牛顿迭代法

0.20 ， x4
0.20
f (0.20) f (0.20)
0.20
所以 x* 0.20 。
例 造平方根表。用牛顿迭代法计算 a ( 其中a>0)
解 令 x a ,则x2-a=0,求 a 等价于求方程 f (x) x2 a 0
的正实根。因为 f′(x)=2x ，由牛顿迭代公式得
xk 1
ek 1 ekp
( p) (x)
p!
lim
k
ek 1 ek2
f (x ) 2 f (x )
其中 p 2 ，则
例 设 x*是 f (x) 0 的根，对牛顿迭代法证明
lim
k
(
x k 1 xk
xk xk1 )
2
f "(x*) 2 f '(x*)
证
牛顿迭代法
xk 1
xk
f (xk ) f '(xk )
xk1 xk
f ( xk ) ,k 0,1,2, f ( xk )
y
y f x
pk xk , f ( xk )
x*
0
xk1 xk
x
例 用牛顿迭代法求方程 xex-1=0 在x=0.5附近的根。
解 f ( x) xe x 1 f ( x) e x xe x
牛顿迭代法
xk 1
xk
xke xk 1 e xk xke xk
， xk1
xk
f (xk ) f '(xk )
(x) x f (x)
f (x)
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2
牛顿迭代法局部收敛:
(x0) 1
f (x0)2 f (x0) f (x0)
2. 收敛速度
定理 设 f (x ) 0, f (x ) 0, f (x) 在x 邻域
连续，则牛顿法在x 局部收敛，且至少 2 阶收敛。并有
(1)给出x0 , ε，N
(2)计算
x1
x0
f ( x0 ) f ( x0 )
(3)若 x1 x0 则转(4)；否则 (4)输出x1 ,结束。
x0 x1 ，转(2);
2.4.2 牛顿迭代法的收敛情况
1.局部收敛性
x x f (x) f (x)
(x) 1
f
'(x) f
'(x) f (x) f (x) [ f (x)]2
顿迭代法求这个根的近似值，使误差不超过0.01 。
解 令 f (x) x5 5x 1 ，则 f (x) 在[1, 0] 上连续，又
f (1) 5 0, f (0) 1 0 故由介值定理知至少存在一个x* (1, 0) 使 f (x* ) 0 ，又由 f (x) 5x4 5 0 ，知 f (x) 在[1, 0] 上单调增加，因而方程 x5 5x 1 0 在区间(1, 0) 内有唯一实根。
0
牛顿法至少具有平方收敛速度。
| (x ) |
f (x ) f (x )
结论： f(x)=0的单根x* 附近存在着连续的二阶导数，当初值在 单根x*附近时，牛顿法具有平方收敛速度。
证明
lim
k
ek 1 ek2
f (x ) 2 f (x )
将（ x )
k
f (x ) f (x )
代入lim k
的正实根。由牛顿迭代公式得
xk 1
xk
xk3 a 3xk2
1 3
(2xk
a xk2
)
,
k
0,1,
当a=4111.7910时，取初值 x0=8，迭代4次可得
7.48，7.439977, 7.439760, 7.439760
例 用牛顿迭代法造倒数表，计算 1
解 令 x1 ,
c
c
3、牛顿迭代法的计算步骤
下面用牛顿迭代法求这个根的近似值。
因为 f (x) 20x3 0 取 x0 1 ( f (x0 ) f (x) 0) ，代入牛顿迭
代法 有
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
x1
1
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5 55
0.05 ， x2
0.5
f (0.5) 0.26 f (0.5)
x3
0.26
f (0.26) f (0.26)
lim
k
ek 1 ek2
f (x ) 2 f (x )
证 牛顿法迭代函数 (x) x f (x)
f (x)
(x) f (x) f (x)
[ f (x)]2
当 f(x*)=0，而 f(x*)≠0 ，则x*是f(x)=0的单根,单根x*附近存
在着连续的二阶导数，有
(x )
f
(x ) f (x ) [ f (x )]2
程的解逐步逼近非线性方程的解。
f (x)
f (xk )
f (xk )(x xk )
f
( xk 2!
)
(x
xk
)2
设 xk 在 x 附近时，有 f (x) f (xk ) f (xk )(x xk )
对 f (x*) 0 有 f (xk ) f (xk )(x xk ) 0 ，解出
xk 1 xk
f (xk ) f (xk )
k 0,1,
3.几何意义 过曲线上的点pk(xk , f(xk))作切线，切线方程
y=f(xk)+f (xk)(x – xk)
切线方程和横轴的交点(xk+1 , 0) ，即
0= f(xk)+f (xk)(xk+1 – xk)
若 f (xk )≠0，解出xk+1，则得Newton迭代公式
xk
xk e xk 1 xk
取x0=0.5，经计算可得
x1 0.57102044 x3 0.56714329
x2 0.567165569 x4 0.56714329
x 0.567143 普通迭代法18次才能得 到的计算结果。
例 证明方程 x5 5x 1 0 在区间(1, 0) 内有唯一的实根，并用牛
xk
xk2 a 2xk
1 2 (xk
a xk
)
,
k
0,1, 2,
当a=115时，取初值 x0=10，迭代4次可得
10，10.7500，10.723837，10.723805， 10.723805
115 ≈10.723805 是否还能用牛顿法计算一个正数的立方根？
例 用牛顿迭代法求 3 a
解 令 x 3 a ,则x3-3=0,求 3 a 等价于求方程 f (x) x3 a 0
2.3 牛顿迭代法
2.3.1 迭代公式的建立 2.3.2 牛顿迭代法的收敛情况 2.3.3 牛顿迭代法的修正法
2.3.1 迭代公式的建立
1．导出：非线性方程 f (x) 0 ，若 f (xk ) 0 ，
建立迭代格式
xk 1 xk
f (xk ) f (xk )
k 0,1,
2．数学意义：把非线性方程线性化，用线性方