高等数学考研知识点总结

第八讲 多元函数微分学

一、考试要求

1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

6. 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

7. 了解二元函数的二阶泰勒公式(数一)。

8. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

二、 内容提要

1、 多元函数的概念：z=f(x,y), (x,y)D

2、 二元函数的极限定义、连续

3、 偏导数的定义、高阶偏导、全微分

z=f(x,y) = , =

若)(),(),(),(),(000000000ρ+∆'+∆'=-∆+∆+=∆y y x f x y x f y x f y y x x f z y x 则

4、偏导连续⇒可微⇒ 可导(偏导)

连续 极限存在

5、 复合函数求导法则

（1）多元与一元复合：设)(),(),(t z z t y y t x x ===在t 可微，),,(z y x f u = 在与t 对应的点(),,(=z y x ))(),(),(t z t y t x 可微，则))(),(),((t z t y t x f u =在t 处可微，且

dt

dz z f dt dy y f dt dx x f dt du ∂∂+∂∂+∂∂= （2）多元与多元复合：设),(),,(y x v y x u ϕφ==在点),(y x 存在偏导数，),(v u f w =在与),(y x 对应的点),(v u 可微，则)),(),,((y x y x f w ϕφ=在点),(y x 存在偏导数，且

x

v

v f x u u f x w ∂∂∂∂+

∂∂∂∂=∂∂ ， y v v f y u u f y w ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂

6、 隐函数求导法则 要求掌握三种情形： 1）F(x,y,z)=0, 2）

3）

7、 二元函数的二阶泰勒公式

设z=f(x,y)在点),(00y x 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，),(00k y h x ++为此邻域内一点，则有

),())(),(),(000000y x f y

k x h y x f k y h x f ∂∂

+∂∂+=++

+).,()(!21002y x f y k x h ∂∂

+∂∂

.10),,()(!31003<<++∂∂

+∂∂+θθθk y h x f y k x h

8、多元函数的极值 1) 定义

2) 可能极值点 3) 取极值的必要条件 4) 取极值的充分条件 设 , ,

若, 则为z=f(x,y)的一个极值点 9、条件极值

构造拉格朗日函数：

由⎪⎩⎪

⎨⎧='='='000λF F F y x 解得可能极值点，再由实际问题判断极值。

10、最值：区域内部或边界上达到 三、典型题型与例题

题型一、基本概念题（讨论偏导、连续、可微之间的关系）

例1、 设y

x e

x

y

y x x y z 22

))((423+++=，求

)

0,1(x z ∂∂

例2考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质：

① ),(y x f 在点),(00y x 处连续，

② ),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续，

③ ),(y x f 在点),(00y x 处可微，

④ ),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在. 若用“Q P ⇒”表示可由性质P 推出性质Q, 则有

（A ） ②⇒③⇒①. （B ） ③⇒②⇒①.

（C ） ③⇒④⇒①. （D ） ③⇒①⇒④.

例3、 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0

,00,)(2

22

223

2

222y x y x y x y x z

1）在（0，0）点，函数是否连续？是否偏导数存在？是否可微？一阶偏导数是否连续？ 2）求dz

题型二、求多元函数的偏导数和全微分

本题型包括如下几个方面的问题 1、初等函数的偏导数和全微分

2、求抽象函数的复合函数的偏导数

3、由方程所确定的隐函数的偏导数和全微分

4、含抽象函数的方程所确定的隐函数的偏导数和全微分

5、由方程组所确定的隐函数的偏导数

方法：直接求导法；公式法；微分形式不变性。

例4、 设y

x y x y x y x f arctan arctan ),(2

2

-=，求y x f x f ∂∂∂∂∂2,

例5、设),(z

y

y x f u =，求z y u du ∂∂∂2,

*例6、已知函数z=z(x,y)满足 设 对函数 求证.

例7、 设y

xe u y x u f z ==),,,(，有二阶连续偏导数，求y

x z

∂∂∂2

例8、 设),,(z y x f u =有连续偏导数，)(x y y =和)(x z z =分别由方程

0=-y xe xy 和0=-xz e z 确定，试求dx du

例9设函数z = z (x , y ) 由方程0),(=x

z

x y F 确定, 其中F 为可微函数, 且f

2

0,

则

=∂∂+∂∂y

z y x z x ___________ . (A) x . (B) z . (C) x . (D) z .