拉普拉斯变换公式总结
laplace变换公式表
laplace变换公式表Laplace变换公式表引言Laplace变换是数学中一种常见的变换方法，广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析等领域。
本文将介绍Laplace变换及其公式表，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
一、Laplace变换简介Laplace变换是由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于18世纪末提出的一种数学变换方法。
它将一个函数f(t)在复平面上的运算转换为另一个函数F(s)，其中s是复变量。
Laplace变换在时域和频域之间建立了一种联系，使得复杂的微分方程可以转化为简单的代数方程，从而简化了问题的求解过程。
二、Laplace变换公式表下面是一些常用的Laplace变换公式，它们在不同的应用中起到重要的作用：1. 常数函数：L{1} = 1/s这个公式表明，Laplace变换会将一个常数函数1转换为1/s，其中s是复变量。
2. 单位阶跃函数：L{u(t)} = 1/s单位阶跃函数u(t)是一个在t=0时突变为1的函数。
该公式表明，Laplace变换会将单位阶跃函数转换为1/s。
3. 指数函数：L{e^at} = 1/(s-a)指数函数e^at是一个在复平面上以指数形式增长或衰减的函数。
该公式表明，Laplace变换会将指数函数转换为1/(s-a)，其中a是一个常数。
4. 正弦函数：L{sin(at)} = a/(s^2+a^2)正弦函数sin(at)是一个周期性的函数。
该公式表明，Laplace变换会将正弦函数转换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数：L{cos(at)} = s/(s^2+a^2)余弦函数cos(at)也是一个周期性的函数。
该公式表明，Laplace变换会将余弦函数转换为s/(s^2+a^2)。
6. 指数衰减函数：L{e^(-at)u(t)} = 1/(s+a)指数衰减函数e^(-at)是一个在t>0时以指数形式衰减的函数。
该公式表明，Laplace变换会将指数衰减函数转换为1/(s+a)。
拉普拉斯变换
例8 求sin 2t sin 3t的拉氏变换
a=2,b=3
例8 求sin 2t sin 3t的拉氏变换
sin 2t sin 3t - 1 (e j2t - e- j2t )(e j3t - e- j3t ) 4
1 (e j5t - e- jt - e jt e- j5t ) 4
例3 求 f(t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换
L [sin kt] sin kt e-std t 0 1 (e jkt - e- jkt ) e-std t 2j 0
- j e-(s- jk)td t - e-(s jk )td t
20
0
- j
2
s
-1 - jk
而 L [m!] m!L [1] m! s
所以
L
[tm ]
m! s m1
(Re(s) 0).
此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函数的
微分性质:
若L [f(t)]=F(s), 则
F '(s)=L [-tf(t)], Re(s)>c.
(2.6)
和 F(n)(s)=L [(-t)nf(t)], Re(s)>c.
f(t)
O
t
f(t)u(t)e-bt
O
t
对函数j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏变换, 可得
Gb ()
j (t)u(t) e-bte- jtd t
-
f (t) e-(b j)td t f (t) e-std t
0
0
其中 s b j, f (t) j(t)u(t)
若再设
拉普拉斯变换公式大全
拉普拉斯变换公式大全1.原始函数的拉普拉斯变换F(s)=L{f(t)}2.常数的拉普拉斯变换对于任意实常数A，其拉普拉斯变换为：L{A}=A/s3.单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数δ(t)的拉普拉斯变换为：L{δ(t)}=14.时延定理时延定理指出，当原始函数向右延时T秒时，其拉普拉斯变换会乘以e^(-sT)。
具体公式如下：L{f(t-T)}=e^(-sT)F(s)5.缩放定理缩放定理指出，当原始函数的变量变为原来的α倍时，其拉普拉斯变换会变为原来的1/α倍。
具体公式如下：L{f(αt)}=1/αF(s/α)6.积分定理积分定理指出，对于原始函数的积分，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s除以s平方。
具体公式如下：L{∫f(t)dt} = 1/sF(s)7.乘积定理乘积定理指出，对于原始函数的乘积，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s替换为s减去相应函数的变换。
具体公式如下：L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)8.指数函数的拉普拉斯变换指数函数e^(at)的拉普拉斯变换为：L{e^(at)} = 1/(s-a)9.幂函数的拉普拉斯变换幂函数t^n的拉普拉斯变换为：L{t^n}=n!/(s^(n+1))10.正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数sin(ωt)的拉普拉斯变换可通过欧拉公式和拉普拉斯变换公式进行变换。
具体公式如下：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)以上是拉普拉斯变换的一些重要公式。
通过应用这些公式，我们可以将原始函数在时域上的操作转换为变换域上的操作，从而解决各种线性常微分方程、控制系统和信号处理问题。
sin的拉普拉斯变换公式
sin的拉普拉斯变换公式1. 拉普拉斯变换：基本概念1.1 拉普拉斯变换是什么？拉普拉斯变换，听起来像是高大上的数学术语，但其实它是个很实用的工具，特别是在控制系统和信号处理中。
你可以把它想象成一个神奇的魔术师，把复杂的时间函数变成了一个更容易处理的“频率函数”。
这样一来，许多难题就可以变得简单了。
就像是你在生活中遇到麻烦时，找个靠谱的朋友帮你解决问题，拉普拉斯变换也是帮我们解难题的好帮手。
1.2 为什么要用拉普拉斯变换？我们用拉普拉斯变换来解决微分方程，特别是那些难缠的微分方程。
它就像是用魔法将时间域的复杂问题变成了频域的简单问题。
一旦变换完成，我们就可以更容易地处理和分析它们，就像把复杂的数学题目转化为简单的算式一样。
2. sin 函数的拉普拉斯变换2.1 sin 函数的拉普拉斯变换公式好啦，咱们终于要切入正题了：sin 函数的拉普拉斯变换到底是什么呢？如果你拿出计算器准备大显身手，那你真的是太棒了！sin 函数的拉普拉斯变换公式是( frac{omega{s^2 + omega^2 )，其中 (omega) 是你选择的角频率。
简单来说，这个公式就像是 sin 函数在频域的“身份证”，告诉你它的频率特征。
2.2 公式的实际应用说到实际应用，这个公式真的是神奇得让人惊叹。
比如说你在设计一个滤波器，或者处理一些信号时，你就会用到这个公式。
它让你可以从时域转到频域，这样你就能用更简单的方法分析和解决问题。
就像你买了一个新的厨房工具，虽然它一开始看起来有点复杂，但一旦你掌握了它，你就会发现它能让你做出各种美味的菜肴。
3. 深入探讨：如何使用 sin 函数的拉普拉斯变换。
3.1 理解公式背后的故事我们刚才提到的那个公式，虽然看起来不复杂，但其实背后有很多有趣的故事。
拉普拉斯变换之所以能将 sin 函数变得如此简单，正是因为它能够将复杂的时间函数“变戏法”成更容易处理的频率函数。
这就像你在看魔术表演时，总是觉得那些看似简单的把戏背后都有一套复杂的技巧。
信号的拉普拉斯变换公式
信号的拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，用于研究连续时间域中的信号和系统。
它在控制论、电路分析和信号处理等领域中得到了广泛应用。
拉普拉斯变换的公式可以将一个复杂的时间域函数转换为一个简单的复频域函数，从而能够更加便利地进行信号处理和系统分析。
在本文中，我们将介绍拉普拉斯变换的定义和基本性质，然后详细讨论拉普拉斯变换的公式及其推导。
首先，我们来定义拉普拉斯变换。
对于一个时间域函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) f(t) e^(-st) dt其中，s是一个复变量，可以写为s=σ+jω，σ表示实部，ω表示虚部。
变换后的函数F(s)是一个复频域函数，表示了信号f(t)在不同频率上的分量强度。
接下来，我们来讨论拉普拉斯变换的基本性质。
1.线性性质：对于任意常数α和β以及函数f(t)和g(t)，有L{αf(t)+βg(t)}=αF(s)+βG(s)，其中F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
2. 平移性质：对于任意常数a，有L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)。
这个性质表示当信号在时间上发生平移时，其在频率域上也发生相应的平移。
3. 尺度性质：对于任意常数a，有L{f(at)} = (1/a)F(s/a)。
这个性质表示当信号在时间上发生尺度缩放时，其在频率域上也发生相应的尺度缩放。
4.微分性质：对于函数f(t)的导数f'(t)，有L{f'(t)}=sF(s)-f(0)。
这个性质表示在频域上对信号进行微分等价于对其拉普拉斯变换表达式中的s进行乘法运算。
5. 积分性质：对于函数f(t)的积分∫[0,t] f(u) du，有L{∫[0,t] f(u) du} = 1/s F(s)。
这个性质表示在频域上对信号进行积分等价于对其拉普拉斯变换表达式中的s进行除法运算并加上初始条件。
6. 初值定理：对于函数f(t)在t=0处的值f(0)，有Lim[s→∞]sF(s) = f(0)。
拉普拉斯变换公式总结..
若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则此系统为稳定系统。
（1）稳定系统的时域判决条件 （充要条件）
若系统是因果的，则 式可改写为
（2）对于因果系统，其稳定性的s域判决条件
若系统函数 的全部极点落于s左半平面，则该系统稳定；
若系统函数 有极点落于s右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不稳定；
若系统函数 没有极点落于s右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则该系统临界稳定。
内容摘要
例题
·例题1：求拉氏变换
·例题2：求拉氏变换，拉氏变换的性质
·例题3：拉氏变换的微分性质
·例题4：系统函数，求解系统的响应
·例题5：用拉氏变换法分析电路·
例4-1
求下列函数的拉氏变换
分析
拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以 表示 单边拉氏变换,以 表示 双边拉氏变换。若文字中未作说明,则指单边拉氏变换。单边拉氏变换只研究 的时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面。本例只讨论时移定理。请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。
例4-4
某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。
为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出
阶跃响应
则
例4-5
电路如图4-5（a）所示
（1）求系统的冲激响应。
（2）求系统的起始状态使系统的零输
入响应等于冲激响应。
（3）求系统的起始状态，
解答
（1）求系统的冲激响应。
系统冲激响应 与系统函数 是一对拉氏变换的关系。对 求逆变换可求得 ，这种方法比在时域求解微分方程简便。
积分的拉普拉斯变换公式
积分的拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是数学中一种重要的变换方法，可以将一个函数从时间域转换到复频域。
积分的拉普拉斯变换公式是拉普拉斯变换的基本公式之一，其形式如下：$$F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$$其中，$f(t)$是定义在时间域上的函数，$F(s)$是其在复频域上的拉普拉斯变换，$s$是复变量。
拉普拉斯变换公式的应用广泛，尤其在信号与系统、控制理论、电路分析等领域中起着重要作用。
通过拉普拉斯变换，可以将复杂的微分方程转化为简单的代数方程，从而简化问题的求解过程。
在信号与系统领域，拉普拉斯变换被广泛应用于信号的分析和处理。
通过拉普拉斯变换，可以将时域信号转换为复频域信号，从而更加直观地观察信号的频谱特性。
例如，通过对信号的拉普拉斯变换，可以计算信号的频谱密度、频率响应等重要指标，进而分析信号的稳定性、滤波特性等。
在控制理论中，拉普拉斯变换被广泛应用于系统的建模和分析。
通过将系统的微分方程进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数，从而分析系统的稳定性、阶跃响应、频率响应等性能指标。
基于拉普拉斯变换的控制理论，可以设计出稳定、高性能的控制器，应用于工业控制、自动化系统等领域。
在电路分析中，拉普拉斯变换被广泛应用于电路的分析和设计。
通过将电路方程进行拉普拉斯变换，可以得到电路的复频域等效电路，从而分析电路的频率响应、稳定性、传输特性等。
基于拉普拉斯变换的电路分析方法，可以设计出满足特定要求的电路，应用于通信、计算机等领域。
除了在信号与系统、控制理论、电路分析中的应用，拉普拉斯变换还在其他领域中发挥着重要作用。
例如，在图像处理中，拉普拉斯变换可以用于图像的增强、去噪等操作；在概率论和统计学中，拉普拉斯变换可以用于求解随机变量的概率密度函数；在经济学中，拉普拉斯变换可以用于求解经济模型的稳定性等。
积分的拉普拉斯变换公式是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析等领域。
拉普拉斯变换
二.拉普拉斯变换的性质
1、常数的拉普拉斯变换
L[ A] =
A S
2、常数与原函数积的拉普拉斯变换
L[ Af (t )] = AL[ f (t )] = AF ( s )
3、函数和的拉普拉斯变换
L[ f1 (t ) + f 2 (t )] = L[ f1 (t )] + L[ f 2 (t )] = F1 ( s ) + F2 ( s )
X=
k0 (1 − e − kt ) k
− 例1： ：
dX = k0 − kX dt
第一步： 第一步：做变换
k0 SX −0 = −kX S
第二步：解代数方程 第二步：
k0 X= S (S + k )
第三步： 第三步：查表求解
k0 X = ⋅ (1 − e − kt ) k
： 例2： −
dX = kX dt
初始剂量
X0
第一步： 第一步：做变换
S X − X 0 = −k X
第二步：解代数方程 第二步：
X0 X= S +k
第三步： 第三步：查表求解
X = X 0 ⋅ e − kt
4、原函数导数的拉普拉斯变换
L[ df (t ) ] = sL[ f (t )] − f (0) dt
三、拉普拉斯变换与常微分方程的解
常数线性微分方程的解分三步： 常数线性微分方程的解分三步：
dX = k0 − kX dt
dX L[ ] = L[k0 ] − L[kX ] dt
SL[ X ] − X
一.，则拉普拉斯变 ∞ 换式定义为 − st
F (s) = ∫ f (t )e dt
0
式中s=σ+jω为复变量，称为复频率。 F(s)称 为f(t)的象函数， f(t)称为F(s)的原函数；拉普拉斯 变换简称为拉式变换。通常用符号表示为
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅⾥叶变换和拉普拉斯变换公式总结（2022-02-09修正部分错误）（2020-03-18修正部分错误）因为傅⾥叶变换之类的很常⽤，时间长了不⽤总会忘记，所以⼀次性罗列出来权当总结好了。
主要参考《信号与线性系统分析》(吴⼤正)，也有的部分参考了复变函数。
δ-函数相关运算n阶导数的尺度变换δ(n)(at)=1|a|1a nδ(n)(t)⼀阶导数和函数的乘积f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0) n阶导数和函数的乘积f(t)δ(n)(t−t0)=n∑i=0(−1)ini f(i)(t0)δ(n−i)(t−t0)傅⾥叶级数和傅⾥叶变换傅⾥叶级数f(x)=a02+∞∑n=1a n cosnπL x+bn sinnπL x a n=1L∫L−Lf(x)cosnπL xdxb n=1L∫L−Lf(x)sinnπL xdx半幅傅⾥叶级数ϕ(x)=∞∑n=1C n sinnπxLC n=2L∫Lϕ(x)sinnπxL dx常见函数傅⾥叶变换这⾥傅⾥叶变换的定义中，因⼦12π统⼀放在逆变换前。
gτ(t)指的是关于y轴对称宽度为τ的门函数gτ(t)↔τSaωτ2其中Sa即Sinc.e−atε(t)↔1 a+iωe−a|t|↔2a a2+ω2 ()() ()e−at2↔πa e−ω24aδ(t)↔1ε(t)↔πδ(ω)+1 iωcos(ω0t)↔π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]sin(ω0t)↔iπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]t n↔2π(i)nδ(n)(ω)1t↔−iπsgn(ω)δT(t)↔ΩδΩ(ω)性质时域微分f(n)(t)↔(iω)n F(ω)时域积分∫t−∞f(τ)dτ↔πF(0)δ(ω)+F(ω) iω频域微分(−it)n f(t)↔F(n)(ω)频域积分πf(0)δ(t)+f(t)−it↔∫ω−∞F(ν)dν对称性F(t)↔2πf(−ω)尺度变换f(at)↔1|a|Fωa时移f(t±t0)↔e±iωt0F(ω)频移f(t)e±iω0t↔F(ω∓ω0)卷积的微分性质设f(t)=g(t)∗h(t)，则f′(t)=g′(t)∗h(t)=g(t)∗h′(t)卷积定理时域f(t)=g(t)∗h(t)，频域有F(ω)=G(ω)H(ω)时域f(t)=g(t)h(t)，频域有F(ω)=12πG(ω)∗H(ω)周期函数f T(t)傅⾥叶变换√()设函数f T(t)周期为T，记F n=1T∫T/2−T/2f T(t)e−iωt d t由指数形式的傅⾥叶级数，两边取傅⾥叶变换，所以周期函数的傅⾥叶变换时受到2πF n调制的梳状脉冲(T代表周期，Ω=2πT)f T(t)↔2π∞∑n=−∞F nδ(ω−nΩ)拉普拉斯变换因果信号f(t)可以显式地写为f(t)ε(t)，⼀个因果信号及其单边拉普拉斯变换是⼀⼀对应的。
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换在工程和数学中是个非常实用的工具。
它不仅能帮助我们解决微分方程，还能简化许多复杂的问题。
今天我们就来聊聊常用的拉普拉斯变换和反变换，看看它们是如何发挥作用的。
一、拉普拉斯变换的基本概念1.1 定义拉普拉斯变换是一个积分变换，它将时间域的函数转换为复频域的函数。
简单来说，它把一个函数从“时间的世界”带到了“频率的世界”。
公式上，拉普拉斯变换可以表示为：\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt \]这里的 \( s \) 是复数变量，\( f(t) \) 是我们要变换的时间域函数，\( F(s) \) 则是变换后的结果。
1.2 性质拉普拉斯变换有几个重要的性质，比如线性性、时间延迟和微分等。
这些性质使得在实际应用中，可以灵活地对待不同类型的函数。
例如，线性性让我们可以把两个函数的变换简单相加，这对于解决复杂问题很有帮助。
二、常用的拉普拉斯变换2.1 单位阶跃函数单位阶跃函数 \( u(t) \) 是拉普拉斯变换中最常用的函数之一。
它的变换结果是：\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \]这个简单的公式为很多工程应用奠定了基础，因为很多信号和系统可以用阶跃函数来描述。
2.2 指数函数另一个常见的函数是指数函数 \( e^{at} \)。
它的拉普拉斯变换结果为：\[ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a} \]这在处理自然衰减或增长的过程时特别有用，比如在电子电路中，我们经常会遇到这种情况。
2.3 正弦和余弦函数正弦和余弦函数的拉普拉斯变换也很重要。
它们分别为：\[ \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \] \[ \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \]这些变换结果在振动分析和控制系统中应用广泛，帮助我们理解系统的频率响应。
信号三大变换公式
信号三大变换公式信号处理领域中，常用的三大变换公式分别为傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。
这些变换公式在信号处理中起到了重要的作用，能够帮助我们分析和处理各种类型的信号。
下面将详细介绍这三大变换公式。
一、傅里叶变换：傅里叶变换是一种将一个信号从时域转换到频域的方法。
它可以将一个信号分解成不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫[f(t) ⨉ e^(-jωt)] dt其中，F(ω)是信号在频域的表示，f(t)是信号在时域的表示，ω是角频率，e^(-jωt)是复指数函数。
傅里叶变换可以用于信号的频谱分析，可以将信号分解成频率分量，从而帮助我们了解信号的频率分布情况。
此外，傅里叶变换还可以用于滤波、编码和解码等方面的应用。
二、拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是一种将一个信号从时域转换到复平面的变换方法。
它将时域中的信号转换为复平面上的点，可以将信号的幅度和相位信息进行分析。
拉普拉斯变换的数学表达式为：F(s) = ∫[f(t) ⨉ e^(-st)] dt其中，F(s)是信号在复平面上的表示，f(t)是信号在时域的表示，s 是复平面上的变量，e^(-st)是复指数函数。
拉普拉斯变换可以用来解决时域中的微分方程和差分方程问题，以及处理电路和控制系统等方面的信号分析和系统设计问题。
三、Z变换：Z变换是一种将离散信号从时域转换到复平面的方法。
它是离散时间傅里叶变换的离散形式，可以将离散信号的频谱和相位信息进行分析。
Z 变换的数学表达式为：F(z)=Σ[f[n]⨉z^(-n)]其中，F(z)是信号在复平面上的表示，f[n]是信号在时域的表示，z 是复平面上的变量，z^(-n)是复数的幂。
Z变换可以用来分析和设计数字滤波器、解离散时间系统的差分方程和处理离散序列的频谱分析等问题。
总结：傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换是信号处理中常用的三大变换公式。
它们分别将信号从时域、时频域和到频域进行转换，可以帮助我们理解和分析各种类型的信号，并在信号处理、滤波和系统设计等方面提供重要的工具。
拉式变化公式表
拉式变化公式表拉普拉斯变换（Laplace Transform）公式表：一、基本函数的拉普拉斯变换。
1. 单位阶跃函数。
- 函数定义：u(t)=0, t < 0 1, t≥0- 拉普拉斯变换：L[u(t)]=(1)/(s), Re(s)>02. 冲激函数（狄拉克δ函数）- 函数定义：δ(t)，满足∫_-∞^∞δ(t)dt = 1且δ(t)=0 for t≠0 - 拉普拉斯变换：L[δ(t)] = 13. 指数函数。
- 函数定义：f(t)=e^at，其中a为常数。
- 拉普拉斯变换：L[e^at]=(1)/(s - a), Re(s)>a4. 正弦函数。
- 函数定义：f(t)=sin(ω t)，其中ω为角频率。
- 拉普拉斯变换：L[sin(ω t)]=(ω)/(s^2)+ω^{2}, Re(s)>0 5. 余弦函数。
- 函数定义：f(t)=cos(ω t)- 拉普拉斯变换：L[cos(ω t)]=(s)/(s^2)+ω^{2}, Re(s)>0二、拉普拉斯变换的性质。
1. 线性性质。
- 若L[f_1(t)] = F_1(s)，L[f_2(t)]=F_2(s)，则对于任意常数a和b，L[af_1(t)+bf_2(t)]=aF_1(s)+bF_2(s)2. 时移性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[f(t - t_0)u(t - t_0)]=e^-st_0F(s)，其中t_0>03. 频移性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[e^atf(t)]=F(s - a)4. 尺度变换性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[f(at)]=(1)/(a)F((s)/(a))，a>05. 微分性质。
- 一阶导数：若L[f(t)] = F(s)，则L[f^′(t)]=sF(s)-f(0)- 二阶导数：L[f^′′(t)] = s^2F(s)-sf(0)-f^′(0)- 一般地，n阶导数：L[f^(n)(t)]=s^nF(s)-s^n - 1f(0)-s^n - 2f^′(0)-·s - f^(n - 1)(0)6. 积分性质。
拉普拉斯变换的公式
拉普拉斯变换的公式拉普拉斯变换是数学中一个非常重要的工具，在工程、物理等领域有着广泛的应用。
它的公式看起来可能有点复杂，但别担心，咱们一步步来拆解。
咱先说说拉普拉斯变换的定义式：对于一个时间函数 f(t) ，它的拉普拉斯变换 F(s) 定义为：F(s) = ∫[0,∞] f(t) e^(-st) dt这里的 s 是一个复变量，一般写成s = σ + jω 。
我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，那场面可有意思啦。
有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这一堆符号看着就头疼，到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“就好比你们要去一个很远的地方，拉普拉斯变换就是给你们的交通工具，能让你们更轻松地到达目的地。
”咱们来仔细瞧瞧这个公式里的每个部分。
e^(-st) 这一项，就像是一个筛选器，它能把不同频率的信号区分开来。
而积分呢，则是把所有时刻的信号都综合起来考虑。
再来说说一些常见函数的拉普拉斯变换公式。
比如单位阶跃函数u(t) ，它的拉普拉斯变换是 1/s 。
单位脉冲函数δ(t) ，其拉普拉斯变换是 1 。
有一次在课堂上做练习题，有个同学把单位脉冲函数的拉普拉斯变换给记错了，结果整个计算都错得离谱。
我就指着他的作业本说：“你这可记错啦，单位脉冲函数就像一颗瞬间爆发的小炸弹，它的能量在瞬间释放，所以拉普拉斯变换才是 1 哟。
”同学们听了都哈哈大笑，那个同学也不好意思地挠挠头，记住了这个知识点。
拉普拉斯变换还有很多性质，比如线性性质、微分性质、积分性质等等。
这些性质能让我们在求解复杂问题时更加得心应手。
就拿线性性质来说吧，假设 f1(t) 和 f2(t) 的拉普拉斯变换分别是F1(s) 和 F2(s) ，那么对于任意常数 a 和 b ，a*f1(t) + b*f2(t) 的拉普拉斯变换就是 a*F1(s) + b*F2(s) 。
在实际应用中，拉普拉斯变换可以帮助我们求解微分方程。
比如说电路分析中，通过对电路中的元件建立数学模型，然后进行拉普拉斯变换，就能把微分方程转化为代数方程，大大简化了计算。
拉普拉斯变换法
3.导函数
df (t ) F (t ) dt
df (t ) df (t ) L dt e df (t ) e dt dt
st
st
0
0
df (t ) L f (0) s e f (t )dt dt
st
0
二、 简单函数L氏变换
1. 常数
f（t）=A
A L( A) e Adt S
st
0
2. 指数函数 f（t）= e-at
L(e ) e (e )dt e
at
st
at
( s a ) t
0
0
1 dt sa
A L( Ae ) sa
at
若
则 LF ' (t ) sf ( S ) F (0) sLF (t ) F (0)
一些常用函数的Laplace变换表
函数，F（t） A t Ae-at L氏变换，f（s） A/s 1/s2 A/(s+a) A/s(s+a)
A at bt (e e ) ba
Ate-at
方程终解 X k (1 e ) K
0 k t
2.
静脉注射
dX kX dt
( t=0,
X=X0)
sL[ X (t )] X (0) kL[ X (t )]
s X X (0) k X
Hale Waihona Puke X0 X sk kt X X 0e
A/(s+a)(s+b) A/(s+a)2
四、L氏变换解线性微分方程
(完整版)拉氏变换常用公式(可编辑修改word版)
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质t tL[⎰0 f1(t-)f2 ()d]=L[⎰0 f1(t)f2 (t-)d]=F1(s)F2 (s)表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表∞T(t ) = ∑(t - nT )n =0s 2 +2sin t z s in T z 2 - 2z cos T + 1s s 2 +2costz (z - cos T ) z 2 - 2z cos T + 1(s + a )2 +2e - atsin t ze - aT sin Tz 2- 2ze -aTcosT + e-2aTs + a(s + a )2 +2e - at costz 2 - ze - aT cos T z 2 - 2ze -aT cos T + e -2aT1 ⎢∑ i 1 1n 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设F (s ) 是 s 的有理真分式B (s )b s m + b s m -1 + + b s + bF (s ) = = m m -1 1 0（ n > m ）A (s ) a s n + a n -1 s n -1+ + a s + a式中系数 a 0 , a 1 ,..., a n -1 , a n ， b 0 , b 1 , b m -1 , b m 都是实常数； m , n 是正整数。
按代数定理可将 F (s ) 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① A (s ) = 0 无重根这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
F (s ) = c 1s - s 1 + c 2 s - s 2 + + c i s - s i + + c n s - s n= ∑ i =1 c i s - s i（F-1）式中， s 1 , s 2 , , s n 是特征方程 A(s)＝0 的根。
导数的拉普拉斯变换公式
导数的拉普拉斯变换公式1. 拉普拉斯变换的基本概念拉普拉斯变换，听起来是不是有点神秘？其实它就是一种将时间域中的函数转化为复频域中函数的方法。
这种方法有点像给你的数学函数换了个“频道”，让复杂的问题变得简单得多。
要是你曾经觉得解微分方程就像是解开一个复杂的谜团，拉普拉斯变换就像是给你提供了一个清晰的提示。
2. 为什么需要导数的拉普拉斯变换？那么，为啥我们还要搞导数的拉普拉斯变换呢？这就像是我们要在一张大地图上找出一条最佳路线。
导数反映了函数的变化率，而拉普拉斯变换则帮助我们更轻松地解决那些难啃的导数问题。
我们可以说，拉普拉斯变换让导数变得不再那么让人望而却步。
3. 导数的拉普拉斯变换公式好啦，既然说了这么多，那我们直接进入正题吧。
导数的拉普拉斯变换公式其实并不复杂。
假如我们有一个函数 ( f(t) )，它的拉普拉斯变换是 ( F(s) )。
我们可以通过以下公式将导数的拉普拉斯变换搞定：3.1. 一阶导数的公式对于一阶导数 ( f'(t) )，它的拉普拉斯变换是：[ mathcal{L}{ f'(t) } = sF(s) f(0) ]。
这就像是你从一个地方出发，拉普拉斯变换帮助你找到了你到达终点的路径，其中( sF(s) ) 是你得到的结果，而 ( f(0) ) 则是你起点的条件。
听起来是不是很直观？3.2. 二阶导数的公式如果你面对的是二阶导数 ( f''(t) )，拉普拉斯变换的公式就稍微复杂一点：[ mathcal{L}{ f''(t) } = s^2F(s) sf(0) f'(0) ]。
这就像是在多走了一步，拉普拉斯变换帮你把复杂的事情拆解开来，变成了一个个容易处理的部分。
4. 应用实例假如我们有一个物理问题，像是一个弹簧振子的运动方程 ( m frac{d^2 x(t)}{dt^2} + b frac{dx(t)}{dt} + kx(t) = 0 )。
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拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域（1） 定义单边拉普拉斯变换：正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰逆变换 1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换：正变换 ()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2） 定义域若0σσ>时，lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()stf t dt e +∞--⎰存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。
0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。
0σ与函数()f t 的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质（1） 线性性若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2） 原函数微分若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt在0-时刻的取值。
（3） 原函数积分若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]tf F s f t dt s sζ---∞=+⎰式中0(1)(0)()f f t dt ---∞=⎰（4） 延时性若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---=（5） s 域平移若[()]()f t F s ζ=，则[()]()at f t e F s a ζ-=+（6） 尺度变换若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()sf at F a aζ=（a >0） （7） 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s ++→→∞==（8） 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞→∞=（9） 卷积定理若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*=12121[()()][()()]2f t f t F s F s jζπ=*=121()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞-∞-⎰3. 拉普拉斯逆变换（1） 部分分式展开法首先应用海维赛展开定理将()F s 展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数()f t 。
（2）留数法留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数()st F s e 在围线中所有极点的留数运算，即(1)11[()]()()[()]22j st st st j cF s F s e ds F s e ds F s e j jσσζππ+∞--∞===∑⎰⎰极点的留数若i p 为一阶级点，则在极点i s p =处的留数21[()()]insti i i s p i r s p F s e X ===-∑若i p 为k 阶级点，则111[()()](1)!ik k st i i s p k d r s p F s e k ds-=-=--4. 系统函数（网络函数）H （s ）（1） 定义系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即()()()zs R s H s E s =冲激响应()h t 与系统函数()H s 构成变换对，即()[()]H s h t ζ=系统的频率响应特性()()()()j w s jwH jw H s H jw e ϕ===式中，()H jw 是幅频响应特性，()w ϕ是相频响应特性。
（2） 零极点分布图1212()()()()()()()()()m n K s z s z s z N s H s D s s p s p s p ---==--- 式中，K 是系数；1z ，2z ，m z 为()H s 的零点；1p ，2p ，，n p 为()H s 的极点。
在s 平面上，用“”表示零点，“X ”表示极点。
将()H s 的全部零点和极点画在s 平面上得到的图称为系统的零极点分布图。
对于实系统函数而言，其零极点要么位于实轴上，要么关于实轴成镜像对称分布。
（3） 全通函数如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于jw 轴互为镜像，那么这种系统函数称为全通函数，此系统则为全通系统或全通网络。
全通网络函数的幅频特性是常数。
（4） 最小相移函数如果系统函数的全部极点和零点均位于s 平面的左半平面或jw 轴，则称这种函数为最小相移函数。
具有这种网络函数的系统为最小相移网络。
（5） 系统函数()H s 的求解方法①由冲激响应()h t 求得，即()[()]H s h t ζ=。
②对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由()()()zs R s H s E s =获得。
③根据s 域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为()H s 。
5. 系统的稳定性若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则此系统为稳定系统。
（1）稳定系统的时域判决条件()h t dt M +∞-∞≤⎰（充要条件） ①若系统是因果的，则①式可改写为0()h t dt M +∞≤⎰（2） 对于因果系统，其稳定性的s 域判决条件①若系统函数()H s 的全部极点落于s 左半平面，则该系统稳定；②若系统函数()H s 有极点落于s 右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不稳定；③若系统函数()H s 没有极点落于s 右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则该系统临界稳定。
内容摘要例题·例题1：求拉氏变换·例题2：求拉氏变换，拉氏变换的性质·例题3：拉氏变换的微分性质·例题4：系统函数，求解系统的响应·例题5：用拉氏变换法分析电路·例4-1求下列函数的拉氏变换 ()()1-=t tu t f拉氏变换的定义和收敛域二．单边拉氏变换逆变换的求法 部分分式展开三．拉氏变换的基本性质 四．用拉普拉斯变换法分析电路五．一.拉普拉斯由零极点的决定系统的时域特性分析拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以()sF表示()t f单边拉氏变换,以()s表示()t f双边拉氏变换。
若文字中未作说明,则指单边拉氏变换。
单边拉氏变换只研FB究0t的时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初≥值定理等方面。
本例只讨论时移定理。
请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。
解答例4-2求三角脉冲函数)(f t如图4-2（a）所示的象函数和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，解答方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解方法三：利用微分性质求解方法四：利用卷积性质求解方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解由于于是 方法三：利用微分性质求解分析信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比较简单。
将()t f 微分两次，所得波形如图4-2（b ）所示。
显然根据微分性质由图4-2（b ）可以看出于是方法四：利用卷积性质求解()t f 可看作是图4-2(c ）所示的矩形脉冲()t f 1自身的卷积于是，根据卷积性质而()()()2222e 11e e 211ss s s ss F ----=+-=所以例4-3应用微分性质求图4-3（a）中的象函数下面说明应用微分性质应注意的2,21f由于因而这是应用微分性质应特别注意的问题。
由图4-3（b）知例4-4某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。
为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出阶跃响应()()sssF--=e111()()22e11sssF--=图4-2（c）()()t ftftf321),(,(),1tf()()()t ftftf321,,'''图4-4（b)()t x3当输入()。
3ty则 例4-5电路如图4-5（a ）所示（1）求系统的冲激响应。
（2）求系统的起始状态 使系统的零输入响应等于冲激响应。
（3）求系统的起始状态，解答（1）求系统的冲激响应。
系统冲激响应()t h 与系统函数()s H 是一对拉氏变换的关系。
对()s H 求逆变换可求得()t h ，这种方法比在时域求解微分方程简便。
利用s 域模型图4-5（b ）可直写出图4-5（a ）电路的系统函数冲激响应（2）求系统的起始状态为求得系统的零输入响应，应写出系统的微分方程或给出带有初值的s 域模型。
下面我们用s 域模型求解。
图4-5(a)电路的s 域模型如图4-5(b)。
由图4-5(b)可以写出()()()()()()()()()3e 1e e 23131zi 3---+=---+=-----t u t u t u t g t g t y t y t t t +-()t v C(t e 4-5(a)()(),00C L --v i 、()的激励时的完使系统对t u上式中第二项只和系统起始状态有关，因此该项是零输入响应的拉氏变换。
依题意的要求，该项应和()sH相等，从而得故系统的起始状态说明通过本例可以看出，改变系统的起始状态可以使系统的完全响应满足某些特定要求。
本质上，系统的零输入响应完全由系统的起始状态决定，对一个稳定系统而言，零输入响应是暂态响应中的一部分，因此，改变系统的起始状态只能改变系统的暂态响应，使暂态响应满足某些特定要求，例如，本例要求暂态响应为零。
（3）求系统的起始状态从而求得系统的起始状态附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。