高等数学考研知识点总结

第八讲 多元函数微分学
一、考试要求
1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

6. 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

7. 了解二元函数的二阶泰勒公式(数一)。

8. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

二、 内容提要
1、 多元函数的概念：z=f(x,y), (x,y)D
2、 二元函数的极限定义、连续
3、 偏导数的定义、高阶偏导、全微分
z=f(x,y) = , =
若)(),(),(),(),(000000000ρ+∆'+∆'=-∆+∆+=∆y y x f x y x f y x f y y x x f z y x 则
4、偏导连续⇒可微⇒ 可导(偏导)
连续 极限存在
5、 复合函数求导法则
（1）多元与一元复合：设)(),(),(t z z t y y t x x ===在t 可微，),,(z y x f u = 在与t 对应的点(),,(=z y x ))(),(),(t z t y t x 可微，则))(),(),((t z t y t x f u =在t 处可微，且
dt
dz z f dt dy y f dt dx x f dt du ∂∂+∂∂+∂∂= （2）多元与多元复合：设),(),,(y x v y x u ϕφ==在点),(y x 存在偏导数，),(v u f w =在与),(y x 对应的点),(v u 可微，则)),(),,((y x y x f w ϕφ=在点),(y x 存在偏导数，且
x
v
v f x u u f x w ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂ ， y v v f y u u f y w ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂
6、 隐函数求导法则 要求掌握三种情形： 1）F(x,y,z)=0, 2）
3）
7、 二元函数的二阶泰勒公式
设z=f(x,y)在点),(00y x 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，),(00k y h x ++为此邻域内一点，则有
),())(),(),(000000y x f y
k x h y x f k y h x f ∂∂
+∂∂+=++
+).,()(!21002y x f y k x h ∂∂
+∂∂
.10),,()(!31003<<++∂∂
+∂∂+θθθk y h x f y k x h
8、多元函数的极值 1) 定义
2) 可能极值点 3) 取极值的必要条件 4) 取极值的充分条件 设 , ,
若, 则为z=f(x,y)的一个极值点 9、条件极值
构造拉格朗日函数：
由⎪⎩⎪
⎨⎧='='='000λF F F y x 解得可能极值点，再由实际问题判断极值。

10、最值：区域内部或边界上达到 三、典型题型与例题
题型一、基本概念题（讨论偏导、连续、可微之间的关系）
例1、 设y
x e
x
y
y x x y z 22
))((423+++=，求
)
0,1(x z ∂∂
例2考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质：
① ),(y x f 在点),(00y x 处连续，
② ),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续，
③ ),(y x f 在点),(00y x 处可微，
④ ),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在. 若用“Q P ⇒”表示可由性质P 推出性质Q, 则有
（A ） ②⇒③⇒①. （B ） ③⇒②⇒①.
（C ） ③⇒④⇒①. （D ） ③⇒①⇒④.
例3、 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0
,00,)(2
22
223
2
222y x y x y x y x z
1）在（0，0）点，函数是否连续？是否偏导数存在？是否可微？一阶偏导数是否连续？ 2）求dz
题型二、求多元函数的偏导数和全微分
本题型包括如下几个方面的问题 1、初等函数的偏导数和全微分
2、求抽象函数的复合函数的偏导数
3、由方程所确定的隐函数的偏导数和全微分
4、含抽象函数的方程所确定的隐函数的偏导数和全微分
5、由方程组所确定的隐函数的偏导数
方法：直接求导法；公式法；微分形式不变性。

例4、 设y
x y x y x y x f arctan arctan ),(2
2
-=，求y x f x f ∂∂∂∂∂2,
例5、设),(z
y
y x f u =，求z y u du ∂∂∂2,
*例6、已知函数z=z(x,y)满足 设 对函数 求证.
例7、 设y
xe u y x u f z ==),,,(，有二阶连续偏导数，求y
x z
∂∂∂2
例8、 设),,(z y x f u =有连续偏导数，)(x y y =和)(x z z =分别由方程
0=-y xe xy 和0=-xz e z 确定，试求dx du
例9设函数z = z (x , y ) 由方程0),(=x
z
x y F 确定, 其中F 为可微函数, 且f
2
0,
则
=∂∂+∂∂y
z y x z x ___________ . (A) x . (B) z . (C) x . (D) z .
例10 设),,(xyz y x f u =，函数),(y x z z =由方程
xyz
z
xy
e
dt t z xy g ⎰
=-+)(确定，其中f 可微，g 连续，求y
u y x u x
∂∂-∂∂
例11、 设⎩
⎨⎧=---=0),,(),,(z y x g ut z ut y ut x f u 求y u
x u ∂∂∂∂,
题型三：变量替换下表达式的变形
*例12、设),(y x f u =具有二阶连续偏导数，而 2
3,2
3t
s y t
s x +=-=
， 证明 22222222t
u
s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂
题型四 反问题
解题思路：由已知满足的关系式或条件，利用多元函数微分学的方法和结论，
求出待定的函数、参数等。

例13、 已知dy y x x by dx x y axy )3sin 1()cos (2223+++-为某一函数),(y x f 的全
微分，求b a ,
例14、 设),(y x f z =满足x y
x f x f x y f sin )
0,(,
0)1,(,222=∂∂==∂∂，求),(y x f
例15、设函数 满足 , 试求函数f 的表达式.
题型五、 多元函数的应用 1、极值的求法
步骤：1) 解方程组()x
00f x ,y 0'=，()y 00f x ,y 0'=，得所有驻点； 2) 对每一个驻点()00x ,y ，求()xx
00A=f x ,y ''， ()xy
00B f x ,y ''=，()yy 00C=f x ,y ''的值； 3）由2B AC -的符号确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点。

2、最值的求法
闭区域上连续多元函数的最值可能在区域内部或边界上达到，先求出在区域内部的所有驻点以及偏导数不存在的点，比较这些点与边界上点的函数值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。

对于实际问题一般根据实际背景来确定是否取最值（如可能极值点唯一，则极小（大）值点即最小（大）值点）。

条件极值还可用拉格朗日乘数法来求。

例16、讨论二元函数33222()z x y x y =+-+的极值。

例17 求椭圆222380x xy y y ++-=与直线8x y +=之间的最短距离。

*例18、（054）求f(x,y)=22
2
+-y x 在椭圆域}14
),{(2
2
≤+=y x y x D 上的最大
值和最小值.
*例19、(99 34)设生产某种产品必须投入两种要素，x1和x2分别为两种要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为Q=, 其中假设两种要素的价格分别为. 试问：当产出量为12时，两要素各投入多少时可以使得投入总费用最小？
例20 （103）求函数u = xy+2 yz 在约束条件x 2+ y 2 +z 2=10下的最大值和最小值 .
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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