离散数学答案(尹宝林版)第二章习题解答教学文稿
离散数学(第二版)最全课后习题答案详解
离散数学(第⼆版)最全课后习题答案详解习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题?在是命题的句⼦中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?(1)中国有四⼤发明.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(2)5是⽆理数.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(3)3是素数或4是素数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为 1.(4)2x+ <3 5答:不是命题.(5)你去图书馆吗?答:不是命题.(6)2与3是偶数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(7)刘红与魏新是同学.答:此命题是简单命题,其真值还不知道.(8)这朵玫瑰花多美丽呀!答:不是命题.(9)吸烟请到吸烟室去!答:不是命题.(10)圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π .答:此命题是简单命题,其真值为 1.(11)只有6是偶数,3才能是2的倍数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(13)2008年元旦下⼤雪.答:此命题是简单命题,其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:(1)p:中国有四⼤发明.(2)p:是⽆理数.(7)p:刘红与魏新是同学.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.(1)5是有理数.答:否定式:5是⽆理数. p:5是有理数.q:5是⽆理数.其否定式q的真值为 1.(2)25不是⽆理数.答:否定式:25是有理数. p:25不是⽆理数. q:25是有理数.其否定式q的真值为1.(3)2.5是⾃然数.答:否定式:2.5不是⾃然数. p:2.5是⾃然数. q:2.5不是⾃然数.其否定式q的真值为1.(4)ln1是整数.答:否定式:ln1不是整数. p:ln1是整数. q:ln1不是整数.其否定式q的真值为1.4.将下列命题符号化,并指出真值.(1)2与5都是素数答:p:2是素数,q:5是素数,符号化为p q∧,其真值为1.(2)不但π是⽆理数,⽽且⾃然对数的底e也是⽆理数.答:p:π是⽆理数,q:⾃然对数的底e是⽆理数,符号化为p q∧,其真值为 1.(3)虽然2是最⼩的素数,但2不是最⼩的⾃然数.答:p:2是最⼩的素数,q:2是最⼩的⾃然数,符号化为p q∧?,其真值为1.(4)3是偶素数.答:p:3是素数,q:3是偶数,符号化为p q∧,其真值为0.(5)4既不是素数,也不是偶数.答:p:4是素数,q:4是偶数,符号化为? ∧?p q,其真值为0.5.将下列命题符号化,并指出真值.(1)2或3(3)3或5是偶数.(4)3不是偶数或4不是偶数.(5)3不是素数或4不是答: p:2是偶数,q:3是偶数,r:3是素数,s:4是偶数, t:5是偶数偶数.(1)符号化: p q∨,其真值为 1.(2)符号化:p r∨,其真值为1. (3)符号化:r t∨,其真值为0.(4)符号化:? ∨?q s,其真值为 1.(5)符号化:? ∨?r s,其真值为0.6.将下列命题符号化.(1)⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答:p:⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果,q:⼩丽从筐⾥拿⼀个梨,符号化为: p q∨ .(2)这学期,刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答:p :刘晓⽉选学英语,q :刘晓⽉选学⽇语,符号化为: (? ∧∨∧?p q )(p q ) . 7.设 p :王冬⽣于 1971年,q :王冬⽣于1972年,说明命题“王冬⽣于1971年或 1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表: p q 0 0 1 10 1 0 10 1 1 00 1 1 1根据真值表,可以判断出,只有当 p 与 q 同时为真时两种符号化的表⽰才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p 与 q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值.,就有(1)只要(2)如果(3)只有(4)除⾮(5)除⾮(6),则:;设 q:,则:答:设 p: .符号化真值(1)(2)(3)(4)(5)1 1 0 0 0(6) 19.设p:俄罗斯位于南半球,q:亚洲⼈⼝最多,将下⾯命题⽤⾃然语⾔表述,并指出其真值:(1)(2);;;(3)(4);;(5)(6)(7);;.答:根据题意,p为假命题,q为真命题.⾃然语⾔真值(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)只要俄罗斯位于南半球,亚洲⼈⼝就最多只要亚洲⼈⼝最多,俄罗斯就位于南半球11111 只要俄罗斯不位于南半球,亚洲⼈⼝就最多只要俄罗斯位于南半球,亚洲⼈⼝就不是最多只要亚洲⼈⼝不是最多,俄罗斯就位于南半球只要俄罗斯不位于南半球,亚洲⼈⼝就不是最多只要亚洲⼈⼝不是最多,俄罗斯就不位于南半球10.设p:9是3的倍数,q:英国与⼟⽿其相邻,将下⾯命题⽤⾃然语⾔表述,并指出真值:.答:根据题意,p为真命题,q为假命题.⾃然语⾔真值(1)(2)(3)9是3的倍数当且仅当英语与⼟⽿其相邻9是3的倍数当且仅当英语与⼟⽿其不相邻9不是3的倍数当且仅当英语与⼟⽿其相邻11(4)9不是 3的倍数当且仅当英语与⼟⽿其不相邻 011.将下列命题符号化,并给出各命题的真值:(1)若 2+2=4,则地球是静⽌不动的;(2)若 2+2=4,则地球是运动不⽌的;(3)若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存;(4)若地球上没有⽔,则是⽆理数. 答:命题 1命题 2符号化真值(1)(2)(3)(4)p:2+2=4 q:地球是静⽌不动的 q:地球是静⽌不动的 q:⼈类能⽣存0 p:2+2=4 1 1 1p:地球上有树⽊ p:地球上有树⽊q:⼈类能⽣存12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值:(1)2+2=4当且仅当 3+3=6;(2)2+2=4的充要条件是 3+36;(3)2+2 4与 3+3=6互为充要条件;(4)若 2+2 4,则 3+3 6,反之亦然. 答:设p:2+2=4,q:3+3=6. 符号化真值 (1) (2) (3) (4)(3)今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆;(4)若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.符号化真值讨论(1)(2)(3)(4)不会出现前句为真,后句为假的情况不会出现前句为真,后句为假的情况必然为1若p为真,则真值为0;若p为假,则真值为114.将下列命题符号化:(1)刘晓⽉跑得快,跳得⾼;(2)⽼王是⼭东⼈或者河北⼈;(3)因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服;(4)王欢与李乐组成⼀个⼩组;(5)李欣与李末是兄弟;(6)王强与刘威都学过法语;(7)他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐;(8)如果天下⼤⾬,他就乘班车上班;(9)只有天下⼤⾬,他才乘班车上班;(10)除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班;(11)下雪路滑,他迟到了;(12)2与4都是素数,这是不对的;(13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的.答: 命题1 命题2命题3符号化(1)(2)p:刘晓⽉跑得快q:刘晓⽉跳得⾼-p:⽼王是⼭东⼈p:天⽓冷q:⽼王是河北⼈----q:我穿⽻绒服p:王欢与李乐组成p:王欢与李乐组成⼀个--⼀个⼩组⼩组p:李⾟与李末是兄p:李⾟与李末是兄弟弟(6)(7) p:王强学过法语p:他吃饭q:刘威学过法语q:他听⾳乐q:他乘车上班q:他乘车上班q:他乘车上班q:路滑--(8) p:天下⼤⾬p:天下⼤⾬p:天下⼤⾬p:下雪-(9) -(10)(11)r:他迟到了p:2是素数p:2是素数q:4是素数--q:4是素数15.设p:2+3=5.q:⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起.求下列符合命题的真值:(1)(2)(3)(4)解:p真值为1,q真值为1,r真值为0.(1)0,(2)0,(3)0,(4)116.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值:(1)(2)(3)(4)解:(1)0,(2)0,(3)0,(4)117.判断下⾯⼀段论述是否为真:“是⽆理数.并且,如果3是⽆理数,则外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”也是⽆理数.另解:p:是⽆理数q: 3是⽆理数r:是⽆理数s: 6能被2整除18.在什么情况下,下⾯⼀段论述是真的:“说⼩王不会唱歌或⼩李不会跳舞是正确的,⽽说如果⼩王会唱歌,⼩李就会跳舞是不正确的.”解:p:⼩王会唱歌。
(完整版)离散数学答案(尹宝林版)第一章习题解答
(完整版)离散数学答案(尹宝林版)第一章习题解答第一章命题逻辑习题与解答⒈ 判断下列语句是否为命题,并讨论命题的真值。
⑴ 2x - 3 = 0。
⑵ 前进!⑶ 如果8 + 7 > 20,则三角形有四条边。
⑷ 请勿吸烟!⑸ 你喜欢鲁迅的作品吗?⑹ 如果太阳从西方升起,你就可以长生不老。
⑺ 如果太阳从东方升起,你就可以长生不老。
解⑶,⑹,⑺表达命题,其中⑶,⑹表达真命题,⑺表达假命题。
⒉ 将下列命题符号化:⑴ 逻辑不是枯燥无味的。
⑵ 我看见的既不是小张也不是老李。
⑶ 他生于1963年或1964年。
⑷ 只有不怕困难,才能战胜困难。
⑸ 只要上街,我就去书店。
⑹ 如果晚上做完了作业并且没有其它事情,小杨就看电视或听音乐。
⑺ 如果林芳在家里,那么他不是在做作业就是在看电视。
⑻ 三角形三条边相等是三个角相等的充分条件。
⑼ 我进城的必要条件是我有时间。
⑽ 他唱歌的充分必要条件是心情愉快。
⑾ 小王总是在图书馆看书,除非他病了或者图书馆不开门。
解⑴ p :逻辑是枯燥无味的。
“逻辑不是枯燥无味的”符号化为 ?p 。
⑵ p :我看见的是小张。
q :我看见的是老李。
“我看见的既不是小张也不是老李”符号化为q p ?∧?。
⑶ p :他生于1963年。
q :他生于1964年。
“他生于1963年或1964年”符号化为p ⊕ q 。
⑷ p :害怕困难。
q :战胜困难。
“只有不怕困难,才能战胜困难”符号化为q → ? p 。
⑸ p :我上街。
q :我去书店。
“只要上街,我就去书店”符号化为p → q 。
⑹ p :小杨晚上做完了作业。
q :小杨晚上没有其它事情。
r :小杨晚上看电视。
s :小杨晚上听音乐。
“如果晚上做完了作业并且没有其它事情,小杨就看电视或听音乐”符号化为s r q p ∨→∧。
⑺ p :林芳在家里。
q :林芳做作业。
r :林芳看电视。
“如果林芳在家里,那么他不是在做作业就是在看电视”符号化为r q p ∨→。
⑻ p :三角形三条边相等。
离散数学课后习题答案(第二章)
b) 他是田径或球类运动员。 解:设 S(x) :x 是田径运动员。B(x) :x 是球类运动员。h:他 则有 S(h)∨B(h) c) 小莉是非常聪明和美丽的。 解:设 C(x) :x 是聪明的。B(x) :x 是美丽的。l:小莉。 则有 C(l)∧ B(l) d)若 m 是奇数,则 2m 不是奇数。 解:设 O(x) :x 是奇数。 则有 O(m)→¬ O(2m) 。 e)每一个有理数是实数。 解:设 R(x) :x 是实数。Q(x) :x 是有理数。 则有 (∀x) (Q(x)→R(x) ) f) 某些实数是有理数。 解:设 R(x) :x 是实数。Q(x) :x 是有理数。 则有 (∃x) (R(x)∧Q(x) ) g) 并非每个实数都是有理数。 解:设 R(x) :x 是实数。Q(x) :x 是有理数。 则有 ¬(∀x) (R(x)→Q(x) ) h)直线 A 平行于直线 B,当且仅当直线 A 不相交于直线 B。 解:设 P(x,y) :直线 x 平行于直线 y,G(x,y) :直线 x 相交于直线 y。 则有 P(A,B)�¬G(A,B) (2) 找出以下十二个句子所对应的谓词表达式。 a) 所有的教练员是运动员。 (J(x),L(x)) 解:设 J(x):x 是教练员。L(x):x 是运动员。 则有 (∀x) (J(x)→L(x) ) b) 某些运动员是大学生。 (S(x)) 解:设 S(x):x 是大学生。L(x):x 是运动员。 则有 (∃x) (L(x)∧S(x) ) c) 某些教练是年老的,但是健壮的。 (O(x),V(x) ) 解:设 J(x):x 是教练员。O(x):x 是年老的。V(x) :x 是健壮的。 则有 (∃x) (J(x)∧O(x)∧V(x) ) d) 金教练既不老但也不健壮的。 (j) 解:设 O(x):x 是年老的。V(x) :x 是健壮的。j:金教练 则有 ¬ O(j)∧¬V(j) e) 不是所有的运动员都是教练。 解:设 L(x):x 是运动员。J(x):x 是教练员。 则 ¬(∀x) (L(x)→J(x) ) f) 某些大学生运动员是国家选手。 (C(x) )
离散数学答案版(全)
1.2.4
0 0 1 1 条件联结词→
P
0 1 0 1
Q
0 1 1 1
P Q
0 0 1 1 1.2.5 双条件联结词
P
0 1 0 1
Q
1 1 0 1
P Q
1.2.6
0 0 1 1 与非联结词↑
P
0 1 0 1
Q
1 0 0 1
PQ
1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质: (1) P↑P ﹁(P∧P) ﹁P; (2) (P↑Q)↑(P↑Q) ﹁(P↑Q) P∧Q; (3) (P↑P)↑(Q↑Q) ﹁P↑﹁Q P∨Q。 1.2.7 或非联结词↓
P
Q
PQ
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质: (1)P↓P ﹁(P∨Q) ﹁P; (2) (P↓Q)↓(P↓Q) ﹁(P↓Q) P∨Q; (3) (P↓P)↓(Q↓Q) ﹁P↓﹁Q ﹁(﹁P∨﹁Q) P∧Q。
石材加工 红提采摘 2 金刚石磨头
1.5
对偶与范式
1.5.1 对偶 定义 在仅含有联结词 Ø、∧、∨的命题公式 A 中,将联结词∧换成∨,将 ∨换成∧,如果 A 中含有特殊变元 0 或 1,就将 0 换成 1,1 换成 0,所得的命题 公式 A*称为 A 的对偶式。 例:公式( P∨Q)∧(P∨ Q) 的对偶式为: ( P∧Q)∨(P∧ Q) 定理 设 A 和 A*互为对偶式,P1,P2,…,Pn 是出现在 A 和 A*中的所有原子
P
Q
P Q
( P Q)
( P Q) Q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
离散数学习题答案解析
离散数学习题答案解析(总16页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--离散数学习题答案习题一及答案:(P14-15)14、将下列命题符号化:(5)李辛与李末是兄弟解:设p:李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p(6)王强与刘威都学过法语∧解:设p:王强学过法语;q:刘威学过法语;则命题符号化的结果是p q(9)只有天下大雨,他才乘班车上班→解:设p:天下大雨;q:他乘班车上班;则命题符号化的结果是q p (11)下雪路滑,他迟到了解:设p:下雪;q:路滑;r:他迟到了;则命题符号化的结果是()∧→p q r 15、设p:2+3=5.q:大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起.求下列复合命题的真值:(4)()(())∧∧⌝↔⌝∨⌝→p q r p q r解:p=1,q=1,r=0,∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔,p q r()(110)1p q r⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔(())((11)0)(00)1∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔()(())111p q r p q r19、用真值表判断下列公式的类型:(2)()→⌝→⌝p p q解:列出公式的真值表,如下所示:由真值表可以看出公式有3个成真赋值,故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值: (4)()p q q ⌝∨→解:因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是:()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有:01,10,11。
习题二及答案:(P38)5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ⌝→∧∧解:原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨,此即公式的主析取范式, 所以成真赋值为011,111。
*6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: (2)()()p q p r ∧∨⌝∨解:原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔,此即公式的主合取范式, 所以成假赋值为100。
离散数学答案版(全)
1.2.4
0 0 1 11
Q
0 1 1 1
P Q
0 0 1 1 1.2.5 双条件联结词
P
0 1 0 1
Q
1 1 0 1
P Q
1.2.6
0 0 1 1 与非联结词↑
P
0 1 0 1
Q
1 0 0 1
PQ
1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质: (1) P↑P ﹁(P∧P) ﹁P; (2) (P↑Q)↑(P↑Q) ﹁(P↑Q) P∧Q; (3) (P↑P)↑(Q↑Q) ﹁P↑﹁Q P∨Q。 1.2.7 或非联结词↓
定义设pq是两个命题公式复合命题pq称为命题pq的条件否定当且仅当p的真值为1q的真值为0时pq的真值为1否则pq的真值为0172最小联结词组定义设s是一些联结词组成的非空集合如果任何的命题公式都可以用仅包含s中的联结词的公式表示则称s是联结词的全功能集
第一章
命题逻辑
内容: 命题及命题联结词、命题公式的基本概念,真值表、基本等价式及永真蕴涵 式,命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。 教学目的: 1.熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 2.熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 3.熟练掌握(主)析/合取范式的求法及其应用。 4.熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 5.熟练掌握形式演绎的方法。
式中每一个析取项都是 P1,P2,…,Pn 的一个极大项,则称该合取范式为 G 的主 合取范式。通常,主合取范式用↕表示。重言式的主合取范式中不含任何极大项, 用 1 表示。 定理 任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主合取范式。
1.6
公式的蕴涵
离散数学答案版(全)
Q
P Q
( P Q)
( P Q) Q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
1.4.2 命题公式的分类 定义 设 G 为公式: (1)如果 G 在所有解释下取值均为真,则称 G 是永真式 或重言式; (2)如果 G 在所有解释下取值均为假,则称 G 是永假式或矛盾式; (3) 如果至少存在一种解释使公式 G 取值为真,则称 G 是可满足式。 1.4.3 等价公式 定义 设 A 和 B 是两个命题公式,如果 A 和 B 在任意赋值情况下都具有相同 的真值,则称 A 和 B 是等价公式。记为 A B。 性质定理 设 A、B、C 是公式,则 (1)A A (2)若 A B 则 B A (3)若 A B 且 B C 则 A C 定理 设 A、B、C 是公式,则下述等价公式成立: A A (1)双重否定律 (2)等幂律 A∧A A ; A∨A A (3)交换律 A∧B B∧A ; A∨B B∨A (4)结合律 (A∧B)∧C A∧(B∧C) (A∨B)∨C A∨(B∨C) (5)分配律 (A∧B)∨C (A∨C)∧(B∨C) (A∨B)∧C (A∧C)∨(B∧C) (A∨B) A∧ B (6)德·摩根律 (A∧B) A∨ B (7)吸收律 A∨(A∧B) A;A∧(A∨B) A (8)零一律 A∨1 1 ; A∧0 0 (9)同一律 A∨0 A ; A∧1 A (10)排中律 A∨ A 1 (11)矛盾律 A∧ A 0 (12)蕴涵等值式 A→B A∨B (13)假言易位 A→B B→ A (14)等价等值式 A B (A→B)∧(B→A)
式中每一个析取项都是 P1,P2,…,Pn 的一个极大项,则称该合取范式为 G 的主 合取范式。通常,主合取范式用↕表示。重言式的主合取范式中不含任何极大项, 用 1 表示。 定理 任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主合取范式。
离散数学 第二版 课后习题答案详解
习题一1.下列句子中,哪些是命题?在是命题的句子中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?(1)中国有四大发明.答:此命题是简单命题,其真值为1.(2.答:此命题是简单命题,其真值为1.(3)3是素数或4是素数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为1.(4)2x+ <3 5 答:不是命题.(5)你去图书馆吗?答:不是命题.(6)2与3是偶数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(7)刘红与魏新是同学.答:此命题是简单命题,其真值还不知道.(8)这朵玫瑰花多美丽呀!答:不是命题.(9)吸烟请到吸烟室去!答:不是命题.(10)圆的面积等于半径的平方乘以π.答:此命题是简单命题,其真值为1.(11)只有6是偶数,3才能是2的倍数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(13)2008年元旦下大雪.答:此命题是简单命题,其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:(1)p:中国有四大发明.(2)p:是无理数.(7)p:刘红与魏新是同学.(10)p:圆的面积等于半径的平方乘以π.(13)p:2008年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.(1.答:否定式:. p:5 .q:5 q的真值为 1.(2.. p:. q:25 . 其否定式q的真值为 1.(3)2.5是自然数.答:否定式:2.5不是自然数. p:2.5是自然数. q:2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为 1.(4)ln1是整数.答:否定式:ln1不是整数. p:ln1是整数. q:ln1不是整数. 其否定式q的真值为 1.4.将下列命题符号化,并指出真值.(1)2与5都是素数答:p:2是素数,q:5 是素数,符号化为p q∧ ,其真值为 1.(2)不但π是无理数,而且自然对数的底e也是无理数.答:p:π是无理数,q:自然对数的底e是无理数,符号化为p q∧ ,其真值为 1.(3)虽然2是最小的素数,但2不是最小的自然数.答:p:2是最小的素数,q:2是最小的自然数,符号化为p q∧¬ ,其真值为 1.(4)3是偶素数.答:p:3是素数,q:3是偶数,符号化为p q∧ ,其真值为0.(5)4既不是素数,也不是偶数.答:p:4是素数,q:4是偶数,符号化为¬ ∧¬p q,其真值为0.5.将下列命题符号化,并指出真值.(1)2或3是偶数.(2)2或4是偶数.(3)3或5是偶数.(4)3不是偶数或4不是偶数.(5)3不是素数或4不是偶数.答: p:2是偶数,q:3是偶数,r:3是素数,s:4 是偶数, t:5是偶数(1)符号化: p q∨ ,其真值为1.(2)符号化:p r∨ ,其真值为1.(3)符号化:r t∨ ,其真值为0.(4)符号化:¬ ∨¬q s,其真值为1.(5)符号化:¬ ∨¬r s,其真值为0.6.将下列命题符号化.(1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答:p:小丽从筐里拿一个苹果,q:小丽从筐里拿一个梨,符号化为: p q∨ .(2)这学期,刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答:p :刘晓月选学英语,q :刘晓月选学日语,符号化为: (¬ ∧ ∨ ∧¬p q )(p q ) . 7.设p :王冬生于 1971 年,q :王冬生于 1972 年,说明命题“王冬生于 1971 年或 1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表:但结合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式. 8.将下列命题符号化,并指出真值. (1)只要; (2)如果; (3)只有; (4)除非; (5)除非; (6).答:设p:.))))), 则:; 设 q: , 则:仅当 , 否则 , 才有 , 才有 , 则 , 就有)设p:俄罗斯位于南半球,q:亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述(1);(2);;(3);(4);(5);(6);(7).答:根据题意,p为假命题,q为真命题.(1);(2);(3);(4).答:根据题意,p为真命题,q为假命题.(1)若2+2=4,则地球是静止不动的;(2)若2+2=4,则地球是运动不止的;(3)若地球上没有树木,则人类不能生存;(4)若地球上没有水,则是无理数.答:(1)2+2=4当且仅当3+3=6;(2)2+2=4的充要条件是3+36;(3)2+24与3+3=6互为充要条件;(4)若2+24,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值:(1)若今天是星期一,则明天是星期二;(2)只有今天是星期一,明天才是星期二;(3)今天是星期一当且仅当明天是星期二;(4)若今天是星期一,则明天是星期三.答:设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.(1)(2)(3)(4)14.将下列命题符号化:(1)刘晓月跑得快,跳得高;(2)老王是山东人或者河北人;(3)因为天气冷,所以我穿了羽绒服;(4)王欢与李乐组成一个小组;(5)李欣与李末是兄弟;(6)王强与刘威都学过法语;(7)他一面吃饭,一面听音乐;(8)如果天下大雨,他就乘班车上班;(9)只有天下大雨,他才乘班车上班;(10)除非天下大雨,否则他不乘班车上班;(11)下雪路滑,他迟到了;(12)2与4都是素数,这是不对的;(13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的.答:q:大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起. 求下列符合命题的真值:(1)(2)(3)(4)解:p真值为1,q真值为1,r真值为0.(1)0,(2)0,(3)0,(4)116.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值:(1)(2)(3)(4)解:(1)0,(2)0,(3)0,(4)117.判断下面一段论述是否为真:“是无理数.并且,如果3是无理数,则 也是无理数.另外,只有6能被2整除,6才能被4整除.” 是无理数s: 6能被2整除t :6能被4整除符号化为: ,该式为重言式,所以论述为真。
离散数学第二版答案章
第六章 代数系统6.1第129页1. 证明:任取,x y I ∈,(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=,因此,二元运算*是可交换的; 任取,,x y z I ∈,因此,运算*是可结合的。
该运算的么元是0,0的逆元是0,2的逆元是2,其余元素没有逆元。
2.证明:任取,,x y N x y ∈≠,由*,*x y x y x y x ==≠知,**y x x y ≠,*运算不是可交换的。
任取,,x y z N∈,由(*)**x y z x z x==,*(*)*x y z x y x==知,(*)**(*)x y z x y z =,*运算是可结合的。
任取x N ∈,*x x x =,可知N 中的所有元素都是等幂的。
*运算有右么元,任取,x y N ∈,*x y x =,知N 中的所有元素都是右么元。
*运算没有左么元。
证明:采用反证法。
假定e 为*运算的左么元,取,b N b e ∈≠,由*的运算公式知*e b e =,由么元的性质知,*e b b =,得e b =,这与b e ≠相矛盾,因此,*运算没有左么元。
3.解:① 任取y x I y x ≠∈,,因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=,即二元运算*是可交换的。
② 任取,,,I z y x ∈因此对于任意的z ,,y x ,都有)****z y x z y x ()(=,即二元运算*是可结合的。
③ 设幺元为ex e x x e e x ===的最小公倍数和**,则1=e ,即幺元为1.④ 对于所有的元素I x ∈,都有x x x =*,所以所有元素都是等幂的。
4.解:设n X =① 设f 是X 上的二元运算,则f 是一个从X X →2的映射。
求X 上有多少个二元运算即相当于求这样的映射的个数。
由于22n X =,映射f 的个数为2n n ,即X 上有2n n 个二元运算。
离散数学课后答案详解第二版
离散数学课后答案详解第二版离散数学课后答案详解第二版是一本重要的参考书,在学习离散数学的过程中能够提供很大的帮助。
下面就是本书中的一些重要知识点和解答,希望对各位读者有所帮助。
一、命题逻辑1.什么是命题?命题是用来陈述某个陈述语句真假的陈述句。
2.什么是合取和析取?合取是将两个命题连接起来,且要求两者同时成立,符号用“∧”表示;析取是也将两个命题连接起来,但是只要求其中一个成立即可,符号用“∨”表示。
3.什么是条件和双条件?条件是指前者为真则后者为真,否则后者为假,符号用“→”表示;双条件是指前者为真则后者为真,否则后者为假;同时后者为真则前者也为真,反之后者为假则前者也为假,符号用“↔”表示。
4.什么是命题公式?命题公式是用变量、命题连接词和括号构成的表达式,构成命题公式的常常为命题或者是一些常用的命题连接词。
二、谓词逻辑1.什么是一阶逻辑?一阶逻辑是对命题进行量化的扩展。
除了命题外,一阶逻辑还包括了“个体”和它们之间的关系,以及用于描述这些关系的“量词”。
2.什么是量词?量词包括“存在量词∃”和“全称量词∀”,前者表示存在至少一个使谓词成立的个体,后者表示所有个体都满足该谓词。
3.什么是命题函数?命题函数是将数学函数和逻辑命题符号相结合的一种新型命题符号。
4.什么是名词?名词是指代对象的标签,它是一般化的名词。
例如,女人是一般化的名词,梅丽莎是特定的名词。
三、集合论和图论1.什么是集合?集合是指具有某种共同特征而组成的元素的整体。
2.什么是集合的理论?集合的理论是关于集合的性质、关系和操作的一种抽象理论。
3.什么是图?图是用来描述一些个体之间的关系的工具,由节点和边构成。
其中节点表示个体,边表示个体之间的某种关系。
4.什么是路径?路径是指通过边连接一些节点的一系列节点。
四、树和排序1.什么是树?树是一种数据结构,它由一组节点和边构成。
节点可以包含数据,边用于连接节点并表示关系。
2.什么是排序?排序是一种对数据进行重新排列的操作,目的是使数据具有某种有序结构。
离散数学第二版课后答案pdf
离散数学第二版课后答案pdf选择题:1. 以下哪个函数不是单射?A. f(x)=x+1B. f(x)=x²C. f(x)=sin(x)D. f(x)=|x|2. 设 A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=?A. {1,2,3,4}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {1,2,3,4,5}3. 若 5n+1 是完全平方数,则 n 的取值范围是?A. n 是任意自然数B. 1、3、11C. 2、3、7D. 0、2、84. 若 P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AB)=0.1,则P(A∪B)=?A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 在一个 10 个点的完全图中,不同颜色的边有红、蓝、绿三色,其中红边有 3 条,蓝边有 2 条,绿边有 5 条,则将这 10 个点分成涂3 种颜色的三部分的方案数为?A. 6552B. 1260C. 3150D. 5040选择题答案:1. C2. D3. B4. A5. C填空题:1. 用 1,2,3,4,5 这 5 个数字,能组成多少个长度为 3 的无重复的数字串?答:602. 已知 a+b=7,a-b=3,则 a²-b²=?答:203. 一个无向图有 8 条边,则它的图的边数有多大范围?答:4≤边数≤284. 在一组含有 5 个正整数的数列中,最大值是最小值的 3 倍,则这5 个数中的最小值不能小于多少?答:55. 若 G 是一个有 n 个点的简单无向图,且 G 不是完全图,则 G 中边的数量最少是多少?答:n填空题答案:1. 602. 203. 4≤边数≤284. 55. n解答题:1. 一张简单无向图 G 有 10 个顶点和 20 条边,证明 G 中至少有 3 个度数为偶数的顶点。
答:设 G 中度数为奇数的点的个数为 x,度数为偶数的点的个数为 y,则 x+y=10,2x+4y=40,化简得 x=2y-10,由于每个点的度数都是偶数或奇数,所以 2x+20-y 是偶数,即 2(2y-10)+20-y=3y-10 是偶数,即 y 是奇数。
离散数学第四版课后答案(第2章)
离散数学课后答案第2章习题解答2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x(是鸟F:)x(会飞翔.G:)xx命题符号化为xFx→∀.))G((x)((2)令x(为人.xF:)(爱吃糖G:)xx命题符号化为GxFx→⌝∀(x))()(或者xFx⌝∧∃(xG))(()(3)令xF:)(为人.xG:)(爱看小说.xx命题符号化为xF∃.Gx∧(x()))((4) x(为人.xF:)G:)(爱看电视.xx命题符号化为Fx⌝⌝∃.x∧(x))()G(分析 1°如果没指出要求什么样的个体域,就使用全总个休域,使用全总个体域时,往往要使用特性谓词。
(1)-(4)中的)(x F 都是特性谓词。
2° 初学者经常犯的错误是,将类似于(1)中的命题符号化为))()((x G x F x ∧∀即用合取联结词取代蕴含联结词,这是万万不可的。
将(1)中命题叙述得更透彻些,是说“对于宇宙间的一切事物百言,如果它是鸟,则它会飞翔。
”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。
若使用∧,使(1)中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。
”这显然改变了原命题的意义。
3° (2)与(4)中两种符号化公式是等值的,请读者正确的使用量词否定等值式,证明(2),(4)中两公式各为等值的。
2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为)(x xF ∀其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。
(2) 在)(),(),(c b a 中均符号化为)(x xG ∃其中02:)(=+x x G ,此命题在(a )中为假命题,在(b)(c)中均为真命题。
(3)在)(),a中均符号化为b(c(),∃xH)(x其中.1(bH此命题在)(),a中均为假命题,在(c)中为(=5:)xx真命题。
分析 1°命题的真值与个体域有关。
2°有的命题在不同个体域中,符号化的形式不同,考虑命题“人都呼吸”。
离散数学答案(尹宝林版)第二章习题解答
第二章谓词逻辑习题与解答1. 将下列命题符号化:<1>所有的火车都比某些汽车快.<2>任何金属都可以溶解在某种液体中.<3>至少有一种金属可以溶解在所有液体中.<4>每个人都有自己喜欢的职业.<5>有些职业是所有的人都喜欢的.解<1>取论域为所有交通工具的集合.令x x T :)(是火车,x x C :)(是汽车,x y x F :),(比y 跑得快."所有的火车都比某些汽车快〞可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧∃→∀.<2>取论域为所有物质的集合.令x x M :)(是金属,x x L :)(是液体,x y x D :),(可以溶解在y 中."任何金属都可以溶解在某种液体中〞可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧∃→∀.<3>论域和谓词与<2>同."至少有一种金属可以溶解在所有液体中〞可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →∀∧∃.<4>取论域为所有事物的集合.令x x M :)(是人,x x J :)(是职业,x y x L :),(喜欢y ."每个人都有自己喜欢的职业〞可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧∃→∀<5>论域和谓词与<4>同."有些职业是所有的人都喜欢的〞可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →∀∧∃.2.取论域为正整数集,用函数+〔加法〕,•〔乘法〕和谓词<,=将下列命题符号化:<1>没有既是奇数,又是偶数的正整数.<2>任何两个正整数都有最小公倍数.<3>没有最大的素数.<4>并非所有的素数都不是偶数.解先引进一些谓词如下:x y x D :),(能被y 整除,),(y x D 可表示为)(x y v v =•∃.x x J :)(是奇数,)(x J 可表示为)2(x v v =•⌝∃.x x E :)(是偶数,)(x E 可表示为)2(x v v =•∃.x x P :)(是素数,)(x P 可表示为)1)(()1(x u u x u v v u x =∨=↔=•∃∀∧=⌝.<1>"没有既是奇数,又是偶数的正整数〞可表示为))()((x E x J x ∧⌝∃,并可进一步符号化为))2()2((x v v x v v x =•∃∧=•⌝∃⌝∃.<2>"任何两个正整数都有最小公倍数〞可表示为))),(),((),(),((u z u z y u D x u D u y z D x z D z y x =∨<→∧∀∧∧∃∀∀,并可进一步符号化为)))()(()()((u z u z u y v v u x v v u z y v v z x v v z y x =∨<→=•∃∧=•∃∀∧=•∃∧=•∃∃∀∀<3>"没有最大的素数〞可表示为)))(()((x y x y y P y x P x =∨<→∀∧⌝∃,并可进一步符号化为<4>"并非所有的素数都不是偶数〞可表示为))()((x E x P x ⌝→⌝∀,并可进一步符号化为))2()1)(()1((x v v x u u x u v v u x x =•⌝∃→=∨=↔=•∃∀∧=⌝⌝∀3.取论域为实数集合,用函数+,-〔减法〕和谓词<,=将下列命题符号化:<1>没有最大的实数.<2>任何两个不同的实数之间必有另一实数.<3>函数)(x f 在点a 处连续.<4>函数)(x f 恰有一个根.<5>函数)(x f 是严格单调递增函数.解<1>"没有最大的实数〞符号化为)(x y x y y x =∨<∀⌝∃.<2>"任何两个不同的实数之间必有另一实数〞符号化为))((y z z x z y x y x <∧<∃→<∀∀.<3>"函数)(x f 在点a 处连续〞的定义是:任给0>ε,总可以找到0>δ,使得只要δ<-||a x 就有ε<-|)()(|a f x f ."函数)(x f 在点a 处连续〞符号化为<4>"函数)(x f 恰有一个根〞符号化为))0)((0)((x y y f y x f x =→=∀∧=∃.<5>"函数)(x f 是严格单调递增函数〞符号化为))()((y f x f y x y x <→<∀∀.4.指出下列公式中变元的约束出现和自由出现,并对量词的每次出现指出其辖域.<1>)),(),((a x P x y P x →∀<2>),()(y x zQ x xP ∀→∀<3>)()())()((x Q x xP x R x P x ∧∀→∧∀<4>))),(,()),,(((y x g z xP x y x f P y ∀→∀<5>)())()()((x R x xR x Q x P x ∧∃∧→∀解<1>变元x 在)),(),((a x P x y P x →∀中三次出现都是约束出现,∀x 的唯一出现的辖域是 P <y , x > →P <x , a >.<2>变元x 在),()(y x zQ x xP ∀→∀中的头两次出现是约束出现,第三次出现是自由出现.变元y 在),()(y x zQ x xP ∀→∀中的唯一出现是自由出现.变元z 在),()(y x zQ x xP ∀→∀中的唯一出现是约束出现.∀x 的唯一出现的辖域是 P <x >,∀z 的唯一出现的辖域是Q <x , y >.<3>变元x 在)()())()((x Q x xP x R x P x ∧∀→∧∀中的头五次出现是约束出现,第六次出现是自由出现.∀x 的第一次出现的辖域是P <x > ∧R <x >,第二次出现的辖域是P <x >.<4>变元x 在))),(,()),,(((y x g z xP x y x f P y ∀→∀中的头两次出现是自由出现,后两次出现是约束出现.∀x 的唯一出现的辖域是 P <z , g <x , y >>,∀y 的唯一出现的辖域是P <f <x , y >, x > →∀xP <z , g <x , y >>.<5>变元x 在)())()()((x R x xR x Q x P x ∧∃∧→∀中的头五次出现是约束出现,第六次出现是自由出现.∀x 的唯一出现的辖域是P <x > →Q <x >∧∃xR <x >,∃x 的唯一出现的辖域是R <x >.5.归纳证明:若t ,t '是项,则x t t '也是项.证明① 若t 是x ,则x t t '是t ',x t t '是项.② 若t 是不同于x 的变元y ,则x t t '仍是y ,x t t '是项.③若t 是常元a ,则x t t '仍是a ,x t t '是项.④若t 是),,(1n t t f ,则x t t '是))(,,)((1x t n x t t t f '' ,由归纳假设知x t n x t t t '')(,,)(1 都是项,所以x t t '是项.6.归纳证明:若t 是项,A 是公式,则xt A 也是公式.证明①若A 是),,(1n t t P ,则x t A 是))(,,)((1x t n x t t t P ,由上题知x t n x t t t )(,,)(1 都是项,所以x t A 是公式.②若A 是B ⌝,则x t A 是x t B ⌝,由归纳假设知x t B 是公式,所以x t A 是公式.③若A 是C B →,则x t A 是x t x t C B →,由归纳假设知x t B 和x t C 都是公式,所以x t A 是公式. ④若A 是xB ∀,则x t A 仍是A ,x t A 是公式.⑤若A 是yB ∀,其中y 是不同于x 的变元,则x t A 是x t yB ∀,由归纳假设知x t B 是公式,所以x t A 是公式.7.给定解释I 和I 中赋值v 如下:}2,1{=I D ,1=I a ,2=I b ,2)1(=I f ,1)2(=I f1)2,1()1,1(==I I P P ,0)2,2()1,2(==I I P P ,1)(=x v ,1)(=y v计算下列公式在解释I 和赋值I 中v 下的真值.<1>)),(())(,())(,(x y f P b f x P x f a P ∧∧<2>),(x y yP x ∃∀<3>)))(),((),((y f x f P y x P y x →∀∀解<1>)))(),(())(,())(,((v x y f P b f x P x f a P I ∧∧<2>)))(,((v x y yP x I ∃∀<3>)))))((),((),(((v y f x f P y x P y x I →∀∀7.给定解释I 如下:},{b a D I =, 1),(),(==b b P a a P I I , 0),(),(==a b P b a P I I判断I 是不是以下语句的模型.<1>),(y x yP x ∃∀<2>),(y x yP x ∀∀<3>),(y x yP x ∀∃<4>),(y x P y x ⌝∃∃<5>)),(),((x y P y x P y x →∀∀<6>),(x x xP ∀解<1>)),((y x yP x I ∃∀<2>)),((y x yP x I ∀∀<3>)),((y x yP x I ∀∃<4>)),((y x P y x I ⌝∃∃<5>))),(),(((x y P y x P y x I →∀∀<6>111),(),()),((=∧=∧=∀b b P a a P x x xP I I I9.写出一个语句A ,使得A 有模型,并且A 的每个模型的论域至少有三个元素.解 语句A 为),(),(),(),(a c P c b P b a P x x P x ∧∧∧⌝∀.给定解释I '如下.I D '为自然数集合, 1),(='y x P I 当且仅当y x ≠, 1='I a ,2='I b ,3='I c则I '是A 的模型,A 有模型.任取满足语句A 的解释I ,则1),(),(),(===I I I I I I I I I a c P c b P b a P ,又因为1)),((=⌝∀x x P x I ,所以I a ,I b ,I c 是论域I D 中三个不同元素,论域I D 中至少有三个元素.10.写出一个语句A ,使得A 有模型,并且A 的每个模型的论域有无穷多个元素.解 语句A 为),()),(),(),((),(y x yP x z x P z y P y x P y x x x P x ∃∀∧→∧∀∀∧⌝∀.给定解释I '如下.I D '为自然数集合, 1),(='y x P I 当且仅当y x <则I '是A 的模型,A 有模型.任取满足语句A 的解释I ,取I D d ∈1,因为1)),((=∃∀y x yP x I ,所以有I D d ∈2使得1),(21=d d P I ,又因为1)),((=⌝∀x x P x I ,故21d d ≠.因为1)),((=∃∀y x yP x I ,所以有I D d ∈3使得1),(32=d d P I ,又因为1)),((=⌝∀x x P x I ,故23d d ≠.因为1))),(),(),(((=→∧∀∀z x P z y P y x P y x I ,所以1),(31=d d P I ,故13d d ≠.因此,1d ,2d ,3d 是论域中的三个不同元素.这个过程可以不断进行下去,得到 ,,,321d d d 因此,论域D I 中必然有无穷多个元素.11.判断以下公式是不是永真式、永假式、可满足式,并说明理由.<1>))()(()()(x Q x P x x xQ x xP ∨∃→∃∨∃<2>))()(()()(x Q x P x x xQ x xP ∧∃→∃∧∃<3>)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀→∨∀<4>),(),(y x yP x x x xP ∀∀→∀<5>))()(())()((x Q x P x x xQ x xP →∀→∀→∀<6>))()(())()((x Q x P x x xQ x xP →∀→∀→∃<7>))()(())()((x xQ x xP x Q x P x ∃→∃→→∀解<1> ))()(()()(x Q x P x x xQ x xP ∨∃→∃∨∃是永真式.若解释I 使得1))()((=∃∨∃x xQ x xP I ,则1))((=∃x xP I 或1))((=∃x xQ I .① 若1))((=∃x xP I ,则存在I D d ∈使得1)(=d P I ,1)()(=∨d Q d P I I .② 若1))((=∃x xQ I ,则存在I D d ∈使得1)(=d Q I ,1)()(=∨d Q d P I I .因此,1)))()(((=∨∃x Q x P x I .<2> ))()(()()(x Q x P x x xQ x xP ∧∃→∃∧∃是非永真的可满足式.给定解释I 如下.}{d D I =, 1)(=d P I , 1)(=d Q I则1)))()(()()((=∧∃→∃∧∃x Q x P x x xQ x xP I .给定解释I '如下.},{b a D I =',1)(='a P I ,0)(='b P I ,0)(='a Q I ,1)(='b Q I则0)))()(()()((=∧∃→∃∧∃'x Q x P x x xQ x xP I .<3> )()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀→∨∀是非永真的可满足式.给定解释I 如下.}{d D I =, 1)(=d P I , 1)(=d Q I则1))()())()(((=∀∨∀→∨∀x xQ x xP x Q x P x I .给定解释I '如下.},{b a D I =',1)(='a P I ,0)(='b P I ,0)(='a Q I ,1)(='b Q I则0))()())()(((=∀∨∀→∨∀'x xQ x xP x Q x P x I .<4> ),(),(y x yP x x x xP ∀∀→∀是非永真的可满足式.给定解释I 如下.}{d D I =, 1),(=d d P I则1)),(),((=∀∀→∀y x yP x x x xP I .给定解释I '如下.},{b a D I =',1),(),(==''b b P a a P I I ,0),(),(==''a b P b a P I I则0)),(),((=∀∀→∀'y x yP x x x xP I .<5> ))()(())()((x Q x P x x xQ x xP →∀→∀→∀是非永真的可满足式.给定解释I 如下.}{d D I =, 1)(=d P I , 1)(=d Q I则1)))()(())()(((=→∀→∀→∀x Q x P x x xQ x xP I .给定解释I '如下.},{b a D I =',1)(='a P I ,0)(='b P I ,0)(='a Q I ,1)(='b Q I则0)))()(())()(((=→∀→∀→∀'x Q x P x x xQ x xP I .<6> ))()(())()((x Q x P x x xQ x xP →∀→∀→∃是永真式.若解释I 使得0)))()(((=→∀x Q x P x I ,则存在I D d ∈使得0)()(=→d Q d P I I ,因此1)(=d P I 且0)(=d Q I ,1))((=∃x xP I 且0))((=∀x xQ I ,0)))()(((=∀→∃x xQ x xP I .<7> ))()(())()((x xQ x xP x Q x P x ∃→∃→→∀是永真式.若解释I 使得0)))()(((=∃→∃x xQ x xP I ,则1))((=∃x xP I 且0))((=∃x xQ I .存在I D d ∈使得1)(=d P I ,又因为0))((=∃x xQ I ,所以0)(=d Q I ,0)()(=→d Q d P I I .因此,0)))()(((=→∀x Q x P x I .12.设A ,B 是任意公式,证明以下公式是永真式.<1> xA A xt ∃→,其中项t 对于A 中的x 是可代入的.<2> A x xA ⌝∃↔∀⌝<3> A x xA ⌝∀↔∃⌝<4> xB xA B A x ∃∧∃→∧∃)(<5> )(B A x xB xA ∨∀→∀∨∀<6> )()(xB A B A x ∀→→→∀,其中x 不是A 的自由变元.解<1> 任取解释I 和I 中赋值v ,若1))((=v A I x t ,则1))])((/[)(())((==v t I x v A I v A I x t ,所以1))((=∃v xA I .这表明xA A x t ∃→是永真式.<2> 任取解释I 和I 中赋值v ,当且仅当 0))((=∀v xA I当且仅当 存在I D d ∈使得0])/[)((=d x v A I当且仅当 存在I D d ∈使得1])/[)((=⌝d x v A I 当且仅当 1))((=⌝∃v A x I这表明A x xA ⌝∃↔∀⌝是永真式.<3> 任取解释I 和I 中赋值v ,当且仅当 1))((=∃v xA I当且仅当 存在I D d ∈使得1])/[)((=d x v A I当且仅当 存在I D d ∈使得0])/[)((=⌝d x v A I 当且仅当 0))((=⌝∀v A x I这表明A x xA ⌝∀↔∃⌝是永真式.<4> 任取解释I 和I 中赋值v ,若1)))(((=∧∃v B A x I ,则存在I D d ∈使得1)]/[)((=∧d x v B A I ,1)]/[)(()]/[)((==d x v B I d x v A I ,1))((=∃v xA I 且1))((=∃v xB I ,1))((=∃∧∃v xB xA I .这表明xB xA B A x ∃∧∃→∧∃)(是永真式.<5> 任取解释I 和I 中赋值v ,若0)))(((=∨∀v B A x I ,则存在I D d ∈使得0)]/[)((=∨d x v B A I ,0)]/[)(()]/[)((==d x v B I d x v A I ,0))((=∀∨∀v xB xA I .这表明)(B A x xB xA ∨∀→∀∨∀是永真式.<6> 任取解释I 和I 中赋值v ,若1))(()))(((==→∀v A I v B A x I ,则对于每个I D d ∈,1)]/[)((=→d x v B A I ,因为x 不是A 的自由变元,所以1))(()]/[)((==v A I d x v A I ,因此1)]/[)((=d x v B I ,1))((=∀v xB I .这表明)()(xB A B A x ∀→→→∀是永真式.13.设1A 是公式A 的闭包,2A 是A x x n ∃∃ 1,其中},,{)(V ar 1n x x A =.证明:<1> A 是永真式当且仅当1A 是永真式;<2> A 是可满足式当且仅当2A 是可满足式.证明<1> 〔⇒〕首先证明:若A 是永真式,则xA ∀是永真式.设A 是永真式.任取解释I 和I 中赋值v ,任取I D d ∈,因为]/[d x v 也是I 中赋值,所以1)]/[)((=d x v A I ,1))((=∀v xA I .xA ∀是永真式.若A 是永真式,则A x n ∀是永真式,… ,A x x n ∀∀ 1是永真式.〔⇐〕因为A A x x n →∀∀ 1是永真式,所以若A x x n ∀∀ 1是永真式,则A 是永真式.<2> 〔⇒〕因为A x x A n ∃∃→ 1是永真式,所以若解释I 和I 中赋值v 满足A ,则I 和v 满足A x x n ∃∃ 1.〔⇐〕若解释I 和I 中赋值v 满足A x x n ∃∃ 1,则有I n D d d ∈,,1 使得1])/,,/[)((11=n n d x d x v A I ,I 和I 中赋值]/,,/[11n n d x d x v 满足A .14.判断以下等值式是否成立,并说明理由.<1> )()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀↔∀⇔↔∀<2> )()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀→∀⇔→∀<3> )()(x P x xP ⇔∀<4> )()(x xP x xP x ∀⇔∀∀<5> )()())()((y yQ x xP y yQ x P x ∀↔∀⇔∀↔∀<6> )()())()((y yQ x xP y yQ x P x ∀↔∃⇔∀↔∀解 <1> 不成立.取解释I 如下.},{b a D I =, 0)(=a P I , 1)(=b P I , 1)(=a Q I , 0)(=b Q I则0)))()(((=↔∀x Q x P x I 且1))()((=∀↔∀x xQ x xP I .<2> 不成立.取解释I 如下.},{b a D I =, 0)(=a P I , 1)(=b P I , 1)(=a Q I , 0)(=b Q I则0)))()(((=→∀x Q x P x I 且1))()((=∀→∀x xQ x xP I .<3> 不成立.取解释I 和I 中赋值v 下.},{b a D I =, 0)(=a P I , 1)(=b P I , b x v =)(则0)))(((=∀v x xP I 且1)))(((=v x P I .<4> 成立.任取解释I 和I 中赋值v ,因为x 不是)(x xP ∀中的自由变元,所以对于每个I D d ∈,)))(((])/[))(((v x xP I d x v x xP I ∀=∀.当且仅当对于每个I D d ∈,1])/[))(((=∀d x v x xP I 当且仅当1)))(((=∀v x xP I<5> 不成立.取解释I 如下.},{b a D I =, 0)(=a P I , 1)(=b P I , 1)(=a Q I , 0)(=b Q I则0)))()(((=∀↔∀y yQ x P x I 且1))()((=∀↔∀y yQ x xP I .<6> 不成立.取解释I 如下.},{b a D I =, 1)(=a P I , 0)(=b P I , 1)()(==b Q a Q I I则0)))()(((=∀↔∀y yQ x P x I 且1))()((=∀↔∃y yQ x xP I .15.设A ,B 是任意公式,证明以下等值式.<1> x y A y A x ∃⇔∃,其中y 在A 中不出现.<2> B x A x B A x ∃→∀⇔→∃)(<3> B y A x B A y x ∀∨∀⇔∨∀∀)(,其中x 不是B 的自由变元,y 不是A 的自由变元.<4> B y A x B A y x ∃∧∃⇔∧∃∃)(,其中x 不是B 的自由变元,y 不是A 的自由变元.<5> B y A x B A y x ∀→∀⇔→∀∃)(,其中x 不是B 的自由变元,y 不是A 的自由变元.<6> A x y A y x ∀∀⇔∀∀证明 <1> x y x y A y A y A x A x ∃⇔⌝∀⌝⇔⌝∀⌝⇔∃<2> B x A x B x A x B x A x B A x B A x ∃→∀⇔∃∨∀⌝⇔∃∨⌝∃⇔∨⌝∃⇔→∃)()(<3> B y A x B y A x B A y x ∀∨∀⇔∀∨∀⇔∨∀∀)()(<4> B y A x yB A x B A y x ∃∧∃⇔∃∧∃⇔∧∃∃)()(<5> B y A x yB A x B A y x ∀→∀⇔∀→∃⇔→∀∃)()(<6> 任取解释I 和I 中赋值v ,当且仅当有I D d ∈使得0])/[)((=∀d x v yA I当且仅当有I D c d ∈,使得0])/][/[)((=c y d x v A I当且仅当有I D c d ∈,使得0])/][/[)((=d x c y v A I当且仅当有I D c ∈使得0])/[)((=∀c y v xA I当且仅当0))((=∀∀v xA y I16.判断以下逻辑推论关系是否成立,并说明理由.<1> )()(|))()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀=∨∀<2> ))()((|)()(x Q x P x x xQ x xP ∧∃=∃∧∃<3> ))()((|))()((x Q x P x x xQ x P x ↔∀=∀↔∀<4> ))()((|))()((x Q x P x x xQ x P x →∀=∀→∀<5> )(|)(,))()((x xQ x xP x Q x P x ∃=∃→∃<6> ),(|),(x x xP y x yP x ∃=∃∃解 <1> 不成立.取解释I 如下.},{b a D I =, 0)(=a P I , 1)(=b P I , 1)(=a Q I , 0)(=b Q I则1)))()(((=∨∀x Q x P x I 且0))()((=∀∨∀x xQ x xP I .这表明)()(/|))()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀=∨∀.<2> 不成立.取解释I 如下.},{b a D I =, 0)(=a P I , 1)(=b P I , 1)(=a Q I , 0)(=b Q I则1))()((=∃∧∃x xQ x xP I 且0)))()(((=∧∃x Q x P x I .这表明))()((/|)()(x Q x P x x xQ x xP ∧∃=∃∧∃.<3> 不成立.取解释I 如下.},{b a D I =, 0)()(==b P a P I I , 1)(=a Q I , 0)(=b Q I则1)))()(((=∀↔∀x xQ x P x I 且0)))()(((=↔∀x Q x P x I .这表明))()((/|))()((x Q x P x x xQ x P x ↔∀=∀↔∀.<4> 若解释I 使得0)))()(((=→∀x Q x P x I ,则有ID d ∈使得0)()(=→d Q d P I I ,1)(=d P I 且0)(=d Q I ,0))((=∀x xQ I ,0)))()(((=∀→∀x xQ x P x I .这表明))()((|))()((x Q x P x x xQ x P x →∀=∀→∀.<5> 不成立.取解释I 如下.},{b a D I =, 1)(=a P I , 0)(=b P I , 0)()(==b Q a Q I I则1))(()))()(((=∃=→∃x xP I x Q x P x I 且0))((=∃x xQ I ,这表明)(/|)(,))()((x xQ x xP x Q x P x ∃=∃→∃.<6> 不成立.取解释I 如下.},{b a D I =, 1),(=b a P I , 0),(),(),(===b b P a b P a a P I I I则1)),((=∃∃y x yP x I ,但0)),((=∃x x xP I .所以),(/|),(x x xP y x yP x ∃=∃∃.17.设A ,B 是任意公式,证明以下结论.<1> xB xA B A x ∃∧∃=∧∃|)(<2> xB xA B A x ∀=∀→∀|,)(<3> A y x A x y x ∃∃=∃|,其中x 对于A 中的y 是可代入的.<4> )(|B A x B x A x →∃=∃→∃证明 <1> 若解释I 和I 中赋值v 使得1)))(((=∧∃v B A x I ,则有I D d ∈使得1])/[)((=∧d x v B A I ,1])/[)((])/[)((==d x v B I d x v A I ,1))((=∃v xA I 且1))((=∃v xB I ,1))((=∃∧∃v xB xA I .这表明xB xA B A x ∃∧∃=∧∃|)(.<2> 若解释I 和I 中赋值v 使得1))(()))(((=∀=→∀v xA I v B A x I ,则对于每个I D d ∈,1])/[)((])/[)((==→d x v A I d x v B A I ,1])/[)((=d x v B I ,1))((=∀v xB I .这表明xB xA B A x ∀=∀→∀|,)(.<3> 若解释I 和I 中赋值v 使得1))((=∃v A x I y x ,则有I D d ∈使得1])/[)((=y x v A I y x ,因为])/][/[)((])])/[)((/][/[)((])/[)((d y d x v A I d x v x I y d x v A I d x v A I y x ==,所以1])/][/[)((=d y d x v A I ,1])/[)((=∃d x v yA I ,1))((=∃∃v yA x I .这表明A y x A x y x ∃∃=∃|. <4> 若解释I 和I 中赋值v 使得0)))(((=→∃vB A x I ,则对于每个I D d ∈,0])/[)((=→d x v B A I ,1])/[)((=d x v A I 且0])/[)((=d x v B I ,因此1))((=∃v xA I 且0))((=∃v xB I ,0))((=∃→∃v xB xA I .所以)(|B A x B x A x →∃=∃→∃.18.设变元x 既不是公式B 中的自由变元,也不是公式集Γ中任何公式的自由变元,A 是公式.若B A =⋃Γ|}{,则B A x =∃⋃Γ|}{.证明 设解释I 和I 中赋值v 满足}{A x ∃⋃Γ,则1))((=∃v xA I ,有I D d ∈使得1])/[)((=d x v A I .因为x 不是公式集Γ中任何公式的自由变元,所以I 和]/[d x v 也满足Γ,I 和]/[d x v 满足}{A ⋃Γ.又因为B A =⋃Γ|}{,所以1])/[)((=d x v B I ,因为x 不是B 中的自由变元,因此1))((=v B I .这表明B A x =∃⋃Γ|}{.19. 设Γ是公式集合,A 是公式,则A =Γ|当且仅当}{A ⌝⋃Γ不可满足.证明 设}{A ⌝⋃Γ可满足,解释I 和I 中赋值v 满足}{A ⌝⋃Γ,则I 和v 满足Γ且0))((=v A I ,所以A /|=Γ.设A /|=Γ,则有解释I 和I 中赋值v 满足Γ且0))((=v A I ,所以I 和v 满足}{A ⌝⋃Γ.因此,}{A ⌝⋃Γ可满足.20.判断以下公式集合是否可满足,并说明理由.<1> )}({}|)({x xP t t P ∃⋃⌝是项<2> )},(,)),(),(),((,),({y x yP x z x P z y P y x P z y x x x P x ∃∀→∧∀∀∀⌝∀ 解 <1> 可满足.取解释I 和I 中赋值v 如下.}2,1{=I D , 0)1(=I P , 1)2(=I P ,对每个常元a ,1=Ia ;对每个n 元函数符号f ,1),,(1=n I x x f ;对每个变元x ,1)(=x v .可归纳证明:对每个项t ,1))((=v t I . I 和v 满足)}({}|)({x xP t t P ∃⋃⌝是项.<2> 可满足.取解释I 和I 中赋值v 如下.I D 为自然数集, 1),(=y x P I 当且仅当 y x <则I 和v 满足)},(,)),(),(),((,),({y x yP x z x P z y P y x P z y x x x P x ∃∀→∧∀∀∀⌝∀.。
离散数学课后习题答案二
离散数学课后习题答案二习题3.71. 列出关系}6|{=∈><+d c b a d c b a d c b a 且,,,,,,Z 中所有有序4元组。
解}6|{=∈><+d c b a d c b a d c b a 且,,,,,,Z,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3, 1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组,找出二维表3.18所有的主键码。
表3.18 航班信息航空公司航班登机口目的地起飞时间Nadir 112 34 底特律08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛09:10 Nadir 32234底特律09:44解略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><="">解略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量?解略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir 航空公司=σ到二维表3.18以后得到的表。
解对航班信息二维表进行投影运算5,3,2π后得到的二维表航班登机口起飞时间 112 34 08:10 221 22 08:17 122 33 08:22 323 34 08:30 199 13 08:47 222 22 09:10 3223409:44对航班信息二维表进行选择运算Nadir 航空公司=后得到的二维表航空公司航班登机口目的地起飞时间Nadir 112 34 底特律08:10 Nadir 199 13 底特律 08:47 Nadir 32234底特律09:446. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量?解略7. 构造把连接运算2J 用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。
离散数学答案第二版-高等教育出版社课后答案
第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q 的真值为0;r、s 的真值为1,求下列各命题公式的真值。
( 1)p∨ (q∧ r) 0∨ (0∧ 1) 0( 2)( p? r)∧(﹁q∨ s) ( 0? 1)∧(1 ∨ 1) 0∧ 1 0.( 3)(p∧q∧r ) ? (p∧q∧﹁r) ( 1∧ 1∧1) ? (0 ∧0∧0) 0( 4)( r ∧ s)→ (p ∧ q) ( 0∧ 1)→ (1 ∧ 0) 0→0 117.判断下面一段论述是否为真:“ 是无理数。
并且,如果 3 是无理数,则 2 也是无理数。
另外6 能被2 整除,6 才能被4 整除。
答:p: 是无理数1q: 3 是无理数0r:2是无理数1s: 6 能被 2 整除1t: 6 能被 4 整除0命题符号化为:p∧(q→ r)∧(t→ s)的真值为1,所以这一段的论述为真19.用真值表判断下列公式的类型:4)(p→ q) →( q→p)5)(p∧ r) ( p∧q)6)((p→ q) ∧ (q→ r)) →(p→r)答: ( 4)p q p→q q p0 0 1 1 10 1 1 0 11 0 0 1 01 1 1 0 0所以公式类型为永真式( 5)公式类型为可满足式(方法如上例) q→ p111(p→q)→( q→ p)1111( 6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1)](pAq-q)(2)(p^(pVq))V (p^r)⑶(pVq) 一(pAr)答:(2) (p一(pVq)) V(p-r)= (一pV(pVq))V(「pVr)=「pVpVqVru 1 所以公式类型为永真式⑶p q r PV q p A r (pV q) f (p/\「)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可涉足式4,用等值演算法证明下面等值式:⑵(p 一q)A(p—r) u (p 一(qAij)⑷(p A「q) V「pAq)u (p Vq) A」(p A q)证明(2) (p -q) A (p->r)u (」pVq) A(「pVr)u「P V (q A ij)u p一(q A r)(4) (pA「q) V(「pAq)u (p V(^pAq)) A(「qV(「pAq). (p V「p) A (p Vq) A (「qV「p) A(「qVq)u 1 A (p V q) A - (p A q) A 1u (p V q) A (p A q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(「p-q)-(「qVp)(2)](p - q) AqAr(3)(p V(q Ar)) 一(p VqVr)解:( 1)主析取范式( p→q)→( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p q) ( q p) ( q p) (p q) (p q)( p q) (p q) (p q)m0 m2 m3∑ (0,2,3) 主合取范式:( p→q) →( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p ( q p)) ( q ( q p))1 (p q)(p q) M1∏ (1)(2)主合取范式为:(p →q) q r ( p q) q r(p q) q r 0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3)主合取范式为:(p (q r)) →(p q r)(p (q r)) →(p q r)( p ( q r)) (p q r)( p (p q r)) (( q r)) (p q r))11所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明:(2)前提:p q, (q r),r结论:p(4)前提:q p,q s,s t,t r结论:p q证明: ( 2)①(q r) 前提引入②q r ①置换③q r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤q ③④拒取式⑥p q 前提引入⑦¬p( 3) ⑤⑥拒取式证明( 4) :①t r 前提引入②t ①化简律③q s 前提引入④s t 前提引入⑤q t ③④等价三段论⑥( q t ) (t q) ⑤ 置换⑦( q t ) ⑥化简⑧q ②⑥ 假言推理⑨q p 前提引入15在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面各推理:(1) 前提:p(q r),s p,q结论:s r证明① s 附加前提引入 ② s p 前提引入 ③ p ①②假言推理 ④ p (q r)前提引入 ⑤ q r ③④假言推理 ⑥ q 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理16 在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理:(1) 前提: p q, r q,r s 结论: p证明:① p 结论的否定引入 ② p ﹁ q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④¬r q 前提引入 ⑤¬r ④化简律 ⑥ r ¬s 前提引入⑦ r ⑥化简律 ⑧ r ﹁r⑤⑦ 合取由于最后一步 r ﹁ r 是矛盾式 , 所以推理正确 .⑩p (11)p q ⑧⑨假言推第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化, 并分别讨论个体域限制为(a),(b) 条件时命题的真值:(1)对于任意x, 均有2=(x+ )(x ).(2)存在x, 使得x+5=9.其中(a) 个体域为自然数集合.(b) 个体域为实数集合.解:F(x): 2=(x+ )(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为xF(x),在( a)中为假命题,在(b) 中为真命题。
离散数学习题的答案解析
离散数学习题答案习题一及答案:(P14-15) 14、将下列命题符号化:(5)辛与末是兄弟解:设p :辛与末是兄弟,则命题符号化的结果是p (6)王强与威都学过法语解:设p :王强学过法语;q :威学过法语;则命题符号化的结果是p q ∧(9)只有天下大雨,他才乘班车上班解:设p :天下大雨;q :他乘班车上班;则命题符号化的结果是q p → (11)下雪路滑,他迟到了解:设p :下雪;q :路滑;r :他迟到了;则命题符号化的结果是()p q r ∧→15、设p :2+3=5.q :大熊猫产在中国. r :太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值:(4)()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解:p=1,q=1,r=0,()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔,(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔ ()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型: (2)()p p q →⌝→⌝由真值表可以看出公式有3个成真赋值,故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值: (4)()p q q ⌝∨→解:因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是:()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有:01,10,11。
习题二及答案:(P38)5、求下列公式的主析取式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ⌝→∧∧解:原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨,此即公式的主析取式, 所以成真赋值为011,111。
*6、求下列公式的主合取式,并求成假赋值: (2)()()p q p r ∧∨⌝∨解:原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔,此即公式的主合取式,所以成假赋值为100。
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离散数学答案(尹宝林版)第二章习题解答第二章 谓词逻辑习题与解答1. 将下列命题符号化:(1) 所有的火车都比某些汽车快。
(2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。
(3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。
(4) 每个人都有自己喜欢的职业。
(5) 有些职业是所有的人都喜欢的。
解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。
令x x T :)(是火车, x x C :)(是汽车, x y x F :),(比y 跑得快。
“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧∃→∀。
(2) 取论域为所有物质的集合。
令x x M :)(是金属, x x L :)(是液体, x y x D :),(可以溶解在y 中。
“任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧∃→∀。
(3) 论域和谓词与(2)同。
“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →∀∧∃。
(4) 取论域为所有事物的集合。
令x x M :)(是人, x x J :)(是职业, x y x L :),(喜欢y 。
“每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧∃→∀(5)论域和谓词与(4)同。
“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →∀∧∃。
2. 取论域为正整数集,用函数+(加法),•(乘法)和谓词<,=将下列命题符号化:(1) 没有既是奇数,又是偶数的正整数。
(2) 任何两个正整数都有最小公倍数。
(3) 没有最大的素数。
(4) 并非所有的素数都不是偶数。
解 先引进一些谓词如下:x y x D :),(能被y 整除,),(y x D 可表示为)(x y v v =•∃。
x x J :)(是奇数,)(x J 可表示为)2(x v v =•⌝∃。
x x E :)(是偶数,)(x E 可表示为)2(x v v =•∃。
x x P :)(是素数,)(x P 可表示为)1)(()1(x u u x u v v u x =∨=↔=•∃∀∧=⌝。
(1) “没有既是奇数,又是偶数的正整数”可表示为))()((x E x J x ∧⌝∃,并可进一步符号化为))2()2((x v v x v v x =•∃∧=•⌝∃⌝∃。
(2) “任何两个正整数都有最小公倍数”可表示为))),(),((),(),((u z u z y u D x u D u y z D x z D z y x =∨<→∧∀∧∧∃∀∀,并可进一步符号化为)))()(()()((u z u z u y v v u x v v u z y v v z x v v z y x =∨<→=•∃∧=•∃∀∧=•∃∧=•∃∃∀∀(3) “没有最大的素数”可表示为)))(()((x y x y y P y x P x =∨<→∀∧⌝∃,并可进一步符号化为)))1)(()1(()1)(()1((x y x y y u u y u v v u y y x u u x u v v u x x =∨<→=∨=↔=•∃∀∧=⌝∀∧=∨=↔=•∃∀∧=⌝⌝∃ (4) “并非所有的素数都不是偶数”可表示为))()((x E x P x ⌝→⌝∀,并可进一步符号化为))2()1)(()1((x v v x u u x u v v u x x =•⌝∃→=∨=↔=•∃∀∧=⌝⌝∀3. 取论域为实数集合,用函数+,-(减法)和谓词<,=将下列命题符号化:(1) 没有最大的实数。
(2) 任何两个不同的实数之间必有另一实数。
(3) 函数)(x f 在点a 处连续。
(4) 函数)(x f 恰有一个根。
(5) 函数)(x f 是严格单调递增函数。
解 (1) “没有最大的实数”符号化为)(x y x y y x =∨<∀⌝∃。
(2) “任何两个不同的实数之间必有另一实数”符号化为))((y z z x z y x y x <∧<∃→<∀∀。
(3) “函数)(x f 在点a 处连续”的定义是:任给0>ε,总可以找到0>δ,使得只要δ<-||a x 就有ε<-|)()(|a f x f 。
“函数)(x f 在点a 处连续”符号化为))))()()()((0(0(εεδδδδεε+<∧<-→+<∧<-∀∧<∃→<∀a f x f x f a f a x x a x(4) “函数)(x f 恰有一个根”符号化为))0)((0)((x y y f y x f x =→=∀∧=∃。
(5) “函数)(x f 是严格单调递增函数”符号化为))()((y f x f y x y x <→<∀∀。
4. 指出下列公式中变元的约束出现和自由出现,并对量词的每次出现指出其辖域。
(1) )),(),((a x P x y P x →∀(2) ),()(y x zQ x xP ∀→∀(3) )()())()((x Q x xP x R x P x ∧∀→∧∀(4) ))),(,()),,(((y x g z xP x y x f P y ∀→∀(5) )())()()((x R x xR x Q x P x ∧∃∧→∀解 (1) 变元 x 在)),(),((a x P x y P x →∀中三次出现都是约束出现,∀x 的唯一出现的辖域是 P (y , x ) → P (x , a )。
(2) 变元 x 在),()(y x zQ x xP ∀→∀中的头两次出现是约束出现,第三次出现是自由出现。
变元 y 在),()(y x zQ x xP ∀→∀中的唯一出现是自由出现。
变元 z 在),()(y x zQ x xP ∀→∀中的唯一出现是约束出现。
∀x 的唯一出现的辖域是 P (x ),∀z 的唯一出现的辖域是Q (x , y )。
(3) 变元 x 在)()())()((x Q x xP x R x P x ∧∀→∧∀中的头五次出现是约束出现,第六次出现是自由出现。
∀x 的第一次出现的辖域是P (x ) ∧ R (x ),第二次出现的辖域是P (x )。
(4) 变元 x 在))),(,()),,(((y x g z xP x y x f P y ∀→∀中的头两次出现是自由出现,后两次出现是约束出现。
∀x 的唯一出现的辖域是 P (z , g (x , y )), ∀y 的唯一出现的辖域是P (f (x , y ), x ) → ∀xP (z , g (x , y ))。
(5) 变元 x 在)())()()((x R x xR x Q x P x ∧∃∧→∀中的头五次出现是约束出现,第六次出现是自由出现。
∀x 的唯一出现的辖域是P (x ) → Q (x ) ∧ ∃xR (x ),∃x 的唯一出现的辖域是R (x )。
5. 归纳证明:若t ,t '是项,则x t t '也是项。
证明 ① 若t 是x ,则x t t '是t ',x t t '是项。
② 若t 是不同于x 的变元y ,则x t t '仍是y ,x t t '是项。
③ 若t 是常元a ,则x t t '仍是a ,x t t '是项。
④若t 是),,(1n t t f Λ,则x t t '是))(,,)((1x t n x t t t f ''Λ,由归纳假设知x t n x t t t '')(,,)(1Λ都是项,所以x t t '是项。
6. 归纳证明:若t 是项,A 是公式,则x t A 也是公式。
证明 ① 若A 是),,(1n t t P Λ,则x t A 是))(,,)((1x t n x t t t P Λ,由上题知x t n x t t t )(,,)(1Λ都是项,所以x t A 是公式。
② 若A 是B ⌝,则x t A 是x t B ⌝,由归纳假设知x t B 是公式,所以x t A 是公式。
③ 若A 是C B →,则x t A 是x t x t C B →,由归纳假设知x t B 和x t C 都是公式,所以x t A 是公式。
④ 若A 是xB ∀,则x t A 仍是A ,x t A 是公式。
⑤ 若A 是yB ∀,其中y 是不同于x 的变元,则x t A 是x t yB ∀,由归纳假设知x t B 是公式,所以x t A 是公式。
7. 给定解释I 和I 中赋值v 如下:}2,1{=I D ,1=I a ,2=I b ,2)1(=I f ,1)2(=I f1)2,1()1,1(==I I P P ,0)2,2()1,2(==I I P P ,1)(=x v ,1)(=y v计算下列公式在解释I 和赋值I 中v 下的真值。
(1) )),(())(,())(,(x y f P b f x P x f a P ∧∧(2) ),(x y yP x ∃∀(3) )))(),((),((y f x f P y x P y x →∀∀解 (1) )))(),(())(,())(,((v x y f P b f x P x f a P I ∧∧))()),((())(),(()))((,(x v y v f P b f x v P x v f a P I I I I I I I I ∧∧=)1),1(())2(,1())1(,1(I I I I I I f P f P f P ∧∧=0011)1,2()1,1()2,1(=∧∧=∧∧=I I I P P P (2))))(,((v x y yP x I ∃∀])2/[))(,((])1/[))(,((x v x y yP I x v x y yP I ∃∧∃=]))2/][1/[))(,((])1/][1/[))(,(((y x v x y P I y x v x y P I ∨=]))2/][2/[))(,((])1/][2/[))(,(((y x v x y P I y x v x y P I ∨∧))2,2()2,1(())1,2()1,1((I I I I P P P P ∨∧∨= 1)01()01(=∨∧∨=(3) )))))((),((),(((v y f x f P y x P y x I →∀∀)))2(,)1(()2,1(()))1(,)1(()1,1((I I I I I I I I f f P P f f P P →∧→=)))2(,)2(()2,2(()))1(,)2(()1,2((I I I I I I I I f f P P f f P P →∧→∧))1,1()2,2(())2,1()1,2(())1,2()2,1(())2,2()1,1((I I I I I I I I P P P P P P P P →∧→∧→∧→=01100)10()10()01()01(=∧∧∧=→∧→∧→∧→=7. 给定解释I 如下:},{b a D I =, 1),(),(==b b P a a P I I , 0),(),(==a b P b a P I I判断I 是不是以下语句的模型。