要给以控制的机器、设备或生产过程。
执行机构：一种能提供直线或旋转运动的驱动装置，它利用某种驱动能源并在某种控制信号作用下工作。
（5）线性化：a条件：连续且各阶导数存在 b方法：工作点附近泰勒级数展开。
2.时域指标（1）上升时间tr：响应从终值10%上升到终值90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。
上升时间是响应速度的度量。
峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。
调节时间ts：响应到达并保持在终值内所需时间。
（2）超调量σ%：响应的最大偏离量h(tp)与终值h(∞)之差的百分比。
振荡次数：是在阶跃信号作用下，系统在达到指定deta范围下，系统所震荡的总次数。
（3）动态降落：系统稳定运行时，突然加一个扰动量N，在过度过程中引起输出量的最大降落值Cmax称为动态降落。
恢复时间：系统从波动回复到稳态时候所需要的时间。
（4）稳态误差：对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷大时，系统对输入信号响应的实际值与期望值（即输入量）之差的极限值，称为稳态误差，它反映系统复现输入信号的（稳态）精度。
3.频域特性（1）频率特性：对于线性系统来说，当输入信号为正弦信号时，稳态时的输出信号是一个与输入信号同频率的正弦信号，不同的只是其幅值与相位，且幅值与相位随输入信号的频率不同而不同。
最小相位系统和非最小相位系统
Im
r=
Re
5.3.3 Nyquist稳定判据
3. • 乃氏路径的修正
Im
j
r=
幅角原理规定不能包含F(s)的零极 点，如果虚轴上有开环极点，那么我 们采用小的半圆去包围这样的极点， 如图。 4. 圈数的计算 开环频率特性要包含-1，必须在-1的 左面穿越虚轴，由下到上为正穿越， 由上到下为负穿越，起于-1左面负实 轴的为半穿越。 N等于穿越数的两倍。
Im
Re
Im F()
Re
5.3.2 幅角原理
• 说明： 1. F(s)绕F()运动的方向和s绕 运动的方向一致。 2. 如果F()不包含原点，那么 N=0。 3. N只与零极点个数有关，与具 体位置无关。
Im
Re
Im F()
Re
5.3.3 Nyquist稳定判据
1. 乃氏路径 • 我们将右图所示的路径称为乃氏路 径，乃氏路径是一条闭围线。当 r=时，乃氏路径包围了整个右半 平面。 2. 乃氏稳定判据 • 如果将闭环的特征式F(s)看成映射， 那么当s沿着乃氏曲线运动的时候， F(s)包围原点的圈数N等于F(s)在右 半平面的零点个数减去极点个数。 即闭环不稳定极点个数Z减去开环 不稳定极点个数P。 N=Z-P, Z=N+P。
关于最小相位系统的计算
• 求传递函数。关键在于计算K。 • 基本规律: 1. 根据任何一个L(ω)可以求出K； 2. 在这个ω之后的转角对计算没有作用。
L(w)
K 2 K 1 20 log 20 log L 2 1
w1
w2 w
w3
w4
关于最小相位系统的计算 • 计算L(ω)：包括已知L求ω 和给出ω求L。 • 基本规律: 1. 先确定传递函数； 2. 在ω以后的转角频率对L(ω)没有影响。
4第四节最小相位系统与非最小相位系统
T2 的相角变化范围最小，且变化 的规律与幅频特性的斜率有关 系(如 j1(w) )。而非最小相位系 统的相角变化范围通常比前者
w 大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；
或者相角变化范围虽不大，但 相角的变化趋势与幅频特性的
变化趋势不一致(如 j4(w) )。
10
T2
5
最小相位系统和非最小相位系统
-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1) -40 -50
⒋在w=7处，斜率由-40dB/dec变为 -60 0.1
-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1)
5.6(1 s 1)
G(s) =
7 s( 1 s 1)
2
j (w) = -90 tg-1 w - tg-1 w
7
2
Saturday, November 28,
Saturday, November 28, 2020
6
最小相位系统和非最小相位系统
5 4.8 4.6 4.4
在u=0(w=w0)时
ln
ctgh u 2
；
4.2 4
偏离此点，函数衰减很快。
3.8
3.6 3.4 3.2
在u=±0.69（在w0上下倍频
3 2.8 2.6 2.4
程处， ln ctgh u = 1.1 ； 2
一般来说，右半平面有零点时，其相位滞后更大，闭环系 统更难稳定。因此，在实际系统中，应尽量避免出现非最小相 位环节。
Saturday, November 28, 2020
15
- du
2
式中j0(w)为系统相频特性在观察频率w0处的数值，单位为弧度； u=ln(w/w0)为标准化频率；A=ln|G(jw)|；dA/du为系统相频特性的
非最小相位系统例子
非最小相位系统例子
1. 你知道汽车的电子油门系统吗？那就是个非最小相位系统的例子呀！当你踩下油门时，系统的响应并不是立刻就达到最大值的，这中间就有延迟呢，就好像我们有时候反应也会慢半拍一样。
2. 嘿！空调的温度控制系统也是哦！当你设定好一个温度后，它可不是马上就达到的呀，要过一会儿才会有明显变化，这不就跟我们努力做事，结果不会一下子就显现出来是一个道理嘛。
3. 哎呀呀，交流电机的速度控制系统不也是嘛！它对输入信号的反应可不是那么直接快速的，就如同我们在生活中遇到困难时，要拐个弯才能找到解决办法一样。
4. 还有还有，某些音频处理系统也是非最小相位系统呢！声音信号在里面的传输和处理可没那么简单直接，这多像我们说话呀，有时候得绕几个弯才能表达清楚自己的意思。
5. 你想想看呀，一些工业过程中的控制系统也是这样的呢！它们的行为有时候真的很难琢磨，就如同我们的心情有时候也会莫名其妙地变化一样。
6. 哇哦，一些通信系统也是非最小相位系统的范例！信号在其中的传递和变化可不简单，这和我们人与人之间的交流有时候很相似呀，会有各种状况出现。
总之，非最小相位系统可真是无处不在啊，我们在很多地方都能发现它们的存在呢！。
非最小相位系统的研究
添加标题
时域分析法
非最小相位系 统的定义和特 点
时域分析法的 基本原理和步 骤
时域分析法的 应用实例
时域分析法的 优缺点和改进 措施
0
0
0
0
12Biblioteka 34稳定性分析
稳定性定义：系统在受到外部干扰后能够恢复到稳定状态的能力
稳定性分析方法：包括频域分析、时域分析、根轨迹分析等
稳定性分析的应用：在控制系统设计中，稳定性分析是保证系统稳定运行的重要手段 稳定性分析的局限性：在某些情况下，稳定性分析可能无法准确预测系统的稳定性，需 要结合其他方法进行综合分析。
在调制解调中，非最小相位系 统可以提高信号的抗干扰能力， 降低误码率。
在信道编码中，非最小相位系 统可以提高信道容量，降低传 输错误率。
在信号检测中，非最小相位系 统可以提高检测性能，降低误 报率。
在雷达系统中的应用
非最小相位系统可以消除雷 达信号中的干扰，提高雷达 的抗干扰能力。
非最小相位系统在雷达系统 中的应用广泛，可以提高雷 达的性能和可靠性。
软件实现
软件工具： Matlab、 Python等
数据处理：信 号采集、滤波、
频谱分析等
编程方法：函 数调用、循环、
条件语句等
结果展示：图形、 表格、动画等
Part Five
非最小相位系统的 应用实例
在通信系统中的应用
非最小相位系统在通信系统中 的应用广泛，如调制解调、信 道编码、信号检测等。
快。
应用领域：最小相位系统 常用于需要稳定输出的场 合，如控制系统；非最小 相位系统常用于需要快速 响应的场合，如通信系统。
在信号处理中的应用
非最小相位系 统在滤波器设 计中的应用
非线性非最小相位系统的控制研究综述
第41卷第1期自动化学报Vol.41,No.1 2015年1月ACTA AUTOMATICA SINICA January,2015非线性非最小相位系统的控制研究综述苏善伟1朱波2向锦武3林岩4摘要非线性非最小相位系统是指具有不稳定零动态或内部动态的非线性系统,其本身固有的非最小相位特性限制了许多常规非线性控制方法(如反推控制、反馈线性化、滑模控制等)的直接应用.因此,非最小相位系统的控制比最小相位系统要困难得多,是控制理论与工程应用中具有挑战性的课题之一.本文综述了目前非线性非最小相位系统的研究成果,着重介绍了非最小相位系统的成因、特性、理想内模求解等问题,并对其镇定、轨迹跟踪及路径跟踪等控制方法进行了分析比较.最后,讨论了非线性非最小相位系统研究领域中尚存在的问题,并对其未来发展方向进行了展望.关键词非最小相位,非线性控制,零动态,镇定,跟踪控制引用格式苏善伟,朱波,向锦武,林岩.非线性非最小相位系统的控制研究综述.自动化学报,2015,41(1):9−21DOI10.16383/j.aas.2015.c140322A Survey on the Control of Nonlinear Non-minimum Phase SystemsSU Shan-Wei1ZHU Bo2XIANG Jin-Wu3LIN Yan4Abstract Nonlinear non-minimum phase systems have unstable zero dynamics or internal dynamics,their non-minimum phase property restricts the direct application of many powerful nonlinear control techniques,such as backstepping, feedback linearization,and sliding mode control.So the control of non-minimum phase systems is more difficult than that of minimum phase systems,and is one of the challenging issues in the control theory and engineering applications.This research summarizes the existing results of nonlinear non-minimum phase systems,and focuses on the topics including the origin of non-minimum phase systems,their characteristics and the solution methods of ideal internal dynamics.The control methods of stabilization,trajectory tracking and path following are analyzed and compared as well.Finally,the problems to be solved and the research trends are prospected at the end of the paper.Key words Non-minimum phase,nonlinear control,zero dynamics,stabilization,tracking controlCitation Su Shan-Wei,Zhu Bo,Xiang Jin-Wu,Lin Yan.A survey on the control of nonlinear non-minimum phase systems.Acta Automatica Sinica,2015,41(1):9−21一可控非线性系统经输入–输出线性化处理后,所得系统动态一般包含两部分.一部分描述了输入–输出之间的动态关系,称为外部动态;另一部分不能由输入–输出关系观测到,称为内部动态,其稳定性决定了该非线性系统是否为非最小相位系统.线性系统作为非线性系统的特例,其内部动态收稿日期2014-05-07录用日期2014-09-19Manuscript received May7,2014;accepted September19,2014国家自然科学基金(61403013,61304016,61273141),中国博士后基金(2013M530509)资助Supported by National Natural Science Foundation of China (61403013,61304016,61273141)and China Postdoctoral Science Foundation(2013M530509)本文责任编委季海波Recommended by Associate Editor JI Hai-Bo1.北京航空航天大学无人机研究所北京1001912.电子科技大学航空航天学院成都6117313.北京航空航天大学航空科学与工程学院北京1001914.北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院北京1001911.Research Institute of Unmanned Aerial Vehicle,Beihang University,Beijing1001912.School of Aeronautics and As-tronautics,University of Electronic Science and Technology of China(UESTC),Chengdu6117313.School of Aeronautics Science and Engineering,Beihang University,Beijing1001914.School of Automation Science and Electrical Engineering, Beihang University,Beijing100191的稳定性仅取决于系统开环传递函数的零点位置.如果一线性系统具有位于s平面右半部分的零点,则其内部动态是不稳定的,这就意味着该线性系统是非最小相位的.然而,对非线性系统而言,传递函数的概念已不存在,自然也无法求解出其零点.由于非线性系统的内部动态通常是非线性、非自治的,且耦合着外部动态,这就很难直接判定内部动态的稳定性.因此判断非线性系统内部动态的稳定性需探索新的方法.解决该困难的途径之一就是对非线性系统定义所谓的零动态.文献[1]给出了系统零动态的定义:通过控制输入,使指定的系统输出恒为零,这时系统的内部动态称为零动态.利用零动态的概念来分析内部动态的稳定性是非线性系统控制中最常见的分析方法.根据文献[2]中的定义,非线性非最小相位系统是指具有不稳定零动态或内部动态的非线性系统.在工程应用中,非最小相位系统较常见,如柔性机器臂[3−4]、船舶[5−6]、飞机[7−9]、导弹[10]及高超声速飞行器[11−13]等.对飞行器而言,系统的非最小相位特性是由其动力学特性决定的.对于大多数飞行10自动化学报41卷器,航迹机动是基于飞行器姿态角的调整进行的.操纵面的偏转不仅会产生改变飞行器姿态的转动力矩,还会产生一个改变飞行器航迹的力,文献[14]称这个力为转动力矩的寄生力.对于常规起降飞行器,纵向俯仰力矩会产生一个附带力,使飞行器在爬升过程中瞬间“掉高”.而对垂直起降(Vertical take-offand landing,VTOL)飞行器,横侧向滚转力矩的产生会带来一个改变飞行器横侧向位移的力.正是这种力和力矩的耦合导致了飞行器的非最小相位特性.对于具有稳定零动态的非线性最小相位系统,设计控制器时只需考虑其外部动态即可,其内部动态的稳定性取决于受控外部动态的稳定性.许多非线性控制技术,如反推控制[15]、反馈线性化[16]、滑模控制[17]等,均在非线性最小相位系统中得到了广泛应用.然而对于具有不稳定零动态的非线性系统,非最小相位特性限制了这些技术的直接应用[18].在非最小相位系统中,所设计的控制器既要实现外部动态的渐近稳定,又需保证不稳定内部动态的收敛[19].此外,零动态不会因反馈而改变,故非最小相位系统的控制比最小相位系统要困难得多[20].事实上,关于非最小相位系统的研究始终是控制理论与工程应用中具有挑战性的问题之一.1非最小相位系统描述及特性分析1.1系统描述1.1.1内部动态考虑单输入单输出非线性系统˙x=f(x)+g(x)uy=h(x)(1)其中,状态x∈R n,控制输入u∈R1,输出y∈R1,f(x),g(x)与h(x)均为非线性平滑函数.为得到输出y与输入u之间的线性关系,对输出y进行r次求导后有y(r)=L rf h+(Lg L r−1fh)u(2)其中,L g L r−1fh=0,于是称系统具有相对阶r.对任意可控系统,为使输入u出现,最多可对输出y求导n次,即r≤n.如果定义伪控制v=L rf h+(Lg L r−1fh)u(3)可解出实际的控制输入u=1L g L r−1fh(v−L rfh)(4)将式(3)带入式(2),得到如下的线性关系y(r)=v(5)式(5)是r阶的,而系统(1)是n阶的.由此可看出,输入–输出线性化仅能解释一部分r阶系统,而其余n−r阶部分是不可观的.于是,不可观的这部分动态称为内部动态.对于系统(1)状态向量的r个元素,定义ξ=[ξ1,ξ2,···,ξr]T=y,˙y,···,y(r−1)T(6)选择系统状态向量中n−r个元素为η=[η1,η2,···,ηn−r]T(7)则把φ(x)=[ξ1,ξ2,···,ξr,η1,η2,···,ηn−r]T称为一个局部微分同胚[1].于是系统(1)可变成坐标(ξ,η)下的动态ξ(r)=a(ξ,η)+b(ξ,η)u(t)(8)η(n−r)=p(ξ,η)+q(ξ,η)u(t)(9)系统输出y=ξ1.把式(8)带入式(9),可得如下内部动态η(n−r)=p(ξ,η)+q(ξ,η)ξ(r)−a(ξ,η)b(ξ,η)(10)对上述非线性、非自治且耦合外部动态的内部动态,很难直接判断其稳定性.为解决这一难题,需引入零动态的概念.1.1.2零动态与非最小相位系统一个非线性系统的零动态是指当选择输入使输出恒为零时的内部动态,这也可视为内部动态的一种特殊情况.对具有内部动态(10)的非线性系统(1),其零动态为η(n−r)=p(00,η)−q(00,η)a(00,η)b(00,η)(11)从式(11)可看出,判定零动态的稳定性比判定内部动态的稳定性容易得多,因为零动态仅含内部动态.于是为了简化问题,通常研究零动态的稳定性来代替内部动态的稳定性.对于线性系统,零动态的稳定性意味着内部动态的全局稳定.但是,对于非线性系统,两者之间的关系没有这么明显,零动态的局部渐近稳定足以保证内部动态的局部渐近稳定.然而,与线性情况不同的是,非线性系统的内部动态没有全局稳定的结论,甚至大范围稳定性的结论也没有.也就是说,即使零动态是全局指数稳定的,也只能保证内部动态的局部稳定[1].下面对线性系统传递函数的零点与非线性系统的零动态进行比较.文献[1]已经证明如果一个线性系统的零点位于s平面的左半部分,则其内部动态1期苏善伟等:非线性非最小相位系统的控制研究综述11是稳定的.换句话说,线性系统内部动态的稳定性可由零点的位置很容易地判断出来.另外,反馈控制律仅能影响线性闭环系统的极点,而不能影响其零点.在一个非线性系统中,线性化零动态的特征根与系统Jacobi线性化的零点是一致的[21],同时非线性系统的零动态也是系统内部固有特征,与控制律的选择及期望轨迹无关[1].文献[22]所定义的线性非最小相位系统,是指在s平面右半部分具有开环零极点的控制系统.其实,从以上分析可知,只有开环零点才是引起系统非最小相位特性的关键.因此关于非最小相位系统的定义,更严格的描述应该为:一个线性系统如果具有s平面右半部分的零点,那么就说该线性系统是非最小相位的.如果该系统还具有s平面右半部分的极点,那么我们则称该线性系统为不稳定非最小相位系统[23].同理,如果一个非线性系统的零动态是不稳定的,那么就说该非线性系统是非最小相位的.1.2特性分析一般情况下,非最小相位系统对阶跃输入信号具有“负调”(Overshoot,或称为下冲)响应.这里“负调”意味着阶跃输入的暂态响应一开始朝阶跃输入的相反方向运动[24],然后才回到正确的方向.以飞机为例,其飞行高度与升降舵偏角之间的传递函数具有位于s右半平面的零点,从而导致飞机在从平飞转爬升过程中,存在“掉高”现象.所以,飞行员非常有必要了解飞机升降动态所具有的这一非最小相位特性[1],特别是在飞机低空飞行时,如果不熟悉这种特性将是非常危险的.为了更直观深入地认识这种负调现象,下面将借助线性系统的定理和例子对其进行说明.定理1[24].假设传递函数G(s)是稳定的,且G(0)=0.若G(s)有一正的实零点,则其阶跃响应具有负调现象.例1.考虑如下系统:G1(s)=(s−1)(s−2) (s+1)(s2+2s+2)G2(s)=2−ss2+2s+2因均有正的实零点,可知它们的阶跃响应y1(t)和y2(t)都将出现负调,如图1所示.因为˙y2(0+)= lim s→∞s2Y2(s)=−1<0,y2(t)一开始的方向就是错误的,故y2(t)的负调很容易看出.另一方面,因为˙y1(0+)=1>0,y1(t)的负调是在某个时刻之后才出现.从图1可以看出,阶跃响应的负调可分为两类:若系统阶跃响应在0时刻从与稳态方向相反的错误方向开始,则称为A型负调;若非A型负调,则称为B型负调.图1例1中系统G1(s)和G2(s)的阶跃响应Fig.1Step responses of G1(s)and G2(s)in Example1该例还验证了文献[25]提出的结论,即在线性非最小相位系统中,两个或更多的正的实零点的出现,除了会导致负调阶跃响应外,还会出现超调响应.对于A型下冲出现的条件,定理2根据系统特征给出了准确表述.定理2[24].假设G(s)是稳定的,且G(0)=0,则其阶跃响应有一A型负调,当且仅当G(s)有奇数个正的实零点.当一个线性非最小相位系统含有非实零点时,其阶跃响应并非一定具有负调特性.如下传递函数描述的非最小相位系统对阶跃信号的响应就是单调的,没有负调特性.G(s)=(s2−s+1)(s+1)(s+42)(s+60)2520(2s+1)6(12)对于非线性非最小相位系统,其阶跃响应一般具有负调特性,但因其种类繁多,无法用统一的定理来判定其负调响应的类型.文献[26]指出当非最小相位系统的负调响应过大时,会存在如下缺点:1)破坏系统的状态约束条件;2)系统鲁棒性能变差;3)误导系统管理员或操作人员认为控制系统存在故障,从而引入不必要的人工干预.最后,对非最小相位系统的物理特征可总结为:一般情况下,时域内初始阶段阶跃响应为负,系统响应比较缓慢,对系统稳定性、鲁棒性及动态品质有重要影响.在要求快速响应的系统中,应避免选择非最小相位系统.而对于本身就具有非最小相位特性的系统,应设计合适的控制律,来抑制其不稳定内部动态的发散,以满足控制要求.12自动化学报41卷2理想内模求解2.1不稳定内部动态的处理方法对于一类非线性系统[27],其内部动态可表述为˙η=Φ(η,e,y d)=Aηη+A e e+q(η,e,y d)(13)其中Aη=∂Φ(η,e,y d)∂ηη(00,0,0)A e=∂Φ(η,e,y d)∂e e(00,0,0)q(η,e,y d)=Φ(η,e,y d)−Aηη−A e e(14)这里,η表示内部动态,y d表示期望输出信号及其各阶导数,e表示输出跟踪误差及其各阶导数.当Aη为非Hurwitz矩阵时,内部动态η是不稳定的,对应的系统即为非最小相位系统,反之则为最小相位系统.在为非最小相位系统设计控制器时,首要任务就是抑制其不稳定内部动态的发散.目前对其处理方法有:忽略或弱化内部动态[7]、把内部动态镇定到零状态[27]以及使内部动态跟踪其理想内模[28−29].前两种方法仅适用于弱非最小相位系统或期望输出信号变化较慢的情况,而后一种方法适用于任何情况,如强非最小相位系统的跟踪控制或期望输出信号变化较快的情况等.这里需要解释两个概念: 1)强或弱非最小相位系统分别是指含有或不含指数不稳定零动态的非最小相位系统[30];2)理想内模(Ideal internal dynamics,IID)是指不稳定内部动态对应的、受期望输出信号驱动的有界值[28].利用理想内模可把输出跟踪问题转化为状态跟踪误差的镇定问题[18,28].目前,这种解决思路已经应用到VTOL飞行器的航迹跟踪问题中[31].对于飞行器而言,其理想内模实质上是指不稳定姿态方程的有界解,即有界的姿态角及其角速率.文献[29,32]通过VTOL飞行器数值仿真均已证明:若要实现非最小相位系统的完全跟踪控制,求解内部动态的理想内模是必不可少的.2.2理想内模的求解方法对于内部动态方程(13),在适当的假设条件下,可通过下面三种方法求得其理想内模.2.2.1非因果稳态逆为了求得不稳定内部动态的有界解,文献[33−35]提出了非因果稳态逆(Noncausal stable inver-sion,NSI)方法.对于内部动态方程(13),在理想情况下,状态X跟踪期望输出信号y d,当跟踪误差e=X−y d=0时,可得到理想内模方程˙ηd=Φ(ηd,y d)(15)根据非因果稳态逆方法,可把内模(15)重新写成下面的形式˙ηd=A(t)ηd+[ΦΦ(ηd,Y d)−A(t)ηd](16)或者一个等价的非线性积分方程ηd=∞−∞φ(t−τ)[ΦΦ(ηd,y d)−A(τ)ηd]dτ(17)其中,φ(t)是在(−∞,∞)上对于˙η=A(t)η的双线性有界状态变换矩阵,且A(t)=∂Φ∂ηη(00,y d).在式(17)满足一定的约束条件下通过皮卡迭代方法[36],可得到式(15)的有界解.需要说明的是,通过这种方法求解得到的理想内模是非因果的,因为为了找到一个有界逆动态,期望输出信号的未来信息(从当前时刻t c到结束时刻t s)需提前已知.为了降低对期望输出信号的时间要求,Zou和Devasia提出了基于精确预览的稳态逆方法[37],只要求一段时间内(从当前时刻t c到时刻t c+T p,其中T p表示时间窗口)期望输出信号的信息已知.即便如此,稳态逆方法从本质上来讲是一种非因果方法,且需要通过迭代算法求解理想内模信号,所以该方法计算量较大,且计算过程是反向离线进行的.因此,该方法在应用上具有较大的局限性. 2.2.2稳态系统中心为了克服非因果稳态逆方法的缺点,Shkol-nikov和Shtessel提出了一种稳态系统中心(Stable system center,SSC)方法[18,38].该方法的优点是:不需要复杂的迭代计算过程,同时获得的解是因果解(Causal solution,CS),这样就避免了非因果稳态逆方法所固有的不能在线计算的缺点,因而其应用更加广泛.利用该方法求解因果理想内模的步骤如下:考虑内模微分方程˙ηd=Φ(ηd,y d)=Aηηd+q(ηd,y d)(18)设y d由一已知的外部系统产生,即˙w=Sw w,y d=C w(19)其特征多项式为P(λ)=det(λI−S)=λk+p k−1λk−1+···+p1λ+p0(20)那么,理想内模信号可通过求解矩阵微分方程得到1期苏善伟等:非线性非最小相位系统的控制研究综述13η(k) d +c k−1η(k−1)d+···+c1˙ηd+c0ηd=−(P k−1θ(k−1)d+···+P1˙θd+P0θd)(21)其中,θd=q(ηd,y d),通过把极点配置到期望的位置上,可得到c k−1,···,c1,c0等参数.另外,矩阵P k−1,···,P1,P0等参数的求解方法可参考文献[18,38].文献[32]首次利用稳态系统中心方法求解出内部动态未受干扰时VTOL飞行器的理想内模,并得到良好的因果跟踪控制效果.当内部动态受到干扰时,文献[39]通过在状态观测器中构建一个辅助控制信号,来消除外部干扰与非匹配不确定性的影响,另外该信号还有助于求解受扰因果理想内模.近年来,稳态系统中心方法得到了进一步推广,可以应用到外部信号的部分特征未知的情况(即外部信号由一个特征多项式产生,其阶数已知,但系数由一未知的线性系统产生),详见文献[40−41].2.2.3输出调节上世纪90年代初,Isidori和Byrnes针对非线性系统的输出跟踪与干扰抑制问题,利用中心流形理论,提出了著名的输出调节(Output regulation, OR)理论[42].根据该理论,系统的期望输出信号由一外部系统产生,同式(19).对于具有线性内部动态的非最小相位系统,其理想内模方程为˙ηd=Φ(ηd,y d)=Aηηd+q(y d)(22)通过应用输出调节方法,设ηd=Πw,结合式(19),可得到ΠSw w=AηΠw+q(C w)(23)从上式可解出Π,进而得到理想内模ηd.需要指出的是,输出调节方法不适用于求解非线性内部动态的理想内模,因为其解法复杂,且不一定有解.2.2.4三种方法的比较针对以上三种求解理想内模的方法,得到以下比较结果:1)非因果稳态逆是一种迭代求解方法,仅能得到数值解;2)稳态系统中心方法需要求解矩阵微分方程,且期望输出信号需由一外部系统产生,可得到因果数值解;3)与上述两种方法不同的是,输出调节方法仅适用于求解线性内模方程,但可得到因果解析解.3国内外研究现状分析针对非线性非最小相位系统,目前的控制研究主要分为三大类:镇定控制(Stabilization control, SC)、轨迹跟踪(Trajectory tracking,TR)控制及路径跟踪(Path following,PF)控制.下面将对相关文献做出详细综述.3.1镇定控制在系统控制中,镇定是最基本的控制问题,是考虑其他控制目标,如渐近跟踪、干扰抑制等的前提.非最小相位系统的镇定控制问题,就是使系统外部动态与不稳定的内部动态同时收敛到零状态.文献[43]利用标准反推控制与小增益技术,实现了一类具有广义输出反馈形式的非线性非最小相位系统的镇定控制.针对一类具有非线性不确定性的非最小相位系统,文献[44]基于鲁棒观测器与标准反推方法设计了输出反馈控制器,实现了系统的全局镇定.文献[45]基于反推与逆设计方法,结合神经网络控制实现了一类非仿射型单输入单输出(Single-input single-output,SISO)非最小相位系统的状态反馈自适应镇定.然而,上述文献中所使用的反推控制方法,随着系统阶数的增加,会带来“微分爆炸”现象.针对一类积分链型非线性非最小相位系统,文献[46]基于神经网络实现了其输出反馈镇定,所设计的自适应控制器能消除参数不确定性的影响,控制效果优于传统的反推控制.文献[47]针对一类可观测、可镇定的非线性非最小相位系统,设计了一种基于神经网络的自适应输出反馈镇定控制方法.然而,它需要适当的假定条件,所研究的非线性系统可由一线性模型近似表示,因此这种方法具有一定的局限性.针对一类积分链型不确定非线性非最小相位系统,文献[48]基于输出反馈设计了高增益控制器,实现了系统闭环信号的半全局镇定.不过,高增益反馈在控制初始时刻容易引起“尖峰”现象.为了避免这一问题,文献[49]利用扩展的高增益观测器与滑模控制器实现了同类非最小相位系统的镇定控制,取得了比文献[48]更好的控制效果.文献[50]基于扩展的卡尔曼滤波器及高增益观测器,实现了一类内部动态与外部动态均为积分链型的非线性非最小相位系统的半全局输出反馈镇定.需要说明的是,以上文献所设计的镇定控制方案均是针对一般性单变量非线性非最小相位系统进行的.VTOL飞行器作为多输入多输出(Multiple-input multiple-output,MIMO)非线性非最小相位系统的典型代表[29],受到控制界的众多关注.文献[51]通过构建最优控制器实现了VTOL飞行器的鲁棒镇定控制.文献[52]基于解耦变换与二次坐标变换,把具有强输入耦合特性的VTOL飞行器模型分解成一个级联非线性子系统与一个具有指数稳定性的线性子系统,通过平滑静态状态反馈,实现了系统的全局配置镇定,同时也得到了可用于轨迹跟踪的平坦输出.但是文献[52]得到的解耦结构并不是唯一的.基于此,文献[53]通过使介于子系统之间耦合项(代表着系统摄动)的范数最小化,得出了一14自动化学报41卷种新的非线性镇定控制律,从而使控制效果更佳.文献[54]针对有界输入情况下的VTOL飞行器,利用线性饱和函数来限制控制输入达到饱和极限,以避免出现控制奇异问题,同时通过状态反馈实现了全局镇定控制,使系统状态收敛到零.文献[55−56]分别利用饱和控制、非线性预测控制等方法实现了VTOL飞行器的镇定控制,从而丰富了非最小相位系统的镇定控制理论成果.由于镇定控制是输出跟踪控制的基础,且输出跟踪又可转化为状态跟踪误差的镇定问题,故上述方法对非线性非最小相位系统的输出跟踪控制具有一定的借鉴意义.3.2轨迹跟踪控制在设计最小相位系统输出跟踪控制策略时,只需使系统输出跟踪期望轨迹信号即可,对稳定的内部动态(如果有)可置之不理,因其会随着外部动态的稳定而稳定.而对于非最小相位系统的输出跟踪问题,所设计的控制器需同时满足两个要求:1)保证输出跟踪误差收敛;2)保证闭环系统内部动态的稳定[19]:镇定到零[27]或保持有界[29].目前,关于非最小相位系统的轨迹跟踪控制方法大致分为如下几类.3.2.1近似线性化精确的输入–输出线性化方法不能直接处理非线性非最小相位系统,否则会导致不稳定的控制器[7].基于该原因,在上世纪90年代,有些研究人员利用近似线性化技术解决这类系统的输出跟踪问题[7,57],即通过寻找一个最小相位系统在一定程度上来逼近原始的非最小相位系统,然后在此基础上进行控制器设计.文献[7]通过忽略VTOL飞行器的控制力矩与推力之间的耦合,使用反馈线性化方法来解决输出跟踪问题.然而,正是这些耦合项导致了非最小相位现象的产生,因此这种方法只适用于耦合项很小并能被忽略的情况.文献[57]通过去除Jacobi线性化后原始系统的s右半平面零点,来局部重新定义一个新的输出,从而使新的系统是最小相位.文献[58]所研究的系统,受作动器动态的影响,表现出弱非最小相位特性.所设计的控制器由两部分组成:快速反馈控制器与慢速反馈控制器.快速反馈控制器用来镇定作动器的动态,而慢速反馈控制器用来处理非匹配不确定性,在适当的假设下,系统状态与跟踪误差可保持一致有界.文献[59]考虑了具有未知参数的非线性弱非最小相位系统.假设这些未知参数是线性存在的,通过反馈与坐标变换,把原来的系统转换成一个近似的输入–输出线性化系统.在此基础上所设计的自适应控制器取得了较好的跟踪性能,并且能够把跟踪误差限制在一个小的范围内.需要说明的是,近似线性化方法对于弱非最小相位系统可给出较好的结果,然而对于强非最小相位系统却是无能为力的.3.2.2等价输出方法把非最小相位输出跟踪问题转化为近似的最小相位输出跟踪问题是一种常见的解决思路.与上述近似线性化方法不同,等价输出方法通过构造与原非最小相位输出函数近似等价的新输出,来达到跟踪控制的目的.根据不同的需要,近似输出有两种不同的等价形式:1)频域特性近似相同[60−61],即让新定义的输出函数在感兴趣的频率范围内与原输出函数基本相同,通过精确控制近似输出来实现对原输出的控制.2)时域稳态值相同[62−63],这种方法是在原输出函数上叠加一函数项,该函数项在系统平衡点处取值为零,而且能够消掉原系统输出中的非最小相位零点.上述两种“等价输出函数”的构造基于系统在平衡点处的近似线性化模型和零点配置技术.因此,这种解决思路仅适用于定点跟踪问题,不适用于飞行器的航迹机动跟踪.这是因为对于航迹机动问题,尤其是大机动情况下,如机动盘旋时,近似线性化模型不能较好地刻画飞行器的动力学模型.3.2.3输出重定义输出重定义方法[1,28]是指通过选择一个新的输出在物理意义上来逼近原始输出,从而变换出一个新的最小相位系统模型.文献[64]基于该方法,实现了升压斩波型直流变换器的非最小相位负载电流跟踪控制.不过,需要指出的是,没有系统的方法可以找到这样的输出,因此该方法需要不断地进行尝试.文献[9]用到的平坦输出方法实际上也是一种输出重定义方法,通过选择输出,使相应的系统动态中不含有零动态或内部动态,这样的输出就称为平坦输出,即能够实现全状态反馈线性化的输出.对于存在平坦输出的非最小相位系统,其输出跟踪问题往往可通过坐标变换转换成其平坦输出的跟踪问题,这样就可回避内部动态不稳定的问题.该方法应用逆轨迹做为前馈,利用平坦输出建立一个状态跟踪器,使系统状态表示成平坦输出及它们导数的函数.同文献[7]中的近似线性化方法相比,平坦输出方法不仅适用于弱非最小相位系统,也能适用于强非最小相位系统.对于一部分非线性系统,这种平坦输出被证明是存在的,如VTOL飞行器,其平坦输出是Huygens振动中心的位置[9].然而,对于大部分非线性系统,如传统起降飞行器,因为其空气动力学特性比较复杂,寻找平坦输出并不是一件容易的事情,这主要是因为目前还未出现有效与成熟的方法来检查系统的某个输出是否平坦.。
4第四节最小相位系统与非最小相位系统
Wednesday, April 01, 2015
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0 0
最小相位系统和非最小相位系统
例：已知最小相位系统的渐近幅频特 60 性如图所示，试确定系统的传递函数，50 40 并写出系统的相频特性表达式。 解：⒈由于低频段斜率为-20dB/dec所 以有一个积分环节； ⒉在w=1处，L(w)=15dB，可得 20lgK=15，K=5.6 ⒊在w=2处，斜率由-20dB/dec变为 -40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1) ⒋在w=7处，斜率由-40dB/dec变为 -20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1) 1 5.6( s 1) 7 G( s) = 1 s( s 1) 2
这种特征的系统称为最小相位系统。在最小相位系统中，具有 相同幅频特性的系统（或环节）其相角（位）的变化范围最小， 。相角变化大于最小值的系统称为非最小 如上表示的
( n - m)
2
相位系统。
2
[结论]：在s右半平面上没有零、极点的系统为最小相位系统，
相应的传递函数为最小相位传递函数；反之为非最小相位系统。
Wednesday, April 01, 2015
2
最小相位系统和非最小相位系统
例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。
T2 s 1 G1 ( s) = T1s 1 1 - T2 s G2 ( s) = T1s 1 T2 s 1 G3 ( s) = 1 - T1s G4 ( s) = 1 - T2 s 1 - T1s
与 的几何中点。
1 T2
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1/10T1 1/T1
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非最小相位系统自适应模型逆技术研究
第３６卷第４期２０１９年４月机㊀㊀电㊀㊀工㊀㊀程ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌ＆ＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＶｏｌ.３６Ｎｏ.４Ａｐｒ.２０１９收稿日期:２０１８－０９－１０基金项目:国家重点研发计划资助项目(２０１７ＹＦＢ１３０４０００)ꎻ浙江省自然科学基金资助项目(ＬＹ１８Ｅ０５００１６)作者简介:杨亮亮(１９７８－)ꎬ男ꎬ湖北荆门人ꎬ副教授ꎬ硕士生导师ꎬ主要从事高速高精运动控制方面的研究ꎮＥ￣ｍａｉｌ:ｙａｎｇｌｉａｎｇｌｉａｎｇ＠ｚｓｔｕ.ｅｄｕ.ｃｎＤＯＩ:１０.３９６９/ｊ.ｉｓｓｎ.１００１－４５５１.２０１９.０４.０１７非最小相位系统自适应模型逆技术研究∗杨亮亮ꎬ王㊀飞ꎬ史伟民(浙江理工大学机械与自动控制学院ꎬ浙江杭州３１００１８)摘要:针对非最小相位系统中的轨迹跟踪控制问题ꎬ基于非最小相位系统的闭环注入体系结构ꎬ对非最小相位系统的前馈控制器设计方法㊁模型逆技术以及自适应控制进行了研究ꎮ首先ꎬ采用非最小相位零点忽略技术㊁零相位误差跟踪控制技术和零幅度误差跟踪控制技术设计了系统的前馈控制器ꎬ并对３种模型逆技术进行了分析ꎻ在此基础上针对系统中非最小相位零点的偏移问题ꎬ采用遗忘因子最小二乘法实现了前馈控制器的自适应ꎻ最后进行了仿真和试验ꎮ研究结果表明:相对于使用零相位误差跟踪控制技术和非最小相位零点忽略技术ꎬ采用零幅度误差跟踪控制技术设计的前馈控制器能够更有效地提高非最小相位系统的跟踪精度ꎬ系统的轨迹跟踪误差分别减少了６１.４５％和５６.２７％ꎻ使用自适应算法能够实现对系统参数变化的自适应控制ꎬ提高了系统的抗干扰性能ꎮ关键词:非最小相位系统ꎻ前馈控制ꎻ模型逆技术ꎻ自适应ꎻ最小二乘法ꎻ轨迹动态跟踪中图分类号:ＴＰ１３ꎻＴＰ３９１㊀㊀㊀㊀文献标志码:Ａ文章编号:１００１－４５５１(２０１９)０４－０４２８－０６Ａｄａｐｔｉｖｅｍｏｄｅｌ￣ｉｎｖｅｒｓｅｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｆｏｒｎｏｎ￣ｍｉｎｉｍｕｍｐｈａｓｅｓｙｓｔｅｍＹＡＮＧＬｉａｎｇ￣ｌｉａｎｇꎬＷＡＮＧＦｅｉꎬＳＨＩＷｅｉ￣ｍｉｎ(ＦａｃｕｌｔｙｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｕｔｏｍａｔｉｏｎꎬＺｈｅｊｉａｎｇＳｃｉ￣ＴｅｃｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＨａｎｇｚｈｏｕ３１００１８ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ａｉｍｉｎｇａｔｔｈｅｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｔｒａｃｋｉｎｇｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍｉｎｎｏｎ￣ｍｉｎｉｍｕｍｐｈａｓｅｓｙｓｔｅｍꎬｔｈｅｆｅｅｄｆｏｒｗａｒｄｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｄｅｓｉｇｎｍｅｔｈｏｄꎬｍｏｄｅｌ￣ｉｎｖｅｒｓｅｔｅｃｈｎｉｑｕｅａｎｄａｄａｐｔｉｖｅｃｏｎｔｒｏｌｏｆｎｏｎ￣ｍｉｎｉｍｕｍｐｈａｓｅｓｙｓｔｅｍｗｅｒｅｓｔｕｄｉｅｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｌｏｓｅｄ￣ｌｏｏｐｉｎｊｅｃｔｉｏｎａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅｏｆｉｔ.Ｔｈｅｎｏｎ￣ｍｉｎｉｍｕｍｐｈａｓｅｉｇｎｏｒｅ(ＮＰＺ￣Ｉｇｎｏｒｅ)ꎬｚｅｒｏ￣ｐｈａｓｅ￣ｅｒｒｏｒｔｒａｃｋｉｎｇｃｏｎｔｒｏｌ(ＺＰＥＴＣ)ａｎｄｚｅｒｏ￣ａｍｐｌｉｔｕｄｅ￣ｅｒｒｏｒｔｒａｃｋｉｎｇｃｏｎｔｒｏｌ(ＺＭＥＴＣ)ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｗｅｒｅｕｓｅｄｔｏｄｅｓｉｇｎｔｈｅｓｙｓｔｅｍｆｅｅｄｆｏｒｗａｒｄｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒꎬａｎｄｔｈｅｅｆｆｅｃｔｗａｓａｎａｌｙｚｅｄ.Ｂａｓｅｄｏｎｉｔꎬａｉｍｉｎｇａｔｔｈｅｎｏｎ￣ｍｉｎｉｍｕｍｐｈａｓｅｚｅｒｏｏｆｆｓｅｔｉｎｔｈｅｓｙｓｔｅｍꎬｔｈｅｆｏｒｇｅｔｔｉｎｇｆａｃｔｏｒｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄｗａｓｕｓｅｄｔｏｒｅａｌｉｚｅｔｈｅｆｅｅｄｆｏｒｗａｒｄｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｓｓｅｌｆ￣ａｄａｐｔａｔｉｏｎꎬａｎｄｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎａｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｗｅｒｅｃａｒｒｉｅｄｏｕｔ.ＴｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｎｄｉｃａｔｅｔｈａｔｔｈｅｆｅｅｄｆｏｒｗａｒｄｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｄｅｓｉｇｎｅｄｗｉｔｈＺＭＥＴＣｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｃａｎｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｔｒａｃｋｉｎｇａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅｎｏｎ￣ｍｉｎｉｍｕｍｐｈａｓｅｓｙｓｔｅｍｍｏｒｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｔｈａｎｔｈｅＺＰＥＴＣｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄｔｈｅＮＰＺ￣Ｉｇｎｏｒｅｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ.Ｔｈｅｔｒａｃｋｉｎｇｅｒｒｏｒｉｓｒｅｄｕｃｅｄｂｙ６１.４５％ａｎｄ５６.２７％ꎬｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ.Ｔｈｅａｄａｐｔｉｖｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎｒｅａｌｉｚｅａｄａｐｔｉｖｅｃｏｎｔｒｏｌｏｆｓｙｓｔｅｍｐａｒａｍｅｔｅｒｃｈａｎｇｅｓａｎｄｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅａｎｔｉ￣ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｎｏｎ￣ｍｉｎｉｍｕｍｐｈａｓｅｓｙｓｔｅｍ(ＮＭＰＳ)ꎻｆｅｅｄｆｏｒｗａｒｄｃｏｎｔｒｏｌꎻｍｏｄｅｌ￣ｉｎｖｅｒｓｅｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙꎻａｄａｐｔｉｖｅꎻｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄꎻｔｒａｊｅｃｔｏ￣ｒｙｄｙｎａｍｉｃｔｒａｃｋｉｎｇ０㊀引㊀言非最小相位系统(ＮＭＰＳ)是指具有不稳定非最小相位零点的线性系统ꎮ对于连续系统ꎬ当系统相对阶次大于２时ꎬ随着采样频率的提高ꎬ必定会产生非最小相位零点[１]ꎮ系统的动态轨迹跟踪控制要求系统的输出精确跟随给定的参考轨迹[２]ꎮ对非最小相位系统而言ꎬ要实现非最小相位系统轨迹的精确跟踪控制ꎬ常常使用反馈加前馈的二自由度控制策略ꎮ同时ꎬ由于非最小相位系统中存在非最小相位零点ꎬ使用经典的模型逆技术设计的前馈控制器可能导致系统的动态轨迹跟踪性能差ꎬ难以满足系统高精度㊁高响应的控制要求ꎬ通常强制使用一个稳定的近似模型逆来代替模型的精确逆ꎮ模型逆技术通常被用来设计前馈控制器ꎬ其在提高系统跟踪性能㊁稳定时间和其他性能指标方面具有显著优势[３]ꎮ在研究非最小相位系统的轨迹跟踪控制问题时ꎬ已经有很多前馈技术用来最小化非最小相位零点对跟踪性能的影响ꎮＴＯＭＩＺＵＫＡ等人[４]提出了零相位误差跟踪控制技术ꎻＢＵＴＴＥＲＷＯＲＴＨ等人[５]提出了零幅度误差跟踪控制技术ꎮ他们将得到的前馈控制器加入到闭环系统中ꎬ达到了系统输入到输出的单位传递ꎬ使系统输出实现了对输入的完全跟踪ꎮ上述几种技术都是基于系统的精确模型ꎬ且未考虑到系统受到的外界干扰对系统非最小相位零点的影响ꎮ在非最小相位系统的跟踪控制过程中ꎬ同时存在的建模误差和外界干扰等不可控因素会导致由对象和反馈控制器组成的闭环系统参数发生缓慢变化ꎬ在系统存在干扰的情况下建立的模型很难达到系统所要求的模型精度及稳定性要求ꎮ张黎等[６]提出了一种新的基函数型自适应迭代学习控制算法ꎬ采用自适应迭代学习辨识算法估计基函数模型ꎬ采用伪逆型学习律逼近系统的稳定逆ꎬ保证了迭代学习控制的收敛性和鲁棒性ꎻＲＩＧＮＥＹ等人[７]采用泰勒级数逼近的模型逆技术对前馈控制器参数进行了更新ꎬ实现了对单轨硬盘驱动器的自适应控制ꎬ但文中所提出的结构在辨识过程中使用滤波器对数据进行滤波ꎬ设计人员需要对滤波器进行设计ꎬ使算法变得更为复杂ꎮ因此ꎬ针对非最小相位系统的轨迹动态跟踪控制问题ꎬ本文采用三种模型逆技术来设计系统的前馈控制器ꎮ１㊀非最小相位系统非最小相位系统的反馈加前馈的二自由度控制策略一般采用被控对象注入体系结构(ＦＦＰＩ)和闭环注入体系结构(ＦＦＣＬＩ)ꎮ本文将研究重点放在闭环注入体系结构上ꎬ非最小相位系统闭环注入体系结构的控制框图如图１所示ꎮ图１㊀非最小相位系统的闭环注入体系结构Ｇ(ｚ)－被控对象传递函数ꎻＫｆｂ(ｚ)－反馈控制器ꎻＦＣＬ(ｚ)－前馈控制器ꎻＨＣＬ(ｚ)－闭环系统传递函数ꎻｒｓｅｔ－给定输入信号ꎻｙ－系统输出信号ꎻｅ－系统的轨迹跟踪误差ꎻｕ－被控对象的信号输入ꎻｗ－外界扰动信号当使用闭环注入体系结构时ꎬ本研究首先设计反馈控制器Ｋｆｂ(ｚ)ꎬ使闭环系统ＨＣＬ(ｚ)的性能最大化ꎬ这里的反馈控制器采用常见的ＰＩＤ控制器ꎮ其次ꎬ需要设计前馈控制器ＦＣＬ(ｚ)ꎮ理想情况下ꎬ设计的ＦＣＬ(ｚ)将产生一个完全等于ＨＣＬ(ｚ)逆的滤波器ꎬ这将使ｒｓｅｔ到ｙ为单位传递函数ꎬ实现系统输出ｙ对系统输入ｒｓｅｔ的完全跟踪ꎮ由于非最小相位系统中存在非最小相位零点ꎬ通常强制使用一个稳定的近似模型逆来代替精确的逆ꎮ２㊀稳定的近似模型逆技术忽略外界扰动ｗꎬ图１中的闭环系统传递函数为ＨＣＬ(ｚ)＝Ｋｆｂ(ｚ)Ｇ(ｚ)/(１＋Ｋｆｂ(ｚ)Ｇ(ｚ))ꎬ则从ｒｓｅｔ到ｙ的传递函数为:Ｙ(ｚ)Ｒｓｅｔ(ｚ)＝ＨＣＬ(ｚ)ＦＣＬ(ｚ)(１)假设ＨＣＬ(ｚ)的所有零点都是最小相位ꎬ可以定义为ＦＣＬ(ｚ)＝Ｈ－１ＣＬ(ｚ)ꎬ这时系统可以实现对输入信号ｒｓｅｔ的完全跟踪ꎮ然而ꎬ许多系统中含有非最小相位零点ꎬ这就需要一个稳定的近似模型逆技术来设计前馈控制器ＦＣＬ(ｚ)ꎮ首先ꎬ将Ｂ(ｚ)划分为包含稳定零点(可逆)的多项式Ｂｓ(ｚ)和包含不稳定零点(不可逆)的多项式Ｂｕ(ｚ)ꎬ则闭环系统传递函数ＨＣＬ(ｚ)为:ＨＣＬ(ｚ)＝Ｂ(ｚ)Ａ(ｚ)＝Ｂｓ(ｚ)Ｂｕ(ｚ)Ａ(ｚ)(２)式中:Ａ(ｚ) 包含闭环系统模型的所有极点ꎮ则Ｂｕ(ｚ)可以写成ｎ阶多项式的形式:Ｂｕ(ｚ)＝ｂｕｎｚｎ＋ｂｕ(ｎ－１)ｚｎ－１＋ ＋ｂｕ０ｚ０(３)式中:ｎ 系统非最小相位零点的数量ꎮ则闭环系统的基本模型逆结构为:Ｈ－１ＣＬ＝Ａ(ｚ)Ｂｓ(ｚ)Ｂ∗ｕ(ｚ)(４)式中:~ 系统的近似ꎻＢ∗ｕ(ｚ) 用稳定的近似模型逆技术来定义的ꎮ由于多项式Ａ(ｚ)的阶数并不总是等于多项式Ｂｓ(ｚ)Ｂ∗ｕ(ｚ)的阶数ꎬ导致式(４)可能不是因果关系ꎮ因此ꎬ需要下式中的ｑ个单位延迟来确保前馈控制器ＦＣＬ(ｚ)的因果关系ꎬ即:ＦＣＬ(ｚ)＝ｚ－ｑＨ－１ＣＬ＝ｚ－ｑＡ(ｚ)Ｂｓ(ｚ)Ｂ∗ｕ(ｚ)(５)２.１㊀非最小相位零点忽略技术使用非最小相位零点忽略技术进行模型逆设计时ꎬ即忽略系统模型中的任何非最小相位零点ꎬ式(４)９２４ 第４期杨亮亮ꎬ等:非最小相位系统自适应模型逆技术研究中的Ｂ∗ｕ(ｚ)被省略成如下式所示:Ｂ∗ｕ:Ｉｇｎ＝Ｂｕ(ｚ)ｚ＝１＝Ｂｕ(１)(６)这里忽略系统中存在的非最小相位零点ꎬ式(４)中的Ｂ∗ｕ(ｚ)就成为一个标量ꎮ要保持ＦＣＬ(ｚ)的因果关系ꎬ延迟参数ｑ的最小值必须等于Ａ(ｚ)的阶数减去Ｂｓ(ｚ)的阶数ꎬ即ｑȡＯ(Ａ(ｚ))－Ｏ(Ｂｓ(ｚ))ꎮ采用非最小相位零点忽略技术设计的前馈控制器ＦＣＬ:Ｉｇｎ如表１所示ꎮ表１㊀３种稳定近似模型逆技术设计的前馈控制器和系统整体传递函数方法ＦＣＬ(ｚ)Ｙ(ｚ)Ｒｓｅｔ(ｚ)非最小相位零点忽略技术ｚ－ｑＡ(ｚ)Ｂｓ(ｚ)Ｂｕ(１)ｚ－ｑＢｕ(ｚ)Ｂｕ(１)零相位误差跟踪控制技术ｚ－(ｑ＋ｎ)Ａ(ｚ)Ｂｆｕ(ｚ)Ｂｓ(ｚ)(Ｂｕ(１))２ｚ－(ｑ＋ｎ)Ｂｕ(ｚ)Ｂｆｕ(ｚ)(Ｂｕ(１))２零幅度误差跟踪控制技术ｚ－ｑＡ(ｚ)Ｂｓ(ｚ)Ｂｆｕ(ｚ)ｚ－ｑＢｕ(ｚ)Ｂｆｕ(ｚ)２.２㊀零相位误差跟踪控制技术零相位误差跟踪控制技术相对于非最小相位零点忽略技术更先进ꎬ因此ꎬ当使用零相位误差跟踪控制技术进行模型逆设计时ꎬ式(４)中的Ｂ∗ｕ(ｚ)变成:Ｂ∗ｕ:ＺＰ(ｚ)＝(Ｂｕ(ｚ)ｚ＝１)２ｚｎＢｆｕ(ｚ)＝(Ｂｕ(１))２ｚｎＢｆｕ(ｚ)(７)其中:Ｂｆｕ(ｚ)＝ｂｕ０ｚｎ＋ｂｕ１ｚｎ－１＋ ＋ｂｕｎｚ０(８)从式(３)到式(８)的变化为:Ｂｆｕ(ｚ)＝ｚ－ｎＢｕ(ｚ)ꎬ所以式(８)中的Ｂｆｕ(ｚ)仍为含ｚ的多项式ꎮ要保持前馈控制器ＦＣＬ(ｚ)的因果关系ꎬ延迟参数ｑȡＯ(Ａ(ｚ)Ｂｆｕ(ｚ))－Ｏ(ｚｎＢｓ(ｚ))ꎮ２.３㊀零幅度误差跟踪控制技术当使用零幅度误差跟踪控制技术进行模型逆设计时ꎬ即将模型的非最小相位零点转换为模型近似逆的稳定极点ꎬ式(４)中的Ｂ∗ｕ(ｚ)变成:Ｂ∗ｕ:ＺＭ(ｚ)＝Ｂｆｕ(ｚ)(９)其中ꎬＢｆｕ(ｚ)在式(８)中已经定义了ꎮ此时ꎬ要保持ＦＣＬ(ｚ)的因果关系ꎬ延迟参数ｑ的最小值必须等于Ａ(ｚ)的阶数减去Ｂｓ(ｚ)Ｂｆｕ(ｚ)的阶数ꎬ即ｑȡＯ(Ａ(ｚ))－Ｏ(Ｂｓ(ｚ)Ｂｆｕ(ｚ))ꎮ采用零幅度误差跟踪控制技术设计的前馈控制器ＦＣＬ:ＺＭ如表１所示ꎮ３㊀自适应算法自适应控制方法通常分为直接自适应控制和间接自适应控制ꎮ文献[８]中使用的间接自我调节器就是一个非常典型的间接自适应控制ꎻ文献[９]中采用基于ＭＩＴ规则的模型ꎬ参考自适应控制和二自由度框架中的状态反馈控制方法相结合ꎬ可以跟踪具有小稳态误差的参考轨迹ꎮ对于非最小相位系统来说ꎬ系统中存在的非最小相位零点具有很大的不确定性ꎬ采用直接自适应控制方法很不稳定ꎮ文献[１０]提出了一种直接自适应前馈技术ꎬ使用ＦＩＲ滤波器近似闭环系统的动态逆ꎻ文献[７]使用了类似的算法ꎬ但在求模型逆时ꎬ其中只提到了使用泰勒级数逼近模型逆的方法ꎻ文献[４]针对非最小相位系统ꎬ通过类似算法在线动态调谐零相位误差跟踪控制器的参数ꎬ但文中只提到了零相位误差跟踪控制技术ꎮ考虑到直线电机伺服驱动系统中有限的计算资源ꎬ高阶的滤波器需要更多的计算周期ꎬ会使系统的计算更加复杂ꎮ本文选择间接控制方法来调谐前馈控制器ＦＣＬ(ｚ)ꎮ间接自适应系统控制框图如图２所示ꎮ图２㊀间接自适应系统控制框图首先本研究使用最小二乘参数估计算法来动态估计闭环系统的动力学参数ꎬ然后使用三种模型逆技术得到闭环系统的模型逆ꎬ就可以得到系统的前馈控制器ＦＣＬ(ｚ)ꎮ在图２中ꎬ将系统的输出信号ｙ的估计值表示为:＾ｙ(ｋ)＝φＴ(ｋ)＾θ(ｋ)(１０)式中:φ(ｋ) 数据向量ꎻ＾θ(ｋ) 待估计闭环系统参数向量ꎮ具体可以表述为:φ(ｋ)＝[ｙ(ｋ)ꎬ ꎬｙ(ｋ－ｎ)ꎬｒ(ｋ＋ｍ－ｎ)ꎬ ꎬｒ(ｋ－ｎ)]Ｔ(１１)＾θ(ｋ)＝[＾ａ１ꎬ＾ａ２ꎬ ＾ａｎꎬ＾ｂ０ꎬ＾ｂ１ꎬ＾ｂ２ꎬ ＾ｂｍ]Ｔ(１２)式中:＾ａ１ꎬ＾ａ２ꎬ ＾ａｎꎬ＾ｂ０ꎬ＾ｂ１ꎬ＾ｂ２ꎬ ＾ｂｍ 闭环系统动态参数的近似值ꎮ采用遗忘因子最小二乘算法来更新参数＾θ(ｋ)ꎬ则有:＾θ(ｋ)＝＾θ(ｋ－１)＋Ｌ(ｋ)[ｙ(ｋ)－φＴ(ｋ)＾θ(ｋ－１)](１３)其中:０３４ 机㊀㊀电㊀㊀工㊀㊀程第３６卷Ｌ(ｋ)＝Ｐ(ｋ－１)φ(ｋ)λ＋φＴ(ｋ)Ｐ(ｋ－１)φ(ｋ)(１４)Ｐ(ｋ)＝１λ[Ｐ(ｋ－１)－Ｐ(ｋ－１)φ(ｋ)λ＋φＴ(ｋ)Ｐ(ｋ－１)φ(ｋ)φＴ(ｋ)Ｐ(ｋ－１)](１５)式中:λ 遗忘因子ꎬ必须满足０<λɤ１ꎮ当λ＝１时ꎬ遗忘因子最小二乘法将退化为普通的最小二乘法ꎮ使用上述遗忘因子最小二乘法计算出＾θ后ꎬ使用三种模型逆技术来确定参数＾θｉｎｖꎬ从而可以得到系统的前馈控制器ＦＣＬ(ｚ)ꎮ４㊀仿真与试验４.１㊀仿真分析本研究采用Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋ对前述模型逆技术和自适应算法进行仿真ꎮ仿真时ꎬ给定输入信号ꎬ即理想轨迹输入采用三阶Ｓ型点到点轨迹规划曲线ꎬ轨迹规划参数为ｓ＝０.０５ｍꎬｖｍａｘ＝０.２ｍ/ｓꎬａｍａｘ＝１０ｍ/ｓ２ꎬｊｍａｘ＝３０００ｍ/ｓ３ꎮ轨迹规划曲线如图３所示(轨迹为３次往返运动ꎬ即０~１ｓ为一次往返运动)ꎮ图３㊀仿真所用的三阶轨迹规划曲线本文采用直线电机伺服驱动系统模型研究３种模型逆技术的优劣ꎬ并验证本文提到的自适应算法ꎮ完整的直线电机伺服驱动系统的闭环传递函数为:Ｈ＾ＣＬ(ｚ)＝２.３５６１ˑ１０－９ˑ(ｚ２－１.９９１ｚ＋０.９９３)(ｚ－１)(ｚ－０.８１１３)ˑ(ｚ＋１)２(ｚ２＋２.３８９ｚ＋１.５７４)(ｚ２－１.９８８ｚ＋０.９９１２)(ｚ２＋１.２３３ｚ＋０.８７８)(１６)其中ꎬ反馈控制器采用ＰＩＤ控制器ꎬ其参数分别为:ＫＰ＝５９４３１９ꎬＫＩ＝２１２５８２ꎬＫＤ＝－９３２４ꎮ直线电机伺服驱动系统闭环传递函数以及３种模型逆技术所设计的前馈控制器的零极点图如图４所示(采样时间Ｔｓ＝０.０００５ｓ)ꎮ图４㊀直线电机伺服驱动系统闭环传递函数以及３种模型逆技术所设计的前馈控制器ＦＣＬ(ｚ)零极点图在图４中ꎬ闭环系统在ｚ＝－１.１９４５＋ｊ０.３８３６处的单位圆外有两个非最小相位零点ꎮ本研究使用前述３种模型逆技术设计前馈控制器时ꎬ分别对闭环系统的非最小相位零点做了一定的改变ꎬ闭环系统的非最小相位零点被忽略ꎻ闭环系统的非最小相位零点被转换为模型近似逆的稳定零点ꎻ闭环系统的非最小相位零点被转换为模型近似逆的稳定极点ꎮ在实际使用中ꎬ非最小相位系统受到外界干扰致使非最小相位零点位置发生偏移ꎬ导致采用前述３种模型逆技术设计的前馈控制器和闭环系统传递函数不能完全匹配ꎬ此时ꎬ由前馈加反馈组成的二自由度系统可能会产生不可预测的结果ꎮ采用前馈加反馈的二自由度控制策略的直线伺服驱动系统仿真结果如图５所示ꎮ图５㊀采用前馈＋反馈的直线电机伺服驱动系统仿真结果１３４ 第４期杨亮亮ꎬ等:非最小相位系统自适应模型逆技术研究在图５中ꎬ系统提供了仅使用反馈和使用反馈加前述３种模型逆技术设计的前馈控制器的仿真结果ꎬ系统输入为图３中给出的３阶Ｓ型点到点轨迹规划曲线ꎮ由图５可知:仅使用简单的反馈控制器(此时系统的前馈控制器ＦＣＬ为单位传递函数ꎬ即ＦＣＬ＝１)并不能够实现对系统输入的精确跟踪ꎬ尤其是在系统的调整期间(即系统的轨迹达到０.０５ｍ时)ꎮ当使用３种模型逆技术设计前馈控制器时ꎬ可以明显看出系统能够实现对输入的精确跟踪(尤其是在系统的轨迹达到０.０５ｍ时)ꎻ但在加减速以及匀速阶段ꎬ系统输出较系统的输入仍有一定的延迟ꎮ仅使用反馈和使用前馈(采用前述３种模型逆技术设计)加反馈的二自由度控制策略的误差曲线图如图６所示ꎮ图６㊀系统的输入与输出信号的误差曲线图由图６可以看出:使用前馈控制器时系统的误差远远小于仅使用反馈控制器时系统的误差ꎻ并且ꎬ使用零幅度误差跟踪控制技术(ＺＭＥＴＣ)设计的前馈控制器时系统的误差最小ꎮ系统采用自适应算法和未采用自适应算法的仿真对比图如图７所示ꎮ从图７可以看到:(１)在ｔ＝１.５ｓ零点发生变化后ꎬ系统参数发生变化ꎬ在使用前述自适应算法辨识出新的系统参数后ꎬ采用零幅度误差跟踪控制技术(ＺＭＥＴＣ)得到最新的前馈控制器ꎬ在辨识这段时间中系统轨迹出现了振荡ꎬ由局部放大图也可以看出ꎬ在下一次的往返过程中ꎬ未采用自适应算法的系统跟踪曲线偏离系统输入ｒｓｅｔꎻ(２)未采用自适应算法的误差曲线(黑色虚线)也说明了其误差大于采用自适应算法所得到的系统误差ꎮ图７㊀采用自适应算法前后轨迹跟踪㊁误差曲线仿真对比图㊀㊀由此可见:采用ＺＭＥＴＣ设计的前馈控制器使用自适应算法ꎬ可以有效地辨识出系统零点发生偏移后的系统参数ꎬ采用ＺＭＥＴＣ技术更新前馈控制器参数ꎬ可实现对系统前馈控制器的自适应控制ꎮ４.２㊀试验验证试验平台为两个直线电动机构成的Ｘ￣Ｙ运动平台ꎮ直线电动机采用Ｂａｄｏｒ公司的ＬＭＣＦ０２Ｃ￣ＨＣＯꎬ电动机的连续推力为５８Ｎꎬ峰值推力为１７３Ｎꎻ直线电动机的运动位置由ＧＳＩ公司分辨率为０.５μｍ的光栅尺测量ꎬ读数头型号为ＭＩＩ１６００￣４０ꎻ伺服驱动器为Ｂａｄｏｒ公司的ＦＭＨ２Ａ０３ＴＲ￣ＥＮ２３ꎬ采用直流控制方式ꎮ为了验证系统的非最小相位特性ꎬ实际试验时采用下层直线电动机锁死ꎬ只对上层直线电动机进行试验ꎮ本文在直线电机伺服驱动系统上对３种模型逆技术设计的前馈控制器进行了试验ꎮ首先通过频率响应的方法ꎬ获得的直线电机伺服驱动系统的闭环传递函数和仿真试验结构相同ꎮ在验证模型逆技术时ꎬ采用的输入信号和仿真所采用的三阶Ｓ型点到点轨迹相同ꎮ系统的输入和输出信号的误差曲线图如图８所示ꎮ从图８可以看出:采用反馈加ＺＭＥＴＣ技术设计的前馈控制器的二自由度控制策略得到的系统误差最小ꎬ为２３４ 机㊀㊀电㊀㊀工㊀㊀程第３６卷图８㊀系统的输入与输出信号的误差曲线图１.８５０５ˑ１０－４ｍꎮ相比于使用ＺＰＥＴＣ㊁ＮＰＺ￣Ｉｇｎｏｒｅ技术设计的前馈控制器ꎬ系统误差分别减少了６１.４５％和５６.２７％ꎮ针对采用了反馈加ＺＭＥＴＣ技术设计的前馈控制器的二自由度控制策略控制的系统ꎬ使用自适应算法和未使用自适应算法的误差曲线对比图ꎬ如图９所示ꎮ图９㊀系统采用自适应算法前后的误差曲线对比图实线 采用自适应算法零点偏移后系统的输出跟踪曲线ꎻ虚线 未采用自适应算法零点偏移后系统的输出跟踪曲线从图９可以看出:使用了自适应算法的系统误差更小ꎬ而未使用自适应算法的系统不能够实现对系统的轨迹动态跟踪控制ꎮ５㊀结束语针对非最小相位系统的轨迹跟踪控制问题ꎬ本文采用３种稳定的近似模型逆技术设计了前馈控制器ꎻ使用前馈加反馈的二自由度控制策略ꎬ引入了基于最小二乘的自适应算法ꎬ提高了系统的轨迹跟踪性能和自适应能力ꎬ并通过仿真和实际电动机平台进行了试验ꎬ仿真和试验验证了本文算法的正确性ꎮ研究结果表明:(１)相对于使用ＮＰＺ￣Ｉｇｎｏｒｅ技术和ＺＰＥＴＣ技术ꎬ使用ＺＭＥＴＣ技术设计的前馈控制器可以有效减小系统的动态轨迹跟踪误差ꎻ(２)在非最小相位系统中采用ＺＭＥＴＣ技术设计前馈控制器ꎬ同时采用自适应控制技术ꎬ可以有效提高非最小相位系统前馈控制器的自适应能力ꎬ提升系统的抗干扰性能ꎮ参考文献(Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ):[１]㊀ＡＳＴＲＯＭＫＪꎬＨＡＧＡＮＤＥＲＰꎬＳＴＥＲＮＢＹＪ.ＺｅｒｏｓｏｆＳａｍ￣ｐｌｅｄＳｙｓｔｅｍｓ[Ｊ].Ａｕｔｏｍａｔｉｃａꎬ１９８４ꎬ２０(１):１０７７￣１０８１.[２]㊀叶林奇ꎬ宗㊀群ꎬ田栢苓ꎬ等.非最小相位系统跟踪控制综述[Ｊ].控制理论与应用ꎬ２０１７ꎬ３４(２):１４１￣１５８.[３]㊀ＢＵＴＴＥＲＷＯＲＴＨＪＡꎬＰＡＯＬＹꎬＡＢＲＡＭＯＶＩＴＣＨＤＹ.Ａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｔｈｒｅｅｄｉｓｃｒｅｔｅ￣ｔｉｍｅｆｅｅｄｆｏｒｗａｒｄｍｏｄｅｌ￣ｉｎｖｅｒｓｅｃｏｎｔｒｏｌｔｅｃｈｎｉｑｕｅｆｏｒｎｏｎｍｉｎｉｍｕｍｐｈａｓｅｓｙｓ￣ｔｅｍｓ[Ｊ].Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓꎬ２０１２ꎬ２２(５):５７７￣５８７.[４]㊀ＴＯＭＩＺＵＫＡＭ.Ａｄａｐｔｉｖｅｚｅｒｏｐｈａｓｅｅｒｒｏｒｔｒａｃｋｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｄｉｇｉｔａｌｃｏｎｔｒｏｌ[Ｊ].ＴｒａｎｓｏｆＡｓｍｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｙｎａｍｉｃＳｙｓ￣ｔｅｍｓＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌꎬ１９８７ꎬ１０９(１):３４９￣３５４.[５]㊀ＢＵＴＴＥＲＷＯＲＴＨＪＡꎬＰＡＯＬＹꎬＡＢＲＡＭＯＶＩＴＣＨＤＹ.Ａｒ￣ｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅｓｆｏｒｔｒａｃｋｉｎｇｃｏｎｔｒｏｌｉｎａｔｏｍｉｃｆｏｒｃｅｍｉｃｒｏｓｃｏｐｅｓ[Ｊ].ＩＦＡＣＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓＶｏｌｕｍｅｓꎬ２００８ꎬ４１(２):８２３６￣８２５０.[６]㊀张㊀黎ꎬ刘㊀山.非最小相位系统的基函数型自适应迭代学习控制[Ｊ].自动化学报ꎬ２０１４ꎬ４０(１２):２７１６￣２７２５.[７]㊀ＲＩＧＮＥＹＢꎬＰＡＯＬＹꎬＬＡＷＲＥＮＣＥＤＡ.ＡｄａｐｔｉｖｅＩｎｖｅｒｓｅＣｏｎｔｒｏｌｆｏｒＳｅｔｔｌｉｎｇＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅＩｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｓ[Ｃ].Ａｍｅｒｉ￣ｃａｎＣｏｎｔｒｏｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅꎬＮｅｗＹｏｒｋ:ＩＥＥＥꎬ２００９.[８]ＡＳＴＲＯＭＫꎬＷＩＴＴＥＮＭＡＲＫＢ.ＡｄａｐｔｉｖｅＣｏｎｔｒｏｌ[Ｍ].ＭｅｎｌｏＰａｒｋ:Ａｄｄｉｓｏｎ￣Ｗｅｓｌｅｙꎬ１９９５.[９]㊀ＰＡＬＭꎬＳＡＲＫＡＲＧꎬＢＡＲＡＩＲＫꎬｅｔａｌ.Ｄｅｓｉｇｎｏｆａｄａｐｔｉｖｅｔｗｏ￣ｄｅｇｒｅｅ￣ｏｆ￣ｆｒｅｅｄｏｍｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｆｏｒｉｎｖｅｒｓｉｏｎｂａｓｅｄｒｅｆｅｒｅｎｃｅｉｎｐｕｔｔｒａｃｋｉｎｇｏｆｎｏｎ￣ｍｉｎｉｍｕｍｐｈａｓｅｓｙｓｔｅｍ[Ｃ].ＭｉｃｈａｅｌＦａｒ￣ａｄａｙＩＥＴＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＳｕｍｍｉｔꎬＨｏｗｒａｈ:ＩＥＴꎬ２０１６.[１０]㊀ＷＩＤＲＯＷＢꎬＷＡＬＡＣＨＥ.ＡｄａｐｔｉｖｅＩｎｖｅｒｓｅＣｏｎｔｒｏｌ:ＡＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇＡｐｐｒｏａｃｈ[Ｍ].Ｈｏｂｏｋｅｎ:Ｗｉｌｅｙ￣ＩＥＥＥＰｒｅｓｓꎬ２０１４.[编辑:李㊀辉]本文引用格式:杨亮亮ꎬ王㊀飞ꎬ史伟民.非最小相位系统自适应模型逆技术研究[Ｊ].机电工程ꎬ２０１９ꎬ３６(４):４２８－４３３.ＹＡＮＧＬｉａｎｇ￣ｌｉａｎｇꎬＷＡＮＧＦｅｉꎬＳＨＩＷｅｉ￣ｍｉｎ.Ａｄａｐｔｉｖｅｍｏｄｅｌ￣ｉｎｖｅｒｓｅｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｆｏｒｎｏｎ￣ｍｉｎｉｍｕｍｐｈａｓｅｓｙｓｔｅｍ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌ＆ＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉ￣ｎｅｅｒｉｎｇꎬ２０１９ꎬ３６(４):４２８－４３３.«机电工程»杂志:ｈｔｔｐ://ｗｗｗ.ｍｅｅｍ.ｃｏｍ.ｃｎ３３４ 第４期杨亮亮ꎬ等:非最小相位系统自适应模型逆技术研究。
非最小相位系统的物理特征
非最小相位系统的物理特征
非最小相位系统的物理特征是：时域内初始阶段阶跃响应为负，系统响应比较缓慢，对系统稳定性、鲁棒性及动态品质有重要影响。
假设H1（s）为最小相位系统，H2（s）为非最小相位系统，并有
令H1（s）、H2（s）的阶跃响应分别为h1（t）、h2（t）。
则由式（13－78）取拉普拉斯反变换，得
可见，若初始阶段阶跃响应h1（t）很小，而变化却很快，则dh1（t）/dr 很大，初始阶段h2＜0，非最小相位系统的阶跃响应为负。
随着时间的后移，当h1（t）＞Tzdh1(t)/dt 时；h2（t）＞0．即非最小相位系统的阶跃响应将由负变正，系统响应慢，这一性质对系统稳定性、鲁棒性及动态晶质有重要影响。
在要求快速响应的系统中，应避免选择非最小相位系统。
图所示为非最小相位系统的阶跃响应特性h2（t）。
图非最小相位系统的阶跃响应h2（t）
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3.2 极点配置
开环传递函数：
K Ts 1
设计反馈为比例环节： H K c 。 闭环传递函数变为：
(3)
K y G K Ts 1 x Hy G y KK x 1 GH 1 Ts 1 KK c c Ts 1 KK c 1 。只要调整 K c 使得 KK c 1 即可。 闭环系统的极点： s T
非最小相位系统的控制中， 需要抑制由不稳定零点引起的负调并同时缩短系统的调节时 间。 针对非最小相位系统负调与调节时间的相互影响及负调与不稳定零点的相互关系， 提出 将控制过程分为抑制负调阶段和跟踪输入阶段， 并适时改变系统不稳定零点数， 用遗传算法 统一优化各阶段的控制器参数。 仿真结果表明该控制方法大大减弱了负调， 并同时缩短了调 节时间，达到了良好的控制效果。
Nichols Chart 20 System: G Gain Margin (dB): -20 At frequency (rad/sec): 0 Closed Loop Stable? Yes
15
10 Open-Loop Gain (dB) System: G Phase Margin (deg): 84.3 Delay Margin (sec): 0.148 At frequency (rad/sec): 9.95 Closed Loop Stable? Yes
1
概念
对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点或零点的实部小于或等于零,则称它是最小相 位系统。
2
开环传递函数中含有非最小相位系统
K Ts 1
(1)
开环传递函数：
可见开环传递函数含有一个非最小相位系统。 闭环传递函数：
K K Ts 1 K Ts K 1 1 Ts 1
闭环系统的极点： s
0
-10
-20 -90
-135
-180 10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
Step Response 1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Time (sec)
3
解决最小相位系统的方法3.1 50-5-10
-15 -180
-150 Open-Loop Phase (deg)
-120
-90
Bode Diagram Gm = -20 dB (at 0 rad/sec) , Pm = 84.3 deg (at 9.95 rad/sec) 20(2)
K 1 ，可见只要 K 1 ，就能保证闭环系统是稳定的。
T
2.1 K 1
假设系统开环传递函数为：
0.1 。 s 1
Nichols Chart
-20 System: G Gain Margin (dB): 20 At frequency (rad/sec): 0 Closed Loop Stable? No
-40
-50
-60 -90
-135
-180 10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
14
x 10
5
Step Response
12
10
Amplitude
8
6
4
2
0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Time (sec)
2.2 K 1
假设系统开环传递函数为：
10 。 s 1
-25
-30 Open-Loop Gain (dB)
-35
-40
-45
-50
-55 -180
-150 Open-Loop Phase (deg)
-120
-90
Bode Diagram Gm = 20 dB (at 0 rad/sec) , Pm = Inf -20
-30 Magnitude (dB) Phase (deg)
稳态响应：
(4)
K 。 1 KK c
设计： KK c 1 ，并希望：
K K 1 1 Kc K 1 KK c
可以通过开环传递函数的稳态响应求出 K 值，再设计 K c 值。