轴对称图形知识点分析

轴对称图形知识点分析

数学与生活

以树干为对称轴，画出树的另一半，如图14-1所示.

思考讨论图14－1给出了树的一半，以树干为对称轴，画出它的另一半，需要找到几个关键点即关于树干的对称点，依次连接这些点即可，那么，我们为什么要这么做呢？

知识详解

知识点1 轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.如图

14-2所示，△ABC是轴对称图形.

知识点2 对称轴

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

如图14-3所示，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，l叫做对称轴.A和A′,B和B′，C和C′是对称点.

知识点3 线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

如图14－4所示，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线.

知识点4 对称轴的性质

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

探究交流

成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？

点拨成轴对称的两个图形全等；如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等；这两个图形对称.

知识点5 线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

如图14－5所示，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PA=PB.

知识点6 线段垂直平分线的判定

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

知识点7 成轴对称的两个图形的对称轴的画法

如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.

典例剖析师生互动

基本概念题

例1 判断下列图形（如图14－6所示）是不是轴对称图形.

（分析）由轴对称图形的含义可知，（1）（3）（6）是轴对称图形，（2）（4）（5）不是.

解：是轴对称图形的有（1）（3）（6）；不是轴对称图形的有（2）（4）（5）.

例2 判断下面每组图形（如图14－7所示）是否关于某条直线成轴对称.

（分析）本题主要考查轴对称和读图能力，要仔细观察.

解：图（1）不关于某条直线成轴对称；图（2）关于某条直线成轴对称.

学生做一做如图14－8所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.

老师评一评主要考查轴对称图形和图形成轴对称的含义.

图（1）（3）（4）（6）（8）（10）是轴对称图形；图（2）（5）（7）（9）成轴对称.

基本知识应用题

本节基础知识的应用主要包括：（1）能够找出常见轴对称图形的对称轴；（2）掌握线段垂直平分线的性质.

例3 如图14-9所示，已知△ABC和直线MN.求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）

（分析）画已知图形关于某直线对称的图形，关键是找到对称点.

作法：如图14－10所示.

例4 如图14－11所示，有一块三角形田地，AB=AC=10m，作AB的垂直平分线ED交AC

于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长.

（分析）本题主要考查垂直平分线的性质.

解：∵ED是AB的垂直平分线，

∴DA=DB.

又∵△BDC的周长为17m，AB=AC=10m，

∴BD+DC+BC=17，

∴DA+DC+BC=17，

即AC+BC=17.

∴10+BC=17，

∴BC=7m.

例5 下列图形中对称轴条数最多的是( )

A.正方形

B.长方形

C.等腰三角形

D.等腰梯形

E.等边三角形

F.角

G.线段

H.圆

I.正五角星

（分析）有一条对称轴的是C，D，F，G；有三条对称轴是E；有四条对称轴的是A；有两条对称轴的是B；有五条对称轴的是I；有无数条对称轴的是H.因此，对称轴条数最多的是H.

小结（1）对称轴是一条直线；（2）轴对称图形的对称轴至少有1条.

综合应用题

本节知识的综合应用主要是轴对称图形和图形关于某直线对称的综合应用.

例6 两个大小不同的圆可以组成如图14－12中的五种图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么共同的特点.

（分析）因为对于一个圆来说，它有无数条对称轴，每条对称轴都是经过圆心的直线，而对于由两个圆组成的图形来说，它的对称轴就是同时经过两个圆圆心的直线，因此图

14-12中五个图形都是轴对称图形，并且每个图形都只有1条对称轴.（因为两点确定一条直线而且只确定一条直线）

解：对称轴略.它们五种图形的对称轴都是经过两圆心的直线，即直线O1O2是对称轴.

探索与创新题

主要考查探索和创新的能力及与代数知识的综合应用.

例7 数的运算中会有一些有趣的对称形式，按照等式（1）的形式填空，并检验等式是否成立，你还能举出一些类似的例子吗？

（1）12×231=132×21

（2）12×462= ×

（3）18×891= ×

（4）24×231= ×

（分析）模仿（1）题，（2）题分别填：264，21，（3）题分别填198，81，（4）题分别填132，42，经检验等式成立.如（1）中：12×231=12×21×11=（12×11）×21=132×21，如（2）中：12×462=12×42×11=12×21×2×11=（12×2×11）×21=264×21，（3）（4）论证方法同（1）（2）类似.

答案：（2）264 21 （3）198 81 （4）132 42

学生做一做我们把左右数字排列对称的自然数叫做回文数，请你写出下列回文数是由哪个数的平方得到的？

（1）121=( )2；

（2）14641=( )2；