概率的计算

例2 市场上供应的电风扇中，甲厂产品占70％，乙厂占 30％。甲厂产品的合格率是95％，乙厂的合格率是80％。 若用事件A,Ā分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为 合格品，试写出有关事件的概率。 解：由题设 P(A)=0.7 P(Ā)=0.3 P(B|A)=0.95 P(B|Ā)=0.8
且有 P( B | A ) = 0.05
602 − 402 5 P( A) = = 2 60 9
60
20 0 20 60
7
§4 概率的加法法则
例1 10件产品中有6个一等品，3个二等品，1个废品。 规定一、二等品为合格品。求合格率与一、二等品 之间的关系。 解：A、B分别表示一、二等品，A+B表示产品合格 6 3 P( A ) = P( B) = 10 10 6+3 9 P( A + B) = = 10 10 故 P(A+B)=P(A)+P(B) 可以推广为一般的加法法则： 若A与B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B) 可以得到一些重要的推广。
365 ⋅ 364 ⋅ 363 ⋅ ... ⋅ (366 − n ) 365n 当n＝30时，可求出P(A) ≈ 0.7
当n＝50时，可求出P(A) ≈ 0.97
18
§5 条件概率与乘法规则
例1 有100件产品，其中有5件是不合格品，包括 3件次品与2件废品，任取一件，求 (1)取到废品的概率。 (2)已知取到的是不合格品，它是废品的概率。
解：由题设
80 P( A) = ＝0.8 100 40 P(C) = =0.4 100 12 P( A | B) = =0.6 20 32 P(C | A ) = =0.4 80 32 P( AC) = =0.32 100
20 P( B) = =0.2 100 12 P( B | A ) = ＝0.15 80 12 P( AB) = =0.12 100 12 P( A | B) = =0.15 80
11
例2 袋中有大小相同的7个球，4个是白球，3个 为黑球。从中一次取出3个，求至少有两个是白 球的概率。 解：分别用A2与A3表示抽到两个与三个白球。 A2与A3互斥
P( A 2 ) = C 4C 3 = 3
7 2 1
C 4 P( A ) = C = C 35
3 3 4 3 7
18 35
由加法法则，所求概率为
§3 概率的计算
例1 从0到9这十个数字中任取三个，问大小在 中间的号码恰为5的概率是多少？ 解：设所求事件为A.
基本事件总数为C10
3
A所含基本事件数为C 4C1C 5
1
1
1
1 故 = 6 10 例2 9个人排成一排，求指定的3人排在一起的概率。
4 1 3 5
P( A) = C C C C
1
1
1
解：设A表示指定的3人排在一起。 3 7 3! 7 ! 1 则 P(A) = P 3P 7 = = 9 9! 12 P9
2 解：(1)取到废品用A表示 P( A) = = 0.02 100 2 (2)基本事件总数为5 P( A) = = 0.4 5 定义1 在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率， 称为事件A在给定B下的条件概率，简称为A对B的条 件概率，记作P(A|B) 19 一般设P(B)>0。而P(A)称为无条件概率。
22 P(A2+A3)=P(A2)+P(A3) = 35
12
例3 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次 抽取3个，求其中有废品的概率。 解：用Ai表示取到i个废品。 A1,A2,A3互斥
C C = 207 P( A ) = 980 C C C = 276 P( A ) = 19600 C C = 4 P( A ) = 19600 C
21
在例3中可以观察到
P( AB) P( AB) P( B | A) = , P( A | B) = P( A) P( B)
它是条件概率的计算公式。 要求P(A)>0,P(B)>0 定理1 (乘法规则) 若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) 关于n个事件A1,A2,…,An的乘法规则是 P(A1A2…An) ＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)
9
B
A
(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 称为广义加法法则 这是因为由图 A A+B=A+(B-A) 由于A与B-A互斥 故P(A+B)=P(A)+P(B-A) 再由(3)得证。 可见，只需P(AB)=0加法法则就成立。 若是多个事件之和，公式会变复杂。
10
B
P(A+B+C) =P(A+B)+P(C)-P((A+B)C) =P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(AC+BC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 其中要注意(AC)(BC)=ABC 类似地，可以证明 P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4) -P(A1A2)-P(A1A3)-P(A1A4)-P(A2A3)-P(A2A4)-P(A3A4) +P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4) -P(A1A2A3A4)
3 46 3 50
221 = 980
例4 现有黑桃自A至K的13牌。有放回地抽3次。 求(1)三张号码不同的概率。 (2)三张中有相同号码的概率。 (3)三张中至多有两张同号的概率。 解：Ai表示有正好有i张相同。i＝0，2，3
13 ×12 × 11 132 (1)P(A 0 ) = = 3 13 169
4 46 1 3 50
1
2
2 4
1
46
2
3
50
3
3
4 3 7
221 故P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) = 980
13
考虑到 A1 + A 2 + A 3 = A 0 P( A1 + A 2 + A 3 ) = P( A 0 ) = 1 − P( A 0 )
= 1− C C
17
例7 你的班级中是否有人有相同的生日？ 这一事件的概率有多大？ 解：设人的生日在一年365天的每一天是等可能的 A表示n个人组成的班级中有人生日相同。 基本事件总数为365n A的基本事件数不易确定。 A的基本事件数为365 ⋅ 364 ⋅ 363 ⋅ ... ⋅ (366 − n ) 故 P(A)=1-P(Ā) = 1 −
16
例6 从1到200中任取一数。求 (1)能被6与8同时整除的概率。 (2)不能被6或8整除的概率。 解：A表示能被6整除。 B表示能被8整除。 8 (1)P(AB) = 200 ( 2)P( A + B) = 1 − P( A + B)
= 1 − P( A) − P( B) + P( AB) 33 25 8 = 1− − + 200 200 200 3 ＝ 4
6
例8 两人约定于早上8点至9点在校门口见面。要求 先到者等20分钟后离去。假定两人到校门的时间相 互独立，而且在8至9点间是等可能的。问两人能见 面的概率是多少？ 解：以x与y分别表示两人在8点之后到达校门口的分 钟数。 则0≤x≤60,0≤y≤60 两人能见面，即|x-y|≤20 即图中的阴影部分 能见面的概率为
P( B) = C
1 1
1 = 8 4
2 2
1
3
例5 (抽签的公正性)设有3个难签，5个易签。 甲、乙、丙依次抽取，分别在有放回与不放 回的情况下计算各人抽到难签的概率。 解：分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。 有放回时，每人面对的签数是相同的 3 P( A) = P( B) = P(C) = 8 3 不放回时 P(A) = 8 3× 7 3 = P( B) = 8× 7 8 乙抽取时，可能与甲的抽取情况有关，但可将 甲与乙的抽取同时考虑，只要乙抽到难签即可 3 3× 7 × 6 = 类似地 P(C) = 4 8 8× 7 × 6
10
注：若是有放回地抽取，答案会不同，如
63 (3)P( A 0 ) = 3 =0.216 10
2
例4 两封信随机地投向标号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的四个 邮筒。求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率以及前 两个邮筒中各有一封信的概率。 解：设A表示第二个邮筒中投入一封信。 B表示前两个邮筒各有一封信。 两封信共有42种可能的投法。 A的不同投法有 C 2C 3 种 1 1 C 2C 3 = 3 故 P( A) = 8 42 1 B的不同投法有C 2种
5
例7 从0到9十个数字种任取一个，取后放回，再取。 先后共取七个数字。求下述事件的概率。 (1)七个数字全不同的事件A1 (2)不含1与0的事件A2 (3)两个偶数五个奇数的事件A3 解：基本事件总数为107
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 (1)P( A1 ) = =0.06048 7 10 7 8 ( 2)P( A 2 ) = 7 =0.20972 10 2 ⋅ 52 ⋅ 55 (3)P( A 3 ) = C 7 7 =0.164 10
14
(2)P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)
13 ×1×12 13 × 12 ×1 13 ×12 ×1 36 而P( A 2 ) = + + = 3 3 3 13 13 13 169 13 1 P( A 3 ) = 3 = 13 169 37 故P(A 2 + A 3 ) = 169 37 = 1 − P(A 0 ) = 或P( A 2 + A 3 ) = P(A 0 ) 169 (3)P(A0+A2)=P(A0)+P(A2) 132 36 168 = + = 169 169 169 168 或 P( A 0 + A 2 ) = P( A 3 ) ＝1－P(A3) = 169 15
22
例4 在例1中求从市场上买一台电风扇是甲厂生产 的合格品的概率以及是乙厂生产的合格品的概率。 解：甲厂生产的合格品，即 P(AB)=P(A)P(B|A) =0.665 =0.7×0.95 乙厂生产的合格品，即 P(ĀB)=P(Ā)P(B|Ā) =0.3×0.8 =0.24 为什么后者不是1-P(AB)? 因为AB与ĀB不是对立事件。
P ( B | A ) = 0 .2
20
例3 全年级100名学生中，有男生(事件A)80人，女生20人； 来自北京的(事件B)有20人，其中男生12人，女生8人；免 修英语(事件C)有40人，其中男生32人，女生8人。试写出
P( A), P( B), P(C), P( B | A ), P( A | B), P( AB), P(C | A), P( A | B), P( AC)
8
(1)如果n个事件A1,A2,…,An两两互斥，则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) (2)若A1,A2,…,An构成一个完备事件组，它们的概率和为 P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1 特别地，对立事件的概率之和为1。 P(A)+P(Ā)=1 常用形式为 P(A)=1-P(Ā) (3)若B ⊃ A，则 P( B − A ) = P( B) − P( A) 一般有 P(B-A)=P(B)-P(AB) 这是因为 B=(B-A)+AB 见右图
例6 设有5个人，每个人以同等机会被分配在7个房 间中，求恰好有5个房间中各有一个人的概率。 解：设A表示恰有5个房间中各有一个人。 每人进入各房间等可能 基本事件总数为75个。
5
5人进入的5个房间有C 7种选择，选定房间 后5个人还有5!种排列
C 5! 故P( A ) =
7
7 5
5
360 = ≈ 0.15 2401
例5 甲盒中有2个红球1个白球，乙盒中有2个白球 1个红球。从甲盒中取一球放入乙盒，再从乙盒 中取一球放入甲盒。求甲盒成分不变的概率。 解：甲盒成分不变，包括两种情况 从甲盒中取出红球，从乙盒中也取出红球,记为A 从甲盒中取出白球，从乙盒中也取出白球,记为B A与B互斥 基本事件总数为3×4＝12 A的基本事件数2×2＝4 B的基本事件数1×3=3 4 3 7 P(A+B)=P(A)+P(B)= + = 12 12 12
1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
例3 一批产品共有10个，其中有4个废品，求： (1)这批产品的废品率 (2)任取3个恰有1个是废品的概率 (3)任取3个全非废品的概率 解：分别用A、A1、A0表示上述三个事件 4 (1)P( A) = =0.4 10 1 2 1 (2)P( A1 ) = C 4C 6 = =0.5 3 C103 2 C6 = 1 (3)P(A 0 ) = 3 C 6