二阶线性微分方程
二阶线性微分方程组
二阶线性微分方程组在数学领域中，二阶线性微分方程组是一种非常重要的方程形式，它在物理学、工程学和统计学等领域中都得到了广泛的应用。
本文将对二阶线性微分方程组进行详细地介绍及分析。
一、基本概念二阶线性微分方程组是指由二元函数所形成的方程组，其中每个函数都是自变量的函数，并且该方程组可以表示成如下的形式：$$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}^{2}y_{1}(x)}{\mathrm{d}x^{2}}+p_{1}(x)\frac{\mathrm{d} y_{1}(x)}{\mathrm{d} x}+q_{1}(x)y_{1}(x)&=f_{1}(x)\\\frac{\mathrm{d}^{2}y_{2}(x)}{\mathrm{d}x^{2}}+p_{2}(x)\frac{\mathrm{d} y_{2}(x)}{\mathrm{d} x}+q_{2}(x)y_{2}(x)&=f_{2}(x)\end{aligned}$$其中，$y_{1}(x),y_{2}(x)$ 是二元函数，$p_{1}(x),p_{2}(x),q_{1}(x),q_{2}(x),f_{1}(x),f_{2}(x)$ 都是已知函数。
这种方程组的特点是每个方程中只含有一个未知函数及其导数。
二、特解与通解解二阶线性微分方程组需要先找到该方程组的特解和通解。
方程组的特解指的是满足该方程组的某个特定解法；通解指的是该方程组的所有解法的集合。
特解与通解的构成取决于方程组的三个系数：$p_{1}(x),p_{2}(x),q_{1}(x)$。
共分为三种情况：情况一：$p_{1}(x),p_{2}(x),q_{1}(x)$ 都是常数。
此时，我们需要先求出方程组的特征方程：$\lambda^{2}+p_{1}\lambda+q_{1}=0$。
该特征方程的解将决定特解和通解的形态。
如果特征方程有两个两个不同的实根$\lambda_{1},\lambda_{2}$，则方程组的通解为：$$y_{1}(x)=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x},y_{2 }(x)=C_{3}e^{\lambda_{1}x}+C_{4}e^{\lambda_{2}x}$$其中，$C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}$ 是任意常数。
二阶微分方程
解法
(r 2 pr q ) e r x 0 r 2 pr q 0
上述方程称为微分方程的特征方程, 其根称 为特征根. 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程(代数方程)之根
y p y q y 0 ( p, q为常数 )
特征方程: r 2 pr q 0 , 特征根 实根 通 解
定理2 如果函数 y1 与 y2 是二阶齐次线性方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解， 则 y = C1 y1 + C2 y2
是该方程的通解，其中 C1, C2为任意常数.
例 验证 y1 cos x, y2 sin x 是方程 y y 0 的 两个解，并写出该方程的通解
y p ( x) y q ( x) y 0
的两个解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)也是该方程的解.
(叠加原理)
注意 叠加起来的解从形式上看含有 C1 与 C2 两 个任意常数，但它还不一定是方程的通解．
例如
y1 2 y2
定义 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间I 上 的n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
例1 写出下列方程的特解形式.
例2 求微分方程
的通解
思考题
1 设函数 y(x) 满足
y(0) 1, 求 y(x)
2 求以 y (C1 C2 x x 2 )e 2 x 为通解的线性微分 方程（其中C1, C2为任意常数）
* * 且 y1 与 y2 分别是
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)， 和 y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)
二阶微分方程
是线性非齐次方程的解， 这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解， 是二阶线性齐次方程的通解， 又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常 数，故 y = Y + y* 中含有两个任意常数 即 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 的通解. 是线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的通解 ″ ′ 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： (1) 求线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的线性 ) ″ ′ 无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的 ) ″ ′ 一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 那么，
1.二阶常系数线性齐次方程的解法 .
④ 考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程 ， 均为常数， ′ 形式的解， 为待定常数. 具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数 将 y′ = 代入上式， rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 ″ erx (r2 + pr + q) = 0 . ⑤ rx 是上述一元二次方程的根时， 即 r 是上述一元二次方程的根时， y = e 就是 式的解. 方程⑤称为方程④ 特征方程. ④式的解 方程⑤称为方程④的特征方程 特征方 程的根称为特征根 特征根. 程的根称为特征根 由于e 由于 rx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 ，因此， r2 + pr + q = 0， ， 设二阶常系数线性齐次方程为 y″ + py′ + qy = 0 . ″ ′
二阶微分方程
二阶微分方程
二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程，简单称为二阶线性方程。
二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。
如果一个二阶方程中，未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的，就称它为二阶线性微分方程，简单称为二阶线性方程。
二阶线性微分方程的解方式分成两类，一就是二阶线性齐次微分方程，二就是线性非齐次微分方程。
前者主要就是使用特征方程解，后者在对应的齐次方程的吉龙德上加之直和即为非齐次方程的吉龙德。
齐次和非齐次的微分方程的吉龙德都涵盖一切的求解。
二阶线性微分方程定义：y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) 方程称作二阶线性微分方程
当 f ( x ) = 0 恒成立时，称该方程为二阶线性齐次方程；
当 f ( x ) ≠ 0 指该方程为二阶线性非齐次方程。
定理：若 y 1 ， y 2 是二阶线性齐次方程y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 的解，则 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 （ c 1 , （c1，c 2 ∈ r ) 仍
是它的解。
二阶线性常微分方程求解
二阶线性常微分方程求解
二阶线性常微分方程是一种重要的微分方程，它是一个双重阶的微分方程，包含一个高阶导数和一个一阶导数，可以用来描述物理过程中特定变量之间的变化。
它可以用来描述复杂系统的行为，从而为我们提供一种有效的解决方法。
二阶线性常微分方程的一般形式为：y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)，其中y是一个未知函数，P(x)和Q(x)是确定的函数，f(x)是给
定的函数。
二阶线性常微分方程的解法有多种，但是最常用的是牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种迭代法，它可以解决二阶线性常微分方程。
牛顿迭代法的基本思想是：将二阶线性常微分方程分解为两个一阶线性常微分方程，然后采用牛顿迭代法迭代求解。
牛顿迭代法的步骤如下：（1）确定初值，即设定y(x0)和
y'(x0)的初始值；（2）求解y'(x0)的值，即求解一阶线性常微
分方程；（3）求解y(x0)的值，即求解二阶线性常微分方程；（4）将求得的y(x0)和y'(x0)作为下一次迭代的初始值，重复
步骤（2）和（3），直到满足给定精度要求为止。
二阶线性常微分方程在工程学和物理学中都有着广泛的应用，例如，可以用它来模拟物理系统的运动，从而获得精确的解决方案；也可以用它来解决水利工程中的洪水问题，从而获得最优的解决方案。
总之，二阶线性常微分方程可以用来模拟各种复杂物理过程，牛顿迭代法是一种有效的解决方法，它可以帮助我们获得更准确的解决方案。
二阶线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如(1))(x f qy y p y =+'+''的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的p q )(x f 连续函数.如果,则方程式 (1)变成0)(≡x f(2)0=+'+''qy y p y 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性定理1 如果函数与是式(2)的两个解, 则也是1y 2y 2211y C y C y +=式(2)的解,其中是任意常数.21,C C 证明 因为与是方程(2)的解,所以有 1y 2y 0111=+'+''qy y p y0222=+'+''qy y p y 将代入方程(2)的左边,得 2211y C y C y += )()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+''= 0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以是方程(2)的解. 2211y C y C y +=定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的21,C C 通解.2.线性相关、线性无关的概念设为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n y y y 使得当在该区间内有, 则称这,,,,21n k k k 02211≡+++n n y k y k y k n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 在实数范围内是线性相关的,因为 x x 22sin ,cos ,10sin cos 122≡--x x 又如在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使2,,1x x02321≡++x k x k k 必须.0321===k k k 对两个函数的情形,若常数, 则,线性相关,若常数, 则=21y y 1y 2y ≠21y y,线性无关.1y 2y 3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果与是方程式(2)的两个线性无关的特解,则1y 2y 为任意常数)是方程式(2)的通解.212211,(C C y C y C y +=例如, 是二阶齐次线性方程,是它的0=+''y y x y x y cos ,sin 21==两个解,且常数,即,线性无关, 所以 ≠=x y y tan 211y 2yx C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 是任意常数)是方程的通解. 21,C C 0=+''y y由于指数函数(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,rxe y =根据指数函数的这个特点,我们用来试着看能否选取适当的常数,rxe y =r 使满足方程(2).rxe y =将求导,得rxe y =rx rx e r y re y 2,=''='把代入方程(2),得 y y y ''',,0)(2=++rx e q pr r 因为, 所以只有(3)0≠rxe02=++q pr r 只要满足方程式(3),就是方程式(2)的解.r rxe y =我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中的系数及常数项恰好依次是方程(2)的系数.r r ,2y y y ,,''' 特征方程(3)的两个根为 , 因此方程式(2)的通解2422,1qp p r -±-=有下列三种不同的情形.(1) 当时，是两个不相等的实根.042>-q p 21,r r,2421q p p r -+-=2422qp p r ---=是方程(2)的两个特解,并且常数,即x r x r e y e y 2121,==≠=-x r r e y y )(2121与线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为1y 2y x r x r e C e C y 2121+=(2) 当时, 是两个相等的实根.042=-q p 21,r r ,这时只能得到方程(2)的一个特解,还需求出另221p r r -==xr e y 11=一个解,且常数,设, 即 2y ≠12y y )(12x u y y=)(12x u e y x r =. )2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='将代入方程(2), 得 222,,y y y '''[]0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r 由于, 所以 01≠xr e 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为是特征方程(3)的二重根, 所以1r02,01121=+=++p r q pr r 从而有0=''u 因为我们只需一个不为常数的解,不妨取,可得到方程(2)的另一x u =个解.x r xe y 12=那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即.x r e x C C y 1)(21+=(3) 当时,特征方程(3)有一对共轭复根042<-q p ()βαβαi r i r -=+=21,0≠β于是x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 把改写为x i x e ixsin cos +=21,y y )sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα-=⋅==--之间成共轭关系,取21,y y =,-1y x e y y x βαcos )(2121=+x e y y iy x βαsin )(2121_2=-=方程(2)的解具有叠加性,所以,还是方程(2)的解,并且-1y -2y 常数,所以方程(2)的通解为 ≠==--x xe x e y y x x βββααtan cos sin 12)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r (2)求特征方程的两个根21,r r (3)根据的不同情形,按下表写出方程(2)的通解. 21,r r 特征方程的02=++q pr r 两个根21,r r 方程 的通0=+'+''qy y p y 解两个不相等的实根 21r r ≠xr xr eC e C y 2121+=两个相等的实根 21r r = xr e x C C y 1)(21+=一对共轭复根βαi r ±=2,1)sin cos (21x C x C e y x ββα+=例1求方程的通解. 052=+'+''y y y 解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为.)2sin 2cos (21x C x C e y x +=-例2 求方程满足初始条件0222=++S dt dSdtS d 2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r 通解为t e t C C S -+=)(21将初始条件代入,得 ,于是40==t S41=C ,对其求导得t e t C S -+=)4(2t e t C C S ---=')4(22将初始条件代入上式,得20-='=t S22=C 所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程的通解. 032=-'+''y y y 解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r 其根为1,321=-=r r 所以原方程的通解为x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法 1.解的结构定理3 设是方程(1)的一个特解,是式(1)所对应的齐次方程式(2)*y Y 的通解,则是方程式(1)的通解.*+=y Y y 证明 把代入方程(1)的左端:*+=y Y y)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y = )()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+使方程(1)的两端恒等,所以是方程(1)的解.*+=y Y y *+=y Y y 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端是几个函数之和,如 )(x f(4))()(21x f x f qy y p y +=+'+''而与分别是方程 *1y *2y )(1x f qy y p y =+'+''与)(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可**+21y y 用上述定理来帮助求出.2.型的解法)()(x P e x f m xλ=,其中为常数,是关于的一个次多项式.)()(x P e x f m x λ=λ)(x P m x m方程(1)的右端是多项式与指数函数乘积的导数仍为同)(x f )(x P m xe λ一类型函数,因此方程(1)的特解可能为,其中是某个多xe x Q y λ)(=*)(x Q 项式函数. 把x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去,得 xe λ(5))()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ 以下分三种不同的情形,分别讨论函数的确定方法:)(x Q(1) 若不是方程式(2)的特征方程的根, 即λ02=++q pr r ,要使式(5)的两端恒等,可令为另一个次多项式02≠++q p λλ)(x Q m :)(x Q mm m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于同次幂的系数,就得到关于未知数x m b b b ,,,10 的个方程.联立解方程组可以确定出.从而得到所求1+m ),,1,0(m i b i =方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2)若是特征方程的单根, 即λ02=++q pr r ,要使式(5)成立, 则必须要是次多02,02≠+=++p q p λλλ)(x Q 'm 项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定的系数. )(x Q m ),,1,0(m i b i = (3) 若是特征方程的重根,即λ02=++q pr r ,02=++q p λλ.02=+p λ要使(5)式成立,则必须是一个次多项式，可令)(x Q ''m)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定的系数.)(x Q m 综上所述,若方程式(1)中的,则式(1)的特解为xm e x P x f λ)()(=x m k e x Q x y λ)(=*其中是与同次多项式,按不是特征方程的根,是特征方程)(x Q m )(x P m k λ的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程的一个特解.xey y 232-='+''解 是型, 且)(x f xm e x p λ)(2,3)(-==λx P m 对应齐次方程的特征方程为 ,特征根根为.022=+r r 2,021-==r r =-2是特征方程的单根, 令λ,代入原方程解得x e xb y 20-=*230-=b 故所求特解为.x xe y 223--=*例5 求方程的通解. xe x y y )1(2-='-''解 先求对应齐次方程的通解. 02=+'-''y y y 特征方程为 , 0122=+-r r 121==r r 齐次方程的通解为 .x e x C C Y )(21+= 再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于是特征方程的二重根,所以1=λx e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去得xe126-=+x b ax 比较系数,得61=a 21-=b 于是x e x x y )216(2-=*所给方程的通解为x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*3.型的解法x B x A x f ϖϖsin cos )(+=其中、、均为常数.,sin cos )(x B x A x f ωω+=A B ω此时,方程式(1)成为(7)x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+''这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解也*y 应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中为待定常数.为一个整数.b a ,k 当不是特征方程的根, 取0; ω±i 02=++q pr r k 当不是特征方程的根, 取1; ω±i 02=++q pr r k 例6 求方程的一个特解. x y y y sin 432=-'+''解，不是特征方程为的根，.1=ωω±i i ±=0322=-+r r 0=k 因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将代入原方程，得*''*'*y y y ,,⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得54,52-=-=b a 原方程的特解为:x x y sin 54cos 52--=*例7 求方程的通解.x e y y y xsin 32+=-'-''解 先求对应的齐次方程的通解.对应的齐次方程的特征方程为Y0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=- 再求非齐次方程的一个特解.*y 由于,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为x e x x f -+=2cos 5)(的特解、,则 是原方程的一,)(1x e x f =x x f sin )(2=*1y *2y **+=*21y y y 个特解.由于,均不是特征方程的根,故特解为1=λω±i i ±= )sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b 解之得 . 51,101,41-==-=c b a 于是所给方程的一个特解为x x e y x sin 51cos 10141-+-=*所以所求方程的通解为 . x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*。
5二阶线性微分方程解的结构与通解性质
y 1 z ( 2 y 1 P y 1 ) z f (一阶线性方程)
设其通解为 z C 2 Z (x ) z (x )
积分得
u C 1 C 2 U (x ) u (x )
kk11
2k2 4k2
0 0
x ex
C,
x,ex 线性无 . 关
只有零解。
故得齐次方程的两个线性无关的特解， 非齐方程的通解为：
y x ( x 1 ) 2 C 1 ( x e x ) C 2 ( 2 x 4 e x )
y(0)0 0 1 C 1 4 C 2
二. 二阶线性微分方程解的性质 与通解的结构
设有二阶线性齐次微分方程
d d2y 2xa(x)d dx y b(x)y0
(2)
关于(2)的解，我们有：
定理1 若y1(x),y2(x)是方(2程 )的解，则它们 的任意组合
y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )
都是方程(2)的解，其中C1,C2 为任意常数。 线性齐次方程的解具有可叠加性。
将yy1Y代入非齐次方 ，程 得的 ：左端 ( y 1 Y ) a ( x ) y 1 Y ( ) b ( x ) y 1 Y ( )
( Y a ( x ) Y b ( x ) Y ) ( y 1 a ( x ) y 1 b ( x ) y 1 ) 0f(x) f(x) 即yy1Y是非齐次方程的 由解 于 Y， 是又 对应 齐次方程的通解 两， 个含 独有 立的任意 所常数 以y中含有两个独立 故常 为数 通， 解。
y y 1 ( x )v1(x) y 2 ( x )v2(x) 只有一个必须满足的条件即方程③, 因此必需再附加一
第七节二阶线性微分方程解的结构
求导数, 得
y ' u y ' u y ' y u ' y u ' , 1 1 2 2 1 1 2 2
常数变易法
y ' u y ' u y ' y u ' y u ' , 1 1 2 2 1 1 2 2
u ' y u ' 0 . 我们补充如下条件: y 1 1 2 2
二阶线性微分方程解的定理
dy dy P ( x ) Q ( x ) y 0 (1 ) 2 dx dx 定理 2 若 y1( x)与 y2(x)是方程(1)的两个线性无
2
C y ( x ) C y ( x ) 关的特解,则 y 1 1 2 2
就是方程(1)的通解, 其中C 1,C 2是任意常数.
第七章 微分方程
第六节 高阶线性微分方程
二阶线性微分方程的概念 二阶线性微分方程的一般形式是
d y dy P ( x ) Q ( x ) y f ( x ), (1 ) 2 dx dx 的已知函数, 其中 P( x) Q(x)及 f (x)是自变量 x 丶
函数 f (x)称为方程(1)的自由项. 当 f( 时, x ) 0
齐次线性微分方程的解法
d y dy (1 ) P ( x ) Q ( x ) y 0 , 2 dx dx 设 y 1 是方程(1)的一个已知非零特解, 作变量替换
2
y uy , 1
(2)
dy du dy 1 y u , 1 dx dx dx
dy d y d y d u du 1 1 y 2 u , 1 2 2 2 dxdx dx dx dx
例1 已知
二阶线性微分方程讲解
y1 e
r1x
是(1)的一个特解, 求另一个线性无关的特解.
取 u x, 得到另一个线性无关的特解 y xer1x 2
u 0
y py qy f ( x),
p, q为常数。
(4)
由解的结构可知, (4)的通解是: 故只要求出(4)的一个特解 待定系数法
y Y y
y
即可.
1. f ( x) Pm ( x)e ，其中λ是常数， P 是x的一 m ( x)
个m次多项式； 因为多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式 与指数函数的乘积, 不妨设 y * Q( x)e x 是非齐 次方程(4)的特解，Q(x)为待定多项式，将
在 xk中取 k=0，于是设特解 y*=Aex 则 y*′=Aex，y*〞=Aex x x 代入原方程，得: 2 Ae Ae 即 2A=2 比较两端x同次幂系数, 得: 所以特解为: A=1,
Ae 2e
x
x
y e
*
x
x
所求通解为:
y C1e
C2 e
x/2
e
x
y 2 y 3 y 3x 1的通解 . 例5 求微分方程 解: 方程所对应的齐次方程为: y 2 y 3 y 0
x
y * Q( x)e x * x y e [Q( x) Q ( x)] * x 2 y e [ Q( x) 2Q ( x) Q ( x)]
代入(4)式，并消去eλx 整理后，得
2 Q (2 p)Q ( x) ( p q)Q( x) Pm ( x)
二阶微分方程
设二阶线性齐次方程为： 设二阶线性齐次方程为：
(1)如果y1 ( x ), y2 ( x )为二阶线性齐次方程 (1) 的 两个解， 两个解，则 y = C1 y1 ( x ) + C 2 y2 ( x )仍为(1)的解, 为常数。 其中C1，C 2为常数。
例1
判别下列两组函数哪些是线性无关的？ 判别下列两组函数哪些是线性无关的？
(1) 1 + cos 2 x ,
cos x;
2
(2)e ,
−x
xe .
−x
解的结构定理： 2. 解的结构定理：
a0 ( x ) y′′ + a1 ( x ) y′ + a2 ( x ) y = 0 ------(1) a0 ( x ) y′′ + a1 ( x ) y′ + a2 ( x ) y = f ( x )--(2)
=0
的解。 故 y = e 为 (1′ ) 的解。
对应于特征根的三种情况， 对应于特征根的三种情况，(1′ ) 的通解有以 下三种情况： 下三种情况：
(1) r1 ≠ r2 时, y1 = e , y2 = e
r1 x
r2 x
的两个线性无关的特解， 为 (1′ ) 的两个线性无关的特解，
′)的通解为： y = C1er1x + C2er2 x (1 的通解为：
定理2 定理
设y1 ( x ), y2 ( x )为二阶线性齐次方程 (1) 的 两个线性无关的解， 两个线性无关的解，则 (1)的通解为 y = C1 y1 ( x ) + C 2 y2 ( x ) , 为两个任意常数。 其中C1，C 2为两个任意常数。
二阶常系数线性微分方程
下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构
y ay by f ( x)
(9 30)
y ay by 0
(9 25)
定理9.2 如果 y( x) 是方程 ( 9 30) 的一个特解, Y 是
方程 ( 9 30) 对应齐次方程( 9 25) 的通解, 则方程
形如
y ay by 0
(9 25)
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中a , b 为已知常数.
定义9.4 设 y1( x), y2( x)为定义在 (a,b)内的两个函 数. 如果存在非零常数k , 使得 y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性相关, 如果对于任意常数k , y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
故方程的通解为
将 y ex 求导, 得
y ex , y 2ex ,
把 y, y, y 代入齐次线性微分方程中,
(2 a b)ex 0
由于 ex 0,
所以
2 a b 0
(9 27)
只要 是上方程的根，y ex 就是微分方程的解.
方程 2 a b 0 称为齐次线性微分方程的特征方程.
(9 30) 的通解为
y(x) Y y(x)
(9 31)
y ay by 0的通解
y ay by f ( x)的一个特解
归纳
对线性方程组Ax = b，它的通解：
x k11 k22 knr nr
齐次方程通解
非齐次方程特解
对一阶线性微分方程y P( x) y Q( x)，它的通解：
特征方程的根为
1,2 a
二阶线性非齐次微分方程
二阶线性非齐次微分方程
二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程，简单称为二阶线性方程。
二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。
如果一个二阶方程中，未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的，就称它为二阶线性微分方程，简单称为二阶线性方程。
二阶线性微分方程的解方式分成两类，一就是二阶线性齐次微分方程，二就是线性非齐次微分方程。
前者主要就是使用特征方程解，后者在对应的齐次方程的吉龙德上加之直和即为非齐次方程的吉龙德。
齐次和非齐次的微分方程的吉龙德都涵盖一切的求解。
二阶线性微分方程定义：y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) 方程称作二阶线性微分方程
当 f ( x ) = 0 恒成立时，称该方程为二阶线性齐次方程；
当 f ( x ) ≠ 0 指该方程为二阶线性非齐次方程。
定理：若 y 1 ， y 2 是二阶线性齐次方程y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 的解，则 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 （ c 1 , （c1，c 2 ∈ r ) 仍
是它的解。
二阶微分方程的解法
二阶微分方程的解法引言：在微积分中，二阶微分方程是一种常见的数学工具，用于描述复杂的物理和工程问题。
解决二阶微分方程可以提供对系统的深入理解，并有助于预测和控制其行为。
本文将介绍几种常见的二阶微分方程的解法，包括常系数线性二阶微分方程、非齐次线性二阶微分方程以及常见特殊形式的二阶微分方程。
一、常系数线性二阶微分方程的解法：常系数线性二阶微分方程的一般形式可以表示为：\\[ay'' + by' + cy = 0\\]其中，a、b、c为常数，y是未知函数。
这个方程中的三个系数a、b、c决定了方程的性质和解的形式。
1.特征方程法：解决常系数线性二阶微分方程的一种常见方法是通过求解特征方程来获得解的形式。
通过设定y=e^(rx)，将其代入原方程，可以得到特征方程：\\[ar^2 + br + c = 0\\]根据特征方程的解，可以将原方程的通解表示为：\\[y = C_1e^(r_1x) + C_2e^(r_2x)\\]其中，r1和r2是特征方程的解，C1和C2是待定常数。
这个方法适用于特征方程有两个不相等的实根的情况。
2.欧拉方程法：对于具有复数解的特征方程，可以使用欧拉方程法来解决。
通过设y=e^(rx)，将其带入原方程，并使用欧拉公式进行变换，可以得到解的形式：\\[y = e^(ax) (C_1cos(bx) + C_2sin(bx))\\]其中，a和b是特征方程的实部和虚部，C1和C2是待定常数。
这个方法适用于特征方程有复数解的情况。
二、非齐次线性二阶微分方程的解法：非齐次线性二阶微分方程的一般形式可以表示为：\\[ay'' + by' + cy = f(x)\\]其中，f(x)是已知函数。
为了解决这个方程，首先需要求解对应的齐次方程\\(ay'' + by' + cy = 0\\)的通解。
然后，根据待定系数法或常数变易法，找到非齐次方程的一个特解。
二阶线性微分方程
x
x
x 3 x6 x 3n 例10、验证函数 y( x ) 1 3! 6! (3n)! 满足微分方程 y y y e x x ( , ) 3n x 利用此结果求 的和函数。 n 0 (3n)!
11
1 x xi 1 ( i ) x xi ( i ) x [e e ] [e ( e e )] 2 2 1 x {e [cos x i sin x cos( x ) i sin( x )] 2 e x cos x 也是原微分方程的特解； 1 ( i ) x ( i ) x 同理 [e e ] 2i 1 x {e [cos x i sin x cos( x ) i sin( x )] 2i e x sin x 也是原微分方程的特解；
∴原微分方程的两个特解:
y1 ( x ) e
1 x
e
( i ) x
, y2 ( x ) e
2 x
e
( i ) x
,
显然 y1 (x)与 y2 (x) 线性无关, 通解为: y C1e ( i ) x C2e ( i ) x , 复数形式，涉及复数运算， 重新组合，变为实数形式。 由解的线性性得：
2
由于非齐次的一个特解与非齐次线性微分方程中 的 f (x) 的形式有着重要的关系，如多项式、指数函数， 正弦及余弦函数求若干次导数后不改变函数的形式。
19
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f ( x )
1、 f ( x ) un ( x )e
x
型
对应齐次方程: 通解结构:
§ 3 二阶线性微分方程
《高等数学》第三节 二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程
一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
一、二阶线性微分方程解的结构
形如 y'' P( x) y' Q( x) y f ( x)
(1)
的方程，称为二阶线性微分方程.当 f ( x) 0 时，
把它们分别代入所给方程左端，得 e x e x 2e x 0, 4e 2 x 2e 2 x 2e 2 x 0，
故y1 ( x) e x与y2 ( x) e 2 x 都是原方程的解.
y 2 ( x) e x 2 x e 3 x 常数， y1 ( x) e
0，
即
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)满足方程(3)，
所以它是方程(3)的解.
这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两 个解y1(x)， y2(x)的线性组合 C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) ，仍 是方程的解.那么，y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 是不是方程 (3)的通解呢？
成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，
否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关.
定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微 分方程(3)的两个线性无关的特解，则
y C1 y1 ( x) C2 y 2 ( x) (C1 , C2为任意常数)
就是方程(3)的通解.
也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显 然它不是所给方程的通解.
问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时，
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) (C1，C2为任意常数)
二阶线性微分方程
Rm ( x)e
m
( i ) x
m
的实部与虚部，其中Rm(x)为x的m次
类似于情形(1)中的讨论. 可推得如下结论: 方程
y py qy e x [Pl ( x) cosx Pn ( x) sin x]
具有形如
y x e [R ( x) cos x R ( x) sin x]
r1 x y u ( x ) e 设 2 代入方程(1): 2 u (2r1 p)u (r1 pr 1 q)u 0
y1 e
r1x
是(1)的一个特解, 求另一个线性无关的特解.
取 u x, 得到另一个线性无关的特解 y xer1x 2
u 0
k 1
例3:
y (5) y ( 4) y (3) y 0 5 4 3 2 r r r r 0, r 0,0,1, i,i,
则通解为 y C1 C2 x C3e x C4 cos x C5 sin x 二. 二阶常系数非齐次线性微分方程 一般形式:
它的特征方程为: 解得:
r 2r 3 0
2
r1 3, r2 1,
对应齐次方程的通解为:
3x
y C1e C2 e
x
由于λ=0不是特征方程根，所以设特解
y * b0 x b1
代入方程，得:
3b0 x 2b0 3b1 3x 1
比较两端x同次幂系数，得:
(2) f ( x) e x [Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x] 型
其中P l ( x), P n ( x)分别是x的l次、n次多项式.
令m=max(l, n),由欧拉公式 ( eix cos x i sin x) 易知 R ( x)e x cos x, R ( x)e x sin x 分别为 多项式.
8.5二阶常系数线性微分方程
= er1x (2r1 + p) + xer1x (r12 + pr1 + q) = 0 , 即 xe r1x 是方程的解; xer1x = x 不是常数, 即 e r1x 与 er2 x 线性无关. er1x
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特征方程的根与通解的关系 方程r2+pr+q=0的根的情况 有两个不相等的实根: r1、r2 有两个相等的实根: r1=r2 有一对共轭复根: r1, 2=α±iβ 方程y′′+py′+qy=0的通解 y = C1er1 x + C2er2 x y = C1er1x + C2 xer1x y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
− p±
p 2 − 4q , 2
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特征方程的根与通解的关系 方程r2+pr+q=0的根的情况 有两个不相等的实根: r1、r2 方程y′′+py′+qy=0的通解 y = C1er1 x + C2er2 x
简要证明: 这是因为 函数 e r1x 和 er2 x 都是方程的解; er1x = e(r1 −r2 ) x 不是常数, 即 e r1x 与 er2 x 线性无关. er2 x
y = e− x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
由初始条件 y ( 0 ) = 1 , 得C1 = 1
y ′ = (e − x cos 2 x )′ + C 2 (e − x sin 2 x )′
= − e − x (cos 2 x + 2 sin 2 x ) + C 2 e − x ( − sin 2 x + 2 cos 2 x )
二阶线性微分方程
§4 二阶线性微分方程【目的要求】1、会验证两函数的线性相关与线性无关；2、了解二阶线性齐次微分方程解的叠加定理；3、了解二阶线性非齐次微分方程解的叠加原理及通解；4、了解复数的基本知识；5、熟练掌握二阶常系数线性齐次方程通解的特征根求解法；6、熟练掌握二阶常系数线性非齐次方程特解的待定系数求解法．【重点难点】二阶线性齐次微分方程解结构及的叠加定理．【教学内容】在n 阶微分方程()(,,,,)0n F x y y y '=中, 若未知函数y 及其各阶导数y ',y ',…,()n y 都是一次的, 则称此方程为n 阶线性微分方程. 其一般形式为()(1)1()()()n n n y a x y a x y f x -+++= (1)其中12(),(),,(),()n a x a x a x f x 是区间I 上的连续函数. 若()0f x ≡, 则称方程(1)为n 阶线性齐次微分方程; 否则, 则称方程(1)为n 阶线性非齐次微分方程. 本节主要讨论二阶线性非齐次微分方程()()()y p x y q x y f x '''++= (2)及二阶线性微分方程()()0y p x y q x y '''++= (3)的有关理论及解法, 所得结论可以相应推广到n 阶线性微分方程.一、二阶线性微分方程解的结构我们首先讨论二阶线性微分方程解的结构.定理 4.1(解的叠加原理) 如果函数)(),(21x y x y 是齐次方程(3)的两个解, 则1122()()y C y x C y x =+也是方程(3)的解, 其中12,C C 是任意常数.注意 尽管1122()()y C y x C y x =+是方程(3)的解, 又有两个任意常数, 但它不一定是方程(3)的通解.例如, 1sin 2y x =, 23sin cos y x x =都是方程40y y ''+=的解, 但11223()()C sin 2C y x C y x x +=, 其中31232C C C =+. 因此, 1122()()C y x C y x +中实际只含有一个任意常数, 他并不是方程40y y ''+=的通解.要判断1122()()y C y x C y x =+在什么情况下是方程(3)的通解, 需要引入线性相关与线性无关的概念.定义 4.1 设)(,),(),(21x y x y x y n 是定义在区间I 上的函数, 如果存在不全为零的常数n k k k ,,21, 使得02211≡+++n n y k y k y k , 则称)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性相关; 否则, 称)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性无关. 定理 4.2 设)(),(21x y x y 是定义在区间I 上的函数, 则)(),(21x y x y 线性无关的充要条件是)()(21x y x y 不恒为常数. 例如, 当(,)x ∈-∞+∞时, 2,x x e e 线性无关; 2,x x 线性无关; ,2x x 线性相关. 有了函数线性无关的概念, 我们就有如下关于二阶线性齐次微分方程的通解结构定理.定理 4.3 设)(),(21x y x y 是齐次方程(3)的两个线性无关的特解, 则其通解为1122()()y C y x C y x =+. (12,C C 为任意常数)例如, 方程0y y ''+=式二阶齐次线性方程. 容易验证, 1sin y x =, 2cos y x=都是所给方程的两个解, 且21cos cot sin y x x y x==≠常数, 即它们是线性无关的. 因此, 方程0y y ''+=的通解为12sin cos y C x C x =+.定理4.4 设*y 是方程(2)的一个特解, 而Y 是其对应的齐次方程(3)的通解, 则*+=y Y y是二阶线性非齐次微分方程(2)的通解.例如, 方程2y y x ''+=是二阶线性非齐次微分方程. 已知12sin cos Y C x C x =+是对应齐次方程0y y ''+=的通解; 有容易验证2*2y x =-是所给方程的一个特解. 因此,212sin cos 2y C x C x x =++-是所给方程的通解.定理 4.5 设*1y 与*2y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的特解, 则**+21y y 是方程)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''的特解.二、二阶线性常系数齐次常微分方程由定理4.3知道, 要求二阶线性齐次方程(3)的通解, 只需求出它的两个线性无关的特解12,y y . 一般来说, 没有普遍适用的方法方法能求出12,y y , 但对于线性常系数齐次微分方程, 却能比较方便的求出它的两个线性无关的特解. 形如0=+'+''qy y p y (4)的方程称为二阶常系数线性齐次微分方程, 其中q p ,为常数. 方程(4)把二阶线性齐次方程(3)中,y y '的系数(),()p x q x 看做常数,p q 的特殊情形.先来分析方程(4)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上看, 它的特点是y '', y '与y 各乘以常数因子后相加等于零, 如果能找到一个函数y , 使得y '', y '与y 之间只相差一个常数, 这样的函数就有可能是方程(4)的特解. 易知在初等函数中, 函数rx e 符合上述要求, 于是, 令rx y e =来尝试求解, 其中r 为待定常数.将rx y e =, rx y re '=, 2rx y r e ''=代入方程(4), 得2()0rx e r pr q ++=,即 20r p r q ++=, (5) 由此可见, 如果r 是方程(5)的根, 则rx y e =就是方程(4)的特解, 这样, 齐次方程(4)的求解问题就转化为代数方程(5)的求根问题.方程(5)称为微分方程(4)的特征方程, 并称特征方程的两个根12,r r 为特征根.根据初等代数的知识, 特征根有三种可能的情况, 下面分别讨论.1. 特征方程有两个不相等的实根特征根为1,2r =(240p q ->), 方程(4)的两个特解为x r e y 11=,x r e y 22=, 且线性无关, 从而方程(4)的通解为1212r x r x y C e C e =+,2. 特征方程有两个相等的实根 特征根为1,22p r =-（240p q -=）, 这样只能得到方程(4)的一个特解x r e y 11=,因此, 我们还要设法找出另一个特解, 并使2y 与1y 线性无关, 即21y y ≠常数, 为此设 12r x y u e=即12r x y ue =, 其中()u u x =为待定函数.将12r x y ue =, 121()r x y e u ru ''=+, 12211(2)r x y e u ru r u '''''=++代入方程(4), 得12111[(2)()]0r x e u r p u r pr q '''+++++=,因为10r x e ≠, 120r p +=, 2110r pr q ++=, 所以0=''u ,积分, 得 12u C x C =+.为简便起见, 取u x =, 得12r x y xe =, 从而方程(4)通解为112()r x y C C x e =+.3. 特征方程有一对共轭复根特征根为1,2r i αβ==±（240p q -<）, 方程(4)的两个复数形式的特解为x r e y 11=,x r e y 22=. 应用欧拉公式cos sin i e i θθθ=+, 得)sin (cos 1x i x e y x ββα+=, )sin (cos 2x i x e y x ββα-=.令1121()cos 2x y y y e x αβ=+=, 2121()s i n 2x y y y e x iαβ=-=, 根据定理4.3, 1y ,2y 也是方程(4)的特解, 且线性无关, 故方程(4)的通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+.综上所述,要求二阶常系数线性齐次微分方程(4)的通解, 只须先求出其特征方程(5)的根, 再根据根的情况便可确定其通解, 现列表总结如下(见表4.1):表4.1例1 求微分方程032=-'+''y y 的通解.解 原方程的特征方程为0322=-+r r ,解得特征根为1,321=-=r r . 所以, 原方程的通解为312x x y C e C e -=+.例2 求微分方程440y y y '''++=的通解.解 原方程的特征方程为2440r r ++=,解得特征根为122r r ==-. 所以, 原方程的通解为212()x y C C x e -=+.例3 求微分方程 250y y y '''++=的通解.解 原方程的特征方程为2250r r ++=,解得特征根为1212r i =-±，. 所以, 原方程的通解为12(cos 2sin 2)x y C x C x e -=+.三、二阶线性常系数非齐次常微分方程二阶线性常系数非齐次常微分方程的一般形式()y py qy f x '''++= (6)其中,p q 为常数, ()0f x ≠.由线性非齐次方程通解结构的定理4.4可知, 方程(6)的通解等于对应的齐次方程(4)的通解与它本身的一个特解之和. 在上一节已经讨论了齐次方程(4)通解的求法, 现在只需讨论如何求出非齐次方程(6)的一个特解*y .本节只介绍当方程(6)中的()f x 取两种常见形式时求*y 的方法. 这种方法的特点是不用积分就可求出*y 来, 该方法叫做待定系数法. ()f x 的两种形式是(1) )()(x P e x f m x λ=, 其中λ为常数, )(x P m 是关于x 的一个m 次多项式:1110()m m m m m P x a x a x a x a --=++++;(2) ()[P ()cos P ()sin ]x l n f x e x x x x λωω=+, 其中,λω为常数, ()l P x , ()n P x 分别是关于x 的l 次、n 次多项式.下面分别介绍()f x 为上述两种形式时*y 的求法.1. )()(x P e x f m x λ=型的解法由于方程(6)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积, 而多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数乘积, 因此, 我们推测方程(6)的特解可能为x e x Q y λ)(=*(其中)(x Q 是某个多项式). 把*y 及其导数代入方程(6), 然后考虑能否选取适当的多项式()Q x , 使x e x Q y λ)(=*满足方程(6). 为此, 将*()x y Q x e λ=x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(6)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (7)以下分三种不同的情形, 分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是对应齐次方程式(4)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ, 要使式(7)的两端恒等, 可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(7)式, 并比较两端关于x 同次幂的系数, 就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程. 联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =. 从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是对应齐次方程式(4)的特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ, 要使式(7)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =并用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是对应齐次方程式(4)的特征方程02=++q pr r 的重根, 即,02=++q p λλ 02=+p λ. 要使(7)式成立, 则)(x Q ''必须是一个m 次多项式, 可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述, 若方程式(6)中的x m e x P x f λ)()(=, 则它的特解为x m k e x Q x y λ)(=*,其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式, k 按λ不是特征方程的根, 是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为022=+r r ,特征根根为 2,021-==r r .2λ=-是特征方程的单根.令 x e xb y 20-=*, 代入原方程解得230-=b 故所求特解为x xe y 223--=* . 例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r ,解得特征根 121==r r对应齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ,由于1=λ是特征方程的二重根, 所以令x e b ax x y )(2+=*,把它代入所给方程, 并约去x e 得126-=+x b ax ,比较系数,得61=a , 21-=b , 于是 x e x x y )216(2-=*, 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*. 2. ()[P ()cos P ()sin ]x l n f x e x x x x λωω=+型的解法对于这种形式的特解形式, 我们不准备作深入讨论, 仅给出结论, 并通过例子加以说明.如果()[P ()cos P ()sin ]x l n f x e x x x x λωω=+, 则方程(6)的特解可设为(1)(2)*[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+其中(1)()m R x 、(2)()m R x 是m 次多项式, max{,}m l n =, 而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0、1.例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 先求对应齐次方程230y y y '''--=的通解. 特征方程为 2230r r --=,解得特征根 121,3r r =-=,又1=ω，故ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k . 因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y c o s s i n+-=*' x b xa y s i n c o s --=*'' 将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a 原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解. 解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r , 解得, 特征根 121,3r r =-=.所以对应齐次方程的通解为x x e C e C Y 321+=-.再求非齐次方程的一个特解*y .由于()s i n x f x ex =+, 根据定理 4.5, 分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y , 则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ, ω±i i ±=均不是特征方程的根, 故特解为 )s i n c o s (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数, 得14=-a , 024=+c b , 142=-c b ,解得 111,,4105a b c =-==-. 于是所给方程的一个特解为x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程的解法一、二阶常系数线性微分方程的一般形式二阶常系数线性微分方程的一般形式为：$$y''+ay'+by=f(x)$$其中，$a$和$b$为常数，$f(x)$为一般函数，$y$为未知函数。
二、特征方程为了解二阶常系数线性微分方程，我们需要首先解决特征方程的问题。
特征方程是由原方程的常系数得到的，它的一般形式为：$$r^2+ar+b=0$$关于特征方程的特征根有以下三种情况：（1）特征根为不相等实数：$r_1\eq r_2$。
此时，原方程的通解为：$$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$$（2）特征根为相等实数：$r_1=r_2=r$。
此时，原方程的通解为：$$y=c_1e^{rx}+c_2xe^{rx}$$（3）特征根为共轭复数：$r_1=\\alpha+i\\beta$，$r_2=\\alpha-i\\beta$，其中$\\alpha$和$\\beta$均为实数，而且$\\beta\eq 0$。
此时，原方程的通解为：$$y=e^{\\alpha x}(c_1\\cos\\beta x+c_2\\sin\\beta x)$$其中，$c_1$和$c_2$均为常数。
三、常数变易法常数变易法是解非齐次线性微分方程的常用方法。
它的基本思路是先假设非齐次项的解为一个函数的形式，然后将它代入原方程，得到关于未知函数的一个代数方程，通过求解这个方程，就能得到非齐次方程的一个特解。
通过常数变易法，设非齐次项的解为$y_p(x)=u(x)v(x)$，其中$u(x)$和$v(x)$均为一般函数。
将$y_p(x)$代入原方程，得到：$$u''v+2u'v'+uv''+au'v+avu'=f(x)$$通过适当的选择$u(x)$和$v(x)$，可以让上式左边的部分消去。
一般可以选择$u(x)$和$v(x)$为特征方程的解，即$u(x)$和$v(x)$满足：$$u''+au'+bu=0$$$$v''+av'+bv=0$$此时，如果特征根为不相等实数或者共轭复数，$u(x)$和$v(x)$可以分别取不同的解，而如果特征根为相等实数，$u(x)$和$v(x)$需要取不同的线性无关解。
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2.二阶常系数齐次线性方程解法
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x )
二、二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法: 用常系数齐次线性方程的 特征方程的根确定 y py qy 0 通解.
2
x
y 3 3 x 2 e x 都是微分方程
解 y1 , y2 , y3 都是微分方程的解,
y3 y2 e x , y2 y1 x 2 ,
是对应齐次方程的解,
y3 y2 e x 2 常数 y2 y1 x 所求通解为 y C1 y3 y2 C2 y2 y1
设 y e , 将其代入上方程, 得
rx
( r pr q )e 0
2 rx
e 0,
rx
故有
r pr q 0
2
特征方程
特征根 r1, 2
p
p 4q , 2
2
1、有两个不相等的实根
特征根为 r1
( 0)
2 2
p
p 4q p p 4q , r2 , 2 2
两个线性无关的特解
y1 e ,
r1 x
y2 e ,
r2 x
r1 x
得齐次方程的通解为 y C1e
C2e ;
r2 x
2、 有两个相等的实根 ( 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
c1 y1 c2 y2 (c1 2c2 ) y1不是通解
y1 ( x ) 常数， 特别地: 若在 I 上有 y2 ( x ) 则函数 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线 性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
，y2 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
知 u 0, rx 则 y2 xe ,
1
=0 =0 u( x ) c1 x c2 , 取 u( x ) x ,
r1 x y ( C C x ) e ; 得齐次方程的通解为 1 2
1.二阶齐次方程解的结构
y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是 常数）
问题: y C1 y1 C 2 y2一定是通解吗？ y1是解，y2 2 y1也是解
3、 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为 r2 i , r1 i ,
y1 e
( i ) x
,
y2 e
( i ) x
,
y1 e (cos x i sin x ), y2 e (cos x i sin x ), 重新组合 y 1 ( y y ) ex cos x, 1 1 2 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x ,
C1e C2 x .
x 2
定理 4
* *
设非齐次方程(2) 的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y1 与 y 2 分别是方程,
特解的叠加原理 * * y y 的特解, 那么 1 2 就是原方程的特解.
y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
例如：求方程 y 4 y x 2 3e x 的特解.
可以看出 y 4 y x 2 及 y 4 y 3e x 的特解 1 2 1 3 x 1 2 1 3 x 为 x 和 e , 故原方程的特解: x e . 4 8 5 4 8 5
例 ( x 1) y xy y 0, 观察出两个线性无关解 x , e x . 故通解为 y c1 x c2e x .
2 例 2：已知 y1 3 ， y 2 3 x ，
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2 x y x 2 2 y 2 x 2 y 6 x 1的 解，求此方程所对应齐次方程的通解.
二阶线性微分方程
d y dy P ( x ) Q( x ) y f ( x ) 2 dx dx
2
二阶线性微分方程
当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f ( x ) 0时，二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程
y ( n ) P1 ( x ) y ( n1) Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).
2i
x
x
得齐次方程的通解为
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
总结:
y py qy 0
特征根的情况
r pr q 0
通解的表达式
2
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e C 2 e y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
例如 y y 0,
y1 cos x, y2 sin x,
y C1 cos x C 2 sin x .
y2 且 tan x 常数, y1
注:
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
如何求方程(1)的两个线性无关的特解,是一件困难 事，我们常采用观察方法—有目的、有分析的观察。