精选最新版2019年概率论与数理统计期末模拟题库200题(含参考答案)

2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含

答案]

一、选择题

1．设随机向量（X ，Y ）联合密度为

f(x, y)=

⎩⎨

⎧≤≤≤.

,0; 10 ,6其它y x x

（1） 求（X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘概率密度fX(x)，fY(y)； （2） 判断X ，Y 是否独立，并说明理由。 解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0； 当0≤x ≤1时，fX (x)＝

).

1(66),(1

x x xdy dy y x f x

-==⎰⎰

+∞

∞

-

因此，（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度fX (x)＝⎩⎨

⎧≤≤-.

,0,

10 ,662其它x x x

当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y ≤1时，fY (y)＝

.

3|36),(2020

y x xdx dx y x f y

y

===⎰⎰

+∞

∞

-

因此，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度fY (y)＝⎩⎨

⎧≤≤.

,0,

10 ,32其它y y

（2）因为f (1/2, 1/2)＝3/2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(3/4)＝9/8≠f (1/2, 1/2)， 所以，X 与Y 不独立。

2．已知连续型随机变量X 的分布函数为

x B A x F arctan )(+=

求（1）A ，B ； （2）密度函数f (x)；（3）P (1

解：(1) lim () 1 2

lim ()0

2

A 1/2, 1/ x x F x A

B F x A B B ππ

π→+∞

→-∞

=+

==-

===

221

() ()

(1)f x F x x π'==

+（）

(3) P （0

arctan 1

π

3．袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。（课本117页41题）

4．设系统L 由两个相互独立的子系统L1，L2并联而成，且L1.L2的寿命分别服从参数为

)(,βαβα≠的指数分布。求系统L 的寿命Z 的密度函数。

解：令X.Y 分别为子系统L1.L2的寿命，则系统L 的寿命Z ＝max (X, Y)。 显然，当z ≤0时，F Z (z)＝P (Z ≤z)＝P (max (X, Y)≤z)＝0； 当z>0时，F Z (z)＝P (Z ≤z)＝P (max (X, Y)≤z)

＝P (X ≤z, Y ≤z)＝P (X ≤z)P (Y ≤z)＝dy

e dx e

z

y z

x

⎰⎰

--0

βαβα＝

)1)(1(z

z e e βα----。 因此，系统L 的寿命Z 的密度函数为

f Z (z)＝⎩⎨⎧≤>+-+=+---0

0,0 ,)()()(z z e e e z F dz d

z z z Z βαβαβαβα

5．若A.B 相互独立，则下列式子成立的为（ A ）。 A. )()()(B P A P B A P =

B. 0)(=AB P

C. )|()|(A B P B A P =

D.

)()|(B P B A P =

6．设总体X 服从参数为λ的指数分布，123,,,,n

x x x x 是一组样本值，求参数λ的最大

似然估计。

解：似然函数

1

1

n

i

i

i n

x x n

n i L e

e λλλλ=-∑-==∏=

1

ln ln n

i

i L n x λλ==-∑

1ln 0n

i i d L n

x d λλ==-∑=

1

1

ˆn

i

i n

x

x λ

===

∑

7．0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0

设零件长度X 服从正态分布N (μ,1)。求μ的置信度为0.95的置信区间。

0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )

t t U =已知：

.解：由于零件的长度服从正态分布,

所以~(0,1)

x U N =

0.025{||}0.95P U u <=

所以μ

的置信区间为

0.025

0.025

(x u x u -+ 经计算

9

19

1

6

i

i x x

==

=∑

μ的置信度为0.95的置信区间为 11

33(6 1.96,6 1.96)-⨯+⨯ 即(5.347，6.653)

8．一批螺丝钉中,随机抽取9个, 测得数据经计算如下：16.10, 2.10x cm s cm ==。设螺丝钉的长度服从正态分布，试求该批螺丝钉长度方差2

σ的置信度为0.95的置信区间。

22220.0250.9750.0250.975((8)17.535, (8) 2.18(9)19.02, (9) 2.7)

χχχχ====已知：；

解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以

2

22

(1)~(1)

n S W n χσ

-=

-

220.0250.975{(8)(8)}0.95

P W χχ≤≤=

2σ的置信区间为：()()22220.025

0.975(1)(1),11n S n S n n χχ⎛⎫

-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 2σ的置信度0.95的置信区间为

228 2.108 2.10,17.535 2.180⎛⎫

⨯⨯ ⎪⎝⎭ 即()2.012,16.183

9．7 15.1 14.8 15.0 15.3 14.9 15.2 14.6 15.1

已知方差不变。问在0.05α=显著性水平下，新机器包装的平均重量是否仍为15？

0.050.050.025((15)=2.131, (14)=2.145, 1.960 )

t t U =已知：

解：待检验的假设是 0:15

H μ= 选择统计量

X U =

在0H 成立时

~(0,1)U N

0.025{||}0.05

P U u >= 取拒绝域w={|| 1.960U >}

经计算 9

19

1

14.967

i i x x ==

=∑

14.96715

0.33

0.3/3U -=

== 1.960U <

接受0

H ，即可以认为袋装的平均重量仍为15克。

10．某切割机在正常工作时，切割得每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为0.15cm 。今从一批产品中随机抽取16段进行测量，计算平均长度为

x =10.48cm 。假设方差不变，问在0.05α=显著性水平下，该切割机工作是否正常?