于一些特殊正项级数敛散性的判别法
8.2正项级数敛散性的判别
∞
证 ： ≤1 级 发 ； >1 级 收 。 明 p 时 数 散 p 时 数 敛 ∞ 1 解: (1) p = 1时, 调和级数 ∑ 发散 . n =1 n ∞ ∞ 1 1 1 ( 2) p < 1时， ≤ p Q ∑ 发散，∴ ∑ 1 发散. 发散， p n n n =1 n n =1 n ( 3) p > 1时， 方向：证原级数 某一收敛级数 方向：证原级数<某一收敛级数 ∞ 1 1 1 1 1 1 1 ∑ np = 1 + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p + 7p +L n =1 1 1 1 1 1 1 < 1 + ( p + p ) + ( p + p + p + p ) + L 几何级数 2 2 4 4 34 4 2 n ∞ 1 1 1 1 收敛！ < 1 + p −1 + p−1 + p −1 + L = ∑ p−1 收敛！ 2 n=0 2 2 2 +∞ 1 此 论 广 积 ∫ dx的 散 相 。 敛 性 同 ∴ 原级数收敛。 结 与 义 分 原级数收敛。 p 1 x
的敛散性。 例2.判定∑ 2 sin n的敛散性。 3 n =1 解: 由于当 x > 0时， < sin x < x 0 n π 2 n n π 故0 < 2 sin n < 2 n = π ( n = 1,2L) 3 3 n 3 ∞ 2 2 Q ∑ π 为公比是 的几何级数， 收敛 的几何级数， n =1 3 ∞3 π n ∴由比较判别法知 ∑ 2 sin n收敛。 收敛。 3 n =1
判断级数的敛散性的方法
判断级数的敛散性的方法要判断级数的敛散性，我们可以使用不同的方法和定理。
下面我将介绍一些常用的方法和定理。
1. 常比较法：常比较法是判断级数收敛性最常用的方法之一。
当我们需要确定一个级数是否收敛时，我们可以将它与一个已知收敛或发散的级数进行比较。
1.1. 比较法：设a_n和b_n是两个正数列，若对于n＞N，总有a_n≤b_n，则有以下结论：a) 若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也一定收敛；b) 若级数∑a_n发散，则级数∑b_n也一定发散。
1.2. 极限比较法：设a_n和b_n是两个正数列，若存在正数λ，使得对于足够大的n，总有0≤a_n / b_n ≤λ，则有以下结论：a) 若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也一定收敛；b) 若级数∑a_n发散，则级数∑b_n也一定发散。
使用比较法时，我们可以通过找到一个已知的收敛或发散的级数，将其与我们需要判断的级数进行比较。
根据比较的结果，我们可以得出结论。
2. 极限判别法：极限判别法是一种通过普遍公式或形式上的特殊处理，通过对级数的极限进行判断来判断级数的敛散性的方法。
2.1. 根值判别法：设a_n≥0，乘幂项是级数常见的形式之一，即∑a_n的n次方。
如果存在正数p 使得lim(n→∞)√n*a_n = a，则有以下结论：a) 若a < 1，则级数∑a_n收敛；b) 若a > 1，则级数∑a_n发散；c) 若a = 1，则极限判别法不能确定级数的敛散性。
2.2. 比值判别法：设a_n≠0，存在lim(n→∞) a_n+1 / a_n = q，则有以下结论：a) 若q < 1，则级数∑a_n绝对收敛；b) 若q > 1，则级数∑a_n发散；c) 若q = 1，则极限判别法不能确定级数的敛散性。
2.3. 积分判别法：对于一些形式上类似于函数积分的级数，我们可以使用积分判别法来判断其敛散性。
设f(x)是一个连续正函数，自变量x在[a, ∞)上连续递减，则有以下结论：a) 若∫(a, ∞) f(x) dx收敛，则级数∑f(n)从n = a到∞收敛；b) 若∫(a, ∞) f(x) dx发散，则级数∑f(n)从n = a到∞发散。
正项级数敛散性判别法的讨论
根据柯西准则的否命题判定某些级数的发散性，这一点经常用到而且非常方便．
例1[1](P8)用柯西收敛准则的否命题证明调和级数的发散性．
证明略．
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法是适用范围比较广泛的两种判别法．对于某一具体的数项级数，如果它是两个级数通项积的形式时，可以首先考虑这两种判别法．较之于定义与柯西收敛准则，其优越性就非常明显了．
证明(ⅰ)由已知条件得
存在 ，当 时，有
由于当 时， 级数是收敛的，故由比较原则得 收敛．
同理可证（ⅱ）成立．
定理7[10](P1)高斯判别法设 为正项级数，且存在某正整数 及常数 ,
（ⅰ）若对一切 ，成立不等式
，
则级数 收敛；
（ⅱ）若对一切 ，成立不等式
，
则级数 发散．
定理8设 是正项级数，且存在某正数 及常数 ，
则
，
而
（10）
由（2）式得
．（11）
由（4）式得
= ．（12）
其中
．（13）
由（2）（5）（6）（7）（8）（12）（13）式得
= ．（14）
由（6）（7）（8）（10）（11）（14）式得
．（15）
由于 故存在 ，当 时，有
．（16）
由（9）（15）（16）式一定存在 ，
当 ，有 即： ,
由于 收敛，由引理1， 收敛．
3结论
任何收敛的正项级数都存在比它收敛慢的正项级数；任何发散的正项级数都存在比它发散慢的正项级数．因此通过选择级数作为“比较标准”建立一个对一切正项级数都有效的收敛判别法或发散判别法是不可能的．例如可以考虑用 或其它级数作为比较对象建立起比以上判别法更优越的判别法．
以上几种具体的正项级数的判别法都是以比较原则为基础，选用不同收敛级数作为比较对象，得到不同的判别法．正项级数敛散性判别法的判别范围广泛与否，取决于它的比较对象的选取，比较对象的收敛速度越慢，它的使用范围越广．而正项收敛级数的收敛速度完全取决于这个无穷小的“阶”，即当 时它以什么样的速度趋近于零．
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
正项级数敛散性的判别法
2
⎠
正项级数的根值判别法有改进的形式， 如果 （3）lim
n n → +∞
a n ＜1， 则级数收敛； （4）lim n a n
n → +∞
＞1，则级数发散。 由此可以看到比值判别法与根值判别法有 一些相同的地方，而且它们之间有一定的联系。 因为，如果 lim
a n +1 按有限的或无穷的意义存 n → +∞ a n 在的，那么 lim n a n 也存在，如果比值判别法
∞
1 1 lim n a n = ， lim n a n = ， n → +∞ n → +∞ 2 3
则有 lim
n n → +∞
∑n
n =1
1
p
是比几何级数更精密 ”
a n = l 不存在， 根值判别法由于
∞ −n
(−1)n + 5 ⎞ 是发散的。 l 不存在而失效， 但是 ∑ ⎛ ⎜ ⎟
n =1
⎝
n→+∞
lim
a a an+1 1 = , lim n +1 = 27 , 则 有 lim n +1 = l 不 → +∞ n n → +∞ an an an 3
∑n
n =1
∞
1
3
是收敛的，此时 存在，但是
∑3
n =1
∞
n − ( −1) n
是发散级数。
a n +1 n3 = lim = 1 = l ，即比值判别 n → +∞ a n → +∞ (1 + n) 3 n lim
( −1)n −n n
学出版社,1984.
n → +∞
级数敛散性的判别方法
级数敛散性的判别方法级数是数学中一个重要的概念，它在分析、微积分等领域有着广泛的应用。
在研究级数时，一个重要的问题就是判别级数的敛散性。
本文将介绍几种常见的判别方法，帮助读者更好地理解级数的敛散性。
首先，我们来看级数的敛散性定义。
对于一个级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果它的部分和数列${S_n}$收敛于某个值$S$，即$\lim_{n \to \infty}S_n=S$，那么我们称级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是收敛的，$S$称为级数的和。
如果${S_n}$发散，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$就是发散的。
接下来，我们将介绍几种判别级数敛散性的方法。
一、比较判别法。
比较判别法是判别级数敛散性常用的方法之一。
设$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$是两个级数，如果对于所有的$n$，都有$0 \leq a_n \leq b_n$，且$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，那么$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛；如果$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，那么$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也发散。
二、比值判别法。
比值判别法是判别正项级数敛散性的一种方法。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，计算极限$\lim_{n \to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果这个极限存在且小于1，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛；如果这个极限大于1或者不存在，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散；如果这个极限等于1，比值判别法不起作用，需要使用其他方法进行判别。
三、积分判别法。
积分判别法适用于正项级数。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果函数$f(x)$在$[1, +\infty)$上连续、单调递减且非负，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与积分$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$的敛散性是等价的，即$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$同时收敛或者同时发散。
[理学]第二节正项级数敛散性的判别
![[理学]第二节正项级数敛散性的判别](https://img.taocdn.com/s3/m/0880fbfeb14e852458fb5778.png)
u 取特殊值 vn n (对 )
则 (1)当 0 c 时,
√ u 与 v
n 1 n n 1
目标: c1vn un c2vn
n
有相同的敛散性;
v n 收敛, un 也收敛; (2)当 c 0 时,若 n 1 n 1
v n 发散, un 也发散. (3)当 c 时,若 n 1 n 1
1
1 2 且 n n 1
收敛, 故 n 2 n
1 n n
2
收敛.
1 例2 判断 p 级数 n p 的敛散性. n 1 1 1 1 解 当 p 1时 n p n 而 n 发散 n 1
1 故 n p发散. n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当 p 1时 1 p p p p p p p p (1) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) ( p p p ) ( 2) 2 3 4 5 6 7 8 9 15
则 (1)当 0 c 时,
n 1 n n 1 n
目标: c1vn un
u 与 v 有相同的敛散性;
v n 收敛, un 也收敛; (2)当 c 0 时,若 n 1 n 1
v n 发散, un 也发散. (3)当 c 时,若 n 1 n 1
从而 故
un1 un
lim un 0
n
un 发散. 所以 n 1
un1 lim l 时 , 因 (2)当 n u n
故 对 M 1 0, 存在正整数 N , 当 n N 时, 有 即 故
正项级数敛散性的判别(2)
收敛
例7
n1 n1 n2 1
n1
lim
n
n2
1
1 1， n
发散
例8
1
n1 ln(1 n2 )
1
lim
n
ln(1
n2
)
1 n2
1，收敛
10
*例9
设常数
p
0
,试判别级数
n1
ln
np np
1
的敛散性.
解
lim
n
ln
n
p np
1
1 np
1
所以原级数当 p 1 时收敛，当 0 p 1 时发散.
从某项起,恒有un kvn ,(k 0) .
3
例1
判断级数
1
n1 sin 2n
的收敛性.
解
因为
0
s
in
1 2n
1 2n
,
而 1 收敛,
2n
n1
所以原级数收敛.
4
例2
讨论 p-级数
1 的收敛性(p 0 ).
np
n1
解
当
p 1 时,
1 np
1， n
y
而调和级数
1 发散,
n1 n
故原级数发散；
例10
(1 cos )
n1
n
解
lim(1 cos )
n
n
1 lim 1 ( )2
n2 n 2 n
1 2 n2 2 ,
收敛.
11
例11
1 n1 3n n
lim
n
3n
1
n
1 3n
1，
而 1 收敛, 所以原级数收敛. 3n n1
7.2正项级数敛散性的判别
∞
1 lim ln n = ∞ 而∑ 2 收敛, n →∞ n =1 n
∞
∞
ln n ∴ ∑ 2 的敛散性依据该定理无法判别. n =1 n
1 ln n n2 = lim ln n = lim ln x = lim x = lim 2 1 = 0 lim 1 n →∞ x →+∞ x →+∞ n →∞ 1 x x x →+∞ 1 2 n 3 2 x 2 n
3 2
n2 1 = lim 2 = n →∞ 3n − 1 3
而级 数 ∑
n =1 ∞
1 n
3 2
n 收敛 , ∴ 级 数 ∑ 2 收敛. n =1 3n − 1
∞
1 的敛散性 . 例 判定级数 ∑ n n =1 3 − n 1
∞
3 n = lim 1 ∵ lim 3 − n = lim = 1, 解 n n→ ∞ n→ ∞ 1 n n→ ∞ 3 − n 1−
当q < 1时, 收敛 n 1 ∑aq 敛散性 、 当q ≥ 1时, 发散 n=0
∞
1 2、调和级数 、 ∑n发散. n=1
∞
§7.2 正项级数敛散性的判别
• • • • 一、正项级数的概念 二、比较判别法 三、比值判别法 四、*根值判别法 根值判别法
一、正项级数
称为正项级数 正项级数. 定义 如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0, 这种级数 称为正项级数.
n=1 n =1 n =1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
判 断 ∑ u n的 敛 散 性 .
n=1
∞
对欲求级数进行 缩小应缩小为发 发 散级数. 散级数
c n ≤ un ≤ v n
放大， 放大，缩小的方向
关于正项级数收敛性的判别法
关于正项级数收敛性的判别法On convergence of series with positive terms摘要正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。
正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。
正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。
关键词：级数；正项级数；收敛；发散。
AbstractDetermining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, d'Alembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used. Key words: Series;positive series; convergence; divergence.目录摘要................................................................................................................................................................. I I ABSTRACT.. (III)目录 (IV)引言 (1)1 基础知识 (2)1.1无穷级数的定义 (2)1.2无穷级数的部分和 (2)1.3无穷级数收敛的定义 (2)2 正项级数敛散性的常用判别法 (3)2.1柯西收敛原理[1] (3)2.2基本定理 (3)2.3比较判别法 (3)2.4达朗贝尔判别法 (4)2.5柯西判别法 (4)2.6积分判别法 (5)2.7阿贝尔判别法 (5)2.8狄利克雷判别法 (5)3 正项级数敛散性的一些新的判别法 (6)3.1定理1（比较判别法的推广） (6)3.2定理2（等价判别法） (6)3.3定理3（拉贝判别法）[3] (7)3.4定理4（高斯判别法）[5] (8)3.5定理5（库默尔判别法）[3] (8)3.6定理6（对数判别法）[4] (9)3.7定理7（隔项比值判别法）[3] (10)3.8定理8（厄尔马可夫判别法）[4] (10)3.9定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4] (10)4 正项级数敛散性判别法的比较 (12)5 应用举例 (16)6 总结与展望 (20)参考文献 (21)致谢 (22)引言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。
§6.2 正项级数的敛散性判别法
(1)r < 1 , un收敛;(1)r > 1 , un发散; 时 ∑ 收敛; 时 ∑ 发散;
n=1 n=1
∞
∞
注 级数中含有n!,an,nn时一般选用此法较好,运用 级数中含有 , 时一般选用此法较好, 时 若发现极限结果为r=1,则说明不能用此法,需改用其他方法. 若发现极限结果为 ,则说明不能用此法,需改用其他方法.
n=1 n=1 n=1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
1 例 证明 < 1 ∑ p 发散. p 时 发散. n=1 n
∞
第六章 离散经济变量的无限求和
返 回
上一张
下一张
退 出
2010年6月26日星期六 年 月 日星期六
4
推论 若∑un, vn为正项级数,且 N > 0 使 n > N, ∑ 为正项级数, ,
∞
1 (3)∑(1 cos ) n n→ 1
∞
3n (4)∑ )! n=1 (2n +1
答案 ⑷收敛
(5)∑
n=1
∞
n + sin n n3 + n 1
⑵发散 ⑶收敛
⑴收敛 ⑸发散
第六章 离散经济变量的无限求和
返 回
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退 出
�
n=1 n=1
∞
∞
0 ≤ un ≤ Avn,其中 为常数,则 A为常数,
(1)∑vn收敛 ∑un收敛; 收敛; (2)∑un发散 ∑vn发散. 发散.
n=1 n=1 n=1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
利用比较判别法, 利用比较判别法,关键是要选择合适的级数与已知级 进行比较.一般需要对已知级数的通项进行放缩; 进行比较.一般需要对已知级数的通项进行放缩;而
关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记
关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记1.柯西(Cauchy)积分判别法认为：如果正项级数以n→∞收敛，则其和sum(sn)=lim(n→∞)得到的结果为它的积分sum(Sn).2.证明柯西(Cauchy)积分判别法：首先，用反证法：假设正项级数Sn不收敛，那么lim(n→∞)Sn != sum(Sn).其次，我们假设正项级数Sn一定会收敛，此时我们可以证明lim(n→∞)Sn=sum(Sn)。
首先，我们用数学归纳法证明：令n=1，令M是该正项级数的极限，如果S1<M，则总和sum(Sn)<M；如果S1=M，则总和sum(Sn)=M。
其次，我们用数学归纳法证明：令N>1，令S1,S2,...,Sn-1<M，则Sn<M，因此sum(Sn)<M；如果S1,S2,...,Sn-1=M，则Sn<M，因此sum(Sn)<M。
最后，综上所述，无论Sn怎么变化，sum(Sn)的最终结果都小于极限M，因而满足总和sum(Sn) = lim(n→∞)Sn。
由此可知，如果正项级数Sn收敛，那么总和sum(Sn) = lim(n→∞)Sn，从而证明了柯西(Cauchy)积分判别法。
综上所述，柯西(Cauchy)积分判别法是完备的，即如果正项级数Sn收敛，则sum(Sn) = lim(n→∞)Sn; 如果正项级数Sn不收敛，则sum(Sn) !=lim(n→∞)Sn。
因此，柯西(Cauchy)积分判别法可以有效地确定积分是否收敛。
如果有多个级数收敛，那么我们可以将多个级数收敛表示成一个函数f(x)，将f(x)在正项级数收敛的区间[a,b]上进行积分，即sum(Sn)=∫f(x)dx；由柯西(Cauchy)积分判别法可知，积分的值sum(Sn)等于极限lim(n→∞)Sn；因此，我们可以用柯西(Cauchy)积分判别法来确定多个级数收敛的总和。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较摘要：本文将对正项级数的敛散性问题进行研究，引入常用的比较判别法和比值判别法，而后再给出相应的级数作为比较尺度后，得到了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式判别法，并给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。
在采用更加精细的级数作为比较尺度后，引出了拉贝尔判别法，并对上述的几种方法进行了总结和分析。
关键词：正项级数敛散性达朗贝尔判别法柯西根式判别法拉贝尔判别法引言随着正负无穷的引入，人们对于数字的理解不再拘泥于传统意义上的有限数字。
此时，关于一列已知序列求和的敛散性问题便应运而生。
如何判断一列序列求和是有限的还是发散的，成为数学分析中的一个重要问题，受到了很多的关注和研究，产生了诸如比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西根式判别法等等。
本文将对目前常用的一些判定方法进行归纳，并对它们的适用性和局限性进行分析。
一、比较判别法、比值判别法及达朗贝尔判别法我们在本节中将介绍三种常用的判别方法——比较判别法、比值判别法和达朗贝尔判别法，在引入序列的上下极限以后，给出极限形式和上下极限形式下的达朗贝尔判别法，从而使得达朗贝尔判别法得到很好的总结和完善。
而后改变比较级数的尺度，对达朗贝尔判别法进行推广，引入拉贝尔判别法，使得比较变得更加的精细和准确[1]。
1.比较判别法和比值判别法当我们遇到一个未知的序列以后，我们可以将它与已知的收敛或者发散的序列进行比较，进而来判断它的敛散性，从而诞生了比较判别法和比值判别法。
为了下文的行文的简单性，我们用符号来表示[2]。
定理1（比较判别法）假设级数和均为正项级数，那么我们有：（1）如果收敛且存在和，使得，，那么也收敛;（2）如果发散且存在和，使得，，那么也发散。
为了方便使用，我们这里引入极限形式的比值判别法.推论1设级数和均为正项级数令则有：（1）如果收斂，且，那么也收敛;（2）如果发散，且，那么也发散。
同样的，对于严格的正项级数我们可以得到如下的比值判别法.定理2（比值判别法）假设级数和都是严格的正项级数，那么我们有：（1）如果收敛，且存在，使得，，那么也收敛;（2）如果发散，且存在，使得，，那么也发散。
正项级数敛散性的判别方法
正项级数敛散性的判别方法摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。
正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。
根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。
关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用1引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。
英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。
因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。
我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。
因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。
2正项级数敛散性判别法2.1判别敛散性的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数1nn u∞=∑收敛⇔0,,,,N N n N p N ε+∀>∃∈∀>∀∈有12n n n p u u u ε++++++<。
取特殊的1p =，可得推论：若级数1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=。
2.2比较判别法定理一（比较判别法的极限形式）： 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为两个正项级数，且有limnn nu l v →∞=，于是（1）若0l <<+∞，则1nn u∞=∑与1nn v∞=∑同时收敛或同时发散。
高等数学 级数 (11.2.1)--正项级数及其敛散性的判别法
n=1
2) 当 l 1时, un 发散
n=1
上海交大乐经良
例 讨论下列级数的敛散性
1) 2n n=1 n!
2)
2n + 3 n=1 3n 2
3)
ann! nn
n=1
(a 0)
三 . 根值判别法
若正项级数 un
n =1
满足
lim n
n
un
= l,
则
11.2.1 正项级数
若级数 un 满足 un 0, 则称之为正项级数 n=1
显然正项级数的部分和 Sn 单调增加，因此有
正项级数 un收敛 n=1 充分必要条件 部分和 Sn 有 界
例 讨论
p
1
级数 n=1 n p
的敛散性
上海交大乐经良
11.2.2 正项级数敛散性判别法
sin n n2
上海交大乐经良
2) (－1)n
n +1
n=1
n
H.W 习题 11 12 (1) (2) (4) (5) 13 (1)(2)(3)(4)(6)
上海交大乐经良
若级数
un
收n=1
n=1
若级数 un 发散 , 而级数 un 收敛 , 则称级数
n =1
n=1
un 条件收敛
n=1
命题 若级数 un 收敛 , 则级数 un 收敛
n =1
n=1
例 判别级数敛散性 , 并指出收敛类型
1)
n=1
n=1
n=1
上海交大乐经良
例 讨论下列级数的敛散性
数项级数敛散性判别法。(总结)
数项级数敛散性判别法。
(总结)数项级数是一类由无穷多个项组成的数列，它们的和是一个数。
在数学中，我们通常利用一些方法来判断数项级数的收敛性和发散性。
以下是数项级数敛散性判别法的总结：1. 正项级数收敛判别法：如果数列中的每一项都是非负数，且后一项大于等于前一项，那么这个数项级数收敛。
2. 比较判别法：如果一个数项级数的绝对值序列能够被一个已知的收敛数项级数和一个已知的发散数项级数所夹逼，那么这个数项级数与已知的收敛数项级数具有相同的收敛情况，与已知的发散数项级数具有相同的发散情况。
3. 极限比值判别法：对于一个数项级数，如果存在一个常数$q$，使得 $0\leq q<1$，并且对于充分大的 $n$，有$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<q$，那么数项级数收敛。
如果存在一个常数 $r>1$，并且对于充分大的 $n$，有$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|>r$，那么数项级数发散。
如果 $q=1$，那么该方法不确定。
4. 根号(拉阔)判别法：对于一个数项级数，如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}<1$，那么数项级数收敛；如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}>1$，那么数项级数发散；如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}=1$，那么该方法不确定。
5. 积分判别法：对于一个递减的正项函数 $f(x)$，如果数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 可以表示成积分$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ 的形式，且该积分收敛，那么数项级数也收敛。
如果积分发散，那么数项级数也发散。
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级数是高等数学教学中的一个重要内容,而正项级数又是级数的重要组成部分,判别正项级数敛散性的方法很多,文章主要讨论了正项别方法,使级数敛散性的判别变得更为简单.
4.期刊论文 刘羽 正项级数敛散性的判别法研究 -网络财富2009,""(23)
下载时间：2010年8月11日
6.期刊论文 李晓康 正项级数敛散性的一个判别法则 -汉中师范学院学报2004,22(6)
利用正项级数的基本定理、比较判别法及p-级数的敛散性,给出了正项级数敛散性的一个判别法则,并给出了实例.
7.期刊论文 贾达明.范新华 正项级数敛散性的一种简易判别法 -昌吉学院学报2002,""(3)
本文讨论正项级数敛散性的判别方法,在柯西积分判别法的基础上,运用积分判别法来证明一系列定理,得到关于正项级数敛散性的一些简易判别法 ,并用此法来解决一些相关问题.
2.期刊论文 阎家灏 正项级数敛散性的一种审敛法 -兰州工业高等专科学校学报2004,11(4)
判定正项级数敛散性有多种方法,D'Alembert判别法(或称比值审敛法)是其中比较适用的判别方法.基于D'Alembert判别法,利用正项级数部分和数列 有界必收敛的原理,论证了两个定理,得到了适用判别正项级数的项是单调递减的这类正项级数敛散性的一种精细审敛法.
判定级数的敛散性是级数的首要问题,在研究其它短数的敛散性时,常常归结为研究正项级数的敛散性.人们已经创造了很多判定正项级数敛散性的方 法,其中,比较审敛法适应于一切正项级数.然而,恰当的比较对象要实际寻找出来很难.本文给出了一种简单而有效的审敛方法,这种方法不仅可以替代用 比较审敛法判定一些级数的敛散性,还可以帮助我们猜想一个级数的敛散性,因而给我们再用其它方法判定一个级数的敛散性提供正确的思路.
对于正项级数敛散性判定,当比式判别法失效时,给出一种新方法.该方法在判别某些正项级数敛散时比拉贝判别法更方便.
10.期刊论文 周玉霞 关于正项级数敛散性判定的一类方法 -大学数学2006,22(1)
判定正项级数∑∞n=1an的敛散性,当达朗贝尔或柯西判别法失败后,可用本文提供的方法判定敛散性.
本文链接：/Periodical_zgkjxx200901012.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：0efdd4c0-043a-446b-9b85-9dcf00b006fc
级数是研究函数的一个重要工具,正项级数的敛散性判别是级数中非常重要的内容之一.本文结合自己对级数教学的总结,通过典型实例来对正项级数 敛散性的判别法进行初浅的研究.
5.期刊论文 范锡良.FAN Xi-liang 关于正项级数敛散性的一个注记 -常熟理工学院学报2008,22(4)
对正项级数∑∞n=1an的敛散性作了一些讨论,得到了一个判定正项级数敛散性的新方法.通过例证,可以说明此方法是达朗贝尔或拉贝判别法的推广.
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级数敛散性的判别法
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万方数据
关于一些特殊正项级数敛散性的判别法
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
冯江浪 成都理工大学,610059
中国科技信息 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION 2009，""(1) 0次
参考文献(3条) 1.B.Ⅱ.吉米多维奇 数学分析习题集题解 1983 2.华东师范大学数学系 数学分析 1991
3.杨钟玄 对推广Raabe判别法再讨论[期刊论文]-大学数学 2007(02)
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1.期刊论文 李智军 判定正项级数敛散性的一种简便方法 -科技资讯2008,""(29)
例２：州别Ｅ￡。的敛赦性
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8.期刊论文 孙仁平 正项级数的敛散性的P级数判别 -世界华商经济年鉴·高校教育研究2008,""(13)
文献给出了正项级数收敛与发散的几种判别方法,在此基础上,作为补充利用p级数∑1/np给出判断正项级数敛散性的其它几种方法.
9.期刊论文 钱伟懿.QIAN Wei-yi 正项级数敛散性一种判别方法 -渤海大学学报（自然科学版）2008,29(2)
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