2017年浙江省台州市高考数学一模试卷
2017年浙江省台州市高考一模数学试卷【解析版】
2017年浙江省台州市高考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）若集合A＝，则A∪B＝（）A．[0，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪[2，+∞）D．∅2．（4分）已知双曲线＝1的一条渐近线方程是y＝x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3．（4分）若函数y＝f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则f（2017）＝（）A．﹣2017B．0C．1D．20174．（4分）某空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是（）A．πB．C．D．5．（4分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，2b﹣c＝2a cos C，sin C＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．或D．或7．（4分）已知函数f（x）＝x（1+a|x|）（a∈R），则在同一个坐标系下函数f（x+a）与f（x）的图象不可能的是（）A．B．C．D．8．（4分）已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为（）A．270x﹣1B．270x C．405x3D．243x59．（4分）已知θ∈[0，π），若对任意的x∈[﹣1，0]．不等式x2cosθ+（x+1）2sinθ+x2+x ＞0恒成立，则实数θ的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）10．（4分）已知共面向量，，满足||＝3，+＝2，且||＝|﹣|．若对每一个确定的向量，记|﹣t|（t∈R）的最小值d min，则当变化时，d min的最大值为（）A．B．2C．4D．6二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．（6分）已知复数的实部为1，则a＝，|z|＝．12．（6分）已知离散型随机变量X的分布列为则变量X的数学期望E（X）＝，方差D（X）＝．13．（6分）已知数列{a n}的前m（m≥4）项是公差为2的等差数列，从第m﹣1，a m，a m+1，…成公比为2的等比数列．若a1＝﹣2，则m＝，项起，a m﹣1{a n}的前6项和S6＝．14．（6分）已知，则log2b＝，满足log a b≤1的实数x的取值范围是．15．（4分）如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若＝4，则＝．16．（4分）某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有种．（结果用数字表示）17．（4分）如图，在棱长为2的正四面体A﹣BCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且．若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于．（注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积．）三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，将向量绕原点O 按逆时针方向旋转x弧度得到向量．（1）若，求点Q的坐标；（2）已知函数f（x）＝•，令，求函数g（x）的值域．19．（15分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E为BC的中点，F为线段AD上的一点，且．现将四边形ABEF沿直线EF翻折，使翻折后的二面角A'﹣EF﹣C的余弦值为．（1）求证：A'C⊥EF；（2）求直线A'D与平面ECDF所成角的大小．20．（15分）已知函数．（1）若函数f（x）在（0，2）上存在两个极值点，求3a+b的取值范围；（2）当a＝0，b≥﹣1时，求证：对任意的实数x∈[0，2]，恒成立．21．（15分）如图，在椭圆中，过坐标原点O作两条互相垂直的射线OA，OB与C分别交于A，B两点．（1）已知直线AB的斜率为k，用k表示线段AB的长度；（2）过点O作OM⊥AB于M点，点P为椭圆C上一动点，求线段PM长度的取值范围．22．（15分）已知数列{a n}满足：．（1）求证：；（2）求证：．2017年浙江省台州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）若集合A＝，则A∪B＝（）A．[0，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪[2，+∞）D．∅【解答】解：集合A＝（﹣1，1），B＝[2，+∞），则A∪B＝（﹣1，1）∪[2，+∞），故选：C．2．（4分）已知双曲线＝1的一条渐近线方程是y＝x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为＝1，其焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y＝±x，又由题意，该双曲线的一条渐近线方程是y＝x，则有＝，解可得a＝，又由b＝1，则c＝＝2，则该双曲线的离心率e＝＝，故选：D．3．（4分）若函数y＝f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则f（2017）＝（）A．﹣2017B．0C．1D．2017【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，∴f（1）＝f（﹣1），∴﹣f（1）＝f（﹣1）＝f（1），∴f（1）＝f（﹣1）＝0，∴f（2017）＝f（1）＝0．故选：B．4．（4分）某空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是（）A．πB．C．D．【解答】解：由三视图可得，直观图是圆锥与球的组合体，由图中数据可得体积为＝π，故选：A．5．（4分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∀a，b∈R，a2+ab+b2＝+b2≥0，当且仅当a＝b＝0时取等号．∴＞0⇔（a﹣b）ab＞0，⇔“＜”．∴“＜”是“＞0”的充要条件．故选：C．6．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，2b ﹣c＝2a cos C，sin C＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵2b﹣c＝2a cos C，∴由正弦定理可得2sin B﹣sin C＝2sin A cos C，∴2sin（A+C）﹣sin C＝2sin A cos C，∴2cos A sin C＝sin C，∴cos A＝∴A＝30°，∵sin C＝，∴C＝60°或120°A＝30°，C＝60°，B＝90°，a＝1，∴△ABC的面积为＝，A＝30°，C＝120°，B＝30°，a＝1，∴△ABC的面积为＝，故选：C．7．（4分）已知函数f（x）＝x（1+a|x|）（a∈R），则在同一个坐标系下函数f（x+a）与f（x）的图象不可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝x（1+a|x|）＝x+ax|x|＝，（1）若a＞0，则当x≥0时，对称轴为x＝﹣＜0，开口向上，x＜0时，对称轴为x＝＞0，开口向下，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递增，且f（0）＝0，f（x+a）是由f（x）向左平移a的单位得到的，此时函数图象为B，（2）若a＜0，则当x≥0时，对称轴为x＝﹣＞0，开口向下，x＜0时，对称轴为x＝＜0，开口向上，∴f（x）在（0，+∞）上先减后增，在（﹣∞，0）先减后增，且f（0）＝0，f（x+a）是由f（x）向右平移|a|的单位得到的，此时函数图象为A或C，故选：D．8．（4分）已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为（）A．270x﹣1B．270x C．405x3D．243x5【解答】解：的展开式中各项系数的和为32，∴（a﹣1）5＝32，解得a＝3；∴展开式的通项为T r+1＝•（3x）5﹣r•＝（﹣1）r•35﹣r••x5﹣2r，又当r＝0时，35＝243；当r＝2时，33•＝270；当r＝4时，3•＝15；∴r＝2时该二项式展开式中系数最大的项为270x．故选：B．9．（4分）已知θ∈[0，π），若对任意的x∈[﹣1，0]．不等式x2cosθ+（x+1）2sinθ+x2+x ＞0恒成立，则实数θ的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：设f（x）＝x2cosθ+（x+1）2sinθ+x2+x＝（1+sinθ+cosθ）x2+（2sinθ+1）x+sinθ，∵θ∈[0，π），∴1+cosθ+sinθ≠0，且其对称轴为x＝﹣∵f（x）在[﹣1，0]的最小值为f（0）或f（1）或f（﹣）∴，即∴∴＜θ＜．故选：A．10．（4分）已知共面向量，，满足||＝3，+＝2，且||＝|﹣|．若对每一个确定的向量，记|﹣t|（t∈R）的最小值d min，则当变化时，d min的最大值为（）A．B．2C．4D．6【解答】解：如图，设＝，＝，＝，∵+＝2，∴M为BD的中点，＝•3d•2＝3d，∴S△ABD∵||＝|﹣|，∴AD＝BD，设AB＝c，AD＝b，∴在▱ABCD中，2[（AB）2+（AD）2]＝AC2+BD2，∴b2+2c2＝36，①，＝•c•＝•c•，∵S△ABD＝•c•＝c，将①代入可得，S△ABD∴3d＝c，∴d＝c≤＝2，当且仅当c2＝8时，取等号，故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（6分）已知复数的实部为1，则a＝1，|z|＝．【解答】解：∵z＝的实部为1，∴a＝1，则z＝1﹣i，|z|＝．故答案为：1，．12．（6分）已知离散型随机变量X的分布列为则变量X的数学期望E（X）＝1，方差D（X）＝．【解答】解：根据概率和为1，得a++＝1，解得a＝；∴变量X的数学期望E（X）＝0×+1×+2×＝1，方差D（X）＝×（0﹣1）2+×（1﹣1）2+×（2﹣1）2＝．故答案为：1，．13．（6分）已知数列{a n}的前m（m≥4）项是公差为2的等差数列，从第m﹣1，a m，a m+1，…成公比为2的等比数列．若a1＝﹣2，则m＝4，项起，a m﹣1{a n}的前6项和S6＝28．＝﹣2+2（m﹣2）＝2m﹣6，【解答】解：由a1＝﹣2，公差d＝2，得a m﹣1a m＝﹣2+2（m﹣1）＝2m﹣4，则，∴m＝4；∴S6＝a1+a2+a3+a4+a5+a6＝﹣2+0+2+4+8+16＝28．故答案为：4，28．14．（6分）已知，则log2b＝，满足log a b≤1的实数x的取值范围是．【解答】解：∵b＝＝，∴log2b＝，log a b＝＝＝≤1，∴x＜0，或．∴满足log a b≤1的实数x的取值范围是．故答案为：，．15．（4分）如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若＝4，则＝．【解答】解：分别过A，F，B作准线的垂线，垂足分别为A1，D，B1，则DF＝p＝2，由抛物线的定义可知BF＝BB1，AF＝AA1，∵＝4，∴，∴BF＝BB1＝．∴CF＝4FB＝6，∴cos∠DFC＝，∴cos∠A1AC＝＝＝，解得AF＝3，∴AB＝AF+BF＝3+＝．故答案为：．16．（4分）某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有1296种．（结果用数字表示）【解答】解：根据题意，由于第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，则第一节课有C31＝3种排法；对第8节课分情况讨论：①、若第8节安排选修课，需要将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有A44＝24种情况，排好后，出最后的空位之外，有4个空位可选，在其中任选2个，安排2节自修课，有C42＝6种情况，此时有24×6＝144种安排方法；②、若第8节安排自修课，将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有A44＝24种情况，排好后，出最后的空位之外，有4个空位可选，在其中任选2个，安排剩下的自修课与选修课，有A42＝12种情况，此时有24×12＝288种情况，则后面7节课有144+288＝432种安排方法；则所有不同的排法共有3×432＝1296种；故答案为：1296．17．（4分）如图，在棱长为2的正四面体A﹣BCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且．若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于．（注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积．）【解答】解：如图，当E为AB中点时，F分别在C，D处，满足|EF|＝，此时EF的中点P在EC，ED的中点P1，P2的位置上，当F为CD中点时，E分别在A，B处，满足|EF|＝，此时EF的中点P在BF，AF的中点P3，P4的位置上，连接P1P2，P3P4相交于点O，则四点P1，P2，P3，P4共圆，圆心为O，圆的半径为，则EF中点P的轨迹为L为以O为圆心，以为半径的圆，其测度|L|＝．故答案为：π．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，将向量绕原点O 按逆时针方向旋转x弧度得到向量．（1）若，求点Q的坐标；（2）已知函数f（x）＝•，令，求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）P（（cos，sin），cos（）＝﹣＝，sin（）＝+＝，∴点Q的坐标为．（2）f（x）＝cos（+x）+sin（+x）＝，∴g（x）＝cos x•cos（x+）＝cos2x﹣sin x cos x＝﹣sin2x＝﹣sin（2x﹣）．因，故g（x）的值域为．19．（15分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E为BC的中点，F为线段AD上的一点，且．现将四边形ABEF沿直线EF翻折，使翻折后的二面角A'﹣EF﹣C的余弦值为．（1）求证：A'C⊥EF；（2）求直线A'D与平面ECDF所成角的大小．【解答】（1）证明：连接AC交EF于M点，由平面几何知识可得，以及，则有，故有AM2+MF2＝AF2，则AC⊥EF，于是，A'M⊥EF，CM⊥EF，而A'M∩CM＝M，故EF⊥平面A'MC，而A'C⊂平面A'MC，故A'C⊥EF．（2）解：由（1）知，二面角A'﹣EF﹣C的平面角就是∠A'MC，即，根据余弦定理，可求得A'C＝1，因为A'C2+MC2＝A'M2，所以A'C⊥MC，而A'C⊥EF，可知A'C⊥平面ECDF，因此，∠A'DC就是直线A'D与平面ECDF所成的角．由于A'C＝CD＝1，故直线A'D与平面ECDF所成的角为．20．（15分）已知函数．（1）若函数f（x）在（0，2）上存在两个极值点，求3a+b的取值范围；（2）当a＝0，b≥﹣1时，求证：对任意的实数x∈[0，2]，恒成立．【解答】（1）解：f'（x）＝x2+ax+b，由已知可得f'（x）＝0在（0，2）上存在两个不同的零点，故有，即，令z＝3a+b，如图所示：由图可知﹣8＜z＜0，故3a+b的取值范围（﹣8，0）．（2）证明：，所以f'（x）＝x2+b，当b≥0时，f'（x）≥0在[0，2]上恒成立，则f（x）在[0，2]上单调递增，故，所以；当﹣1≤b＜0时，由f'（x）＝0，解得，则f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以．因为，要证，只需证，即证，因为﹣1≤b＜0，所以，所以成立．综上所述，对任意的实数恒成立．21．（15分）如图，在椭圆中，过坐标原点O作两条互相垂直的射线OA，OB与C分别交于A，B两点．（1）已知直线AB的斜率为k，用k表示线段AB的长度；（2）过点O作OM⊥AB于M点，点P为椭圆C上一动点，求线段PM长度的取值范围．【解答】解：（1）由题意，可设AB：y＝kx+m．由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，于是，（*）则|AB|＝|x1﹣x2|＝＝．又由OA⊥OB，知，即，将（*）代入化简得5m2﹣4k2＝4，所以；（2）若设直线AB：y＝kx+m，则，可设M（x，y），由（1）可知，5m2﹣4k2＝4（**）由，得，再代入y＝kx+m，得，代入（**），有，即5（y2+x2）2＝4y2+4x2，因y2+x2≠0，故有．当直线AB的斜率为0或不存在时，显然符合．故点M的轨迹方程为．所以，．而|OP|的最大值为a＝2，最小值为b＝1，所以，|PM|的取值范围为．22．（15分）已知数列{a n}满足：．（1）求证：；（2）求证：．【解答】证明：（1）由，所以，因为，所以a n+2＜a n+1＜2．（2）假设存在，由（1）可得当n＞N时，a n≤a N+1＜1，根据，而a n＜1，所以．于是，…．累加可得（*）由（1）可得a N+n﹣1＜0，而当时，显然有，因此有，这显然与（*）矛盾，所以．。
浙江省台州市2016-2017学年高三高考模拟考试数学(理)试题Word版含答案
浙江省台州市2016-2017学年高三高考模拟考试数学（理）试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合{|31}x A x =<，{|01}B x x =≤≤，则()A B = R ð A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1]2. 已知函数()([0f x ax b x =+∈，1])，则“30a b +>”是“()0f x >恒成立”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的 体积是A ．()24+2πcm 3B ．424+π3⎛⎫ ⎪⎝⎭cm 3C ．()8+6πcm 3D．(16+2π3⎛⎫⎪⎝⎭cm 3 4. 点F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，l 是准线，A 是抛物线在第一象限内的点，直线AF 的倾斜角为60，AB l ⊥于B ，ABF ∆p 的值为A．2B ．1 C．3 5．设集合{()1}P x y x y x y =+≤∈∈,,R,R ，22{()1}Q x y x y x y =+≤∈∈,,R,R ，42{()1}R x y x y x y =+≤∈∈,,R,R ，则下列判断正确的是俯视图侧视图正视图4（第3题图）A ．P ⊂≠Q ⊂≠RB ．P ⊂≠R ⊂≠QC ．Q ⊂≠P ⊂≠RD ．R ⊂≠P ⊂≠Q6. 已知数列{}n a 为等差数列，22121a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和，则5S 的取值范围是A．[-B．[-， C ．[10-，10] D．[-7. 已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 A ．33 B ．26 C ．25 D ．218. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，1BC =，60BAD ∠=，E 为线段CD （端点C 、D 除外）上一动点. 将ADE ∆沿直线AE 翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD 与BC 垂直，则a 的取值范围是A．)+∞ B．)+∞ C．1)+∞， D．1)+∞，非选择题部分（共110分）二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分。
浙江省台州市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年浙江省台州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量=（1，2），=（x，y）．则“x=﹣2且y=﹣4”是“∥”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a=，b=2，B=，则A的值为（）A．B．C．D．3．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．16 B．32 C．48 D．964．现定义a n=5n+（）n，其中n∈{，，，1}，则a n取最小值时，n的值为（）A．B．C．D．15．若函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 26．若函数f（x）=的部分图象如图所示，则abc=（）A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣87．设实数x，y满足则的取值范围为（）A．[，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1] D．[﹣1，]8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，若E，F为BD1的两个三等分点，G为长方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的动点，则∠EGF的最大值是（）A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空题（本大题共7小题，共36分.其中9～12题，每小题6分，13～15题，每小题6分）9．设集合P={x∈R|x2＜16}，M={x∈R|2x＜8}，S={x∈R|log5x＜1}，则P∪M=；P∩S=；C R M=．10．设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，那么双曲线C的方程为；离心率为．11．已知圆C：x2+y2=25和两点A（3，4），B（﹣1，2），则直线AB与圆C的位置关系为，若点P在圆C上，且S△ABP=，则满足条件的P点共有个．12．已知{|a n|}是首项和公差均为1的等差数列，S3=a1+a2+a3，则a3=，S3的所有可能值的集合为．13．有三家工厂分别位于A、B、C三点，经测量，AB=BC=5km，AC=6km，为方便处理污水，现要在△ABC的三条边上选择一点P处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AP、BP、CP．则AP+BP+CP的最小值为km．14．已知f（x）=则不等式f（x2﹣x）＞﹣5的解集为．15．如图，C、D在半径为1的圆O上，线段AB是圆O的直径，则的取值范围为．三、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．设△ABC的三内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，函数f（x）=cosx+sin（x﹣），且f（A）=1．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=1，求的最小值．17．如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥BC∥FD，F为AB的中点，AB=FD=2BC=2AE，现把此五边形ABCDE沿FD折成一个60°的二面角．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣F的平面角的余弦值．18．如图，已知椭圆C：+y2=1，过点P（1，0）作斜率为k的直线l，且直线l与椭圆C交于两个不同的点M、N．（Ⅰ）设点A（0，2），k=1．求△AMN的面积；（Ⅱ）设点B（t，0），记直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k．（k1+k2）•k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由．19．设数列{a n}的前n项和S n，S n=2a n+λn﹣4（n∈N+，λ∈R），且数列{a n﹣1}为等比数列．（Ⅰ）求实数λ的值，并写出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）（i）判断数列{}（n∈N+）的单调性；（ii）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T2n＜．20．已知函数f（x）=ax2+x|x﹣b|．（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立．求实数a的最小值；（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程|f（x）﹣m|=在[﹣3，3]上有6个互不相同的解，求实数a的取值范围．2015年浙江省台州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量=（1，2），=（x，y）．则“x=﹣2且y=﹣4”是“∥”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量平行的性质及判定得到y=2x，进而判断“y=2x”和“x=﹣2，y=﹣4”的关系即可．解答：解：若“∥”，则满足y=2x，由x=﹣2，y=﹣4能推出y=2x，是充分条件，由y=2x推不出x=﹣2，y=﹣4，不是必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查了平行向量问题，是一道基础题．2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a=，b=2，B=，则A的值为（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由已知及正弦定理可解得sinA==，结合A的范围，利用三角形中大边对大角即可求得A的值．解答：解：由已知及正弦定理可得：sinA===，由于：0＜A＜π，可解得：A=或，因为：a=＜b=2，利用三角形中大边对大角可知，A＜B，所以：A=．故选：D．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角知识的应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．3．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．16 B．32 C．48 D．96考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积．解答：解：由三视图可知该几何体的直观图是正视图为底的四棱锥，AB=2，CD=4，AD=4，棱锥的高为VD=4，则该四棱锥的体积V==16，故选：A点评：本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键．4．现定义a n=5n+（）n，其中n∈{，，，1}，则a n取最小值时，n的值为（）A．B．C．D．1考点：数列递推式．分析：对数列函数f（n）=5n+（）n求导数，由导函数的符号判断数列a n=5n+（）n为递增数列，由此可得a n取最小值时n的值．解答：解：∵a n=5n+（）n，令f（n）=5n+（）n，∴（n＞0），∴数列a n=5n+（）n为递增数列，则当n∈{，，，1}，且a n取最小值时，n的值为．故选：A．点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了利用导数研究函数的单调性，属中档题．5．若函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 2考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点可化为方程|x|+log2（x2+2）=﹣a 有且只有一个根，令F（x）=|x|+log2（x2+2），可判断F（x）是偶函数，F（x）≥F（0）=1，从而可得a=﹣1．解答：解：函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点可化为方程|x|+log2（x2+2）=﹣a有且只有一个根，令F（x）=|x|+log2（x2+2），则F（x）是偶函数，且F（x）在[0，+∞）上是增函数，故F（x）≥F（0）=1；故方程|x|+log2（x2+2）=﹣a有且只有一个根时，﹣a=1；故a=﹣1．故选B．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的联系与应用，同时考查了函数的性质的判断，属于基础题．6．若函数f（x）=的部分图象如图所示，则abc=（）A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=的部分图象知，1与3是方程ax2+bx+c=0的两根，且二次函数的顶点纵坐标为﹣1，利用韦达定理求出abc的值．解答：解：由函数f（x）=的部分图象知，1与3是方程ax2+bx+c=0的两根，且二次函数的顶点纵坐标为﹣1，故1+3=，1×3=，=﹣1，即b=﹣4a、c=3a，代入=﹣1得a=1，∴b=﹣4，c=3，∴abc=﹣12，故选：B．点评：本题主要考查函数图象的应用，重点考查识图的能力．关键是从图象的特点入手，找出函数所要满足的性质．7．设实数x，y满足则的取值范围为（）A．[，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1] D．[﹣1，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：利用方式函数的性质将目标函数进行化简，利用数形结合即可得到结论．解答：解：====，设k=，则k的几何意义为区域内的点到D（2，2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则AD的斜率最大，由，解得，即A（4，3），此时AD的斜率最大，为k=，即k≤，则≥2或＜0，则﹣1≥1或﹣1＜﹣1，0＜≤1或﹣1＜＜0，即0＜≤1或﹣1＜＜0，当y=2时，=0，当x=2，y=0，对应的=，综上﹣1≤≤1，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，根据分式函数的性质将目标函数进行分解是解决本题的关键．难度较大．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，若E，F为BD1的两个三等分点，G为长方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的动点，则∠EGF的最大值是（）A．30° B．45° C．60° D．90°考点：棱柱的结构特征．专题：数形结合；空间角．分析：根据题意，画出图形，结合图形得出当动点G为长方体的上下两个面的中心时，∠EFG 最大，最大值为90°．解答：解：根据题意，画出图形，如图所示；长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，所以长方体的体对角线BD1=3；设BD1的中点为O，因为E，F是BD1的三等分点，所以OE=OF=，且长方体的高为1；现以EF为直径作一个球，这个球与长方体的上下两个面相切于面的中心（即该球与长方体的表面仅此两个公共点）；因此，当G位于这两个公共点处时，∠EFG最大，此时EF为直径，所以∠EFG=90°；若G在长方体表面的其它位置时，则G必在该球的外部，∠EFG必小于90°；所以∠EFG的最大值为90°．故选：D．点评：本题考查了空间中的位置关系的应用问题，也考查了求空间角的应用问题，解题时应画出图形，利用数形结合的方法，是综合性题目．二、填空题（本大题共7小题，共36分.其中9～12题，每小题6分，13～15题，每小题6分）9．设集合P={x∈R|x2＜16}，M={x∈R|2x＜8}，S={x∈R|log5x＜1}，则P∪M={x|﹣4＜x＜4}；P∩S={x|0＜x＜5}；C R M={x|x≥4}．考点：交集及其运算；并集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵P={x∈R|x2＜16}={x|﹣4＜x＜4}，M={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，S={x∈R|log5x＜1}={x|0＜x＜5}，则P∪M={x|x＜4}，P∩S={x|0＜x＜4}，C R M={x|x≥4}，故答案为：{x|﹣4＜x＜4}，{x|0＜x＜5}，{x|x≥4}点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．10．设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，那么双曲线C的方程为3；离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出a，然后求解离心率即可．解答：解：F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，可得a=3，双曲线方程为：=1，则b=4，c=5，双曲线的离心率为：e=．故答案为：3；．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11．已知圆C：x2+y2=25和两点A（3，4），B（﹣1，2），则直线AB与圆C的位置关系为相交，若点P在圆C上，且S△ABP=，则满足条件的P点共有4个．考点：直线和圆的方程的应用．专题：解三角形；直线与圆．分析：求出直线AB的斜率和点斜式方程，求得圆心到直线AB的距离，与半径比较即可判断AB与圆C的关系；求出AB的长，运用三角形的面积公式，求得P到直线AB的距离，即可判断P的个数．解答：解：直线AB的斜率为k==，即有AB：y﹣4=（x﹣3），即为x﹣2y+5=0，圆心C（0，0）到直线AB的距离为=＜5，则直线AB和圆C相交；由于|AB|==2，S△ABP=，则×d=，即有d=，即P到直线AB的距离为，而C到直线AB的距离为＞，且5﹣＞，即有在直线AB的两侧均有两点到直线AB的距离为，则满足条件的P点共有4个．故答案为：相交；4．点评：本题考查直线和圆的位置关系的判断，同时考查点到直线的距离公式和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．12．已知{|a n|}是首项和公差均为1的等差数列，S3=a1+a2+a3，则a3=±3，S3的所有可能值的集合为{﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6}．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，|a3|=3，所以a3=±3，由a1=±1，a2=±2，S3=a1+a2+a3，可得S3的所有可能值．解答：解：由题意，|a3|=3，所以a3=±3，因为a1=±1，a2=±2，S3=a1+a2+a3，所以S3的所有可能值为﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6，故答案为：±3；{﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6}．点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．13．有三家工厂分别位于A、B、C三点，经测量，AB=BC=5km，AC=6km，为方便处理污水，现要在△ABC的三条边上选择一点P处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AP、BP、CP．则AP+BP+CP的最小值为km km．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：由题意，AB=BC=5km，AC=6km，所以AC上的高为4km，AB，AC上的高都为km，即可求出AP+BP+CP的最小值．解答：解：由题意，AB=BC=5km，AC=6km，所以AC上的高为4km，AB，AC上的高都为km，∵4+6＞5+，∴AP+BP+CP的最小值为km．故答案为：km．点评：本题考查AP+BP+CP的最小值，考查学生的计算能力，比较基础．14．已知f（x）=则不等式f（x2﹣x）＞﹣5的解集为（﹣1，2）．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：讨论分段函数的单调性，可得f（x）在R上连续，且为递减函数，又f（2）=﹣5，不等式f（x2﹣x）＞﹣5即为f（x2﹣x）＞f（2），由单调性可去掉f，解二次不等式即可得到解集．解答：解：当x≤0时，f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1为递减函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4为递减函数，且x=0时，f（0）=3，则f（x）在R上连续，且为递减函数，又f（2）=﹣5，不等式f（x2﹣x）＞﹣5即为f（x2﹣x）＞f（2），由f（x）为R上的单调递减函数，可得x2﹣x＜2，解得﹣1＜x＜2．则解集为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．点评：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性和运用：解不等式，同时考查二次不等式的解法，属于中档题．15．如图，C、D在半径为1的圆O上，线段AB是圆O的直径，则的取值范围为[﹣4，]．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建立直角坐标系，设出C的坐标，求出，，然后化简，即可求解它的范围．解答：解：如图建立平面直角坐标系：设D（cosθ，sinθ），﹣π≤θ≤π，∠CAB=α，=（a，b），﹣＜α＜，则tanα=，a=2cos2α，b=2cosαsinα，•=（a，b）•（cosθ﹣1，sinθ）=acosθ+bsinθ﹣a=sin（θ+φ）﹣a，其中tanφ==，∴α+φ=，﹣＜φ＜，从而﹣＜θ+φ＜，∴•=sin（θ+φ）﹣a的最大值是：﹣a，最小值是：﹣﹣a，最大值为：﹣a=﹣2cos2α=2cosα﹣2cos2α=﹣2+，当α=时，取最大值；最小值是：﹣﹣a=﹣2cosα﹣2cos2α=﹣+，当α=0时，取最小值﹣4；故答案为：[﹣4，]．点评：本题考查向量数量积的应用，考查转化思想计算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算是解答本题的关键．三、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．设△ABC的三内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，函数f（x）=cosx+sin（x﹣），且f（A）=1．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=1，求的最小值．考点：基本不等式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：（I）令两角和差的正弦公式可得函数f（x）=，f（A）==1，且A∈（0，π），即可得出．（II）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，再利用基本不等式即可得出．解答：解：（I）函数f（x）=cosx+sin（x﹣）=cosx+sinx﹣=sinx+=，∵f（A）==1，且A∈（0，π），∴，解得A=．（II）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，∴1==b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，当且仅当b=c时取等号．≥2，∴的最小值为2．点评：本题考查了两角和差的正弦公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥BC∥FD，F为AB的中点，AB=FD=2BC=2AE，现把此五边形ABCDE沿FD折成一个60°的二面角．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣F的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）先证明四边形ABCE为平行四边形得到CE∥AB，从而直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）取FD得中点G，如图作辅助线．先证明DF⊥平面ABF，从而DF⊥平面ECG，所以DF⊥EH，又EH⊥CD，所以EH⊥CD，又HI⊥CD，所以CD⊥平面EHI，从而CD⊥EI，从而∠EIH为二面角E﹣CD﹣F的平面角．代入数据计算即可．解答：（Ⅰ）证明：∵AE∥DF，BC∥FD，∴AE∥BC，又∵BC=AE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE∥AB．又CE⊄平面ABF，AB⊂平面ABF，所以直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）解：如图，取FD得中点G，连接EG、CG，在△CEG中，作EH⊥CG，垂足为H，在平面BCDF中，作HI⊥CD，垂足为I，连接EI．∵AE=FG=BC，AE∥FG∥BC，∴AF∥EG，BF∥CG．又DF⊥AF，DF⊥BF，故DF⊥平面ABF，所以DF⊥平面ECG，∵EH⊥CG，DF⊥EH，∴EH⊥平面CGD，∴EH⊥CD，又∵HI⊥CD，∴CD⊥平面EHI，所以CD⊥EI，从而∠EIH为二面角E﹣CD﹣F的平面角．设BC=AE=1，则FG=GD=CG=GE=1，由于∠EGC为二面角C﹣FD﹣E的平面角，即∠EGC=60°，所以在△CEG中，HG=CH=，EH=，HI=CHsin45°=，所以EI=，所以cos∠EIH=．点评：本题考查空间角、空间中直线与平面的位置关系，属中档题．18．如图，已知椭圆C：+y2=1，过点P（1，0）作斜率为k的直线l，且直线l与椭圆C交于两个不同的点M、N．（Ⅰ）设点A（0，2），k=1．求△AMN的面积；（Ⅱ）设点B（t，0），记直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k．（k1+k2）•k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）当k=1时，写成直线l的方程，再结合椭圆方程即得点N（0，﹣1），M（，），从而可得S△AMN=；（Ⅱ）设直线AN的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），结合椭圆方程可得关于x的一元二次方程得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，根据根的判别式△及韦达定理及直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，可得（k1+k2）•k=，分2t﹣8=0与2t﹣8≠0两种情况讨论即可．解答：解：（Ⅰ）当k=1时，直线l的方程为y=x﹣1，由得x1=0，即点N（0，﹣1），M（，），所以|AM|=3，S△AMN==；（Ⅱ）设直线AN的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，则△=16（3k2+1）＞0，及，，由，得（k1+k2）•k=k（+）=k2（+）===若2t﹣8=0，则t=4，（k1+k2）•k=0为定值；当2t﹣8≠0，则t2﹣4=0，（k1+k2）•k=为定值；所以，当t=4时，（k1+k2）•k=0；当t=2时，（k1+k2）•k=﹣1；当t=﹣2时，（k1+k2）•k=﹣．点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，利用一元二次方程中的韦达定理是解题的关键，属难题．19．设数列{a n}的前n项和S n，S n=2a n+λn﹣4（n∈N+，λ∈R），且数列{a n﹣1}为等比数列．（Ⅰ）求实数λ的值，并写出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）（i）判断数列{}（n∈N+）的单调性；（ii）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T2n＜．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）由S n+1﹣S n易得a n+1=2a n﹣λ，所以a n+1﹣1=2a n﹣λ﹣1=，又数列{a n﹣1}为等比数列，得λ=1．从而a n﹣1=2n，则a n=1+2n；（Ⅱ）（i）作差==即得结论；（ii）由b n==，可知T2n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣），利用﹣＜﹣==，将其放缩即可．解答：解：（Ⅰ）由S n=2a n+λn﹣4，得S n+1=2a n+1+λ（n+1）﹣4，两式相减得a n+1=2a n+1﹣2a n+λ，即a n+1=2a n﹣λ，所以a n+1﹣1=2a n﹣λ﹣1=，又数列{a n﹣1}为等比数列，所以，即λ=1．所以a1=3，a1﹣1=2，所以a n﹣1=2n，故数列{a n}的通项公式为：a n=1+2n；（Ⅱ）（i）∵==，又2n，2n+1单调递增，∴数列{}（n∈N+）为单调递减数列；（ii）∵b n==，∴T2n=b1+b2+…+b2n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣），由（i）得﹣＞﹣，即﹣＞﹣，所以﹣＜﹣==，所以T2n＜（﹣）+（++…+）=（﹣）+＜﹣+=＜．点评：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”以及放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知函数f（x）=ax2+x|x﹣b|．（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立．求实数a的最小值；（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程|f（x）﹣m|=在[﹣3，3]上有6个互不相同的解，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；二次函数的性质．专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得ax2≥﹣x|x+1|﹣2x﹣1恒成立，讨论x=0，x≠0时，运用参数分离，求得右边函数的最大值即可；（Ⅱ）对a讨论，（1）当a＜﹣1时，（2）当a=﹣1时，（3）﹣1＜a＜0时，①当＜b，即﹣，②当＞b，即﹣1＜a＜﹣，运用二次函数的单调性和最值的求法，讨论对称轴和区间的关系，解不等式，求交集即可．解答：解：（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立，即为ax2≥﹣x|x+1|﹣2x﹣1，当x=0时，0＞﹣1成立；当x≠0时，a≥，令g（x）=，即有g（x）=，当x≥﹣1，x≠0时，x=﹣时，g（x）取得最大值；当x＜﹣1时，x=﹣2时，g（x）取得最大值．则有g（x）的最大值为．即有a≥，则a的最小值为；（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程f（x）=m±在[﹣3，3]上有6个互不相同的解．而f（x）=，（1）当a＜﹣1时，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减．方程f（x）=m±在[﹣3，3]上不可能有6个互不相同的解；（2）当a=﹣1时，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减，方程f（x）=m±在[﹣3，3]上不可能有6个互不相同的解；（3）﹣1＜a＜0时，①当＜b，即﹣，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，b）递减，在（b，+∞）递增．又1≤b≤2，﹣，2[]﹣b＞﹣3，要使方程f（x）=m±在[﹣3，3]上有6个互不相同的解．则f（）﹣f（b）＞，∀b∈[1，2]，都有a（9﹣b2）＞3b﹣，b2[﹣a]＞．当a（9﹣b2）＞3b﹣，即a＞，令6b﹣17=t∈[﹣11，﹣5]，g（b）==，当t=﹣5即b=2时，g（x）max=﹣，即有a＞﹣，当b2[﹣a]＞．则4a2﹣2a﹣1＞0，解得a＞（舍去）或a＜．即有﹣＜a＜；②当＞b，即﹣1＜a＜﹣，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增．∀b∈[1，2]，＜3，f（3）﹣f（）=9（a+1）﹣3b+＞，当＜3，∀b∈[1，2]恒成立，解得a＞﹣，当9（a+1）﹣3b+＞，∀b∈[1，2]恒成立，取b=2代入得a＞﹣或a＜﹣．所以无解．综上可得，a的取值范围为（﹣，）．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。
浙江省台州市高考数学一模试卷
浙江省台州市高考数学一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高三上·泰安期中) 已知集合 0，，，则等于A .B .C .D . 0，2. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 复数 (为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） "为方程的解"是为函数极值点"的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）己知命题“使”是假命题，则实数a的取值范围是（）A .B . (−1,3)C .D . (−3,1)5. （2分）设随机变量X的概率分布列为X123P则E（X+2）的值为（）A .B . 9C .D .6. （2分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝x－y的最小值为（）A . －2B . 5C . 6D . 77. （2分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A .B .C . 3D . 28. （2分）(2017·江西模拟) 已知点O为△ABC的外心，且，则 =（）A . ﹣32B . ﹣16C . 32D . 169. （2分） (2019高一上·鹤壁期中) 已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）如图，在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）(2017·海淀模拟) 双曲线的实轴长为________．12. （1分） (2017高一下·红桥期末) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为________．13. （1分）(2017·天心模拟) 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚，________天后两只老鼠打穿城墙．14. （1分） (2015高三上·承德期末) 在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，cos = ，且acosB+bcosA=2，则△ABC的面积的最大值为________．15. （1分）(2014·北京理) 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．16. （1分） (2016高三上·浙江期中) 已知x，y∈R+ ，且满足x+2y=2xy，那么3x+4y的最小值为________．17. （1分）已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，则当取得最小值时，的值为________．三、解答题 (共5题；共35分)18. （10分） (2016高二下·大庆期末) 已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）cos（x﹣）．（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程．（2）求函数f（x）在区间[﹣， ]上的值域．20. （5分）已知函数f（x）=lnx+ ﹣1，a∈R．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，求函数的极值；（II）设函数g（x）=x+ ．当a=﹣1时，若区间[1，e]上存在x0 ，使得g（x0）＜m[f（x0）+1]，求实数 m 的取值范围．（e为自然对数底数）21. （5分） (2017高二下·临川期末) 已知椭圆经过点，其离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与椭圆相切，切点为，且与直线相交于点．试问：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．22. （5分）已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，且nan+1=2Sn（n∈N*），数列{bn}满足b1= ，b2=，对任意n∈N+ ，都有bn+12=bn•bn+2（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；（II）设{anbn}的前n项和为Tn ，若Tn＞对任意的n∈N+恒成立，求λ得取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共35分) 18-1、18-2、21-1、22-1、第11 页共11 页。
浙江省台州市2017届高考数学基础知识专题训练20无答案文20170929261
基础知识专题训练20一、考试要求等级要求内容A B C点、线、面之平面及其基本性质√间的位置关系直线与平面平行、垂直的判定与性质√二、基础知识1．平面概述（1）平面的特征：①无限延展②没有厚度（2）平面的画法：通常画__________来表示平面；（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。
2．三公理三推论:公理1：______________________________________________________公理2：______________________________________________________公理3：______________________________________________________推论一：______________________________________________________推论二：______________________________________________________推论三：______________________________________________________3．空间直线:（1）空间两条直线的位置关系：相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同一平面内，没有公共点；异面直线——_____________________________。
相交直线和平行直线也称为____直线。
（2）公理4：____________________________________4．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点），符号：_______；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点），符号：________；（3）直线和平面平行（没有公共点），符号：__________。
5. 平面与平面位置关系。
浙江省2017届高三一模数学试题(原卷版)(可编辑附答案精品)-物理小金刚系列
2017年高三“一模”数学试卷一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足：（是虚数单位），则复数的虚部是（）A. B. C. D.2. 已知集合，，那么（）A. B. C. D.3. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要4. 已知平面和共面的两条不同的直线，下列命题是真命题的是（）A. 若与所成的角相等，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则5. 函数的图像大致是（）A. B.C. D.6. 已知满足条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A. 1或-2B. 1或C. -1或-2D. -2或7. 袋子里有大小、形状相同的红球个，黑球个（），从中任取1个球是红球的概率记为，若将红球、黑球个数各增加1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为；若将红球、黑球个数各减少1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为，则（）A. B. C. D.8. 设点是椭圆上异于长轴端点上的任意一点，分别是其左右焦点，为中心，，则此椭圆的离心率为（）A. B. C. D.9. 如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，分别是线段上的动点，则的最大值为（）学#科#网...A. B. C. 1 D.10. 已知是实数，关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分，将答案填在答题纸上）11. 已知是等比数列，且，，则__________，的最大值为__________．12. 某几何体的三视图如图所示（单位：），该几何体的表面积为__________，体积为__________.13. 已知，，则__________，__________．14. 若实数且，则__________，__________．15. 教育装备中心新到7台同型号的电脑，共有5所学校提出申请，鉴于甲、乙两校原来电脑较少，决定给这两校每家至少2台，其余学校协商确定，允许有的学校1台都没有，则不同的分配方案有__________种（用数字作答）．16. 已知曲线及点，若曲线上存在相异两点，其到直线的距离分别为和，则__________．17. 已知等腰中，，分别为的中点，沿将折成直二面角（如图），则四棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.19. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，，，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20. 已知函数，，.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围.21. 设椭圆：的离心率，原点到点、所在直线的距离为.（1）求此椭圆的方程；（2）如图，设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线与轴是否交于一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.22. 已知数列满足，，数列的前项和为，证明：当时，（1）；（2）；（3）.。
2017年浙江高考数学模拟卷参考答案
2017年浙江省普通高等学校招生考试模拟卷参考答案数学（一）一、选择题1.答案B 。
解：[][)2,2,0,M N =-=+∞，[]0,2M N ∴=。
2.答案C.解：由题意知点A 、B 的坐标为(6,5)A 、(2,3)B -，则点C 的坐标为(2,4)C ， 则24i z =+，从而220z z z ⋅==。
3.答案B 。
解：因为向量b 在向量a 方向上的投影为2，则有2a b a=，即有6a b =。
则2()963a a b a a b -=-=-=。
4.答案A 。
解：由3)4(log 21-=f ，得(2)3f -=-，又)(x f 是奇函数，则有(2)3f =，即23a =，而0a >，故a =5.答案D 解法1：从6名候选人中选出3人，担任团生活委员的有155A =种不同的选举结果；担任团支部书记、团组织委员的有2520A =种不同的选举结果；故总共有520100⨯=种不同的选举结果。
解法2：从6名候选人中选出3人，不含甲的有3560A =种不同的选举结果； 从6名候选人中选出3人，含有甲的有21252240C A A =种不同的选举结果；故总共有6040100+=种不同的选举结果。
6.答案D. 解：475628a a a a +=⎧⎨=-⎩，得474728a a a a +=⎧⎨=-⎩，解得4742a a =⎧⎨=-⎩或4724a a =-⎧⎨=⎩。
若474,2a a ==-，则有1108,1a a =-=，此时1107a a +=-。
若472,4a a =-=，则有1101,8a a ==-，此时1107a a +=-。
综合有1107a a +=-。
7.答案C 解：在ABC ∆中，220sin sin sin sin A B a b A B A B <⇔<⇔<<⇔<，2212sin 12sin cos 2cos 2A B A B ⇔->-⇔>，故选C 。
浙江省台州市2016-2017学年高三数学一模试卷(文科)Word版含解析
浙江省台州市2016-2017学年高三一模试卷（文科数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，则A∩B=（ ） A ．（﹣1，0）B ．（0，3）C ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）D ．（﹣1，3）2．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m B ．若l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α C ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m D ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α3．已知实数x ，y 满足，则x ﹣y 的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．﹣1D ．﹣34．已知直线l ：y=kx+b ，曲线C ：x 2+y 2=1，则“b=1”是“直线l 与曲线C 有公共点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．2D ．6．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E 为AD 的中点，现分别沿BE ，CE 将△ABE ，△DCA 翻折，使得点A ，D 重合于F ，此时二面角E ﹣BC ﹣F 的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，已知F 1、F 2为双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足（+）=0，||=a ，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若=5，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x8．已知集合M={（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，若实数λ，μ满足：对任意的（x ，y ）∈M ，都有（λx ，μy ）∈M ，则称（λ，μ）是集合M 的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（ ） A ．{（λ，μ）|λ+μ=4} B ．{（λ，μ）|λ2+μ2=4} C ．{（λ，μ）|λ2﹣4μ=4} D ．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=4}二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．已知直线l 1：ax ﹣y+1=0，l 2：x+y+1=0，l 1∥l 2，则a 的值为 ，直线l 1与l 2间的距离为 ．10．已知钝角△ABC 的面积为，AB=1，BC=，则角B= ，AC= ．11．已知f （x ）=，则f （f （﹣2））= ，函数f （x ）的零点的个数为 ．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 ．13．若数列{a n }满足a n+1+a n =2n ﹣1，则数列{a n }的前8项和为 ．14．已知f （x ）=ln （x+），若对任意的m ∈R ，方程f （x ）=m 均为正实数解，则实数a 的取值范围是 ．15．已知椭圆C ： =1（a ＞）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，直线l ：y=ex+a ，P 为点F 1关于直线l 对称的点，若△PF 1F 2为等腰三角形，则a 的值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知2sin αtan α=3，且0＜α＜π． （I ）求α的值；（Ⅱ）求函数f （x ）=4cosxcos （x ﹣α）在[0，]上的值域．17．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=2，且4S 1，3S 2，2S 3成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =|2n ﹣5|a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．如图，在三棱锥D ﹣ABC 中，DA=DB=DC ，D 在底面ABC 上的射影为E ，AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于F （Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面DEF（Ⅱ）若AD ⊥DC ，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE 与平面DAB 所成的角的正弦值．19．如图，已知点F（1，0），点A，B分别在x轴、y轴上运动，且满足AB⊥BF， =2，设点D的轨迹为C．（I）求轨迹C的方程；（Ⅱ）若斜率为的直线l与轨迹C交于不同两点P，Q（位于x轴上方），记直线OP，OQ的斜率分别为k 1，k2，求k1+k2的取值范围．20．已知函数f（x）=（x﹣t）|x|（t∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∃t∈（0，2），对于∀x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，求实数a的取值范围．浙江省台州市2016-2017学年高三一模试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（0，3）C．（﹣∞，0）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）【分析】分别求出集合A，B，从而求出其交集即可．【解答】解：∵集合A={x|y=lgx}={x|x＞0|，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B=（0，3），故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．2．已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m∥α，则l⊥αC．若l⊥α，m⊥α，则l∥m D．若l⊥m，l⊥α，则m∥α【分析】利用线面平行的性质定理和判定定理对四个选项分别分析解答．【解答】解：对于A，若l∥α，m∥α，则l与m的位置关系可能为平行、相交或者异面；故A错误；对于B，若l⊥m，m∥α，则l与α平行或者相交；故B 错误；对于C，若l⊥α，m⊥α，利用线面创造的性质可得l∥m；故C正确；对于D，若l⊥m，l⊥α，则m∥α或者m⊂α；故D错误；故选C．【点评】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理，正确运用．3．已知实数x，y满足，则x﹣y的最大值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3【分析】令z=x﹣y，从而化简为y=x﹣z，作平面区域，结合图象求解即可．【解答】解：令z=x﹣y，则y=x﹣z，由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当过点A（3，0）时，x﹣y取得最大值3，故选B．【点评】本题考查了学生的作图能力及线性规划的应用，同时考查了数形结合的思想应用．4．已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+y2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】先根据直线l与曲线C有公共点，根据直线和圆的位置关系得到b2≤1+k2，再根据充分，必要条件的定义判断即可．【解答】解：由题意可得直线直线l：y=kx+b，曲线C：x2+y2=1有公共点，∴≤1，∴b2≤1+k2，当b=1时，满足，b2≤1+k2，即“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”充分条件，当直线l与曲线C有公共点，不一定可以得到b=1，b=0时也满足，故“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，以及充分必要条件的判定，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．5．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最大值为（）A．B．C．2 D．【分析】建立平面直角坐标系，设P（x，0），使用坐标法将表示成x的函数，根据x的范围求出函数的最大值．【解答】解：以AB为x轴，以AD为y轴建立平面直角坐标系，∵正方形ABCD的面积为2，∴B（，0），C（），D（0，）．设P（x，0）（0），则=（，），=（﹣x，）．∴=﹣x（）+2=x2﹣+2=（x﹣）2+．∴当x=时，取得最大值．故选B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，使用坐标法求值是常用方法之一．6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCA翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角E﹣BC﹣F的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据折叠前和折叠后的边长关系，结合二面角的平面角定义得到∠FOE是二面角E﹣BC﹣F的平面角进行求解即可．【解答】解：取BC的中点O，连接OE，OF，∵BA=CD，∴BF=FC，即三角形BFC是等腰三角形，则FO⊥BC，∵BE=CF，∴△BEC是等腰三角形，∴EO⊥BC，则∠FOE是二面角E﹣BC﹣F的平面角，∵EF⊥CF，BF⊥EF，∴EF⊥平面BCF，EF⊥FO，则直角三角形EFO中，OE=AB=2，EF=DE=，则sin∠FOE===，则cos∠FOE===，故选：B【点评】本题主要考查二面角的求解，根据二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．注意叠前和折叠后的线段边长的变化关系．7．如图，已知F 1、F 2为双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足（+）=0，||=a ，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若=5，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x【分析】连接F 1Q ，由向量共线定理可得|F 2Q|=，|PQ|=，由双曲线的定义可得|F 1Q|=，运用向量的数量积的性质可得|F 1F 2|=|F 1P|=2c ，在△F 1PQ 和△QF 1F 2中，由∠PQF 1+∠F 2QF 1=π，可得cos ∠PQF 1+cos ∠F 2QF 1=0，运用余弦定理，化简整理可得b=a ，运用双曲线的渐近线方程即可得到．【解答】解：连接F 1Q ，由||=a ，=5，可得|F 2Q|=，|PQ|=，由双曲线的定义可得|F 1Q|﹣|F 2Q|=2a ，即有|F 1Q|=，由（+）=0，即为（+）（﹣）=0，即有2﹣2=0，|F 1F 2|=|F 1P|=2c ，在△F 1PQ 和△QF 1F 2中，由∠PQF 1+∠F 2QF 1=π，可得cos ∠PQF 1+cos ∠F 2QF 1=0，由余弦定理可得， +=0，化简可得c 2=a 2，由c 2=a 2+b 2，可得b=a ，可得双曲线的渐近线方程为y=±x ，即为y=±x ． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用三角形中的余弦定理，同时考查向量数量积的性质和向量共线定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8．已知集合M={（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，若实数λ，μ满足：对任意的（x ，y ）∈M ，都有（λx ，μy ）∈M ，则称（λ，μ）是集合M 的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（ ） A ．{（λ，μ）|λ+μ=4} B ．{（λ，μ）|λ2+μ2=4} C ．{（λ，μ）|λ2﹣4μ=4} D ．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=4}【分析】由题意，λ2x 2+μ2y 2≤λ2+μ2≤1，问题转化为λ2+μ2≤1与选项有交点，代入验证，可得结论． 【解答】解：由题意，λ2x 2+μ2y 2≤λ2+μ2≤1，问题转化为λ2+μ2≤1与选项有交点，代入验证，可得C 符合． 故选：C ．【点评】本题考查曲线与方程，考查学生的计算能力，问题转化为λ2+μ2≤1与选项有交点是关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．已知直线l 1：ax ﹣y+1=0，l 2：x+y+1=0，l 1∥l 2，则a 的值为 ﹣1 ，直线l 1与l 2间的距离为 ．【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：直线l 1：ax ﹣y+1=0，l 2：x+y+1=0，分别化为：y=ax+1，y=﹣x ﹣1， ∵l 1∥l 2，∴a=﹣1，1≠﹣1．两条直线方程可得：x+y ﹣1=0，x+y+1=0．直线l 1与l 2间的距离d==．故答案分别为：﹣1；．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知钝角△ABC 的面积为，AB=1，BC=，则角B=，AC=．【分析】利用已知及三角形面积公式可求sinB ，可求B=或，分类讨论：当B=时，由余弦定理可得AC=1，可得AB 2+AC 2=BC 2，为直角三角形，舍去，从而利用余弦定理可得AC 的值．【解答】解：∵钝角△ABC 的面积为，AB=1，BC=，∴=1××sinB ，解得：sinB=，∴B=或，∵当B=时，由余弦定理可得AC===1，此时，AB 2+AC 2=BC 2，可得A=，为直角三角形，矛盾，舍去．∴B=，由余弦定理可得AC===，故答案为：；． 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．11．已知f （x ）=，则f （f （﹣2））= 14 ，函数f （x ）的零点的个数为 1 ．【分析】根据x ＜0与x ≥0时f （x ）的解析式，确定出f （f （﹣2））的值即可；令f （x ）=0，确定出x 的值，即可对函数f （x ）的零点的个数作出判断．【解答】解：根据题意得：f （﹣2）=（﹣2）2=4，则f （f （﹣2））=f （4）=24﹣2=16﹣2=14；令f （x ）=0，得到2x ﹣2=0，解得：x=1，则函数f （x ）的零点个数为1，故答案为：14；1．【点评】此题考查了函数零点的判定定理，以及函数的值，弄清函数零点的判定定理是解本题的关键．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 12 ，表面积为 36 ．【分析】根据三视图作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算体积和表面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD 是边长为3正方形，EA ⊥底面ABCD ，EA=4．∴棱锥的体积V=．棱锥的四个侧面均为直角三角形，EB=ED=5，∴棱锥的表面积S=32++=36．故答案为12；36．【点评】本题考查了棱锥的三视图和结构特征，体积与表面积计算，属于基础题．13．若数列{a n }满足a n+1+a n =2n ﹣1，则数列{a n }的前8项和为 28 ．【分析】数列{a n }满足a n+1+a n =2n ﹣1，对n 分别取1，3，5，7，求和即可得出．【解答】解：∵数列{a n }满足a n+1+a n =2n ﹣1，∴数列{a n }的前8项和=（2×1﹣1）+（2×3﹣1）+（2×5﹣1）+（2×7﹣1）=28．故答案为：28．【点评】本题考查了递推关系、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知f （x ）=ln （x+），若对任意的m ∈R ，方程f （x ）=m 均为正实数解，则实数a 的取值范围是 （4，+∞） ． 【分析】根据对数函数的性质结合不等式的性质得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：f （x ）=ln （x+）=m ，则a=x+﹣e m ＞4故答案为：（4，+∞）．【点评】本题考察了对数函数的性质，不等式的性质，是一道基础题．15．已知椭圆C ： =1（a ＞）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，直线l ：y=ex+a ，P 为点F 1关于直线l 对称的点，若△PF 1F 2为等腰三角形，则a 的值为 ． 【分析】运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，结合点到直线的距离公式，由题意可得|PF 1|=|F 1F 2|，解方程即可求得a 的值．【解答】解：由题意可得c=，e=，F 1（﹣c ，0）到直线l 的距离为d=，由题意可得|PF 1|=|F 1F 2|，即为2d=2c ，即有=a 2﹣2，化简可得a 4﹣3a 2=0，解得a=．故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率公式的运用和点到直线的距离公式，以及运算化简能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知2sinαtanα=3，且0＜α＜π．（I）求α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域．【分析】（Ⅰ）由已知推导出2cos2α+3cosα﹣2=0，由此能求出α．（Ⅱ）f（x）=4cosxcos（x﹣α）=2sin（2x+）+1，由，得2x+∈[]，由此能求出函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵2sinαtanα=3，且0＜α＜π．∴2sin2α=3cosα，∴2﹣2cos2α=3cosα，∴2cos2α+3cosα﹣2=0，解得或cosα=﹣2（舍），∵0＜α＜π，∴α=．（Ⅱ）∵α=，∴f（x）=4cosxcos（x﹣α）=4cosx（cosxcos+sinxsin）=2cos2x+2sinxcosx=+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵，∴2x+∈[]，∴2≤2sin（2x+）+1≤3，∴函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域为[2，3]．【点评】本题考查角的求法，考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式及余弦加法定理和正弦加法定理的合理运用．17．设等比数列{an }的前n项和为Sn，已知a1=2，且4S1，3S2，2S3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设b n =|2n ﹣5|a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【分析】（Ⅰ）根据4S 1，3S 2，2S 3成等差数列．根据等差中项6S 2=4S 1+2S 3，化简整理求得q=2，写出通项公式；（Ⅱ）讨论当n=1、2时，求得T 1=6，T 2=10，写出前n 项和，采用错位相减法求得T n ．【解答】解：（Ⅰ）∵4S 1，3S 2，2S 3成等差数列，∴6S 2=4S 1+2S 3，即6（a 1+a 2）=4a 1+2（a 1+a 2+a 3），则：a 3=2a 2，q=2，∴；（Ⅱ）当n=1，2时，T 1=6，T 2=10，当n ≥3，T n =10+1×23+3×24+…+（2n ﹣5）2n ，2T n =20+1×24+3×25+…+（2n ﹣7）×2n +（2n ﹣5）×2n+1，两式相减得：﹣T n =﹣10+8+2（24+25+…+2n ）﹣（2n ﹣5）×2n+1，=﹣2+2×﹣（2n ﹣5）×2n+1，=﹣34+（7﹣2n ）2n+1，∴T n =34﹣（7﹣2n ）2n+1．∴．【点评】本题求等比数列的通项公式和采用错位相减法求前n 项和，属于中档题．18．如图，在三棱锥D ﹣ABC 中，DA=DB=DC ，D 在底面ABC 上的射影为E ，AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于F（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面DEF（Ⅱ）若AD ⊥DC ，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE 与平面DAB 所成的角的正弦值．【分析】（I）由DE⊥平面得出DE⊥AB，又DF⊥AB，故而AB⊥平面DEF，从而得出平面ABD⊥平面DEF；（II）以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面DAB的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA=DC，DE⊥AC，AC=4，AD⊥CD，∴E为AC的中点，DE==2．∵AB⊥BC，AC=4，∠BAC=60°，∴AB=．以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，﹣2，0），D（0，0，2），B（，﹣1，0）．∴=（0，﹣2，﹣2），=（，﹣1，﹣2），=（，﹣1，0）．设平面DAB的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令z=1，得=（，﹣1，1）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴BE与平面DAB所成的角的正弦值为．【点评】本题考查了了面面垂直的判定，空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题．19．如图，已知点F（1，0），点A，B分别在x轴、y轴上运动，且满足AB⊥BF， =2，设点D的轨迹为C．（I）求轨迹C的方程；（Ⅱ）若斜率为的直线l 与轨迹C 交于不同两点P ，Q （位于x 轴上方），记直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1+k 2的取值范围．【分析】（I ）根据=2得B 为AD 的中点，利用AB ⊥BF ，可得=0，从而可得轨迹C 的方程；（Ⅱ）斜率为的直线l 的方程为y=x+b ，代入y 2=4x ，整理，利用韦达定理，结合斜率公式，即可求k 1+k 2的取值范围．【解答】解：（I ）设D （x ，y ），则由=2得B 为AD 的中点，所以A （﹣x ，0），B （0，）∵AB ⊥BF ，∴ =0，∴（x ，）（1，﹣）=0∴y 2=4x （x ≠0）；（Ⅱ）斜率为的直线l 的方程为y=x+b ，代入y 2=4x ，整理可得x 2+（4b ﹣16）x+4b 2=0，△=（4b ﹣16）2﹣16b 2＞0，∴b ＜2设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），∴x 1+x 2=16﹣4b ，x 1x 2=4b 2．k 1+k 2=+==，∵b ＜2，∴＜0或＞2，∵k 1+k 2的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，解题的关键是用好向量，挖掘隐含，属于中档题．20．已知函数f （x ）=（x ﹣t ）|x|（t ∈R ）．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若∃t∈（0，2），对于∀x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）讨论x的取值范围，将函数表示为分段函数形式，然后判断函数的单调性即可．（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ），…（1分）当t＞0时，f（x）的单调增区间为，单调减区间为…（4分）当t=0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）…（5分）当t＜0时，f（x）的单调增区间为[0，+∞），，单调减区间为…（8分）（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣x=，当x∈[0，2]时，∵∈（0，2），∴…（9分）当x∈[﹣1，0]时，（x）=﹣t…（10分）∵g（﹣1）=﹣t，g（0）=0，∴gmin故只须∃t∈（0，2），使得：成立，即…（13分）∴a≤…（14分）另解：设h（t）=f（x）﹣x=﹣|x|t+x|x|﹣x，t∈（0，2）…（9分）≥a，对x∈[﹣1，2]都成立．…（10分）只须h（t）max则只须h（0）=x|x|﹣x≥a，对x∈[﹣1，2]都成立．…（12分）再设m（x）=x|x|﹣x，x∈[﹣1，2]，只须m（x）≥a，易求得a≤…（14分）min【点评】本题主要考查函数单调性的判断以及不等式恒成立问题，利用参数转化法是解决本题的关键．。
浙江省台州市高考数学一模试卷 文(含解析)
2015年浙江省台州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知=（1，﹣2），=（x，1），若∥，则x=（）A． 2 B．﹣2 C． D．﹣2．已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若点A（a，﹣1）在函数f（x）=的图象上，则a=（）A． 1 B． 10 C． D．4．若某个几何体的三视图如下（单位：cm），则这个几何体的体积是（）A． B． C． 2000cm3 D． 4000cm35．在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则A=（）A． B． C． D．6．现定义a n=5n+（）n，其中n∈{，，，1}，则a n取最小值时，n的值为（）A． B． C． D． 17．若存在实数x=x0，使得不等式ax＞a﹣1不成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=BC=2，若M为四面体C1BCD内的点（包含边界），则直线A1M与平面A1B1C1D1所成角的余弦值的余弦的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．若集合P={x|R|x2＜9}，Q={1，2，3，4}，M={x|R|2x＜4}，则P∩Q=，P∪M=，∁R M= ．10．函数f（x）=log2|x|的定义域是，单调递增区间是．11．设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，那么双曲线C的方程为；离心率为．12．若等边△ABC的边长为6，平面内一点M满足=+，则四边形ABCM的面积为，= ．13．有三家分别位于△ABC顶点处的工厂，已知AB=AC=5，BC=6，为了处理污水，现要在△ABC 的三条边上选择一点P建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道则AP，BP，CP，则AP+BP+CP 的最小值为．14．若函数f（x）=的部分图象如图所示，则b= ．15．若实数x，y满足，则x2+5y2的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分74分）16．设函数f（x）=sin2πx﹣sin2πx+．（1）求f（）的值；（2）设x∈[0，2]，求满足f（x）=﹣的所有x值的和．17．设数列{a n}的首项a1=2，前n项的和为S n且a n+1=S n+2（n∈N*）．（1）证明{a n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的通项b n=log2（a1a2…a n），试判断与2的大小关系，并说明理由．18．如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥BC∥FD，F为AB的中点，AB=FD=2BC=2AE，现把此五边形ABCDE沿FD折成一个60°的二面角．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣F的平面角的余弦值．19．已知直线l与抛物线y2=2x有且仅有一个公共点A，直线l又与圆（x+2）2+y2=t（t＞0）相切于点B，且A、B两点不重合．（1）当t=4时，求直线l的方程；（2）是否存在实数t，使A、B两点的横坐标之差等于4？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．20．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）（1）若b=2a，a＜0，写出函数f（x）的单调递减区间，并证明你的结论；（2）设a，c为常数，若存在实数b使得函数f（x）在区间（0，1）内有两个不同的零点，求实数b的取值范围（用a，c表示）．2015年浙江省台州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知=（1，﹣2），=（x，1），若∥，则x=（）A． 2 B．﹣2 C． D．﹣考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算共线向量的充要条件列出方程求解即可．解答：解：=（1，﹣2），=（x，1），若∥，可得﹣2x=1，解得x=﹣．故选：D．点评：本题考查向量的共线的充要条件以及坐标运算，考查计算能力．2．已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：∵函数f（x）是奇函数，∴若x1+x2=0，则x1=﹣x2，则f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2），即f（x1）+f（x2）=0成立，即充分性成立，若f（x）=0，满足f（x）是奇函数，当x1=x2=2时，满足f（x1）=f（x2）=0，此时满足f（x1）+f（x2）=0，但x1+x2=4≠0，即必要性不成立，故“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．3．若点A（a，﹣1）在函数f（x）=的图象上，则a=（）A． 1 B． 10 C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先判断点A在属于哪个解析式，再代入计算即可．解答：解：∵点A（a，﹣1）在函数f（x）=的图象上，∵f（a）=﹣1，∴0＜a＜1，∴lga=﹣1，解得a=故选：D．点评：本题考查了函数的图象和性质，关键是判断点A属于那段函数的解析式中，属于基础题．4．若某个几何体的三视图如下（单位：cm），则这个几何体的体积是（）A． B． C． 2000cm3 D． 4000cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积．解答：解：由三视图可知该几何体的直观图是一个四棱锥，底面正方形ABCD的边长为20，四棱锥的高VE=10，则四棱锥的体积V==，故选：A点评：本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则A=（）A． B． C． D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：先利用辅助角公式求出角B，然后利用正弦定理求出角A即可，注意三角形的内角和为180°．解答：解：∵sinB+cosB=，即（sinB+cosB）=，∴sin（B+）=，解得sin（B+）=1，∴结合B的范围可得：B=，则sinB=，根据正弦定理=，解得sinA=，解得A=或（舍去），故选：B．点评：本题主要考查了辅助角公式，以及正弦定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．6．现定义a n=5n+（）n，其中n∈{，，，1}，则a n取最小值时，n的值为（）A． B． C． D． 1考点：数列递推式．分析：对数列函数f（n）=5n+（）n求导数，由导函数的符号判断数列a n=5n+（）n为递增数列，由此可得a n取最小值时n的值．解答：解：∵a n=5n+（）n，令f（n）=5n+（）n，∴（n＞0），∴数列a n=5n+（）n为递增数列，则当n∈{，，，1}，且a n取最小值时，n的值为．故选：A．点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了利用导数研究函数的单调性，属中档题．7．若存在实数x=x0，使得不等式ax＞a﹣1不成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）考点：特称命题．专题：分类讨论；不等式的解法及应用．分析：讨论a=0、a＞0与a＜0时，不等式解集的情况，求出a的取值范围．解答：解：当a=0时，不等式化为0＞﹣1，∴对任意实数x∈R，使得不等式ax＞a﹣1恒成立；当a＞0时，不等式化为x＞1﹣，∴存在实数x=x0，使得不等式ax＞a﹣1不成立；当a＜0时，不等式化为x＜1﹣，∴存在实数x=x0，使得不等式ax＞a﹣1不成立；实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，+∞）．故选：C．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论思想，是基础题目．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=BC=2，若M为四面体C1BCD内的点（包含边界），则直线A1M与平面A1B1C1D1所成角的余弦值的余弦的最小值为（）A． B． C． D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：首先找出直线A1M与平面A1B1C1D1所成的角：过M作MN⊥平面A1B1C1D1，连接A1N，从而∠MA1N便是直线A1M和平面A1B1C1D1所成角，并且可以得到，当cos∠MA1N最小时，sin∠MA1N=最大．连接A1B，A1D，取BD中点O，并连接A1O，可得到A1O⊥BD，连接B1D1，并取其中点O1，连接OO1，O1A1，容易说明OO1⊥平面A1B1C1D1，从而便可以看出当M和O，N 和O1都重合时，sin∠MA1N最大，而cos∠MA1N最小，并能求出该最小值．解答：解：如图，过M作MN⊥平面A1B1C1D1，垂足为N，连接A1N，则∠MA1N便是直线A1M和平面A1B1C1D1所成角；要使直线A1M和平面A1B1C1D1所成角的余弦值最小，只要∠MA1N最大；∴此时，sin∠MA1N=取到最大值；连接A1B，A1D，则△A1BD为等边三角形；取BD中点O，连接A1O，则A1O⊥BD，连接B1D1并取其中点为O1，连接OO1，O1A1，则：OO1⊥平面A1B1C1D1；∴若M和O点重合，则：此时MN=OO 1=1最大，最小，并且；∴此时cos∠MA1N=cos∠OA1O1=最小．故选C．点评：考查直线和平面所成角的概念及找法，直线和平面所成角的范围，正余弦函数在[0，）上的单调性，而将找使cos∠MA1N最小，转变成找使sin∠MA1N最大的点M是求解本题的关键．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．若集合P={x|R|x2＜9}，Q={1，2，3，4}，M={x|R|2x＜4}，则P∩Q={1，2} ，P∪M=（﹣3，2），∁R M= [2，+∞）．考点：交集及其运算；并集及其运算；补集及其运算．专题：集合．分析：求出P与M中不等式的解集确定出P与M，找出P与Q的交集，P与M的并集，找出M的补集即可．解答：解：由P中不等式解得：﹣3＜x＜3，即P=（﹣3，3），由M中不等式变形得：2x＜4=22，即x＜2，∴M=（﹣∞，2），∵Q={1，2，3，4}，∴P∩Q={1，2}，P∪M=（﹣3，2），∁R M=[2，+∞），故答案为：{1，2}；（﹣3，2）；[2，+∞）点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．函数f（x）=log2|x|的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），单调递增区间是（0，+∞）．考点：对数函数的图像与性质；对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数f（x）的解析式，得出真数|x|＞0，求出解集即得函数f（x）的定义域；再讨论f（x）的单调性，求出f（x）的单调递增区间．解答：解：∵函数f（x）=log2|x|，∴|x|＞0；即x≠0，∴f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；又∵x＞0时，f（x）=log2|x|=log2x是增函数，x＜0时，f（x）=log2|x|=log2（﹣x）是减函数，∴f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．故答案为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；（0，+∞）．点评：本题考查了求对数函数的定义域和单调区间的应用问题，是基础题目．11．设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，那么双曲线C的方程为 3 ；离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出a，然后求解离心率即可．解答：解：F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，可得a=3，双曲线方程为：=1，则b=4，c=5，双曲线的离心率为：e=．故答案为：3；．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．12．若等边△ABC的边长为6，平面内一点M满足=+，则四边形ABCM的面积为，= 34 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算即可得出．解答：解：如图所示，A（3，0），B（0，），C（﹣3，0）．∴=（﹣3，﹣），=（6，0）．∴=+=（6，0）+（﹣3，﹣）=（，﹣），∴==（﹣3，0）+（，﹣）=（，﹣），∴==（3，0）﹣（，﹣）=（，），同理=（，），∴=（，）•（，）==34，所以S四边形ABCM=S△ABC+S△ACM=+=，故答案为：，34．点评：本题考查了向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算、等边三角形的性质，属于中档题．13．有三家分别位于△ABC顶点处的工厂，已知AB=AC=5，BC=6，为了处理污水，现要在△ABC 的三条边上选择一点P建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道则AP，BP，CP，则AP+BP+CP的最小值为．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：由题意，AB=AC=5，BC=6，所以BC上的高为4，AB，AC上的高都为，即可求出AP+BP+CP 的最小值．解答：解：由题意，AB=AC=5，BC=6，所以BC上的高为4，AB，AC上的高都为，∵4+6＞5+，∴AP+BP+CP的最小值为．故答案为：．点评：本题考查AP+BP+CP的最小值，考查学生的计算能力，比较基础．14．若函数f（x）=的部分图象如图所示，则b= ﹣4 ．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点为（1，0）、（3，0），a＞0，它的最小值为=﹣1，再利用韦达定理求得b的值．解答：解：由函数f（x）=的部分图象，可得函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点为（1，0）、（3，0），a＞0，函数y=ax2+bx+c的最小值为=﹣1①．利用韦达定理可得 1+3=﹣②，1×3=③．由①②③求得b=﹣4，故答案为：﹣4．点评：本题主要考查函数的图象特征，二次函数的性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．15．若实数x，y满足，则x2+5y2的取值范围为[5，45] ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，设x2+5y2=z，利用椭圆的方程和性质，利用数形结合即可得到结论．解答：解：设x2+5y2=z，则z＞0，即，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知，当椭圆经过C（0，3）时，z最大，此时z=5×32=5×9=45，当椭圆与直线AB：x+2y=3相切时，z最小，将x+2y=3代入x2+5y2=z消去x得9y2﹣12y+9﹣z=0，由判别式△=0得144﹣4×9（9﹣z）=0，即4=9﹣z，解得z=5，故5≤z≤45，故x2+5y2的取值范围为是[5，45]，故答案为：[5，45]点评：本题主要考查线性规划的应用，利用椭圆的图象和性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三、解答题（共5小题，满分74分）16．设函数f（x）=sin2πx﹣sin2πx+．（1）求f（）的值；（2）设x∈[0，2]，求满足f（x）=﹣的所有x值的和．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2πx+），代值计算可得f（）的值；（2）由f（x）=﹣可得x=k﹣或x=k﹣，再由x∈[0，2]可得x=，，，，四个值相加即可．解答：解：（1）化简可得f（x）=sin2πx﹣sin2πx+=sin2πx+（1﹣2sin2πx）=sin2πx+cos2πx=cos sin2πx+sin cos2πx=sin（2πx+）∴f（）=sin（+）=sinπ=0；（2）由f（x）=sin（2πx+）=﹣可得2πx+=2kπ﹣或2πx+=2kπ﹣，k∈Z，解得x=k﹣或x=k﹣，又∵x∈[0，2]，∴x=，，，，∴满足f（x）=﹣的所有x值的和为+++=点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数公式的应用和求值，属中档题．17．设数列{a n}的首项a1=2，前n项的和为S n且a n+1=S n+2（n∈N*）．（1）证明{a n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的通项b n=log2（a1a2…a n），试判断与2的大小关系，并说明理由．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用递推式与等比数列的定义通项公式即可证明．（2）b n==，可得=，利用“裂项求和”即可得出．解答：（1）证明：∵a n+1=S n+2（n∈N*），∴当n=1时，a2=a1+2=4，当n≥2时，a n=S n﹣1+2，a n+1﹣a n=a n，化为a n+1=2a n，当n=1时也满足，∴{a n}为等比数列，首项为2，公比为2．∴．（2）b n=log2（a1a2…a n）===，∴=，∴=+…+=2＜2．∴＜2．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥BC∥FD，F为AB的中点，AB=FD=2BC=2AE，现把此五边形ABCDE沿FD折成一个60°的二面角．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣F的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）先证明四边形ABCE为平行四边形得到CE∥AB，从而直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）取FD得中点G，如图作辅助线．先证明DF⊥平面ABF，从而DF⊥平面ECG，所以DF⊥EH，又EH⊥CD，所以EH⊥CD，又HI⊥CD，所以CD⊥平面EHI，从而CD⊥EI，从而∠EIH为二面角E﹣CD﹣F的平面角．代入数据计算即可．解答：（Ⅰ）证明：∵AE∥DF，BC∥FD，∴AE∥BC，又∵BC=AE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE∥AB．又CE⊄平面ABF，AB⊂平面ABF，所以直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）解：如图，取FD得中点G，连接EG、CG，在△CEG中，作EH⊥CG，垂足为H，在平面BCDF中，作HI⊥CD，垂足为I，连接EI．∵AE=FG=BC，AE∥FG∥BC，∴AF∥EG，BF∥CG．又DF⊥AF，DF⊥BF，故DF⊥平面ABF，所以DF⊥平面ECG，∵EH⊥CG，DF⊥EH，∴EH⊥平面CGD，∴EH⊥CD，又∵HI⊥CD，∴CD⊥平面EHI，所以CD⊥EI，从而∠EIH为二面角E﹣CD﹣F的平面角．设BC=AE=1，则FG=GD=CG=GE=1，由于∠EGC为二面角C﹣FD﹣E的平面角，即∠EGC=60°，所以在△CEG中，HG=CH=，EH=，HI=CHsin45°=，所以EI=，所以cos∠EIH=．点评：本题考查空间角、空间中直线与平面的位置关系，属中档题．19．已知直线l与抛物线y2=2x有且仅有一个公共点A，直线l又与圆（x+2）2+y2=t（t＞0）相切于点B，且A、B两点不重合．（1）当t=4时，求直线l的方程；（2）是否存在实数t，使A、B两点的横坐标之差等于4？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：存在型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得直线的斜率存在，设直线l：y=kx+b，讨论当k=0时，当k≠0时，运用直线和抛物线相切，运用判别式为0，再由直线和圆相切的条件：d=r，即可求得k，b，进而得到直线方程；（2）设直线L：y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），假设存在实数t，使A、B两点的横坐标之差等于4，讨论当k=0时，当k≠0时，联立直线和抛物线方程，运用判别式为0，求得k，b的关系式，再由直线和圆相切的条件，可得k，b的关系，同时求得A，B的横坐标，解方程即可判断存在性．解答：解：（1）由题意可得直线的斜率存在，设直线l：y=kx+b，当k=0时，由题意可得b=±2，即有直线l：y=±2；当k≠0时，由可得k2x2+2（kb﹣1）x+b2=0，令判别式为0，即4（kb﹣1）2﹣4k2b2=0，可得2kb=1，由直线和圆相切可得d=2，即=2，可得4+4kb=b2，即有b2=6，解得b=，k=或b=﹣，k=﹣．即有直线l：y=x+或y=﹣x﹣．综上可得直线l：y=±2或y=x+或y=﹣x﹣．（2）设直线L：y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），假设存在实数t，使A、B两点的横坐标之差等于4，即为x1﹣x2=4．当k=0时，直线l：y=±，代入抛物线方程可得x=，即有x1=，x2=﹣2，即有+2=4，解得t=4；当k≠0时，由可得k2x2+2（kb﹣1）x+b2=0，令判别式为0，即4（kb﹣1）2﹣4k2b2=0，可得2kb=1，①x1==，由直线和圆相切的条件可得，d=即=，可得4kb﹣b2+t﹣4k2+tk2=0，②x2=﹣=﹣，于是，x1﹣x2=+=4，解得k2=（负的舍去）③由①②③解得或，但t＞0，不合题意．综上可得，存在实数t=4，使A、B两点的横坐标之差等于4．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，运用判别式为0，同时考查直线和圆相切的条件，具有一定的运算量，属于中档题和易错题．20．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）（1）若b=2a，a＜0，写出函数f（x）的单调递减区间，并证明你的结论；（2）设a，c为常数，若存在实数b使得函数f（x）在区间（0，1）内有两个不同的零点，求实数b的取值范围（用a，c表示）．考点：函数的零点与方程根的关系；二次函数的性质．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）代入b=2a得f（x）=ax2+2ax+c在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减；利用导数证明即可；（2）函数f（x）在区间（0，1）内有两个不同的零点可化为方程ax2+bx+c=0在区间（0，1）内有两个不同的解，从而可得，从而解得．解答：解：（1）当b=2a时，f（x）=ax2+2ax+c在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减；证明如下，f′（x）=2a（x+1），∵a＜0，则当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＜0；故f（x）=ax2+2ax+c在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减．（2）若函数f（x）在区间（0，1）内有两个不同的零点，即方程ax2+bx+c=0在区间（0，1）内有两个不同的解，则，当a＞0时，解得，max{﹣2a，﹣（a+c）}＜b＜﹣2；当a＜0时，max{0，﹣（a+c）}＜b＜﹣2a．点评：本题考查了二次函数的性质及其应用，同时考查了导数的应用及函数零点的问题，属于基础题．。
2017年浙江省台州市温岭市高考数学模拟试卷
2017年浙江省台州市温岭市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．平行直线l1：3x+4y﹣12=0与l2：6x+8y﹣15=0之间的距离为（）A．B．C．D．2．命题“∃a∈[0，+∞），sina＞a”的否定形式是（）A．∀a∈[0，+∞），sina≤a B．∃a∈[0，+∞），sina≤aC．∀a∈（﹣∞，0），sina≤a D．∃a∈（﹣∞，0），sina＞a3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π4．若直线l交抛物线C：y2=2px（p＞0）于两不同点A，B，且|AB|=3p，则线段AB中点M到y轴距离的最小值为（）A．B．p C．D．2p5．已知φ是实数，f（x）=cosx•cos（x+），则“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到AD l C，则翻折过程中线段DB中点M的轨迹是（）A．椭圆的一段 B．抛物线的一段C．一段圆弧D．双曲线的一段7．已知双曲线C：﹣=1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．8．已知非零正实数x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，设函数f（x）=xα，α∈{﹣1，，2，3}，并记M={﹣1，，2，3}．下列说法正确的是（）A．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等差数列B．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列C．当α=2时，存在正数λ，使得f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列D．任意α∈M，都存在正数λ＞1，使得λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，l1⊥l2，则a=；l1∥l2，则a=．10．设f（x）=则f（f（2））的值为；若f （x）=a有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为．11．已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为，目标函数4x2+y2的最小值为．12．函数f（x）=sin4x+cos4x的最小正周期是；单调递增区间是．13．{a n}满足a n+1=a n+a n（n∈N*，n≥2），S n是{a n}前n项和，a5=1，则﹣1S6=．14．已知四个点A，B，C，D满足•=1，•=2，则•=．15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且•=0，△F1PF2的内切圆半径r=2a，则双曲线的离心率e=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=sinC．（Ⅰ）求+的值；（Ⅱ）求tanB的最大值．17．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．18．已知函数f（x）=ax2+bx+c，当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立．（Ⅰ）若a=1，b=c，求实数b的取值范围；（Ⅱ）若g（x）=|cx2﹣bx+a|，当|x|≤1时，求g（x）的最大值．19．已知椭圆E：，不经过原点O的直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆E相交于不同的两点A、B，直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列．（Ⅰ）求a，b，k的关系式；（Ⅱ）若离心率且，当m为何值时，椭圆的焦距取得最小值？20．已知数列中，a1=1，a2=，且a n+1=（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）证明：求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：（i）对一切n∈N*，都有＞；（ii）对一切n∈N*，有a12+a22+…+a n2＜．2017年浙江省台州市温岭市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．平行直线l1：3x+4y﹣12=0与l2：6x+8y﹣15=0之间的距离为（）A．B．C．D．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：平行直线l1：3x+4y﹣12=0与l2：6x+8y﹣15=0之间的距离为：=．故选：B．2．命题“∃a∈[0，+∞），sina＞a”的否定形式是（）A．∀a∈[0，+∞），sina≤a B．∃a∈[0，+∞），sina≤aC．∀a∈（﹣∞，0），sina≤a D．∃a∈（﹣∞，0），sina＞a【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃a∈[0，+∞），sina＞a”的否定形式是∀a∈[0，+∞），sina≤a，故选：A．3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原图形，得到原几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，然后利用柱体体积公式求得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为2），高为3．∴V=．故选：D．4．若直线l交抛物线C：y2=2px（p＞0）于两不同点A，B，且|AB|=3p，则线段AB中点M到y轴距离的最小值为（）A．B．p C．D．2p【考点】抛物线的简单性质．【分析】l：x=﹣，分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H，要求M到y轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求M到抛物线的准线的最小距离d，然后用d﹣，即可求解．【解答】解：由题意可得抛物线的准线l：x=﹣分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H在直角梯形ABDC中，MH=（AC+BD），由抛物线的定义可知AC=AF，BD=BF（F为抛物线的焦点）MH=（AE+BF）≥AB=p即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为p，∴线段AB中点M到y轴距离的最小值为p﹣=p，故选：B．5．已知φ是实数，f（x）=cosx•cos（x+），则“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】将f（x）转换为f（x）=cos（2x+）+，根据三角函数的性质结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：f（x）=cosxcos（x+）=cosx（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sinxcosx=（1+cos2x）﹣sin2x=cos（2x+）+，故“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的充分不必要条件，故选：A．6．如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到AD l C，则翻折过程中线段DB中点M 的轨迹是（）A．椭圆的一段B．抛物线的一段 C．一段圆弧 D．双曲线的一段【考点】轨迹方程．【分析】过B作AC的垂线BE，过D作AC的垂线DF，连接DE，BF，然后证明在翻折过程中，BD中点到BE的中点的距离为定值得答案．【解答】解：如图，过B作AC的垂线BE，过D作AC的垂线DF，连接DE，BF，取BE中点为O，则在△BDE中，OM为△BDE的中位线，则OM=，当△ADC沿着AC翻折到AD l C时，△DEF翻折到△D1EF，在△BD1E中，OM1为△BD1E 的中位线，则，而翻折过程中，DE=D1E，∴OM=OM1，∴翻折过程中线段DB中点M的轨迹是以O为圆心，以为半径的一段圆弧．故选：C．7．已知双曲线C：﹣=1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=x，求出a，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=x，∵k BF=﹣，∴﹣=﹣1，∴b2﹣ac=0，∴c2﹣a2﹣ac=0，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=．故选：D．8．已知非零正实数x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，设函数f（x）=xα，α∈{﹣1，，2，3}，并记M={﹣1，，2，3}．下列说法正确的是（）A．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等差数列B．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列C．当α=2时，存在正数λ，使得f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列D．任意α∈M，都存在正数λ＞1，使得λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列【考点】等比关系的确定．【分析】由等差数列得x2=，假设各结论成立，将x2=代入结论推导结果看是否与条件一致进行判断．【解答】解：∵x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，∴x2=，且x1，x2，x3两两不相等．（1）∵当α∈M时，f（x）的变化率随x的变化而变化，∴f（x1），f（x2），f（x3）不可能成等差数列，故A错误；（2）若f（x1），f（x2），f（x3）成等比数列，则x1αx3α=（）2α，∴x1x3=（）2，整理得（x1﹣x3）2=0，∴x1=x3．与x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列相矛盾，故B错误．（3）当α=2时，假设f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列，则x12+x32﹣λ=2（）2，∴λ=x12+x32﹣=＞0．故C正确；（4）假设λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列，则λx1αx3α=（）2α，∴λ=，∵=≥1，当且仅当x1=x3取等号．∴当α＞0时，λ＞1，当α＜0时，λ＜1．故D错误．故选：C．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，l1⊥l2，则a=﹣；l1∥l2，则a=1或﹣2．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】直线的一般方程与直线垂直和平行的条件是什么，由此列出方程求出a的值即可，对于两直线平行，需要验证是否重合．【解答】解：∵l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，当l1⊥l2时，a+2（a+1）=0，解得a=﹣；当l1∥l2时，a（a+1）﹣2=0，解得a=1或a=﹣2；验证a=1时，两直线分别为x+2y+6=0和x+2y=0，平行；a=﹣2时，两直线分别为x﹣y﹣3=0和x﹣y+3=0，平行；所以a=1或﹣2．故答案为：﹣，1或﹣2．10．设f（x）=则f（f（2））的值为2；若f（x）=a有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为[1，2e）．【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．【分析】根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可得到结论．【解答】解：由分段函数得f（2）=log33=1，f（1）=2e1﹣1=2e0=2，作出函数f（x）的图象如图：当x≥2时，函数f（x）=log3（x2﹣1）为增函数，则f（x）≥f（2）=1，当x＜2时，f（x）=2e x﹣1，为增函数，则0＜f（x）＜2e，∴要使f（x）=a有两个不等的实数根，则1≤a＜2e，故答案为：2，[1，2e）11．已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为10，目标函数4x2+y2的最小值为8．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合直线平移以及构造椭圆，利用直线和椭圆的相切关系即可求最值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（，5），代入目标函数z=2x+y得z=2×+5=5+5=10．即目标函数z=2x+y的最大值为10．设4x2+y2=m，则m＞0，即+=1，表示焦点在y轴的椭圆，要使m最小，则只需要椭圆和直线BC：2x+y﹣4=0，相切即可，由2x+y﹣4=0得y=﹣2x+4代入4x2+y2=m，得4x2+（﹣2x+4）2=m，即8x2﹣16x+16﹣m=0，则判别式△=162﹣4×8（16﹣m）=0，得8=16﹣m，则m=8，即目标函数4x2+y2的最小值为8，故答案为：10，8．12．函数f（x）=sin4x+cos4x的最小正周期是；单调递增区间是[﹣+，]．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】化简函数f（x），根据余弦函数的图象与性质即可求出函数f（x）的最小正周期与单调递增区间．【解答】解：函数f（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣sin22x=1﹣×=cos4x+，∴函数f（x）的最小正周期为T==；又函数y=cos4x的增区间为2kπ﹣π≤4x≤2kπ，即﹣+≤x≤，∴函数f（x）=sin4x+cos4x的单调递增区间是[﹣+，]（k∈Z）．故答案为：；[﹣+，]（k∈Z）．13．{a n}满足a n+1=a n+a n（n∈N*，n≥2），S n是{a n}前n项和，a5=1，则S6=4．﹣1【考点】数列递推式．【分析】设a4=k，结合数列递推式及a5=1求得其它项，作和求得S6 ．，得a3=a5﹣a4=1﹣k，【解答】解：设a4=k，由a n+1=a n+a n﹣1a2=a4﹣a3=k﹣（1﹣k）=2k﹣1，a1=a3﹣a2=（1﹣k）﹣（2k﹣1）=2﹣3k，a6=a5+a4=1+k，∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=（2﹣3k）+（2k﹣1）+（1﹣k）+k+1+（1+k）=4．故答案为：4．14．已知四个点A，B，C，D满足•=1，•=2，则•=3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出各向量，将两式展开后相加即可得出答案．【解答】解：∵•=（）=﹣=1，•=（）=﹣=2，两式相加得：﹣=3，即（）=3，∴=3．故答案为：3．15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且•=0，△F1PF2的内切圆半径r=2a，则双曲线的离心率e=5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】可设P为第一象限的点，由双曲线的定义和勾股定理，可得|PF1|•|PF2|=2b2，得到|PF1|+|PF2|=，由等积法和离心率公式，化简整理即可得到所求值．【解答】解：可设P为第一象限的点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①•=0，可得PF1⊥PF2，由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2=4b2，即有|PF1|+|PF2|=，由三角形的面积公式可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=|PF1|•|PF2|，即为2a（+2c）=2b2，即有c+2a=，两边平方可得c2+4a2+4ac=c2+b2=c2+c2﹣a2，即c2﹣4ac﹣5a2=0，解得c=5a（c=﹣a舍去），即有e==5．故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=sinC．（Ⅰ）求+的值；（Ⅱ）求tanB的最大值．【考点】两角和与差的正切函数；基本不等式．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理求得2sinB=sinAsinC，化简+为，从而求得结果．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得tanB=，进一步化为，再利用二次函数的性质，求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵b=sinC，∴2sinB=sinAsinC，∴+=+=====．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得2sinB=sinAsinC=sinAsin（A+B）=sinA（sinAcosB+cosAsinB）=sin2AcosB+sinAcosAsinB，∴2tanB=sin2A+sinAcosAtanB，∴tanB=====．锐角△ABC中，∵tanA＞0，∴＞0，故当=时，2tanB取得最大值为=，故tanB的最大值为．17．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）通过已知条件易得=、∠DAB=∠DAA1，利用=0即得A1B⊥AD；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系O﹣xyz，平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值即为平面ABB1A1的法向量与平面DCC1D1的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．【解答】（Ⅰ）通过条件可知=、∠DAB=∠DAA1，利用=即得A1B⊥AD；（Ⅱ）解：设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1，由题意知DO⊥平面ABB1A1．因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B，故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．设AD=AB=2BC=2a，由∠A1AB=60°可知|0B|=a，，所以=a，从而A（0，a，0），B（a，0，0），B1（0，a，0），D（0，0，a），所以==（﹣a，a，0）．由可得C（a，a，a），所以=（a，a，﹣a），设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），由•=•=0，得，取y0=1，则x0=，z0=，所以=（，1，）．又平面ABB1A1的法向量为=D（0，0，a），所以===，故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．18．已知函数f（x）=ax2+bx+c，当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立．（Ⅰ）若a=1，b=c，求实数b的取值范围；（Ⅱ）若g（x）=|cx2﹣bx+a|，当|x|≤1时，求g（x）的最大值．【考点】二次函数的性质；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）若a=1，b=c，则|f（1）|=|1+b+b|≤1，f（x）的对称轴，进而求得实数b的取值范围；（Ⅱ）由当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立，可知|f（﹣1）|≤1，|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，利用放缩法，可得当x=0时，g（x）=|﹣x2+2|取到最大值2．【解答】解：（Ⅰ）由a=1且b=c，得，…当x=1时，|f（1）|=|1+b+b|≤1，得﹣1≤b≤0．…故f（x）的对称轴，所以当|x|≤1时，，…解得…综上，实数b的取值范围为．…（Ⅱ）由当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立，可知|f（﹣1）|≤1，|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，…且由f（﹣1）=a﹣b+c，f（0）=c，f（1）=a+b+c，解得，，c=f（0）．…故≤1+1=2…且当a=2，b=0，c=﹣1时，若|x|≤1，则|f（x）|=|2x2﹣1|≤1恒成立，且当x=0时，g（x）=|﹣x2+2|取到最大值2．所以，g（x）的最大值为2．…19．已知椭圆E：，不经过原点O的直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆E相交于不同的两点A、B，直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列．（Ⅰ）求a，b，k的关系式；（Ⅱ）若离心率且，当m为何值时，椭圆的焦距取得最小值？【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），运用等比数列的中项的性质，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，即可得到b=ak；（Ⅱ）运用离心率公式，可得斜率k，再由弦长公式，结合条件，运用基本不等式即可得到所求最值，以及m的取值．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列，得，由，可得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，故△=（2a2km）2﹣4（b2+a2k2）（a2m2﹣a2b2）＞0，即b2﹣m2+a2k2＞0，又x1+x2=﹣，x1x2=，则，即，即，又直线不经过原点，所以m≠0，所以b2=a2k2即b=ak；（Ⅱ）若，则，，又k＞0，得，则x1+x2=﹣=﹣m，x1x2==m2﹣2c2，|AB|=•=•=，化简得（△＞0恒成立），当时，焦距最小．20．已知数列中，a1=1，a2=，且a n+1=（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）证明：求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：（i）对一切n∈N*，都有＞；（ii）对一切n∈N*，有a12+a22+…+a n2＜．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，通过裂项、变形可知，进而并项相加即得结论；（Ⅱ）（i）通过（I）代入计算、利用作差法计算即得结论；（ii）当k≥2时通过放缩可知＜（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】证明：（Ⅰ）由已知，对n≥2有：，两边同除以n，得：，即，于是，[﹣]=﹣[﹣]=﹣（1﹣），即，所以，即，又n=1时也成立，故；（Ⅱ）（i）由（I）可知﹣=[3（n+1）﹣2]2﹣（3n﹣2）2=18n﹣3＞0，∴，即对一切n∈N*，都有；（ii）当k≥2，有，所以n≥2时，有=，又n=1时，满足上式，故对一切n∈N*，有．。
浙江省台州市2016-2017学年高三数学一模试卷(文科)Word版含答案
浙江省台州市2016-2017学年高三一模试卷（文科数学）一、填空题（共15小题，1～14题5分，15题6分，计76分）． 1．已知x 2+y 2≤1，则|x 2+2xy ﹣y 2|的最大值为 ．2．已知集合A={（x ，y ）|（x ﹣1）2+（y ﹣2）2≤}，B={（x ，y ）||x ﹣1|+2|y ﹣2|≤a}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ． 3．已知x ＞0，y ＞0，a=x+y ，，，若存在正数m 使得对于任意正数x ，y ，可使a ，b ，c 为三角形的三边构成三角形，则m 的取值范围是 ．4．若不等式在x ＞0且x ≠1时恒成立，则k 的取值范围是 ．5．已知现有4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长是 ．6．已知椭圆与直线，，过椭圆上一点P 作l 1，l 2的平行线，分别交l 1，l 2于M ，N 两点．若|MN|为定值，则的值是 ．7．A 是集合{1，2，3，…，14}的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值是 ．8．模长为1的复数x ，y ，z 满足x+y+z ≠0，则的值是 ．9．若sin4xsin2x ﹣sinxsin3x=a 在[0，π）有唯一解，则a 的值是 ．10．已知点A （m ，0）（m ∈R ）和双曲线x 2﹣y 2=1右支上的两个动点B ，C ，在动点B ，C 运动的过程中，若存在三个等边三角形ABC ，则点A 横坐标的取值范围是 ．11．若λ为实数，若关于x 的方程有实数解，则λ的取值范围是 ．12．在正三角形ABC 的底边BC 上取中点M ，在与底边BC 相邻的两条边BA 和CA 上分别取点P 、Q ，若线段PQ 对M 的张角∠PMQ 为锐角，则称点P 、Q 亲密．若点P 、Q 在BA 、CA 上的位置随机均匀分布，则P 、Q 亲密的概率称为正三角形的亲密度．则正三角形的亲密度为 ．13．正六边形ABCDEF 的对角线AC 和CE 分别被内点M 和N 分割，且有．如果B 、M 、N 共线，则r 的值为 ．14．（理）若P ，Q 为y=1﹣x 2上在y 轴两侧的点，则过P ，Q 点的切线与x 轴围成的三角形的面积的最小值为 ．15．O ﹣xyz 坐标系内xoy 平面内0≤y ≤2﹣x 2绕y 轴旋转一周构成一个不透光立体，在（1，0，1）设置一光源，在xoy 平面内有一以原点为圆心C 被光照到的长度为2π，则曲线C 上未被照到的长度为 ．二、解答题（共4小题，16、17题16分，18题18分，19题24分，计74分）．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1表面上运动，且．记点P 的轨迹的长度为f （r ）．求关于r 的方程f （r ）=k 的解的个数的所有可能的值．17．过抛物线y 2=2px （p 为不等于2的素数）的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于点P ，交x 轴于点Q ． （1）求PQ 的中点R 的轨迹L 的方程；（2）证明：轨迹L 上有无穷多个整点，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数．18．（1）已知数列{a n }中，，，S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：．（2）在数列{a n }中，a 1=1，，n ∈N *，其中实数c ≠0．（Ⅰ） 求{a n }的通项公式；（Ⅱ） 若对一切k ∈N *有a 2k ＞a 2k ﹣1，求c 的取值范围．19．（1）已知函数f （x ）=mlnx 与函数h （x ）=（x ＞0）的图象有且只有一条公切线，求实数m 的值．（2）已知函数y=lnx ﹣（ax+b ）有两个不同的零点x 1，x 2，求证：＜x 1x 2＜．浙江省台州市2016-2017学年高三一模试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、填空题（共15小题，1～14题5分，15题6分，计76分）．1．已知x2+y2≤1，则|x2+2xy﹣y2|的最大值为．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】由实数x、y满足x2+y2≤1，利用三角函数代换x=cosθ，y=sinθ，结合三角函数知识即可得出．【解答】解：∵实数x、y满足x2+y2≤1，∴可设x=cosθ，y=sinθ（θ∈[0，2π）），|x2+2xy﹣y2|=|cos2θ+sin2θ|=|sin（2θ+）|≤，当且仅当|sin（2θ+）|=1，取得最大值．故答案为：．2．已知集合A={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤}，B={（x，y）||x﹣1|+2|y﹣2|≤a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是a≥．【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】首先，令|x﹣1|=m，|y﹣2|=n，（m≥0，n≥0），然后，将集合A，B用m，n表示，再结合条件A⊆B，进行求解．【解答】解：令|x﹣1|=m，|y﹣2|=n，（m≥0，n≥0），根据集合A得，m2+n2≤，根据集合B得，m+2n≤a，∵A⊆B，，∴a≥（a+2b）max构造辅助函数f（m）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣）f（n）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣），∴f′（m）=1+2λm，f′（n）=2+2λn，令f′（m）=1+2λm=0，f′（n）=2+2λn=0，得到 m=﹣，n=﹣，∵m2+n2=，∴λ=±1，∵m≥0，n≥0，∴λ=1，∴m=，n=1时，m+2n有最大值，=+2=，∴a≥（m+2n）max∴a≥，故答案为：a≥．3．已知x＞0，y＞0，a=x+y，，，若存在正数m使得对于任意正数x，y，可使a，b，c为三角形的三边构成三角形，则m的取值范围是（2﹣，2+）．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】首先判断a＞b，由构成三角形的条件可得b+c＞a且a+b＞c，即有+m＞x+y且x+y+＞m．运用参数分离和换元法，结合基本不等式和函数的单调性，可得最值，进而得到m的范围．【解答】解：x＞0，y＞0，a=x+y，，，由a2﹣b2=（x+y）2﹣（x2+xy+y2）=xy＞0，可得a＞b，由题意可得要构成三角形，必须b+c＞a且a+b＞c，即有+m＞x+y且x+y+＞m．由m＜，≥=2+，当且仅当x=y取得等号．可得m＜2+①由m＞，=+﹣，令u=，则上式为u+﹣．可令t=u+（t≥2），可得上式为t﹣=，可得在[2，+∞）递减，可得t﹣≤2﹣，即有m＞2﹣②由①②可得m的取值范围是（2﹣，2+）．故答案为：（2﹣，2+）．4．若不等式在x＞0且x≠1时恒成立，则k的取值范围是（﹣∞，0] ．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】把不等式移向变形，可得+﹣（+）=（2lnx+），令h（x）=2lnx+），x＞0，则h′（x）=，对k分类讨论可得h（x）的符号，结合的符号求得k的取值范围．【解答】解：不等式在x＞0且x≠1时恒成立，则+﹣（+）=（2lnx+），设h（x）=2lnx+），x＞0，则h′（x）=，（1）设k≤0，由h′（x）=知，当x≠1时，h′（x）＜0，而h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，可得h（x）＞0，从而当x＞0且x≠1时，；（2）设0＜k＜1，由于当x∈（1，）时，（k﹣1）（x2+1）+2x＞0，∴h′（x）＞0，而h（1）=0，∴当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，这与题设矛盾，（3）设k≥1时，此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，这与题设矛盾，综上所述k的取值范围为（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．5．已知现有4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长是2+2．【考点】LR：球内接多面体．【分析】把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高，再根据正四面体的棱长与高的关系求得棱长．．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离=，正四面体的中心到底面的距离是，所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4=4+，设正四面体的棱长为m ，，解得m=，故答案为：2+2．6．已知椭圆与直线，，过椭圆上一点P 作l 1，l 2的平行线，分别交l 1，l 2于M ，N 两点．若|MN|为定值，则的值是 2 ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】取点P 为上下定点，分别求出MN 的长度，两次求出MN 相等，即可得到a 、b 的数量关系．【解答】解：当点P 为（0，b ）时，过椭圆上一点P 作l 1，l 2的平行线分别为+b ，+b ，联立可得M （b ，），同理可得N （﹣b ，），|MN|=2b ．当点P 为（a ，0）时，过椭圆上一点P 作l 1，l 2的平行线分别为﹣，+，联立可得M （，），同理可得N （，﹣），），|MN|=．若|MN|为定值，则2b=，⇒，∴则的值是2．故答案为：2．7．A 是集合{1，2，3，…，14}的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值是 8 ．【考点】FA：分析法的思考过程、特点及应用；84：等差数列的通项公式．【分析】根据A是集合{1，2，3，…，14}的子集，从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，列举出满足条件的集合A中元素，可得答案．【解答】解：若1∈A，2∈A，根据从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列可得：3∉A，令4∈A，5∈A，则6∉A，7∉A，令8∈A，则9∉A，令10∈A，11∈A，则12∉A，令13∈A，则14∉A，此时A中元素个数取最大值，故答案为：88．模长为1的复数x，y，z满足x+y+z≠0，则的值是 1 ．【考点】A8：复数求模．【分析】分别设x=cosα+isinα，y=cosβ+isinβ，z=cosγ+isinγ．利用复数的三角形式的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：分别设x=cosα+isinα，y=cosβ+isinβ，z=cosγ+isinγ．则xy+yz+zx=cos（α+β）+isin（α+β）+cos（γ+β）+isin（γ+β）+cos（α+γ）+isin （α+γ）∴|xy+yz+zx|=，其被开方数=3+2cos（α﹣β）+2cos（β﹣γ）+2cos（α﹣γ）．同理可得|x+y+z|=，其被开方数=3+2cos（α﹣β）+2cos（β﹣γ）+2cos（α﹣γ）．∴=1．故答案为：1．9．若sin4xsin2x﹣sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解，则a的值是1或0 ．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】化简函数解析式为f（x）=（cos4x﹣cos6x），利用导数可得f（0）=0是函数的极小值，f（）=1是函数的极大值，f（π）=0是函数的极小值，当a=1或0时，函数f（x）=sin4xsin2x﹣sinxsin3x 和函数y=a在[0，π）上只有一个交点，从而得到结论．【解答】解：令 f（x）=sin4xsin2x﹣sinxsin3x=﹣（cos6x﹣cos2x）+（cos4x﹣cos2x）=（cos4x﹣cos6x），则有f′（x）=3sin6x﹣2sin4x，令f′（x）=0，可得x=0 或 x=，即f′（0）=0，f′（）=0，而且还有f′（π）=0．由于f′（x）在x=0的左侧小于0，右侧大于0，故f（0）是函数的极小值，由于f′（x）在x=的左侧大于0，右侧小于0，故f（）=1是函数的极大值，同理可得f（π）=0是函数的极小值．故函数 f（x）在[0，π）上只有一个极大值是f（）=1，故当a=1或0时，函数f（x）=sin4xsin2x﹣sinxsin3x 和函数y=a只有一个交点．即sin4xsin2x﹣sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解．故答案为1或0．10．已知点A（m，0）（m∈R）和双曲线x2﹣y2=1右支上的两个动点B，C，在动点B，C运动的过程中，若存在三个等边三角形ABC，则点A横坐标的取值范围是（，+∞）∪（﹣∞，﹣）．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】讨论当直线BC与x轴垂直时，对任一个m，均有ABC为等边三角形；设直线BC的方程为y=kx+t （k ≠0），代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式、以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合等边三角形的高与边长的关系，由不等式的性质，计算即可得到所求范围．【解答】解：当直线BC 与x 轴垂直时，对任一个m ，均有ABC 为等边三角形；若BC 与x 轴不垂直时，设直线BC 的方程为y=kx+t （k ≠0），设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），，整理得：（1﹣k 2）x 2﹣2ktx ﹣t 2﹣1=0，△=4k 2t 2+4（1﹣k 2）（t 2+1）＞0，即t 2+1﹣k 2＞0，x 1+x 2=＞0，x 1x 2=﹣＞0，可得k 2＞1．则BC 的中点M 为（，），|BC|=•=•，由AM ⊥BC ，可得k AM =﹣，均有=﹣，均有2kt=m （1﹣k 2），即t=，①由A 到直线BC 的距离为d==••，两边平方，将①代入，化简可得，m 2==6+＞6，即有m ＞或m ＜﹣．由双曲线的对称性可得，存在一个m ，即有两个k 的值，以及k 不存在的情况．故答案为：（，+∞）∪（﹣∞，﹣）．11．若λ为实数，若关于x 的方程有实数解，则λ的取值范围是 [0，] ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】移项得=x ﹣2，求出右侧函数的单调性和值域，根据方程有解可判断出解的范围，利用函数图象得出不等式从而得出λ的范围．【解答】解：∵，∴=x﹣2，令f（x）=x﹣2（x≥1或x≤﹣1），显然当x≤﹣1时，f（x）＜0，∴方程=x﹣2无解，当x≥1时，f′（x）=1﹣=，∵x2﹣1﹣4x2=﹣3x2﹣1＜0，∴x2﹣1＜4x2，即＜2x，∴f′（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，令f（x）=0得x=2，解得x=，∴当1≤x≤时，f（x）≥0，当x时，f（x）＜0，∴方程=x﹣2的解必在区间[1，]上．令g（x）=（1≤x≤），（1）当λ=0时，g（x）=x，∴g（1）=1，又f（1）=1，∴x=1为方程=x﹣2的解，符合题意；（2）当λ＜0时，g（x）=＞g（1）=＞1，而f（x）≤f（1）=1，∴方程=x﹣2无解，不符合题意；（3）当λ＞0，令y=g（x）=，则，∴g（x）的图象为等轴双曲线右支在第一象限内的部分（含右顶点），双曲线的右顶点为（，0），做出f（x）和g（x）的函数图象如图所示：∵方程g（x）=f（x）在[1，]上有解，∴0＜，即0＜λ≤．综上，0≤λ≤．故答案为：．12．在正三角形ABC的底边BC上取中点M，在与底边BC相邻的两条边BA和CA上分别取点P、Q，若线段PQ对M的张角∠PMQ为锐角，则称点P、Q亲密．若点P、Q在BA、CA上的位置随机均匀分布，则P、Q亲密的概率称为正三角形的亲密度．则正三角形的亲密度为．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】设AB=BC=CA=2，设BP=x，0≤x≤2，过M作PM的垂线，交AC于R，当Q落在线段AR内部及A点上时，P与Q是亲密的，记AR的长度为y=f（x），由PM2+MR2=RP2及余弦定理得y=，由此利用定积分能求出正三角形的亲密度．【解答】解：设AB=BC=CA=2，设BP=x，0≤x≤2，过M作PM的垂线，交AC于R，当Q落在线段AR内部及A点上时，P与Q是亲密的，记AR的长度为y=f（x），由PM2+MR2=RP2及余弦定理得：（x2﹣x+1）+[（2﹣y）2+（2﹣y）+1]=（2﹣x）2﹣（2﹣x）y+y2，整理，得：y=，∴正三角形的亲密度为：== []= [x﹣ln（x+1）] =．故答案为：．13．正六边形ABCDEF的对角线AC和CE分别被内点M和N分割，且有．如果B、M、N共线，则r的值为．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】根据正六边形的特点建立坐标系，不妨设边AB=1，求出A、B、C、E的坐标，设M的坐标，由条件和向量相等列出方程，求出M的坐标，同理求出点N的坐标，求向量的坐标运算求出、的坐标，将B，M，N三点共线转化为∥，由共线向量的坐标条件列出方程，求出r的值．【解答】解：建立如图坐标系，不妨设正六边形ABCDEF的边AB=1，则A（0，0），B（1，0），C（，），E（0，），设M的坐标为（x，y），∵，∴（x，y）=r（，），则x=r，y=r，即M（r， r），同理可求，N的坐标是（（1﹣r），（1+r）），∴=（r﹣1， r），=（﹣r，（1+r）），∵B，M，N三点共线，∴∥，则（r﹣1）×（1+r）﹣r×（﹣r）=0，化简得，3r2=1，解得r=，故答案为：．14．（理）若P ，Q 为y=1﹣x 2上在y 轴两侧的点，则过P ，Q 点的切线与x 轴围成的三角形的面积的最小值为．【考点】IE ：直线的截距式方程．【分析】由P ，Q 为y=1﹣x 2上在y 轴两侧的点，设P （a ，1﹣a 2），Q （b ，1﹣b 2），（a ＞0＞b ），曲线y=1﹣x 2在P （a ，1﹣a 2）处的切线为l 1：y=﹣2ax+a 2+1，曲线y=1﹣x 2在Q （b ，1﹣b 2）处的切线为l 2：y=﹣2bx+b 2+1，所求图形为△EFG ，其面积S △EFG =（a ﹣b ）（2﹣ab ﹣），由此能求出所求面积最小值．【解答】解：∵P ，Q 为y=1﹣x 2上在y 轴两侧的点， ∴设P （a ，1﹣a 2），Q （b ，1﹣b 2），（a ＞0＞b ）， 又曲线y=1﹣x 2在点（x ，y ）的切线斜率为y′=﹣2x ，∴曲线y=1﹣x 2在P （a ，1﹣a 2）处的切线为l 1：y=﹣2a （x ﹣a ）+1﹣a 2，即y=﹣2ax+a 2+1， 曲线y=1﹣x 2在Q （b ，1﹣b 2）处的切线为l 2：y=﹣2b （x ﹣b ）+1﹣b 2，即y=﹣2bx+b 2+1，直线l 1与x 轴的交点为点E （，0），直线l 2与x 轴的交点为点F （，0），直线l 1与l 2的交点为点G （，1﹣ab ），∴所求图形为△EFG ，其面积S △EFG =（﹣）•，化简得：S △EFG =（a ﹣b ）（2﹣ab ﹣），令f （a ，b ）=S △EFG =（a ﹣b ）（2﹣ab ﹣），假设b=b 0＜0时，f （a ，b ）才能取得最小值，则令f （a ）=（a ﹣b 0）（2﹣ab 0﹣），则f′（a ）=﹣2+2ab 0﹣+，令f′（a 0）=0，得：﹣2+2a 0b 0﹣+，得f （a ）min =f （a 0）=（a 0﹣b 0）（2﹣a 0b 0﹣），即a=a 0，b=b 0时，f （a ，b ）取得最小值f （a ，b ）min =f （a 0，b 0）=（a 0﹣b 0）（2﹣a 0b 0﹣），即a=a 0＞0时，f （a ，b ）才能取得最小值，则令f （b ）=（a 0﹣b ）（2﹣a 0b ﹣），则f′（b ）=﹣2+2a 0b ﹣a 02+，令f′（b 0）=0，得：﹣2+2a 0b 0﹣a 02+，得f （a ）min =f （a 0）=（a 0﹣b 0）（2﹣a 0b 0﹣），∴﹣2+2a 0b 0﹣b 02+，﹣2+2a 0b 0﹣a 02+=0，（a 0＞0＞b 0），解得a 0=，b 0=﹣，f （a ，b ）min =f （a 0，b 0）=，∴所求面积最小值为（S △EFG ）min =．15．O ﹣xyz 坐标系内xoy 平面内0≤y ≤2﹣x 2绕y 轴旋转一周构成一个不透光立体，在（1，0，1）设置一光源，在xoy 平面内有一以原点为圆心C 被光照到的长度为2π，则曲线C 上未被照到的长度为 2π（r ﹣1） ．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据题意所研究的是过光源点的抛物面的切面在xoy 平面中与圆的交线所构成平面几何图形的问题．【解答】解：如图所示； 由x 2+z 2=2﹣y 知，抛物面y=2﹣x 2﹣z 2，y 对x 求偏导数得=﹣2x ，得l 1：；y 对z 求偏导数得=﹣2z ，得l 2：；取（0，2，1），（1，2，0），（1，0，1）， 设切面ax+by+cz+d=0，则，得切面2x+y+2z ﹣4=0， 故交线为2x+y ﹣4=0；由d=，得，可解得r 的值；所以l=2π（r ﹣1）． 故答案为：l=2π（r ﹣1）．二、解答题（共4小题，16、17题16分，18题18分，19题24分，计74分）．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1表面上运动，且．记点P 的轨迹的长度为f （r ）．求关于r 的方程f （r ）=k 的解的个数的所有可能的值．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；HN ：在实际问题中建立三角函数模型． 【分析】考虑由于正方体绕其体对角线旋转120°后仍与自身重合，于是f （r ）在正方体的侧面ABB 1A 1与BCC 1B 1上的轨迹长度之和的3倍，对r 讨论，（1）当0＜r ≤1时，（2）当1＜r ＜时，（3）当≤r ＜时，运用弧长公式，求导数，判断单调性，画出f （r ）的大致图象，即可得到方程的所有可能解的个数．【解答】解：由于正方体绕其体对角线旋转120°后仍与自身重合，于是f（r）在正方体的侧面ABB1A1与BCC1B1上的轨迹长度之和的3倍．将右侧面BCC1B1翻折至于侧面ABB1A1重合（如图），稍加探索发现r=1，r=是两个分界点．（1）当0＜r≤1时，f（r）=，于是f（）=；（2）当1＜r＜时，设圆心角θ=arccos，其中θ∈（0，），弧长之和为h（θ）=（﹣2θ）•+•tanθ=•，于是h′（θ）=•，设φ（θ）=1+sinθ﹣（cosθ+θ•sinθ），则φ（0）=1﹣＜0，φ（）=1﹣•＞0，而φ′（θ）=cosθ（1﹣•θ）＞0，则φ（θ）在（0，）上先负后正，对应的h（θ）在（0，）先递减后递增；（3）当≤r＜时，图中弧长的半径为，所对的圆心角为﹣2arccos，记θ=arccos，其中θ∈[0，），则对应的弧长l（θ）=（﹣2θ）•，则l′（θ）=＜0，于是随r递增，θ递增，对应的弧长递减，即f（r）递减．这样我们勾勒出函数f（r）的图象，于是f（r）=k的解的个数所有可能的值为0，2，3，4．17．过抛物线y2=2px（p为不等于2的素数）的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M、N两点，线段MN的垂直平分线交MN于点P，交x轴于点Q．（1）求PQ的中点R的轨迹L的方程；（2）证明：轨迹L上有无穷多个整点，但L上任意整点到原点的距离均不是整数．【考点】J3：轨迹方程．【分析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意设出直线l的方程为y=k（x﹣）（k≠0），联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到P点坐标，结合PQ⊥l，求得PQ的方程，再设R的坐标为（x，y），再由中点坐标公式求得PQ的中点R 的轨迹L的方程；（2）直接得到对任意非零整数t，点（p（4t2+1），pt）都是l上的整点，说明l上有无穷多个整点．再反设l上由一个整点（x，y）到原点的距离为正数m，不妨设x＞0，y＞0，m＞0，然后结合p是奇素数、点在抛物线上及整点（x，y）到原点的距离为正数m，逐渐推出矛盾，说明l上任意整点到原点的距离均不是整数．【解答】（1）解：y2=2px的焦点F（），设直线l的方程为y=k（x﹣）（k≠0），由，得，设M ，N 的横坐标为x 1，x 2，则，得，，由PQ ⊥l ，得PQ 的斜率为﹣，故PQ 的方程为，代入y Q =0，得，设R 的坐标为（x ，y ），则，整理得：p （x ﹣p ）=，∴PQ 的中点R 的轨迹L 的方程为4y 2=p （x ﹣p ）（y ≠0）；（2）证明：显然对任意非零整数t ，点（p （4t 2+1），pt ）都是l 上的整点， 故l 上有无穷多个整点．反设l 上由一个整点（x ，y ）到原点的距离为正数m ，不妨设x ＞0，y ＞0，m ＞0，则，∵p 是奇素数，于是y 整除p ，由②可推出x 整除p ，再由①可推出m 整除p ， 令x=px 1，y=py 1，m=pm 1，则有，由③，④得：，于是，即（8x 1+1+8m 1）（8x 1+1﹣8m 1）=17， 则8x 1+1+8m 1=17，8x 1+1﹣8m 1=1， 得x 1=m 1=1，故y 1=0，有y=py 1=0，与l 上的点满足y ≠0矛盾．∴轨迹l 上有无穷多个整点，但l 上任意整点到原点的距离均不是整数．18．（1）已知数列{a n }中，，，S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：．（2）在数列{a n }中，a 1=1，，n ∈N *，其中实数c ≠0．（Ⅰ） 求{a n }的通项公式；（Ⅱ） 若对一切k ∈N *有a 2k ＞a 2k ﹣1，求c 的取值范围． 【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）由题意可得1﹣a n+1=1﹣sin （a n ），令b n =1﹣a n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，运用分析法证明，结合x ＞0时，sinx ＜x ，运用等比数列的求和公式，即可得证；（2）（Ⅰ）在数列{a n }中，a 1=1，，n ∈N *，可得=+2n+1，运用数列恒等式，结合等差数列的求和公式，化简即可得到所求；（Ⅱ）由对一切k ∈N *有a 2k ＞a 2k ﹣1，可得一切k ∈N *有4（c 2﹣c ）k 2+4ck ﹣c 2+c ﹣1＞0．设f （x ）=4（c 2﹣c ）x 2+4cx ﹣c 2+c ﹣1，求出对称轴和f （1）＞0，及c 2﹣c ≥0，可得c 的范围，证c 在这个范围内不等式恒成立．即可得到所求范围．【解答】解：（1）证明：数列{a n }中，，，可得1﹣a n+1=1﹣sin （a n ），令b n =1﹣a n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，由S n 为数列{a n }的前n 项和，要证，只需证n ﹣S n ＜，即证T n ＜，由b n+1=1﹣sin （（1﹣b n ））=1﹣sin （﹣b n ）=1﹣cosb n =2sin 2b n ，＜2（b n ）2≤b n ，即T n ＜=＜1.305＜，则成立；（2）（Ⅰ）在数列{a n }中，a 1=1，，n ∈N *，可得=+2n+1，即有=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=+3+5+…+2n ﹣1=+n 2﹣1，可得a n =（n 2﹣1）c n +c n ﹣1，（Ⅱ）由对一切k ∈N *有a 2k ＞a 2k ﹣1，可得 一切k ∈N *有4（c 2﹣c ）k 2+4ck ﹣c 2+c ﹣1＞0．设f （x ）=4（c 2﹣c ）x 2+4cx ﹣c 2+c ﹣1，对称轴为x=﹣，由f （1）=3c 2+c ﹣1＞0，可得c ＞或c ＜，由c 2﹣c ≥0，即c ≥1或c ≤0，即有c ≥1或c ＜，下面证c 在这个范围内不等式恒成立．当c ≥1时，f （x ）的对称轴为x=﹣＜0，f （1）＞0，得证x ≥1时，f （x ）＞0成立；当c ＜时，f （x ）的对称轴为x=﹣＜，可得f （x ）在（1，+∞）递增，f （1）＞0，可得x ≥1时，f （x ）＞0成立．综上可得，c 的范围是（﹣∞，）∪[1，+∞）．19．（1）已知函数f （x ）=mlnx 与函数h （x ）=（x ＞0）的图象有且只有一条公切线，求实数m 的值．（2）已知函数y=lnx ﹣（ax+b ）有两个不同的零点x 1，x 2，求证：＜x 1x 2＜．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）f（x）在点（a，mlna）处的切线为y=（x﹣a）+mlna，h（x）在点（b，）处的切线为y=（x﹣b）+，由这两条切线重合知，问题即当m在什么范围内时，关于（a，b）的方程有唯一一组解，由此入手能求出m．（2）问题等价于有两个不同的零点x1，x2，求证1+b﹣lna＜x1+x2＜﹣2lna，尝试使用构造函数的方法证明极值点偏移不等式．由此能证明＜x1x2＜．【解答】解：（1）f（x）在点（a，mlna）处的切线为y=（x﹣a）+mlna，h（x）在点（b，）处的切线为y=（x﹣b）+，由这两条切线重合知，问题即当m在什么范围内时，关于（a，b）的方程有唯一一组解，∵a，b的值一一对应，如果在方程组中消去b，得到mlna+﹣m﹣=0，此方程组对a＞0有唯一解，不好计算；如果在方程组中消去a，得到mln（2m）﹣m+2mlnb+=0，对b＞0有唯一解，记左边为g（b），则有g′（b）=，方程组有解时，有m＞0，∴g（b）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴g（b）min=g（）=m﹣﹣mln（2m），而当b→0与b→+∞时，均有g（b）→+∞，∴当且仅当这个最小值等于0时，方程g（b）=0有唯一解．最后解方程m﹣﹣mln（2m）=0，由题意知m=是它的解，考虑h（m）=m﹣﹣mln（2m），有h′（m）=﹣ln（2m），∴h（m）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴是h （m ）=0的唯一解，∴m=．（2）问题等价于有两个不同的零点x 1，x 2，求证1+b ﹣lna ＜x 1+x 2＜﹣2lna ，尝试使用构造函数的方法证明极值点偏移不等式．右边不等式：∵，∴a ＞0，其极值点为x=﹣lna ，又∵函数f 1（x ）的二阶导函数，∴构造函数，则h 1（x ）=f 1（x ）﹣g 1（x ）的二阶导数：，∴在（﹣∞，﹣lna ）上，，在（﹣lna ，+∞）上，，结合，在R 上，， 结合h 1（﹣lna ）=0，在（﹣∞，﹣lna ）上，h 1（x ）＞0，在（﹣lna ，+∞）上，h 1（x ）＜0，如图，∴二次函数的零点x 3，x 4（x 3＜x 4）满足：x 1＜x 3＜x 2＜x 4， ∴x 1+x 2＜x 3+x 4=﹣2lna ，左边不等式：此时无法通过构造二次函数证明， 设f 2（x ）=lnx ﹣（ax+b ），则其导函数，∴其极大值点为x=，欲证明的不等式为：lnx 1+lnx 2＞1+b ﹣lna ，即，构造函数，其中g 2（x ）与f 2（x ） 在x=处的函数值、导数值和二阶导函数值均相等，则可以求得，此时h 2（x ）=f 2（x ）﹣g 2（x ）的导函数：≥0，结合，得h 2（x ）在x=的两侧异号，如图，∵函数g 2（x ）的零点x 5，x 6（x 5＜x 6）即方程=0的两根，有，∴x 5＜x 1＜x 6＜x 2，∴．综上：＜x 1x 2＜．。
台州市一模高三数学试卷
台州市一模高三数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x)=x^2-4x+c的图像与x轴有两个交点，则c的取值范围是（）A. c > 4B. c < 4C. c ≥ 4D. c ≤ 42. 设集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-5x+6=0}，则A∩B=（）A. {1, 2}B. {2}C. {1}D. ∅3. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_3=4，则S_5=（）A. 10B. 15C. 20D. 254. 函数y=x^3-3x+1的导数是（）A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-35. 已知复数z满足z^2+z-1=0，则z的模长|z|=（）A. 1B. √2C. 2D. √36. 已知向量a=(1,2)，b=(2,1)，则a·b=（）A. 3B. 4C. 5D. 67. 从1，2，3，4，5这五个数字中随机抽取3个数字，共有多少种不同的抽取方式？（）A. 10B. 20C. 30D. 608. 已知直线y=2x+1与圆x^2+y^2=4相交，则圆心到直线的距离为（）A. 1B. √2C. √3D. 29. 函数y=x^3-3x^2+4的单调递增区间是（）A. (-∞, 1)∪(2, +∞)B. (-∞, 1)∪(3, +∞)C. (1, 2)10. 设A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-4x+3=0}，则A∪B=（）A. {1, 2}B. {1, 3}C. {1, 2, 3}D. {1}二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，公比q=2，则S_4=______。
12. 函数f(x)=x^2-6x+8的图像关于直线x=______对称。
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2017年浙江省台州市高考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）若集合A=，则A∪B=（）A．[0，1） B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪[2，+∞）D．∅2．（4分）已知双曲线=1的一条渐近线方程是y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3．（4分）若函数y=f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则f（2017）=（）A．﹣2017 B．0 C．1 D．20174．（4分）某空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是（）A．πB． C． D．5．（4分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2b﹣c=2acosC，sinC=，则△ABC的面积为（）A．B．C．或D．或7．（4分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）（a∈R），则在同一个坐标系下函数f（x+a）与f（x）的图象不可能的是（）A．B．C．D．8．（4分）已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为（）A．270x﹣1B．270xC．405x3D．243x59．（4分）已知θ∈[0，π），若对任意的x∈[﹣1，0]．不等式x2cosθ+（x+1）2sinθ+x2+x ＞0恒成立，则实数θ的取值范围是（）A．（，）B．（，） C．（，）D．（，）10．（4分）已知共面向量，，满足||=3，+=2，且||=|﹣|．若对每一个确定的向量，记|﹣t|（t∈R）的最小值d min，则当变化时，d min的最大值为（）A．B．2 C．4 D．6二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．（6分）已知复数的实部为1，则a=，|z|=．12．（6分）已知离散型随机变量X的分布列为则变量X的数学期望E（X）=，方差D（X）=．13．（6分）已知数列{a n}的前m（m≥4）项是公差为2的等差数列，从第m﹣1项起，a m﹣1，a m，a m+1，…成公比为2的等比数列．若a1=﹣2，则m=，{a n}的前6项和S6=．14．（6分）已知，则log2b=，满足log a b≤1的实数x的取值范围是．15．（4分）如图，过抛物线y2=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若=4，则=．16．（4分）某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有种．（结果用数字表示）17．（4分）如图，在棱长为2的正四面体A﹣BCD中，E、F分别为直线AB、CD 上的动点，且．若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于．（注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积．）三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，将向量绕原点O 按逆时针方向旋转x弧度得到向量．（1）若，求点Q的坐标；（2）已知函数f（x）=•，令，求函数g（x）的值域．19．（15分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为BC的中点，F为线段AD上的一点，且．现将四边形ABEF沿直线EF翻折，使翻折后的二面角A'﹣EF﹣C的余弦值为．（1）求证：A'C⊥EF；（2）求直线A'D与平面ECDF所成角的大小．20．（15分）已知函数．（1）若函数f（x）在（0，2）上存在两个极值点，求3a+b的取值范围；（2）当a=0，b≥﹣1时，求证：对任意的实数x∈[0，2]，恒成立．21．（15分）如图，在椭圆中，过坐标原点O作两条互相垂直的射线OA，OB与C分别交于A，B两点．（1）已知直线AB的斜率为k，用k表示线段AB的长度；（2）过点O作OM⊥AB于M点，点P为椭圆C上一动点，求线段PM长度的取值范围．22．（15分）已知数列{a n}满足：．（1）求证：；（2）求证：．2017年浙江省台州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）若集合A=，则A∪B=（）A．[0，1） B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪[2，+∞）D．∅【分析】求出集合B中元素的范围，确定出集合B，找出A与B的并集即可．【解答】解：集合A=（﹣1，1），B=[2，+∞），则A∪B=（﹣1，1）∪[2，+∞），故选：C．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（4分）已知双曲线=1的一条渐近线方程是y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程，结合题意可得=，解可得a的值，由双曲线的几何性质计算可得c的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为=1，其焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y=±x，又由题意，该双曲线的一条渐近线方程是y=x，则有=，解可得a=，又由b=1，则c==2，则该双曲线的离心率e==，故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程．3．（4分）若函数y=f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则f（2017）=（）A．﹣2017 B．0 C．1 D．2017【分析】利用函数的周期性和奇函数的性质求解．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，∴f（1）=f（﹣1），∴﹣f（1）=f（﹣1）=f（1），∴f（1）=f（﹣1）=0，∴f（2017）=f（1）=0．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的周期性和奇函数的性质的合理运用．4．（4分）某空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是（）A．πB． C． D．【分析】由三视图可得，直观图是圆锥与球的组合体，由图中数据可得体积【解答】解：由三视图可得，直观图是圆锥与球的组合体，由图中数据可得体积为=π，故选：A．【点评】本题考查圆三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．5．（4分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】∀a，b∈R，a2+ab+b2=+b2≥0，当且仅当a=b=0时取等号．可得＞0⇔（a﹣b）ab＞0，⇔“＜”．【解答】解：∀a，b∈R，a2+ab+b2=+b2≥0，当且仅当a=b=0时取等号．∴＞0⇔（a﹣b）ab＞0，⇔“＜”．∴“＜”是“＞0”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了函数的性质、不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2b﹣c=2acosC，sinC=，则△ABC的面积为（）A．B．C．或D．或【分析】2b﹣c=2acosC，利用正弦定理，求出A；sinC=，可得C=60°或120°，分类讨论，可得三角形面积．【解答】解：∵2b﹣c=2acosC，∴由正弦定理可得2sinB﹣sinC=2sinAcosC，∴2sin（A+C）﹣sinC=2sinAcosC，∴2cosAsinC=sinC，∴cosA=∴A=30°，∵sinC=，∴C=60°或120°A=30°，C=60°，B=90°，a=1，∴△ABC的面积为=，A=30°，C=120°，B=30°，a=1，∴△ABC的面积为=，故选：C．【点评】本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．7．（4分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）（a∈R），则在同一个坐标系下函数f（x+a）与f（x）的图象不可能的是（）A．B．C．D．【分析】去绝对值化简f（x）解析式，对a进行讨论，根据二次函数的性质判断f（x）的单调性，再根据函数平移规律得出两函数图象．【解答】解：f（x）=x（1+a|x|）=x+ax|x|=，（1）若a＞0，则当x≥0时，对称轴为x=﹣＜0，开口向上，x＜0时，对称轴为x=＞0，开口向下，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递增，且f（0）=0，f（x+a）是由f（x）向左平移a的单位得到的，此时函数图象为B，（2）若a＜0，则当x≥0时，对称轴为x=﹣＞0，开口向下，x＜0时，对称轴为x=＜0，开口向上，∴f（x）在（0，+∞）上先减后增，在（﹣∞，0）先减后增，且f（0）=0，f（x+a）是由f（x）向右平移|a|的单位得到的，此时函数图象为A或C，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性判断，二次函数的性质，属于中档题．8．（4分）已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为（）A．270x﹣1B．270xC．405x3D．243x5【分析】根据展开式中各项系数和求出a的值，利用展开式的通项求出r=2时该二项式展开式中系数最大的项．【解答】解：的展开式中各项系数的和为32，∴（a﹣1）5=32，解得a=3；∴展开式的通项为T r+1=•（3x）5﹣r•=（﹣1）r•35﹣r••x5﹣2r，又当r=0时，35=243；当r=2时，33•=270；当r=4时，3•=15；∴r=2时该二项式展开式中系数最大的项为270x．故选：B．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，也考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．9．（4分）已知θ∈[0，π），若对任意的x∈[﹣1，0]．不等式x2cosθ+（x+1）2sinθ+x2+x ＞0恒成立，则实数θ的取值范围是（）A．（，）B．（，） C．（，）D．（，）【分析】可设不等式左边为f（x）并化简，求出f（x）的最小值，令其大于0，得到θ的取值范围即可．【解答】解：设f（x）=x2cosθ+（x+1）2sinθ+x2+x=（1+sinθ+cosθ）x2+（2sinθ+1）x+sinθ，∵θ∈[0，π），∴1+cosθ+sinθ≠0，且其对称轴为x=﹣∵f（x）在[﹣1，0]的最小值为f（0）或f（1）或f（﹣）∴，即∴∴＜θ＜．故选：A．【点评】本题考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及灵活运用三角函数的能力，以以及运算能力，属于中档题10．（4分）已知共面向量，，满足||=3，+=2，且||=|﹣|．若对每一个确定的向量，记|﹣t|（t∈R）的最小值d min，则当变化时，d min的最大值为（）A．B．2 C．4 D．6【分析】根据向量的平行四边形法则和三角形的面积公式以及平行四边形的性质可得b2+2c2=36，即可得到d=c，利用基本不等式即可求出最值．【解答】解：如图，设=，=，=，∵+=2，∴M为BD的中点，=•3d•2=3d，∴S△ABD∵||=|﹣|，∴AD=BD，设AB=c，AD=b，∴在▱ABCD中，2[（AB）2+（AC）2]=AC2+BD2，∴b2+2c2=36，①，=•c•=•c•，∵S△ABD将①代入可得，S=•c•=c，△ABD∴3d=c，∴d=c≤=2，当且仅当c2=8时，取等号，故选：B．【点评】本题考查了向量的在几何中的应用，考查了学生的转化能力和计算能力，属于难题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（6分）已知复数的实部为1，则a=1，|z|=．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为1求得a值，再由复数模的求法求得|z|．【解答】解：∵z=的实部为1，∴a=1，则z=1﹣i，|z|=．故答案为：1，．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．12．（6分）已知离散型随机变量X的分布列为则变量X的数学期望E（X）=1，方差D（X）=．【分析】先根据概率的和为1求得a的值，再根据期望公式，方差的定义求出对应值．【解答】解：根据概率和为1，得a++=1，解得a=；∴变量X的数学期望E（X）=0×+1×+2×=1，方差D（X）=×（0﹣1）2+×（1﹣1）2+×（2﹣1）2=．故答案为：1，．【点评】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，是基础题．13．（6分）已知数列{a n}的前m（m≥4）项是公差为2的等差数列，从第m﹣1项起，a m﹣1，a m，a m+1，…成公比为2的等比数列．若a1=﹣2，则m=4，{a n}的前6项和S6=28．【分析】由已知利用等差数列的通项公式求出a m﹣1，a m，再由等比数列的定义求得m；然后求出数列前6项可得S6．【解答】解：由a1=﹣2，公差d=2，得a m﹣1=﹣2+2（m﹣2）=2m﹣6，a m=﹣2+2（m﹣1）=2m﹣4，则，∴m=4；∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=﹣2+0+2+4+8+16=28．故答案为：4，28．【点评】本题考查等差数列与等比数列的性质，考查了等差数列与等比数列的前n项和，是基础的计算题．14．（6分）已知，则log2b=，满足log a b≤1的实数x的取值范围是．【分析】b==，即可得出log2b，log a b===≤1，解出即可得出．【解答】解：∵b==，∴log2b=，log a b===≤1，∴x＜0，或．∴满足log a b≤1的实数x的取值范围是．故答案为：，．【点评】本题考查了对数的运算法则、对数的换底公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（4分）如图，过抛物线y2=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若=4，则=．【分析】分别过A，F，B作准线的垂线，垂足分别为A1，D，B1，利用相似三角形计算BB1，AA1即可得出AB=AA1+BB1．【解答】解：分别过A，F，B作准线的垂线，垂足分别为A1，D，B1，则DF=p=2，由抛物线的定义可知BF=BB1，AF=AA1，∵=4，∴，∴BF=BB1=．∴CF=4FB=6，∴cos∠DFC=，∴cos∠A1AC===，解得AF=3，∴AB=AF+BF=3+=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．16．（4分）某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有1296种．（结果用数字表示）【分析】根据题意，先分析第1节课，由组合数公式可得第一节的排法数目，对于后面7节课，按第8节课分2种情况讨论，①、若第8节安排选修课，②、若第8节安排自修课，由分类计数原理可得后面7节课的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，由于第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，则第一节课有C31=3种排法；对第8节课分情况讨论：①、若第8节安排选修课，需要将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有A44=24种情况，排好后，出最后的空位之外，有4个空位可选，在其中任选2个，安排2节自修课，有C42=6种情况，此时有24×6=144种安排方法；②、若第8节安排自修课，将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有A44=24种情况，排好后，出最后的空位之外，有4个空位可选，在其中任选2个，安排剩下的自修课与选修课，有A42=12种情况，此时有24×12=288种情况，则后面7节课有144+288=432种安排方法；则所有不同的排法共有3×432=1296种；故答案为：1296．【点评】本题考查排列组合的应用，注2节自修课之间是相同的，而其他科目之间是不同的．17．（4分）如图，在棱长为2的正四面体A﹣BCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且．若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于．（注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积．）【分析】由题意画出图形，通过取特殊点找到P的轨迹，再由圆的面积公式得答案．【解答】解：如图，当E为AB中点时，F分别在C，D处，满足|EF|=，此时EF的中点P在EC，ED的中点P1，P2的位置上，当F为CD中点时，E分别在A，B处，满足|EF|=，此时EF的中点P在BF，AF的中点P3，P4的位置上，连接P1P2，P3P4相交于点O，则四点P1，P2，P3，P4共圆，圆心为O，圆的半径为，则EF中点P的轨迹为L为以O为圆心，以为半径的圆，其测度|L|=．故答案为：π．【点评】本题考查空间中的线面关系，考查数形结合的解题思想方法，明确P 的轨迹是关键，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，将向量绕原点O 按逆时针方向旋转x弧度得到向量．（1）若，求点Q的坐标；（2）已知函数f（x）=•，令，求函数g（x）的值域．【分析】（1）P点坐标化为（cos，sin），故Q点坐标（cos（），sin （）），利用和角公式计算即可；（2）用三角恒等变换化简f（x）的解析式，得出g（x）的解析式，根据正弦函数的性质得出g（x）的值域．【解答】解：（1）P（（cos，sin），cos（）=﹣=，sin（）=+=，∴点Q的坐标为．（2）f（x）=cos（+x）+sin（+x）=，∴g（x）=cosx•cos（x+）=cos2x﹣sinxcosx=﹣sin2x=﹣sin （2x﹣）．因，故g（x）的值域为．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，三角恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．19．（15分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为BC的中点，F为线段AD上的一点，且．现将四边形ABEF沿直线EF翻折，使翻折后的二面角A'﹣EF﹣C的余弦值为．（1）求证：A'C⊥EF；（2）求直线A'D与平面ECDF所成角的大小．【分析】（1）连接AC交EF于M点，由平面几何知识可得，以及，经过计算可得：AM2+MF2=AF2，则AC⊥EF，再利用线面垂直的判定与性质即可证明．（2）由（1）知，二面角A'﹣EF﹣C的平面角就是∠A'MC，即，根据余弦定理，可求得A'C=1，利用A'C2+MC2=A'M2，可得A'C⊥MC，可知A'C⊥平面ECDF，即可得出∠A'DC就是直线A'D与平面ECDF所成的角．【解答】（1）证明：连接AC交EF于M点，由平面几何知识可得，以及，则有，故有AM2+MF2=AF2，则AC⊥EF，于是，A'M⊥EF，CM⊥EF，而A'M∩CM=M，故EF⊥平面A'MC，而A'C⊂平面A'MC，故A'C⊥EF．（2）解：由（1）知，二面角A'﹣EF﹣C的平面角就是∠A'MC，即，根据余弦定理，可求得A'C=1，因为A'C2+MC2=A'M2，所以A'C⊥MC，而A'C⊥EF，可知A'C⊥平面ECDF，因此，∠A'DC就是直线A'D与平面ECDF所成的角．由于A'C=CD=1，故直线A'D与平面ECDF所成的角为．【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、空间角、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（15分）已知函数．（1）若函数f（x）在（0，2）上存在两个极值点，求3a+b的取值范围；（2）当a=0，b≥﹣1时，求证：对任意的实数x∈[0，2]，恒成立．【分析】（1）求出关于a，b的不等式组，令z=3a+b，问题转化为简单的线性规划问题；结合图象求出即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的范围，要证，只需证即可．【解答】（1）解：f'（x）=x2+ax+b，由已知可得f'（x）=0在（0，2）上存在两个不同的零点，故有，即，令z=3a+b，如图所示：由图可知﹣8＜z＜0，故3a+b的取值范围（﹣8，0）．（2）证明：，所以f'（x）=x2+b，当b≥0时，f'（x）≥0在[0，2]上恒成立，则f（x）在[0，2]上单调递增，故，所以；当﹣1≤b＜0时，由f'（x）=0，解得，则f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以．因为，要证，只需证，即证，因为﹣1≤b＜0，所以，所以成立．综上所述，对任意的实数恒成立．【点评】本题考查了线性规划问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想、分类讨论思想，不等式的证明，是一道综合题．21．（15分）如图，在椭圆中，过坐标原点O作两条互相垂直的射线OA，OB与C分别交于A，B两点．（1）已知直线AB的斜率为k，用k表示线段AB的长度；（2）过点O作OM⊥AB于M点，点P为椭圆C上一动点，求线段PM长度的取值范围．【分析】（1）由题意，可设AB：y=kx+m．与椭圆方程联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，利用一元二次方程的根与系数的关系可得：|AB|=|x1﹣x2|==．又由OA⊥OB，知，代入化简解出即可得出．（2）设直线AB：y=kx+m，则，可设M（x，y），由（1）可知，5m2﹣4k2=4．消去m，k可得：点M的轨迹方程为．可得．即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设AB：y=kx+m．由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，于是，（*）则|AB|=|x1﹣x2|==．又由OA⊥OB，知，即，将（*）代入化简得5m2﹣4k2=4，所以；（2）若设直线AB：y=kx+m，则，可设M（x，y），由（1）可知，5m2﹣4k2=4（**）由，得，再代入y=kx+m，得，代入（**），有，即5（y2+x2）2=4y2+4x2，因y2+x2≠0，故有．当直线AB的斜率为0或不存在时，显然符合．故点M的轨迹方程为．所以，．而|OP|的最大值为a=2，最小值为b=1，所以，|PM|的取值范围为．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、点的轨迹，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（15分）已知数列{a n}满足：．（1）求证：；（2）求证：．【分析】（1）由，可得，，即可证明．（2）利用反证法：假设存在，由（1）可得当n＞N时，a n≤a N+1＜1，根据，而a n＜1，可得．于是，累加可得，由（1）可得a N+n﹣1＜0，可得矛盾．【解答】证明：（1）由，所以，因为，所以a n+2＜a n+1＜2．（2）假设存在，由（1）可得当n＞N时，a n≤a N+1＜1，根据，而a n＜1，所以．于是，…．累加可得（*）﹣1＜0，由（1）可得a N+n而当时，显然有，因此有，这显然与（*）矛盾，所以．【点评】本题考查了数列递推关系、不等式的基本性质、反证法，考查推理能力与计算能力，属于难题．。