高中数学变量与函数的概念学案新人教B版必修1(3)

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人教新课标版数学高一人教B版必修1学案变量与函数的概念

函数（第一课时）：变量与函数的概念学习目标：（1）理解函数的概念（2）会用集合与对应语言来刻画函数，（3）了解构成函数的要素。

重点：函数概念的理解难点：函数符号y=f(x)的理解知识梳理：自学课本P 29—P 31，填充以下空格。

1、设集合A 是一个非空的实数集，对于A 内，按照确定的对应法则f ，都有与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作。

2、对函数A x x f y ∈=),(，其中x 叫做，x 的取值范围（数集A ）叫做这个函数的，所有函数值的集合}),(|{A x x f y y ∈=叫做这个函数的，函数y=f(x) 也经常写为。

3、因为函数的值域被完全确定，所以确定一个函数只需要。

4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验：① ；② 。

5、设a, b 是两个实数，且a<b（1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记作。

（2）满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，记作。

（3）满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为；分别满足x ≥a,x>a,x ≤a,x<a 的全体实数的集合，都叫半开半闭区间，记作______________________________________________________________________________其中实数a, b 表示区间的两端点。

完成课本P 33，练习A 1、2；练习B 1、2、3。

例题解析题型一：函数的概念例1：下图中可表示函数y=f(x)的图像的只可能是（）练习：设M={x|02x ≤≤}，N={y|12y ≤≤},给出下列四个图像，其中能表示从集合M 到A B C D集合N 的函数关系的有____个。

题型二：相同函数的判断问题例2：已知下列四组函数：①x y x=与y=1 ②2y x =与y=x ③11y x x =+⋅-与21y x =-④21y x =+与21y t =+其中表示同一函数的是（）A ． ② ③ B. ② ④ C. ① ④ D. ④练习：已知下列四组函数，表示同一函数的是（） A. 1y x =-和211x y x -=+ B. 0y x =和1y = C. 2y x =和2(1)y x =+ D. 2()x f x =和2()x g x x = 题型三：函数的定义域和值域问题例3：求函数f （x ）=11+x 的定义域练习：课本P 33练习A 组 4.例4：求函数21()1f x x =+，()x R ∈，在0，1，2处的函数值和值域。

新人教B版高中数学必修1变量与函数的概念word学案

2014 年高中数学变量与函数的观点教案新人教B版必修1明确学习目标研究学习目标明确学习方向一、三维目标：1.理解函数的观点，明确函数的两因素，即定义域和对应法例；2.能正确使用区间表示数集；3.会求一些简单函数的定义域，复合函数的定义域；二、学习重、难点：要点：函数的观点，定义域的观点和求法；难点：抽象函数的定义域的求法；1、函课前自主预习自主学习教材独立思虑问题数的定义：设集合 A 是一个非空的实数集，关于 A 内，依据确立的对应法例 f ，都有______________与它对应，则这类对应关系叫做会合 A 上的一个函数，记作。

2、函数的定义域、值域：函数的定义域对函数 y f ( x), x A，此中x叫做，x 的取值范围（数集A）叫做这个函数的.3、函数的值域：假如自变量取值 a ，则由法例确立的值y 成为函数在a 处的__________,记做 _____, 全部函数值的会合叫做这个函数的.3、函数的两因素：_______________________ ；。

4、依函数定义，要查验两个给定的变量之间能否存在函数关系，只需查验：①；②；5、区间的观点：设 a, b是两个实数，且a<b（1）知足不等式x b 的实数x 的会合叫做闭区间，记作。

（2）知足不等式a<x<b 的实数x 的会合叫做开区间，记作。

（3）知足不等式x b 的实数x 的会合叫做半开半闭区间，分别表示为和；分别知足 x≥ a,x>a,x ≤ a,x<a 的全体实数的会合，都叫半开半闭区间，记作x≥ a： ______________x>a:________________x≤ a:_______________x<a:________________ 此中实数 a, b表示区间的两头点。

典型例题解析师生互动研究总结规律方法题型一 . 函数观点例 1．给出四个命题中正确的选项是 _________________ ；① 函数就是定义域到值域的对应关系。

高中数学人教新课标必修一B版教案函数的概念

如果自变量取值a,则法则f确定的值y称为函数在a处的函数值,记为y=f(a)或 .
所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．
问题:下列对应法则是否是在给定集合上的一个函数?
(1)Ｒ，ｇ：自变量的倒数;
(2) ，ｈ：自变量的平方根;
(3)Ｒ，ｓ：自变量ｔ的平方减2.
下面一组函数,是否为相同的函数?
(1)ｆ（ｘ）＝
选做题：1.求函数的定义域.
2.求函数的值域.
3.若 ,求函数f(x)的表达式.
分层次布置作业,基础层次只做课本作业,提高层次的完成选做题
本课教育评注（课堂设计理念）
举更多贴近学生实际生活的问题引入概念,激发学生学习兴趣,给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高学生分析问题和解决问题的能力。在整个教与学的互动过程中,教师即对有正确认识的给予鼓励赞赏,又要不断对学生在讨论中反映出的断档知识给予补充,对错误见解进行分析.使学生通过本节课的教学参与进一步了解数学就在我身边.
通过不同形式的练习使学生理解函数概念,能熟练地求函数的定义域和对应法则.
小结与作业
课堂小结
教师引导ห้องสมุดไป่ตู้生完成
(1)理解函数概念;
(2)会求简单函数的定义域、值域和对应法则.
鼓励学生积极发言总结自己对本节课的收获,教师及时点评.
本课作业
完成教材52页习题2-1A组第4题及B组第1题
预习教材34-36业“映射与函数”
板书设计:第二章函数1.变量与函数
一.复习引入二.新课内容三.例题分析四.巩固练习
小结:
作业:
2007年10月13日
3．情感目标：通过师生、生生互动的教学过程，让学生体会成功的愉悦，培养学生热爱数学的态度，提高数学学习的兴趣，树立学好的信心。

2011高一数学学案：2.1.1《变量与函数的概念》(新人教B版必修一)

2．1．1函数（第一课时）【知识梳理】自学课本P 29—P 31，填充以下空格。

1、设集合A 是一个非空的实数集，对于A 内，按照确定的对应法则f ，都有与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作。

3、因为函数的值域被完全确定，所以确定一个函数只需要。

4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验： ① ；② 。

【例题解析】题型一：函数的概念例1：下图中可表示函数y=f (x)的图像的只可能是（）题型二：相同函数的判断问题例2：已知下列四组函数：①x y x=与y=1②y =y=x ③y =y =④21y x =+与21y t =+其中表示同一函数的是（） A ． ② ③ B. ② ④ C. ① ④ D. ④题型三：函数的定义域和函数值问题例3：求下列函数的定义域1、（1）1()1f x x =+ （2）、0()f x x =+ （3）、()f x =2、例4：求函数21()1f x x =+，()x R ∈，求(0)f ,(1)f ,(2)f ,(1)f -,(2)f - 【当堂检测】1、下列图形哪些是函数的图象，哪些不是，为什么？2、已知下列四组函数，表示同一函数的是（）A. ()1f x x =-和21()1x f x x -=+ B. 0()f x x =和()1f x =C. 2()f x x =和2()(1)f x x =+ D. ()f x =和()g x =3、求下列函数的定义域（1）、1()2f x x =- （2）()f x =（3）、0(x)(1)f x =+ （4）1()2f x x=+-4、已知21()1f x x =+，21()1x g x x +=+ （1）求(2),g(2)f 的值（2）求(g(2))f 的值A B CD。

新人教B版新教材学高中数学必修第一册第三章函数函数及其表示方法函数的概念教案

考点学习目标核心素养函数的概念理解函数的概念，了解构成函数的三要素数学抽象求函数的定义域会求一些简单函数的定义域数学运算同一个函数掌握同一个函数的概念，并会判断数学抽象求函数值和值域会求简单函数的函数值和值域数学运算问题导学预习教材P8５—P88的内容，思考以下问题：１．函数的概念是什么？２．函数的自变量、定义域是如何定义的？３．函数的值域是如何定义的？１．函数的有关概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的实数y＝f（x）与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f（x），x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f（x），x∈A}，称为函数的值域．■名师点拨对函数概念的５点说明（１）当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．（２）集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．（３）符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．（４）函数的定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用小写英文字母如g，h表示．（５）在函数的表示中，自变量与因变量与用什么字母表示无关紧要，如f（x）＝２x＋１，x∈R与y＝２s＋１，s∈R是同一个函数．２．同一个函数如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）任何两个集合之间都可以建立函数关系．（）（２）已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．（）（３）根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.（）答案：（１）×（２）√（３）×已知函数g（x）＝２x２—１，则g（１）＝（）Ａ．—１Ｂ．0Ｃ．１Ｄ．２解析：选Ｃ．因为g（x）＝２x２—１，所以g（１）＝２—１＝１．函数f（x）＝错误!的定义域是（）Ａ．（—∞，４）B．（—∞，４]Ｃ．（４，＋∞）D．[４，＋∞）解析：选Ａ．由４—x>0，解得x<４，所以此函数的定义域为（—∞，４）．下列式子中不能表示函数y＝f（x）的是（）Ａ．x＝y２＋１B．y＝２x２＋１Ｃ．x—２y＝6 D．x＝错误!解析：选Ａ．对于A，由x＝y２＋１得y２＝x—１．当x＝５时，y＝±２，故y不是x的函数；对于B，y＝２x２＋１是二次函数；对于C，x—２y＝6⇒y＝错误!x—３是一次函数；对于D，由x＝错误!得y＝x２（x≥0）是二次函数．故选Ａ．函数的概念（１）如图可作为函数y＝f（x）的图像的是（）（２）下列三个说法：１若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素；２若f（x）＝５（x∈R），则f（π）＝５一定成立；３函数就是两个集合之间的对应关系．其中正确说法的个数为（）Ａ．0 B．１C．２D．３（３）已知集合A＝[0，8]，集合B＝[0，４]，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是（）Ａ．f：x→y＝错误!xＢ．f：x→y＝错误!xＣ．f：x→y＝错误!xＤ．f：x→y＝x【解析】（１）观察图像可知，A，B，C中任取一个x的值，y有可能有多个值与之对应，所以不是函数图像．D中图像是函数图像．（２）１错误．若函数的值域只含有一个元素，则定义域不一定只含有一个元素；２正确．因为f（x）＝５，这个数值不随x的变化而变化，所以f（π）＝５；３错误．函数就是两个非空数集之间的对应关系．（３）对于A中的任意一个元素，在对应关系f：x→y＝错误!x；f：x→y＝错误!x；f：x→y＝错误! x下，在B中都有唯一的元素与之对应，故能构成函数关系．对于A中的元素8，在对应关系f：x→y＝x 下，在B中没有元素与之对应，故不能构成函数关系．【答案】（１）D （２）B （３）D错误!（１）判断所给对应关系是否为函数的方法１先观察两个数集A，B是否非空；２验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．（２）根据图形判断对应关系是否为函数的步骤１任取一条垂直于x轴的直线l；２在定义域内平行移动直线l；３若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．１．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤１}为定义域，以N＝{y|0≤y≤１}为值域的函数的图像是（）解析：选Ｃ．由函数概念知选Ｃ．２．下列对应关系是集合P上的函数的是________．１P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；２P＝{—１，１，—２，２}，Q＝{１，４}，对应关系f：x→y＝x２，x∈P，y∈Q；３P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应．解析：２显然正确，由于１中的集合P中的元素0在集合Q中没有对应元素，并且３中的集合P不是数集，从而１３不正确．答案：２求函数的定义域求下列函数的定义域：（１）y＝错误!—错误!；（２）y＝错误!.【解】（１）要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足错误!解得x≤１且x≠—１，即函数的定义域为{x|x≤１且x≠—１}．（２）要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足错误!解得x≤３且x≠—５，即函数的定义域为{x|x≤３且x≠—５}．错误!（１）求函数定义域的常用方法１若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零；２若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零；３若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；４若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；５若f（x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．（２）第（１）题易出现化简y＝x＋１—错误!，错求定义域为{x|x≤１}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．求下列函数的定义域．（１）f（x）＝错误!·错误!＋２；（２）y＝错误!；（３）f（x）＝错误!＋错误!.解：（１）要使此函数有意义，应满足错误!解得１≤x≤４，所以此函数的定义域是[１，４]．（２）因为00无意义，所以x＋１≠0，即x≠—１．１作为分母不能为0，二次根式的被开方数不能为负，所以|x|—x>0，即x<0．２由１２可得函数y＝错误!的定义域是（—∞，—１）∪（—１，0）．（３）要使此函数有意义，则错误!⇒错误!⇒x≥—３且x≠—２．所以f（x）的定义域为（—３，—２）∪（—２，＋∞）．同一个函数（１）给出下列三个说法：１f（x）＝x0与g（x）＝１是同一个函数；２y＝f（x），x∈R与y＝f（x＋１），x∈R可能是同一个函数；３y＝f（x），x∈R与y＝f（t），t∈R是同一个函数．其中正确说法的个数是（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0（２）下列各组函数：１f（x）＝错误!，g（x）＝x—１；２f（x）＝错误!，g（x）＝错误!；３f（x）＝错误!·错误!，g（x）＝错误!；４f（x）＝错误!，g（x）＝x＋３．其中表示同一个函数的是________（填上所有同一个函数的序号）．【解析】（１）１错误．函数f（x）＝x0的定义域为{x|x≠0}，函数g（x）＝１的定义域是R，不是同一个函数；２正确．y＝f（x），x∈R与y＝f（x＋１），x∈R两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；３正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数．所以正确的说法有２个．（２）１定义域不同，f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域为R.２对应关系不同，f（x）＝错误!，g（x）＝错误!.３定义域、对应关系都相同．４对应关系不同，f（x）＝|x＋３|，g（x）＝x＋３．综上，只有３中两个函数表示同一个函数．【答案】（１）B （２）３错误!判断两个函数为同一个函数应注意的三点（１）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．（２）函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．（３）在化简解析式时，必须是等价变形．下列各组函数表示同一个函数的是（）Ａ．f（x）＝错误!与g（x）＝|x|Ｂ．f（x）＝１与g（x）＝（x＋１）0Ｃ．f（x）＝错误!与g（x）＝（错误!）２Ｄ．f（x）＝x＋１与g（x）＝错误!解析：选Ａ．A项中两函数的定义域和对应关系相同，为同一个函数；B项中，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为（—∞，—１）∪（—１，＋∞）；C项中f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，＋∞）；D项中，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为（—∞，１）∪（１，＋∞）．B，C，D三项中两个函数的定义域都不相同，所以不是同一个函数．故选Ａ．求函数值和值域已知f（x）＝错误!（x∈R，x≠２），g（x）＝x＋４（x∈R）．（１）求f（１），g（１）的值；（２）求f（g（x））．【解】（１）f（１）＝错误!＝１，g（１）＝１＋４＝５．（２）f（g（x））＝f（x＋４）＝错误!＝错误!＝—错误!（x∈R，且x≠—２）．１．（变问法）在本例条件下，求g（f（１））的值及f（２x＋１）的表达式．解：g（f（１））＝g（１）＝１＋４＝５．f（２x＋１）＝错误!＝—错误!错误!.２．（变条件）若将本例g（x）的定义域改为{0，１，２，３}，求g（x）的值域．解：因为g（x）＝x＋４，x∈{0，１，２，３}，所以g（0）＝４，g（１）＝５，g（２）＝6，g （３）＝7．所以g（x）的值域为{４，５，6，7}．错误!（１）求函数值的方法１先要确定函数的对应关系f的具体含义；２然后将变量取值代入解析式计算，对于f（g（x））型函数的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f（g（x））与g（f（x））的区别．（２）求函数值域的常用方法１观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；２配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；３分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；４换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．１．已知函数f（x）＝错误!—１，且f（a）＝３，则a＝________．解析：因为f（x）＝错误!—１，所以f（a）＝错误!—１．又因为f（a）＝３，所以错误!—１＝３，a＝１6．答案：１6２．求下列函数的值域：（１）y＝２x＋１；（２）y＝x２—４x＋6，x∈[１，５）；（３）y＝错误!；（４）y＝x＋错误!.解：（１）因为x∈R，所以２x＋１∈R，即函数的值域为R.（２）配方：y＝x２—４x＋6＝（x—２）２＋２，因为x∈[１，５），如图所示．所以所求函数的值域为[２，１１）．（３）借助反比例函数的特征求．y＝错误!＝３—错误!（x≠—１），显然错误!可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为{y|y≠３}．（４）设u＝错误!（x≥0），则x＝u２（u≥0），y＝u２＋u＝错误!错误!—错误!（u≥0）．由u≥0，可知错误!错误!≥错误!，所以y≥0．所以函数y＝x＋错误!的值域为[0，＋∞）．１．若f（x）＝错误!，则f（３）＝（）A．２B．４Ｃ．２错误!Ｄ．１0解析：选Ａ．因为f（x）＝错误!，所以f（３）＝错误!＝２．２．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是（）Ａ．f（a）∈BＢ．f（a）有且只有一个Ｃ．若f（a）＝f（b），则a＝bＤ．若a＝b，则f（a）＝f（b）解析：选Ｃ．根据函数的定义可知，A，B，D正确，C错误．３．已知函数f（x）＝２x—３，x∈{x∈N|１≤x≤５}，则函数f（x）的值域为________．解析：因为x＝１，２，３，４，５，所以f（x）＝２x—３＝—１，１，３，５，7．所以f（x）的值域为{—１，１，３，５，7}．答案：{—１，１，３，５，7}４．已知函数f（x）＝错误!—错误!.（１）求函数f（x）的定义域；（２）求f（—１），f（１２）的值．解：（１）根据题意知x—１≠0且x＋４≥0，所以x≥—４且x≠１，即函数f（x）的定义域为[—４，１）∪（１，＋∞）．（２）f（—１）＝错误!—错误!＝—３—错误!.f（１２）＝错误!—错误!＝错误!—４＝—错误!.[A 基础达标]１．下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是（）Ａ．M＝R，N＝{x∈R|x>0}，f：x→|x|Ｂ．M＝N，N＝N*，f：x→|x—１|Ｃ．M＝{x∈R|x>0}，N＝R，f：x→x２Ｄ．M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f：x→错误!解析：选Ｃ．对于A，集合M中x＝0时，|x|＝0，但集合N中没有0；对于B，集合M中x＝１时，|x—１|＝0，但集合N中没有0；对于D，集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应是集合M到集合N的函数．２．下列四个图中，不是以x为自变量的函数的图像是（）解析：选Ｃ．根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数（函数值）与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足，故选Ｃ．３．下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（）Ａ．y＝错误!B．y＝错误!Ｃ．y＝错误!Ｄ．y＝x２＋１解析：选Ｂ．y＝错误!的值域为[0，＋∞），y＝错误!的值域为（—∞，0）∪（0，＋∞），y＝x２＋１的值域为[１，＋∞）．４．已知函数f（x）＝错误!，则f（—２）＝（）Ａ．—１B．0Ｃ．１Ｄ．２解析：选Ｃ．由题意知f（—２）＝错误!＝错误!＝１．故选Ｃ．５．若函数y＝x２—３x的定义域为{—１，0，２，３}，则其值域为（）Ａ．{—２，0，４} Ｂ．{—２，0，２，４}Ｃ．{y|y≤—错误!} Ｄ．{y|0≤y≤３}解析：选Ａ．依题意，当x＝—１时，y＝４；当x＝0时，y＝0；当x＝２时，y＝—２；当x＝３时，y＝0，所以函数y＝x２—３x的值域为{—２，0，４}．6．将函数y＝错误!的定义域为________．解析：由错误!解得x≤１且x≠0，用区间表示为（—∞，0）∪（0，１]．答案：（—∞，0）∪（0，１]7．若f（x）＝错误!，且f（a）＝２，且a＝________．解析：令错误!＝２，即２a２—５a＋２＝0，解得a＝错误!或a＝２，故a的值为错误!或２．答案：错误!或２8．如果函数f：A→B，其中A＝{—３，—２，—１，１，２，３，４}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值域为________．解析：由题意知，对a∈A，|a|∈B，故函数值域为{１，２，３，４}．答案：{１，２，３，４}9．已知f（x）＝错误!（x∈R，且x≠—１），g（x）＝x２—１（x∈R）．（１）求f（２），g（３）的值；（２）求f（g（３））的值及f（g（x））．解：（１）因为f（x）＝错误!，所以f（２）＝错误!＝—错误!.因为g（x）＝x２—１，所以g（３）＝３２—１＝8．（２）依题意，知f（g（３））＝f（8）＝错误!＝—错误!，f（g（x））＝错误!＝错误!＝错误!（x≠0）．１0．已知函数y＝错误!的定义域为R，求实数k的值．解：函数y＝错误!的定义域即使k２x２＋３kx＋１≠0的实数x的集合．由函数的定义域为R，得方程k２x２＋３kx＋１＝0无解．当k＝0时，函数y＝错误!＝１，函数定义域为R，因此k＝0符合题意；当k≠0时，k２x２＋３kx＋１＝0无解，即Δ＝9k２—４k２＝５k２<0，不等式不成立．所以实数k的值为0．[B 能力提升]１１．已知f（x）满足f（ab）＝f（a）＋f（b），且f（２）＝p，f（３）＝q，那么f（7２）等于（）Ａ．p＋q B．３p＋２qＣ．２p＋３q D．p３＋q２解析：选Ｂ．因为f（ab）＝f（a）＋f（b），所以f（9）＝f（３）＋f（３）＝２q，f（8）＝f（２）＋f（２）＋f（２）＝３p，所以f（7２）＝f（8×9）＝f（8）＋f（9）＝３p＋２q.１２．若函数f（x）的定义域为[—２，１]，则g（x）＝f（x）＋f（—x）的定义域为________．解析：由题意，得错误!即—１≤x≤１．故g（x）＝f（x）＋f（—x）的定义域为[—１，１]．答案：[—１，１]１３．求下列函数的值域．（１）y＝错误!—１（x≥４）；（２）y＝２x＋１，x∈{１，２，３，４，５}；（３）y＝x＋错误!；（４）y＝x２—２x—３（x∈[—１，２]）．解：（１）因为x≥４，所以错误!≥２，所以错误!—１≥１，所以y∈[１，＋∞）．（２）y＝{３，５，7，9，１１}．（３）设u＝错误!，则u≥0，且x＝错误!，于是，y＝错误!＋u＝错误!（u＋１）２≥错误!，所以y＝x＋错误!的值域为错误!.（４）y＝x２—２x—３＝（x—１）２—４，因为x∈[—１，２]，作出其图像（图略）可得值域为[—４，0]．１４．已知函数f（x）＝x２—mx＋n，且f（１）＝—１，f（n）＝m，求f（—１），f（f（—１））的值及f（f（x））的表达式．解：由题意知错误!解得错误!所以f（x）＝x２—x—１，故f（—１）＝１，f（f（—１））＝—１，f（f（x））＝f（x２—x—１）＝（x２—x—１）２—（x２—x—１）—１＝x４—２x３—２x２＋３x＋１．[C 拓展探究]１５．（２0１9·石家庄检测）已知函数f（x）＝错误!.（１）求f（２）＋f错误!，f（３）＋f错误!的值；（２）由（１）中求得的结果，你发现f（x）与f错误!有什么关系？并证明你的发现．（３）求２f（１）＋f（２）＋f错误!＋f（３）＋f错误!＋…＋f（２0１7）＋f错误!＋f（２0１8）＋f错误!＋f（２0１9）＋f错误!的值．解：（１）因为f（x）＝错误!，所以f（２）＋f错误!＝错误!＋错误!＝１，f（３）＋f错误!＝错误!＋错误!＝１．（２）由（１）可发现f（x）＋f错误!＝１．证明如下：f（x）＋f错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝１，是定值．（３）略。

高中数学第三章函数函数及其表示方法第1课时函数的概念学案新人教B版必修第一册

3.1　函数的概念与性质 3．1.1　函数及其表示方法第1课时　函数的概念课程标准在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一　函数的概念1．函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．状元随笔　对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二　同一函数一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．知识点三　常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数a<0基础自测1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积2．函数f(x)＝√x−1x−2的定义域为( )A.(1，＋∞) B．[1，＋∞)C.[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞) 3．下列各组函数表示同一函数的是( )A.y＝x2−9x−3与y＝x＋3B.y＝√x2－1与y＝x－1C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D.y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z4．若函数f(x)＝√x+6x−1，求f(4)＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　函数的定义[经典例题]例1　根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；状元随笔　从本题可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．(2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示；状元随笔　判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．(2)关键是否符合函数定义．①x→3x，x≠0，x∈R；②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.(2)下列对应是否是函数？题型2　求函数的定义域[教材P87例题1]例2　求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1√(2)g(x)＝1x+1x+2.方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2　求下列函数的定义域：(1)f(x)＝6x2−3x+2；(2)f(x)＝0√||(3)f(x)＝√2x+3－√1 x .(1)分母不为0(2){偶次根式被开方数≥0(x+1)0底数不为0分母不为0 (3){偶次根式被开方数≥0分母不为0题型3　同一函数例3　下面各组函数中为相同函数的是( )A ．f (x )＝√(x −1)2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝√x 2−1，g (x )＝√x +1·√x−1C ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3　试判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝x 2−xx ，g (x )＝x －1；(2)f(x)＝√xx，g(x)√(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝√x2.状元随笔　判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型4　求函数的值域[经典例题]状元随笔　求函数值域的注意事项①数形结合求值域一定要注意函数的定义域；②值域一定要用集合或区间来表示．例4　求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1，3]；(2)f(x)＝1x，x∈[3，5]；(3)y＝2xx+1；(4)y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}；(5)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；(6)y＝2x－√x−1；(7)f(x)＝1x2+2.状元随笔　(1)用不等式的性质先由x∈(－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．(3)将自变量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域．方法归纳求函数值域的方法(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域．如函数y＝11+x2的值域为{y|0<y≤1}．(2)配方法：求形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的函数的值域可用配方法，但要注意f(x)的取值范围．如求函数y＝x－2√x＋3的值域，因为y＝(√x－1)2＋2≥2，故所求值域为{y|y≥2}．对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数，尤其要注意在给定区间上二次函数最值的求法．(3)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：形如y＝ax＋b＋√cx+d的函数常用换元法求值域，即先令t＝√cx+d，求出x，并注明t的取值范围，再代入上式表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例函数类，换元法的目的是将函数变为二次函数类．即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域．(5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解．(6)中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量(如x2)，用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不等式求解．跟踪训练4　求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；(2)y＝√x＋1；(3)y＝1−x21+x2；先分离再求值域(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；配方法求值域(5)f(x)＝5x+4 x−1.第三章　函数3．1　函数的概念与性质3．1.1　函数及其表示方法第1课时　函数的概念新知初探·自主学习[教材要点]知识点三{x|x≠0}　R　{y|y≤4ac−b24a}[基础自测]1．解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A2．解析：使函数f(x)＝√x−1x−2有意义，则{x−1≥0，x−2≠0，即x≥1，且x≠2.所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.答案：D3．解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C4．解析：f(4)＝√4+64−1＝2＋2＝4.答案：4课堂探究·素养提升例1　【解析】　(1)(4)对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．跟踪训练1　解析：(1)图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性解析：(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．答案：(1)B　(2)①是函数②不是函数例2　【解析】　(1)因为函数有意义当且仅当{x+1≥0，√x+1≠0，解得x＞－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．(2)因为函数有意义当且仅当{x≠0，x+2≠0，解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为(－∞，－2)∪(−2，0)∪(0，+∞)．跟踪训练2　解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．(2)要使函数有意义，则{x+1≠0，|x|−x>0，解得x<0且x≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(−1，0)．(3)要使函数有意义，则{2x +3≥0，2−x >0，x≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为[−32，0)∪(0，2)．例3　【解析】　函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.【答案】　D跟踪训练3　解析：所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)．(2)因为f (x )＝1x 在[3，5]上单调递减，所以其值域为[15，13].(3)因为y ＝2x x +1＝2(x +1)−2x +1＝2－2x +1≠2，所以函数y ＝2x x +1的值域为{y |y ∈R 且y ≠2}． (4)函数的定义域为{1，2，3}，当x ＝1时，y ＝12－4×1＋5＝2，当x ＝2时，y ＝22－4×2＋5＝1，当x ＝3时，y ＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1，2}，(5)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．(6)设t ＝√x −1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2(t －14)2＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[158，＋∞)．【解析】(7)方法一　因为x 2＋2≥2，所以0＜1x 2+2≤12，所以f (x )的值域为(0，12].方法二　设t 是所求值域中的元素，则关于x 的方程1x 2+2＝t 应该有解，即x 2＝1t －2应该有解，所以1t －2≥0，即1−2t t ≥0，解得0＜t ≤12，所以所求值域为(0，12].跟踪训练4　解析：(1)将x ＝1，2，3，4，5分别代入y ＝2x ＋1，计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．(2)因为√x ≥0，所以√x ＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(3)因为y ＝1−x 21+x 2＝－1＋21+x 2，所以函数的定义域为R ，因为x 2＋1≥1，所以0<21+x2≤2.所以y ∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1].(4)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1.所以1≤(x＋1)2≤16.所以－12≤4－(x＋1)2≤3.所以所求函数的值域为[－12，3].解析：(5)函数f(x)＝5x+4x−1＝5(x−1)+9x−1＝5＋9x−1，因为x≠1，所以9x−1≠0，所以f(x)≠5，所以函数f(x)＝5x+4x−1的值域为(－∞，5)∪(5，+∞)．。

人教B版数学高一版必修1学案函数第1课时变量与函数的概念

课堂导学三点剖析一、函数定义域的求法【例1】求下列函数的定义域，并用区间表示. (1)f(x)=21-x ; (2)f(x)=23+x ; (3)f(x)=x x x -+20||)1(; (4)f(x)=32+x x --21+x1. 思路分析：本题考查函数定义域的求法及区间表示法，当函数解析式给出时，定义域就是使其解析式有意义的自变量的范围；当一个函数由两个以上数学式子的和\,差\,积\,商的形式构成时(如(3)(4)),定义域是使各个部分都有意义的公共部分的集合.解：(1)要使f(x)=1x-2有意义,必须x-2≠0,所以x≠2.故函数的定义域是{x|x≠2},区间表示为(-∞,2)∪(2,+∞).(2)要使f(x)=23+x 有意义,必须3x+2≥0,所以x≥32-,故函数的定义域是{x|x≥32-},区间表示为［32-,+∞). (3)由于00没有意义,所以x+1≠0.① 又分式的分母不可为零,开偶次方根被开方数非负,所以2||x -x≠0,即x<0.②由①②可得函数的定义域为{x|x<0且x≠-1},区间表示为(-∞,-1)∪(-1,0).(4)要使函数f(x)=32+x x --21+x 1有意义,必须⎪⎩⎪⎨⎧≠>≥+0.x 0,x -20,32x 所以23-≤x<2且x≠0,故函数的定义域为{x|23-≤x<2且x≠0},区间表示为［23-,0)∪(0,2). 二、求复合函数的定义域【例2】若函数f(x)的定义域是［1,4］,求f(x+2)、f(x 2)的定义域.思路分析：本题考查函数有意义的等价转换.要使f(x+2)有意义,不妨把x+2看作一个整体变量,它应适合f(x)的定义域,转化成已知变量求解.解：∵f(x)的定义域为［1,4］,∴使f(x+2)有意义的条件为1≤x+2≤4,即-1≤x≤2,则f(x+2)的定义域是［-1,2］.同理,由1≤x 2≤4,即-2≤x≤-1或1≤x≤2,则f(x 2)的定义域为［-2,-1］∪［1,2］.温馨提示由f(x)的定义域求复合函数f ［g(x)］的定义域类型,一般方法是,若f(x)的定义域为D,则f ［g(x)］的定义域是使g(x)∈D 的x 的集合.本题易误解为:由1≤x≤4,∴3≤x+2≤6.∴f(x+2)的定义域为［3,6］.忽视了f(x+2)有意义的条件,习惯性地代换x 是错因.三、判断两个函数是否为同一函数【例3】下列所给四组函数表示同一函数的是( ) A.f(x)=x,g(x)=2)(x B.f(x)=x,g(x)=33xC.f(x)=1,g(x)=x 0D.f(x)=x 2+x+1,g(x)=112+-x x 思路分析：函数三要素中当定义域,对应法则确定后,值域也就被确定了.所以判断两个函数是否为同一函数,关键是看两个函数的定义域与对应法则是否相同.解：对于A,f(x)的定义域为R ,g(x)的定义域为［0,+∞),不是同一函数.对于B,f(x)、g(x)的定义域为R ,g(x)=3x 3=x,是同一函数.对于C,f(x)的定义域为R ,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),虽对应法则相同但定义域不同,不是同一函数.对于D,f(x)的定义域为R ,g(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不是同一函数.选B.答案：B温馨提示本题容易出现思维片面性,只看到解析式化简以后的形式相同,而误判为同一函数,实质上定义域要以条件所给形式有意义为原则,然后再化简看对应法则,两者要兼顾,缺一不可. 各个击破类题演练1求函数f(x)=1-x +x-21的定义域. 解析：要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠-≥⇒⎩⎨⎧≠-≥+.2,10201x x x x ∴函数f(x)=1-x +x -21的定义域是{x|x≥-1且x≠2}. 变式提升2(1)已知函数f(x)=31323-+-ax ax x 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A.a>31 B.－12＜a<0 C.-12<a≤0 D.a≤21 解析：当a=0时，f(x)有意义;当a≠0时，由ax 2+ax-3≠0,得Δ=a 2+12a<0,即-12<a<0,综合得-12<a≤0.答案：C(2)若f(x)=132++-x x 的定义域为A ，g(x)＝)2)(1(1x a a x ---的定义域为B ，当B ⊆A 时，求a 的取值范围.解析：由213++x x ≥0，得11+-x x ≥0. ∴x<-1,或x≥1,即A=(-∞,-1)∪［1,+∞).由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).∵B ⊆A,∴2a≥1或a+1≤-1,即a≥21或a≤-2. 故当B A 时，实数a 的取值范围为（-∞,-2］∪［21,1). 类题演练2已知函数f(x)的定义域为［a,b ］，其中a<0<b,且|a|>b ，求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域. 解析：∵f(x)的定义域为［a,b ］,要使g(x)有意义,则⎩⎨⎧-≤≤-≤≤⇒⎩⎨⎧≤-≤≤≤.,a x v b x a b x a b x a 又∵a<0<b 且|a|>b,所以a<b 且-a>b.故函数g(x)的定义域为{x |a≤x≤b}∩{x|-b≤x≤-a}={x|-b≤x≤b}.变式提升2 若函数y=f(x+1)的定义域为［-2,3］,求y=f(2x-1)的定义域. 解析：∵y=f(x+1)的定义域为{x|-2≤x≤3},∴-1≤x+1≤4,即y=f(x)的定义域为{x|-1≤x≤4}. ∴y=f(2x-1)的定义域满足-1≤2x -1≤4. ∴0≤2x≤5,即0≤x≤25. ∴f(2x-1)的定义域为{x|0≤x ≤25}. 类题演练3下列各组式子是否表示同一函数？说明理由.（1）f （x ）=|x|,φ(t)=2t ;(2)y=x 2,y=(x )2;(3)y=1+x ·1-x ,y=12-x ;(4)y=x +1·x -1,y=21x -.解析：仅就定义域不同，即知(2)和（3）中的两个式子表示不同的函数，经考查定义域和对应法则，可知（1）和（4）中的两个式子都表示相同的函数，事实上，对于（1），在公共定义域R 上，f(x)=|x|和φ(t)＝2t 的对应法则完全相同，只是表示形式不同;对于(4)，在公共定义域［-1,1］上，y=x +1·x -1⇔y=21x -.变式提升3下列各函数中,与y=2x-1是同一函数的是…( ) A.y=12142+-x x B.y=2x-1(x>0) C.s=2t-1 D.y=2)12(-x解析：先认清y=2x-1,它是定义域和值域都是R 的映射,其中f:y=2x-1,x ∈A,y ∈B.A 项中,定义域为x ∈R 且x≠21-,与y=2x-1不是同一函数;B 项中,定义域为x>0,与y=2x-1不是同一函数;D 项中,y=2)12(-x =|2x-1|=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥-.21,21,21,12x x x x 对应法则是不同的;而C 项中,定义域是R ,值域是R ,对应法则是乘2减1,与2x-1是相同的.故答案为C.答案：C。

高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.3函数的奇偶性第课时学案含解析B版第一册

3。

1。

3 函数的奇偶性第2课时学习目标1.掌握函数奇偶性的简单应用。

2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件。

自主预习1.函数的奇偶性与单调性的性质（1）若f（x)为奇函数且在区间[a,b]（a<b）上为增函数（减函数），则f(x)在［—b,—a]上为(函数),即在关于原点对称的区间上单调性.（2）若f（x)为偶函数且在区间[a，b］(a〈b）上为增函数（减函数),则f(x）在[-b,-a]上为（函数),即在关于原点对称的区间上单调性.2.奇偶函数的运算性质在公共定义域内：(1)两个奇函数的和函数是函数,积函数是函数;（2）两个偶函数的和函数、积函数都是函数;(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是函数。

3.函数的对称轴与对称中心(1）若函数f（x）的定义域为D,对∀x∈D都有f（T+x）=f （T—x)(T为常数),则x=是f（x)的对称轴.（2）若函数f（x)的定义域为D，对∀x∈D都有f（a+x）+f（a-x）=2b(a，b为常数),则是f(x)的对称中心.课堂探究题型一利用奇偶性求函数解析式例1(1)函数f（x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)=x(x-1）,则当x〉0时，f（x）=。

(2）函数f（x)为R上的奇函数,当x〉0时，f(x)=-2x2+3x+1,则f(x）=.【训练1】(1）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x〈0时，f（x）=-x2-x,求函数f(x)的解析式;（2）已知f（x)是R上的偶函数,当x∈(0，+∞)时,f(x）=x2+x—1,当x∈（-∞，0）时，求f（x)的解析式.题型二利用奇偶性研究函数的性质例2研究函数f（x）=x2—2|x｜+1的单调性，并求出f(x)的最值.【训练2】研究函数f（x）=x+1的单调性,并写出函数的值x域。

题型三证明函数图像的对称性例3求证：二次函数f（x)=—x2—2x+1的图像关于x=-1对称。

【训练3】证明函数f（x）=x的图像关于点（—1，1）对x+1称.课堂练习1。

高中数学人教B版必修一学案：2.1.1 函数

高一数学第二章第二课时学案2.1.1函数-------变量与函数的概念一．学习目标1. 深入理解函数的概念和记号y=f(x)的含义，进一步培养学生运用函数模型表达、思考和解决函数有关问题的能力。

2. 能正确求一些简单函数的定义域和值域。

3. 了解函数模型的广泛应用，树立数学应用观点。

二．自主学习三.小试牛刀：1.求下列函数的定义域：（1）()f x = （2）1()2f x x =-；（3）y = （4）()1f x x =+2求下列函数的值域（1）}4,3,2,1{,12∈+=x x y （2）1+=x y（3）223y x x =++3.想一想如何求一个函数的定义域和值域？四．典例分析：例1. .求下列函数的定义域：（1）11)(-=x x f （2）1||1)(-=x x f（3）2314)(2+---=x x x x f （4）0()(21)f x x =-思考：给出解析式的函数的定义域需注意什么？[].1,41例2设函数f(x)的定义域为，求下列函数的定义域（）[][]1(1)(2)2,4()22,4()f x f x f f x +问题拓展若的定义域为，求的定义域；（）若的定义域为，求的定义域。

[].(1)-2,3(21)y f x f x =+-问题拓展2函数的定义域是，求的定义域。

问题拓展3 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域。

例3. 求下列函数的值域：112++=x x y ）（ xy 112+=）（ 1)3(++=x x y 1)4(22+++=x x x x y 五．快乐体验1. .求下列函数的定义域：（1）y = (2) xx x f -++=211)( (3) 1212)(2--+=x x x x f(4) y =(5) 3)y x =-(6) 1y x =+ 2. 求下列函数的值域 (1)f(x)=3x －1(｛x|11x x Z -≤≤∈且｝) ; ()(){}2(2)11,x 1,0,1,2,3f x x =-+∈-()()2(3)11f x x =-+ (4)28(12)y x x=≤≤ 3.(1) []-1,1(21)f x -已知函数f(x)的定义域是，则函数的定义域;(2) 若函数f(x)的定义域为（1,2），求函数f(3x+1)的定义域；(3). 若函数f （3x+1）的定义域为（1,2），求函数f(x)的定义域.六．今天我学到了什么？。

高中数学第二章函数 2.1.1 第1课时变量与函数的概念学案新人教B版必修1

2．1.1 第1课时变量与函数的概念学习目标 1.理解函数的概念.2.了解构成函数的三要素.3.能正确使用函数、区间符号．知识点一函数的概念思考1 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么变量x、y分别称为什么量？思考2 初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图象？梳理函数的概念(1)函数的定义设集合A是一个________的数集，对A中的__________，按照确定的法则f，都有__________的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作________．(2)函数的定义域与值域在函数y＝f(x)，x∈A中，____叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的______，记作________________．所有函数值构成的集合________________叫做这个函数的值域．知识点二函数相等思考函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？梳理一般地，函数有三个要素：定义域，对应法则与值域．如果两个函数的________相同，并且____________完全一致，我们就称这两个函数相等．特别提醒：两个函数的定义域和对应法则相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：2.无穷大区间的表示：3.注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．类型一函数关系的判断例1 (1)给出下列四个图形：其中，能表示函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1； ②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x； ④r ：把x 对应到x .反思与感悟检验给定两个变量之间是否具有函数关系的方法 (1)定义域和对应法则是否给出；(2)根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y .跟踪训练1 (1)下列四个图象中，表示函数图象的序号是________．(2)下列给出的对应关系是不是函数关系？若是函数关系，其定义域是什么？ ①f ：把x 对应到x ＋1；②g ：把x 对应到1x 2＋1；③h ：把x 对应到常数1.类型二已知函数的解析式，求其定义域例2 求下列函数的定义域． (1)y ＝3－12x ；(2)y ＝2x －1－7x ；(3)y ＝x ＋0x ＋2；(4)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.反思与感悟求函数定义域的常用依据 (1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；(5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．跟踪训练2 函数f (x )＝xx －1的定义域为________．类型三求函数的值域例3 求下列函数的值域．(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝3x －1x ＋1；(4)y ＝2x －x －1.反思与感悟求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域．(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．跟踪训练3 求下列函数的值域． (1)y ＝2x ＋1＋1；(2)y ＝1－x 21＋x2.类型四对于f (x )，f (a )的理解例4 (1)已知函数f (x )＝x ＋2，若f (a )＝4，则实数a ＝________. (2)已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． ①求f (2)，g (2)的值； ②求f (g (2))的值； ③求f (a ＋1)，g (a －1)．反思与感悟 f (x )中的x 可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，只需把相应的x 都换成对应的数或式子即可．跟踪训练4 已知f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1)．(1)求f (0)及f (f (12))的值；(2)求f (1－x )及f (f (x ))．1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．区间(0,1)等于( ) A ．{0,1} B ．{(0,1)} C ．{x |0<x <1} D ．{x |0≤x ≤1}3．函数y ＝1x ＋1的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－1，＋∞)D ．(－1,0)4．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则ff12等于( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－355．下列各组函数是同一函数的是( )①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x 2；③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B．①③ C．③④ D．①④1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应法则．由于函数的定义域和对应法则一旦确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应法则分别相同即可．2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x 没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x 的集合．3．在y ＝f (x )中，x 是自变量，f 代表对应法则，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x 表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x 只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t 等表示自变量．关于对应法则f ，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f ( )中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．如f (x )＝3x ＋5，f 表示“自变量的3倍加上5”，如f (4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f ”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x 的一个值后，经过“数值加工器f ”的“加工”就得到一个对应值．答案精析问题导学知识点一思考1 x 是自变量、y 是因变量．思考2 因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念．梳理(1)非空任意数x 唯一确定 y ＝f (x )，x ∈A (2)x 函数值 y ＝f (a )或y |x ＝a {y |y ＝f (x )，x ∈A }知识点二思考两个函数都是描述的同一集合R 中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B 中唯一确定的元素，故是同一个函数．梳理定义域对应法则题型探究例1 (1)D(2)解 ①②是实数集R 上的一个函数，因为给定一个x 值都有唯一确定的值与之对应．③④不是，对于③，当x ＝0时，没有值与之对应，对于④当x ＜0时，没有值与之对应．跟踪训练1 (1)①③④(2)解 ①是函数关系，定义域为{x |x ≥－1}． ②是函数关系，定义域为R . ③是函数关系，定义域为R . 例2 解 (1)定义域为R . (2)定义域为[0，17]．(3)定义域为{x |x >－2且x ≠－1}． (4)定义域为{x |－32≤x ＜2，且x ≠0}．跟踪训练2 {x |x ≥0且x ≠1}例3 解 (1)∵y ＝x ＋1的定义域为R ， ∴y ＝x ＋1的值域为R .(2)∵y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，又x ∈[0,3)，∴2≤y ＜6，∴y ＝x 2－2x ＋3的值域为[2,6)． (3)∵y ＝3x －1x ＋1＝x ＋－4x ＋1＝3－4x ＋1，又∵4x ＋1≠0， ∴y ≠3，∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．(4)y ＝2x －x －1的定义域为[1，＋∞)．令x －1＝t ，则x ＝t 2＋1且t ≥0， ∴y ＝2t 2－t ＋2＝2(t －14)2＋158≥158，∴y ＝2x －x －1的值域为[158，＋∞)．跟踪训练3 解 (1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]．例4 (1)14(2)解 ①因为f (x )＝11＋x ，所以f (2)＝11＋2＝13.又因为g (x )＝x 2＋2，所以g (2)＝22＋2＝6. ②f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.③f (a ＋1)＝11＋a ＋＝1a ＋2. g (a －1)＝(a －1)2＋2＝a 2－2a ＋3.跟踪训练4 解 (1)f (0)＝1－01＋0＝1. ∵f (12)＝1－121＋12＝13， ∴f (f (12))＝f (13)＝1－131＋13＝12. (2)f (1－x )＝1－－x 1＋－x ＝x 2－x(x ≠2)． f (f (x ))＝f (1－x 1＋x )＝1－1－x 1＋x 1＋1－x 1＋x＝x (x ≠－1)．当堂训练1．B 2.C 3.C 4.B 5.C。

高中数学第二章函数 2.1 函数 2.1.1.1 变量与函数的

2.1.1.1 变量与函数的概念预习导航一、函数的相关概念1．函数的定义，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一(1)函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．(2)函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作f(a)或y|x .所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．＝a思考1函数符号“y＝f(x)，x∈A”中的“f”及f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如，y＝f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一个具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如，一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28，是一个常数．思考2同一函数的判断标准是什么？提示：一般地，判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可．两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一个函数．因此判断时应注意以下四点：(1)定义域不同，两个函数也就不同．如，y＝x2(x∈R)与y＝x2(x＞0)不是同一个函数；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的．如，y＝x与y＝x2不是同一个函数；(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则．如，函数f(x)＝x2与f(x)＝2x2虽定义域和值域均相同，但它们不是同一个函数；(4)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的．如，f(x)＝2 015x＋2 014，f(t)＝2 015t＋2 014，g(x)＝2 015x＋2 014都表示同一个函数．二、区间的概念特别提醒(1)区间表示了一个数集，主要用来表示函数的定义域、值域、不等式的解集等．(2)若[a，b]是一个确定的区间，则隐含条件为a＜b.(3)在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心圆圈表示．(4)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开．(5)用＋∞，－∞表示区间的端点时不能写成闭区间的形式．思考3区间与数集有何关系？提示：(1)联系：区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达形式；(2)区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集、自然数集等；(3)区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来，表示两个集合之间的运算．。

高中数学第二章函数 2.1 函数 2.1.1.1 变量与函数的概念教案新人教B版必修1

2．1.1.1 变量与函数的概念整体设计教学分析在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系，同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．三维目标1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y ＝f(x)的含义．2．通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力．3．启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．4．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性．重点难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.北京时间2005年10月12日9时整，万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空，5天后圆满完成各项任务并顺利返回．在“神舟”六号飞行期间，我们时刻关注“神舟”六号离我们的距离y 随时间t 是如何变化的，本节课就对这种变量关系进行定量的描述和研究，引出课题．思路2.问题：已知函数y ＝⎩⎨⎧1，x∈Q ，0，x∈R Q ，请用初中所学函数的定义来解释y 与x 的函数关系？学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．推进新课新知探究提出问题给出下列三种对应：幻灯片①一枚炮弹发射后，经过26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m ，且炮弹距地面的高度单位：随时间单位：变化的规律是h ＝130t －5t 2.时间t 的变化范围是数集A ＝{t|0≤t≤26}，h 的变化范围是数集B ＝{h|0≤h≤845}，则有对应f ：t→h＝130t －5t 2，t∈A，h∈B.②近几十年来，大气层的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧洞问题．下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106 km 2)随时间t(单位：年)从1979～2001年的变化情况．根据图中的曲线可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：f：t→S，t∈A，S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况根据上表，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1991≤t≤2001}，恩格尔系数y的变化范围是数集B＝{S|37.9≤S≤53.8}，则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)阅读教材上的三个例子，用集合的观点给出函数的定义．(3)如何检验给定两个变量之间是否具有函数关系？(4)什么是区间？(5)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？(6)函数有意义指什么？(7)函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？活动：让学生认真思考三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．讨论结果：(1)共同特点是：集合A、B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么我们称y是x 的函数，其中x是自变量，y是因变量．(2)定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作y ＝f(a)或y|x ＝a .所有函数值构成的集合{y|y ＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数y ＝f(x)也经常写作函数f 或函数f(x)．因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则．(3)根据以上定义，我们要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： ①定义域和对应法则是否给出； ②根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.(4)在研究函数时常会用到区间的概念，设a ，b 是两个实数，且a ＜b ，如下表所示：(5)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围．(6)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0，被开方数为非负数，如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值，等等．(7)C B.应用示例思路1例1 已知函数f(x)＝x ＋3＋1x ＋2，(1)求函数的定义域； (2)求f(－3)，f(23)的值；(3)当a ＞0时，求f(a)，f(a －1)的值．活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使x ＋3和1x ＋2有意义的自变量的取值范围；x ＋3有意义，则x ＋3≥0，1x ＋2有意义，则x ＋2≠0，转化为解由x ＋3≥0和x ＋2≠0组成的不等式组．(2)让学生回想f(－3)，f(23)表示什么含义？f(－3)表示自变量x ＝－3时对应的函数值，f(23)表示自变量x ＝23时对应的函数值．分别将－3，23代入函数的对应法则中得f(－3)，f(23)的值． (3)f(a)表示自变量x ＝a 时对应的函数值，f(a －1)表示自变量x ＝a －1时对应的函数值．分别将a ，a －1代入函数的对应法则中得f(a)，f(a －1)的值．解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0.解得－3≤x＜－2或x＞－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f(－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f(23)＝23＋3＋123＋2＝38＋333. (3)∵a＞0，∴a∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f(a)，f(a －1)有意义．则f(a)＝a ＋3＋1a ＋2；f(a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解．求使函数的定义域，通常转化为解不等式组．f(x)是表示关于变量x 的函数，又可以表示自变量x 对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f(x)没有什么意义．符号f 可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．例如f(x)＝x 2－x ＋5，当x ＝2时，看作“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；当x 为某一代数式(或某一个函数记号)时，则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5等．符号y ＝f(x)表示变量y 是变量x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y 等于f 与x 的乘积；符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m 是变量时，函数f(x)与函数f(m)是同一个函数；当m 是常数时，f(m)表示自变量x ＝m 对应的函数值，是一个常量．已知函数的解析式求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合． (3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.例2 (1)已知函数f(x)＝x 2，求f(x －1)；(2)已知函数f(x －1)＝x 2，求f(x)．分析：(1)函数f(x)＝x 2，即x→x 2，表示自变量通过“平方运算”得到它的函数值，与我们选择什么符号表达自变量没有关系．函数y→y 2，t→t 2，u→u 2，…都表示同一个函数关系．同样自变量换为一个代数式，如x －1，平方后对应的函数值就是(x －1)2.这里f(x －1)表示自变量变换后得到的新函数．(2)为了找出函数y ＝f(x)的对应法则，我们需要用x －1来表示x 2.解：(1)f(x －1)＝(x －1)2＝x 2－2x ＋1；(2)因为f(x －1)＝x 2＝(x －1)2＋2(x －1)＋1，所以f(t)＝t 2＋2t ＋1，即f(x)＝x 2＋2x ＋1.点评：已知f(x)求f(g(x))，用g(x)替换f(x)中的x ，即可得f(g(x))；已知f(g(x))，求f(x)，利用配凑法求解．还可利用换元法．例如(2)另解：设x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f(t)222思路2例1已知函数f(x)＝x 21＋x 2，那么f(1)＋f(2)＋f(12)＋f(3)＋f(13)＋f(4)＋f(14)＝________.活动：观察所求式子的特点，引导学生探讨f(a)＋f(1a)的值．解法一：原式＝121＋12＋221＋22＋(12)21＋(12)2＋321＋32＋(13)21＋(13)2＋421＋42＋(14)21＋(14)2＝12＋45＋15＋910＋110＋1617＋117＝72. 解法二：由题意得f(x)＋f(1x )＝x 21＋x 2＋(1x )21＋(1x )2＝x 21＋x 2＋11＋x2＝1，则原式＝12＋1＋1＋1＝72.点评：本题主要考查对函数符号f(x)的理解．对于符号f(x)，当x 是一个具体的数值时，相应地f(x)也是一个具体的函数值．本题没有求代数式中的各个函数值，而是看到代数式中含有f(x)＋f(1x )，故先探讨f(x)＋f(1x )的值，从而使问题简单地获解．求含有多个函数符号的代数式值时，通常不是求出每个函数值，而是观察这个代数式的特点，找到规律再求解．受思维定势的影响，本题很容易想到求出每个函数值来求解，虽然可行，但是这样会浪费时间，得不偿失．其原因是解题前没有观察思考，没有注意经验的积累. 所以，原式＝＝则有例2 已知A ＝{a ，b ，c}，B ＝{－1,0,1}，函数f ：A→B 满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，则这样的函数f(x)有( )A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个活动：学生思考函数的概念，什么是不同的函数．定义域和值域确定后，不同的对应法则就是不同的函数，因此对f(a)，f(b)，f(c)的值分类讨论，注意要满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0.解析：当f(a)＝－1时，则f(b)＝0，f(c)＝1或f(b)＝1，f(c)＝0，即此时满足条件的函数有2个；当f(a)＝0时，则f(b)＝－1，f(c)＝1或f(b)＝1，f(c)＝－1或f(b)＝0，f(c)＝0，即此时满足条件的函数有3个；当f(a)＝1时，则f(b)＝0，f(c)＝－1或f(b)＝－1，f(c)＝0，即此时满足条件的函数有2个．综上所得，满足条件的函数共有2＋3＋2＝7(个)．答案：C点评：本题主要考查对函数概念的理解，用集合的观点来看待函数.知能训练1．已知函数f(x)满足：f(p ＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，则f 2(1)＋f(2)f(1)＋f 2(2)＋f(4)f(3)＋f 2(3)＋f(6)f(5)＋f 2(4)＋f(8)f(7)＋f 2(5)＋f(10)f(9)＝________.解析：∵f(p＋q)＝f(p)f(q)，∴f(x＋x)＝f(x)f(x)，即f 2(x)＝f(2x)．令q ＝1，得f(p ＋1)＝f(p)f(1)， ∴＋1＝f(1)＝3.∴原式＝2f(2)f(1)＋2f(4)f(3)＋2f(6)f(5)＋2f(8)f(7)＋2f(10)f(9)＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30.答案：302．若f(x)＝1x 的定义域为A ，g(x)＝f(x ＋1)－f(x)的定义域为B ，那么( )A ．A∪B＝B B ．A BC ．A ⊆BD ．A∩B＝∅解析：由题意得A ＝{x|x≠0}，B ＝{x|x≠0，且x≠－1}．则A∪B＝A ，则A 错； A∩B＝B ，则D 错；由于B A ，则C 错．答案：B3．已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数f(2x －1)的定义域是________．解析：要使函数f(2x －1)有意义，自变量x 的取值需满足－1≤2x－1≤1，∴0≤x≤1. 答案：[0,1]4．求函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．答案：{x|x≤1，且x≠－1}．点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y ＝x ＋1－1－x ，得函数的定义域为{x|x≤1}．其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前时，不要化简解析式．5．某山海拔7 500 m ，海平面温度为25 ℃，气温是高度的函数，而且高度每升高100 m ，气温下降0.6 ℃.请你用解析表达式表示出气温T 随高度x 变化的函数关系，并指出函数的定义域和值域．活动：学生思考初中所学函数解析表达式的含义，即用自变量表示因变量，并明确函数的定义域和值域．解：当高出海平面x m 时，温度下降了x100×0.6(℃)，则函数解析式为T(x)＝25－0.6x 100＝25－3500x.函数的定义域为[0,7 500]，值域为[－20,25]．点评：本题考查函数的概念，以及在实际生活中的应用能力．拓展提升问题：已知函数f(x)＝x 2＋1，x∈R .(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值． (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．活动：让学生探求f(x)－f(－x)的值．分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明．解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R ，有f(x)＝f(－x)．证明如下：由题意得f(－x)＝(－x)2＋1＝x 2＋1＝f(x)． ∴对任意x∈R ，总有f(x)＝f(－x)．课堂小结本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解．作业课本本节练习A 6、7、8.设计感想本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．。

【新教材】2021版高中数学人教B版必修第一册学案：3.1.1 第1课时函数的概念 (含解析)

第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法第1课时函数的概念课程标准学法解读1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.1．函数概念的引入，学生应以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图像的几何直观等角度整体认识函数的概念．2．本节重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解y＝f(x)的含义，注意加深理解.必备知识·探新知基础知识1．函数的概念(1)定义：__给定两个非空数集A与B__，以及__对应关系f__，如果对于集合A中的__每一个实数x__，在集合B中都有__唯一确定的实数y__与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数．(2)记法：y＝f(x)，x∈A.(3)定义：自变量因变量定义域值域x y A __{y∈B|y＝f(x)，x∈A}__ 思考提示：f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，也可以是图像、表格，还可以是文字描述．如f (x )＝3x ＋5，f 表示“自变量的3倍加上5”，如f (4)＝3×4＋5＝17.2．常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数__a ＞0__ __a ＜0__ 对应关系 y ＝ax ＋b (a ≠0) y ＝k x (k ≠0) y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0) y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0) 定义域 R {x |x ≠0} RR值域R{y |y ≠0}⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a思考2：求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域时为什么分a ＞0和a ＜0两种情况？提示：当a ＞0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，观察图像得值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≥4ac －b 24a . 当a ＜0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，观察图像得值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≤4ac －b 24a .基础自测1．下图中能表示函数关系的是__①②④__(填序号)．解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．2．已知f (x )＝3x ＋2，则f (2)＝__8__；若f (a )＝－4，则a ＝__－2__. 3．函数f (x )＝14－x的定义域是__(－∞，4)__. 解析：由4－x ＞0，解得x ＜4，所以原函数的定义域为(－∞，4)． 4．已知f (x )＝x 3－2，则f [f (－1)]＝__－29__. 解析：∵f (x )＝x 3－2，∴f (－1)＝(－1)3－2＝－3， ∴f [f (－1)]＝f (－3)＝(－3)3－2＝－29.5．给出下列三组函数，其中表示同一函数的是__③__(填序号)．①f (x )＝x ，g (x )＝x 2x ；②f (x )＝2x ＋1，g (x )＝2x －1； ③f (x )＝x ，g (x )＝3x 3.解析：①中f (x )＝x 与g (x )＝x 2x 的定义域不同；②中f (x )＝2x ＋1，g (x )＝2x －1的对应关系不同．关键能力·攻重难函数的概念类型 ┃┃典例剖析__■典例1 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}给出下列4个图形，其中能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个思路探究：由函数的定义知，图中过x 轴上区间[0,2]内任取一点作y 轴的平行线，与图形有且只有一个交点才可．解析：由函数的定义知，(1)不是，因为集合M 中1<x ≤2时，在N 中无元素与之对应； (3)中x ＝2对应元素y ＝3∉N ，所以(3)不是；(4)中x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，所以(4)不是；显然只有(2)是，故选B ．归纳提升：1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)A 、B 必须都是非空数集；(2)A 中任意一个数在B 中必须有并且是唯一的实数和它对应．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．2．函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两个变量x、y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．┃┃对点训练__■1．在下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是(D)①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，f为“除以3”；②A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，f为“求3x的平方根”；③A＝R，B＝R，f为“求平方”；④A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，f为“乘以0”．A．①④B．②③④C．②③D．③④解析：①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数；②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；③④符合函数的定义．类型同一函数的判断┃┃典例剖析__■典例2下列各组函数是否表示同一函数？为什么？(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2；(2)y＝x2，y＝(x)2；(3)f(x)＝x·x＋1与g(x)＝x(x＋1)；(4)f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1；(5)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)．思路探究：判断每一对函数的定义域是否相同，对应法则是否相同即可．解析：对于(1)，在公共定义域R上，f(x)＝|x|和φ(t)＝t2＝|t|的对应法则完全相同，只是表示形式不同；对于(2)，前者x∈R，后者x≥0，两者定义域不同；对于(3)，前者定义域为[0，＋∞)，后者定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)；对于(4)，尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应法则相同，对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一个函数值，因此二者为同一函数；对于(5)，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}．故以上各对函数中，(1)(4)表示同一函数，(2)(3)(5)表示的不是同一函数．归纳提升：同一函数的判断方法定义域和对应法则，是确定一个函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则分别相同时，这两个函数才是同一函数．┃┃对点训练__■2．下列四组函数，表示同一函数的是( D ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝x B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xC ．f (x )＝x 2－4，g (x )＝x －2·x ＋2D ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3解析：选项A 中，f (x )＝|x |，g (x )＝x ，故两函数的对应法则不同；选项B 中，函数f (x )的定义域为R ，函数g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；选项C 中，函数f (x )的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，函数g (x )的定义域为[2，＋∞)；选项D 中，函数f (x )与g (x )的定义域和对应法则均相同，故选 D ．类型求函数的定义域 ┃┃典例剖析__■典例3 求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1x －2； (2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝－x 2＋2(x ∈Z )．思路探究：本题主要考查函数的定义域．只给出函数的关系式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使函数关系式有意义的实数的全体构成的集合．解析：(1)要使1x －2有意义，x 需满足x －2≠0，即x ≠2，故该函数的定义域为{x |x ≠2}． (2)要使3x ＋2有意义，x 需满足3x ＋2≥0，即x ≥－23，故该函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥－23.(3)要使－x 2＋2有意义，x 需满足－x 2＋2≥0，即－2≤x ≤2，又结合x ∈Z ，则x 等于－1,0,1，故该函数的定义域为{－1,0,1}．归纳提升：函数定义域的求法1．求函数的定义域之前，不能对函数的解析式进行变形，否则可能会引起定义域的变化． 2．求函数定义域的基本原则有：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．(3)如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f (x )是由几个数学式子构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集)．(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约． ┃┃对点训练__■ 3．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝x 2－x ； (2)f (x )＝(x ＋2)0； (3)f (x )＝x ＋1x －2； (4)f (x )＝x ＋4＋1－x (x ∈Z )．解析：(1)f (x )为整式函数，x 取任意实数时，f (x )都有意义，故函数f (x )的定义域为R . (2)要使函数f (x )有意义，应满足x ＋2≠0，即x ≠－2，故函数f (x )的定义域为{x |x ≠－2}．(3)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －2≠0，即⎩⎨⎧x ≥－1，x ≠2.故函数f (x )的定义域为{x |x ≥－1，且x ≠2}．(4)要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4≥0，1－x ≥0，即－4≤x ≤1，又x ∈Z ，则x 只能取值－4，－3，－2，－1,0,1. 故函数f (x )的定义域为{－4，－3，－2，－1,0,1}．类型简单函数值域的求法 ┃┃典例剖析__■典例4 求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1x －3；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝2x －x －1.思路探究：求函数的值域没有统一的方法，如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值，那么可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如，观察法、配方法、换元法等．解析：(1)(观察法)y ＝2x ＋1x －3＝2＋7x －3.因为x ≠3，所以7x －3≠0，所以y ≠2.故所求函数的值域为{y |y ≠2}． (2)(配方法)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2.因为1≤x ＜5，所以函数的值域为{y |2≤y ＜11}． (3)(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0，且x ＝t 2＋1.所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158. 因为t ≥0，所以y ≥158.故函数y ＝2x －x －1的值域为{y |y ≥158}．归纳提升：求函数值域的常用方法1．观察法：通过对函数关系式的简单变形，利用熟知的一些函数的值域，观察求得函数的值域．2．配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量的取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．3．换元法：通过对函数的关系式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而求出函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要通过自己在解题过程中逐渐探索和积累． ┃┃对点训练__■4．(1)已知f (x )＝11＋x 2，g (x )＝x 2－2，则f (3)＝__110__，f [g (3)]＝__150__.(2)求下列函数的值域： ①y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ②y ＝3x －1x ＋1.解析：(1)∵f (x )＝11＋x 2，∴f (3)＝11＋32＝110.又g (x )＝x 2－2，∴g (3)＝32－2＝7.∴f [g (3)]＝f (7)＝11＋72＝150.(2)①(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图像(如图)，可得函数的值域数[2,6)．②(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y ≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．易混易错警示求函数定义域时非等价化简解析式 ┃┃典例剖析__■典例5 求函数y ＝x ＋1x 2－1的定义域．错因探究：在求函数的定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形处理，以免导致定义域的变化．如本题易得错解：y ＝x ＋1x 2－1＝1x －1，故x －1≠0，x ≠1，即函数的定义域为{x |x ≠1}．解析：因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，函数有意义，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}．误区警示：求函数的定义域时，一定要根据最原始的解析式来求解，否则可能会改变原函数的定义域．学科核心素养复合函数定义域的求法 ┃┃典例剖析__■复合函数：如果函数y ＝f (t )的定义域为A ，函数t ＝g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称函数y ＝f [g (x )]为f 与g 在D 上的复合函数，其中t 称为中间变量，t ＝g (x )称为内函数，y ＝f (t )称为外函数．复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定的．若已知复合函数f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域，可令t ＝g (x )，由x 的范围推出t 的范围，再以x 换t 即得f (x )的定义域．若已知f (x )的定义域求复合函数f [g (x )]的定义域，令g (x )在已知范围内解出x 的范围就是复合函数的定义域．典例6 (1)函数f (x )的定义域为[2,3]，求函数f (x －1)的定义域；(2)函数f(x－1)的定义域为[2,3]，求函数f(x)的定义域．解析：(1)函数f(x)的定义域为[2,3]，则函数f(x－1)中，2≤x－1≤3，解得3≤x≤4，即函数f(x－1)的定义域为[3,4]．(2)函数f(x－1)的定义域为[2,3]，即2≤x≤3，则1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域为[1,2]．课堂检测·固双基1．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为(B)A．－2B．－1C．0D．不确定解析：∵函数f(x)＝－1，∴不论x取何值其函数值都等于－1，故f(2)＝－1.2．下列图形可作为函数y＝f(x)的图像的是(D)解析：选项D中，对任意实数x，都有唯一确定的y值与之对应，故选D．3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为__{－1,0,_3}__.解析：x＝0时，y＝0；x＝1时，y＝－1；x＝2时，y＝0；x＝3时，y＝3.故函数的值域为{－1,0,3}．4．函数y＝8x2－4x＋5的值域是__(0,8]__.解析：通过配方可得函数y＝8x2－4x＋5＝8(x－2)2＋1，∵(x－2)2＋1≥1，∴0＜8(x－2)2＋1≤8，故0＜y≤8.故函数y＝8x2－4x＋5的值域为(0,8]．5．已知函数f(x)＝6x－1－x＋4.(1)求函数f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(12)的值．解析：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，所以x≥－4且x≠1，即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．(2)f(－1)＝6－2－－1＋4＝－3－3，f(12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.。

高中数学必修一《3 1 函数的概念及其表示》优秀教案教学设计

【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本60-65页，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示四、典例分析、举一反三题型一函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C题型二相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧：(判断函数相等的方法) 定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√x x,g(x)=√x;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 解题技巧：（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3). 题型四求函数的定义域例4 求下列函数的定义域: (1)y=(x+2)|x |-x; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x .【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−1√2-x+1x的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32. ∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 题型五求函数值（域）例5 (1)已知f(x)＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x ； ④y ＝2x －√x −1. 【答案】（1）1317 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.解题方法（求函数值（域)的方法）1.已知f(x)的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f(a)的值.2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f （x ）=ax+b+√cx +d （其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2. 【答案】(1) [1，＋∞) (2) (－1,1]【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本67页练习、72页1-5本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律.。

(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：3.1.2.2 函数的最大值、最小值 (含答案)

第2课时函数的最大值、最小值1.函数的最值(1)定义．前提函数f(x)的定义域为D,且x0∈D,对任意x∈D 条件都有f(x)≤f(x0)都有f(x)≥f(x0)结论最大值为f(x0),x0为最大值点最小值为f(x0),x0为最小值点最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点①配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；②换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；③数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观求出；④利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值．最值点是点吗？提示：不是，是实数值，是函数值取得最值时的自变量x 的值．2．直线的斜率(1)直线斜率的定义．平面直角坐标系中的任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当x 1≠x 2时，称y 2－y 1x 2－x 1 为直线的斜率，记作Δy Δx ； ②当x 1＝x 2时，称直线的斜率不存在．(2)直线的斜率与函数单调性的关系①函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0． ②函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0．3．函数的平均变化率(1)平均变化率的定义：若I 是函数y ＝f (x )的定义域的子集，对任意x 1，x 2∈I ，且x 1≠x 2，记y 1＝f (x 1)，y 2＝f (x 2)，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫即Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1 ，称Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1为函数在区间[x 1，x 2](x 1<x 2时)或[x 2，x 1](x 1>x 2时)上的平均变化率．(2)函数的平均变化率与函数的单调性y ＝f (x )在I 上是增函数⇔Δy Δx >0在I 上恒成立y ＝f (x )在I 上是减函数⇔Δy Δx <0在I 上恒成立函数图像上任意两点连线的斜率大于0时，函数图像从左向右的变化趋势是什么？提示：函数图像从左向右逐渐上升．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)任何函数都有最大值、最小值．( × )提示：如函数y ＝1x 既没有最大值，也没有最小值．(2)一个函数的最大值是唯一的，最值点也是唯一的．( × )提示：函数的最大值是唯一的，但最值点不唯一，可以有多个最值点．(3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率．( × )提示：过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x 1≠x 2.2．过函数图像上两点A (－1，3)，B (2，3)的斜率Δy Δx ＝________．【解析】Δy Δx ＝3－32＋1＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，x ∈[1，3]，则函数f (x )的最大值为________，最小值为________．【解析】f (x )＝x －1x ＋1 ＝1－2x ＋1，x ∈[1，3]，因为f (x )在[1，3]上为增函数，所以f(x)max＝f(3)＝1＝f(1)＝0.2，f(x)min答案：120类型一利用函数的图像求最值(数学运算、直观想象)1．(2021·太原高一检测)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图像，则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3D．当直线y＝t与y＝f(x)的图像有三个交点时－1<t<2【解析】选C.A选项，由函数图像可得，f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，故A错；B选项，由图像可得，f(x)在区间(－1，3)上的最大值为f(1)＝3，无最小值，故B错；C选项，由图像可得，f(x)在[－4，1]上有最小值f(－1)＝－2，有最大值f(1)＝3，故C正确；D选项，由图像可得，为使直线y＝t与y＝f(x)的图像有三个交点，只需－1≤t≤2，故D错．2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.则f (x )的最小值、最大值点分别为________，________．【解析】作出函数f (x )的图像(如图).由图像可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值，最小值为0，故f (x )的最小值为0，最大值点为±1.答案：0 ±13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5]， (1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出f (x )的图像．(2)由图像指出函数f (x )的最值点，求出最值．【解析】(1)由题意，当x ∈[－1，2]时，f (x )＝－x 2＋3，为二次函数的一部分；当x ∈(2，5]时，f (x )＝x －3，为一次函数的一部分；所以，函数f (x )的图像如图所示：(2)由图像可知，最大值点为0，最大值为3；最小值点为2，最小值为－1.图像法求最值、最值点的步骤【补偿训练】已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2－x （0≤x≤2），2x －1（x ＞2），求函数f(x)的最大值、最小值．【解析】作出f(x)的图像如图：由图像可知，当x ＝2时，f(x)取最大值为2；当x ＝12 时，f(x)取最小值为－14 .所以f(x)的最大值为2，最小值为－14 .【拓展延伸】求二次函数最值的常见类型及解法求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论．求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在区间[m ，n ]上的最值一般分为以下几种情况：(1)若对称轴x ＝－b 2a 在区间[m ，n ]内，则最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，最大值为f (m )，f (n )中较大者(或区间端点m ，n 中与直线x ＝－b 2a 距离较远的一个对应的函数值为最大值).(2)若对称轴x ＝－b 2a <m ，则f (x )在区间[m ，n ]上是增函数，最大值为f (n )，最小值为f (m ).(3)若对称轴x ＝－b 2a >n ，则f (x )在区间[m ，n ]上是减函数，最大值为f (m )，最小值为f (n ).【拓展训练】1．定轴定区间上的最值问题【例1】已知函数f (x )＝3x 2－12x ＋5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．(1)R .(2)[0，3].(3)[－1，1].【思路导引】求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图像法求解．【解析】f (x )＝3x 2－12x ＋5＝3(x －2)2－7.(1)当x ∈R 时，f (x )＝3(x －2)2－7≥－7，当x ＝2时，等号成立．故函数f (x )的最小值为－7，无最大值．(2) 函数f (x )＝3(x －2)2－7的图像如图所示，由图可知，在[0，3]上，函数f (x )在x ＝0时取得最大值，最大值为5；在x ＝2时取得最小值，最小值为－7.(3)由图可知，函数f (x )在[－1，1]上是减函数，在x ＝－1时取得最大值，最大值为20；在x ＝1时取得最小值，最小值为－4.(1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 上是增函数，当x ＝－b 2a 时，函数取得最小值． (2)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 上是减函数，当x ＝－b 2a 时，函数取得最大值． 2．动轴定区间上的最值问题【例2】已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1，1]，求函数f (x )的最小值．【思路导引】二次函数开口方向确定，对称轴不确定，需根据对称轴的不同情况分类讨论．可画出二次函数相关部分的简图，数形结合解决问题．【解析】f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的图像开口向上，且对称轴为直线x＝a.当a≥1时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；当－1<a<1时，函数图像如图(2)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为f(a)＝2－a2；当a≤－1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.3．定轴动区间上的最值问题【例3】已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式．【思路导引】二次函数的解析式是确定的，但定义域是变化的，需依据t的大小情况画出对应的简图(二次函数的一段)，从而求解．【解析】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图像如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图像如图(2)所示，最小值为g (t )＝f (1)＝1；当t >1时，函数图像如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.本题中给出的区间是变化的，从运动的观点来看，让区间从左向右沿x 轴正方向移动，分析移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．类型二函数的平均变化率与单调性、最值(数学运算、逻辑推理)【典例】已知函数f (x )＝2x －3x ＋1. (1)判断函数f (x )在区间[0，＋∞)上的单调性，并用平均变化率证明其结论．【思路导引】任取x1，x2∈[0，＋∞)⇒Δf（x）Δx>0⇒函数单调递增【解析】f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，f(x2)－f(x1)＝2x2－3x2＋1－2x1－3x1＋1＝（2x2－3）（x1＋1）（x1＋1）（x2＋1）－（2x1－3）（x2＋1）（x1＋1）（x2＋1）＝5（x2－x1）（x1＋1）（x2＋1）.所以Δf（x）Δx＝5（x2－x1）（x1＋1）（x2＋1）x2－x1＝5（x1＋1）（x2＋1）.因为x1，x2∈[0，＋∞)，所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以Δf（x）Δx>0，所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．(2)求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值．【思路导引】由第(1)问可知f(x)在[2，9]上是增函数⇒f(2)是最小值，f(9)是最大值【解析】由(1)知函数f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函数f(x)在区间[2，9]上的最大值为f(9)＝2×9－39＋1＝32，最小值为f(2)＝2×2－32＋1＝13.利用函数的平均变化率证明单调性的步骤(1)任取x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2.(2)计算f (x 2)－f (x 1)，Δf （x ）Δx .(3)根据x 1，x 2的范围判断Δf （x ）Δx 的符号，确定函数的单调性．已知函数f (x )＝x ＋1x －2，x ∈[3，7]. (1)判断函数f (x )的单调性，并用平均变化率加以证明．【解析】函数f(x)在区间[3，7]内单调递减，证明如下：在[3，7]上任意取两个数x 1和x 2，且x 1≠x 2，因为f(x 1)＝x 1＋1x 1－2 ，f(x 2)＝x 2＋1x 2－2，所以f(x 2)－f(x 1)＝x 2＋1x 2－2 －x 1＋1x 1－2 ＝3（x 1－x 2）（x 1－2）（x 2－2）. 所以Δf （x ）Δx ＝3（x 1－x 2）（x 1－2）（x 2－2）x 2－x 1 ＝－3（x 1－2）（x 2－2），因为x 1，x 2∈[3，7]，所以x 1－2＞0，x 2－2＞0，所以Δf （x ）Δx ＜0，函数f(x)为[3，7]上的减函数．(2)求函数f (x )的最大值和最小值．【解析】由单调函数的定义可得f(x)max ＝f(3)＝4，f(x)min ＝f(7)＝85 .类型三常见函数的最值问题(直观想象、数学运算)不含参数的最值问题【典例】函数f(x)＝－2x 2＋x ＋1在区间[－1，1]上最小值点为________，最大值为________．【思路导引】求出一元二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系解题．【解析】函数f(x)＝－2x 2＋x ＋1的对称轴为x ＝－12×（－2）＝14 ，函数的图像开口向下，所以函数的最小值点为－1，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 ＝－2×116 ＋14 ＋1＝98 .答案：－1 98含参数的最值问题【典例】设a 为实数，函数f(x)＝x 2－|x －a|＋1，x ∈R .(1)当a ＝0时，求f (x )在区间[0，2]上的最大值和最小值．【思路导引】代入a 的值，化简后求最值．【解析】当a ＝0，x ∈[0，2]时函数f (x )＝x 2－x ＋1，因为f (x )的图像开口向上，对称轴为x ＝12 ，所以，当x ＝12 时f (x )值最小，最小值为34 ，当x ＝2时，f (x )值最大，最大值为3.(2)当0<a <12 时，求函数f (x )的最小值．【思路导引】讨论对称轴与区间的位置关系求最值．【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ＋1，x ≥a ，x 2＋x －a ＋1，x <a .①当x ≥a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2 ＋a ＋34 . 因为0<a <12 ，所以12 >a ，则f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝34 ＋a ； ②当x <a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2 －a ＋34 .因为0<a <12 ，所以－12 <a ，则f (x )在(－∞，a )上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝34 －a .综上，f (x )的最小值为34 －a .将本例的函数改为f (x )＝x 2－2ax ＋1，试求函数在区间[0，2]上的最值．【解析】函数的对称轴为x ＝a ，(1)当a <0时，f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝1；当0≤a ≤2时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋1；当a >2时，f (x )在区间[0，2]上是减函数，所以f (x )min ＝f (2)＝5－4a ，所以f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a <0，－a 2＋1，0≤a ≤2，5－4a ，a >2.(2)当a ≤1时，f (x )max ＝f (2)＝5－4a ；当a >1时，f (x )max ＝f (0)＝1，所以f (x )max ＝⎩⎨⎧5－4a ，a ≤1，1，a >1.一元二次函数的最值(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值．(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x ＝m ，区间[a ，b ]为例，①最小值：f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （a ），m ≤a ，f （m ），a ≤m ≤b ，f （b ），m ≥b .②最大值：f (x )max ＝⎩⎨⎧f （a ），m ≥a＋b 2，f （b ），m <a ＋b 2．当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系．(1)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，求f (x )在[0，1]上的最大值.【解析】因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图像开口向上，其对称轴为x ＝a 2 ，当a 2 ≤12 ，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ；当a 2 ＞12 ，即a ＞1时，f (x )的最大值为f (0)＝1.(2)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，求f (x )在[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值．【解析】f (x )＝x 2－x ＋1，其图像的对称轴为x ＝12 ， ①当t ≥12 时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1； ②当t ＋1≤12 ，即t ≤－12 时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数，所以f (x )min ＝f (t ＋1)＝t 2＋t ＋1；③当t ＜12 ＜t ＋1，即－12 ＜t ＜12 时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1 上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝34 .1．(2020·西安高一检测)函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0，3]上的最大值为( )A ．9B ．9(1－a )C ．9－aD ．9－a 2【解析】选A.因为a ＞0，所以f (x )＝9－ax 2开口向下，以y 轴为对称轴，所以f (x )＝9－ax 2在[0，3]上单调递减，所以x ＝0时，f (x )最大值为9.2．函数f (x )＝x ＋2x －1 ( )A ．有最小值12 ，无最大值B ．有最大值12 ，无最小值C ．有最小值12 ，有最大值2D ．无最大值，也无最小值【解析】选A.f (x )＝x ＋2x －1 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ ，在定义域内单调递增，所以f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝12 ，无最大值． 3．(2021·菏泽高一检测)设f (x )＝x 2－2ax ＋a 2，x ∈[0，2]，当a ＝－1时，f (x )的最小值是________，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．【解析】当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋2x ＋1，开口向上，对称轴为x ＝－1，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋1在(0，2)上单调递增，所以函数在x ∈[0，2]上的最小值f (x )min ＝f (0)＝1.若f (0)是f (x )的最小值，说明对称轴x ＝a ≤0，则a ≤0，所以a 的取值范围为(－∞，0].答案：1 (－∞，0]【补偿训练】二次函数f (x )＝12 x 2－2x ＋3在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则实数m 的取值范围是________．【解析】因为f (x )＝12 x 2－2x ＋3在[0，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．则当0<m <2时，⎩⎨⎧f （0）＝3，f （m ）＝1，此时无解；当2≤m ≤4时，x ＝2时有最小值1，x ＝0时有最大值3，此时条件成立；当m >4时，最大值必大于f (4)＝3，此时条件不成立．综上可知，实数m 的取值范围是[2，4].答案：[2，4]备选类型函数最值的应用(数学建模)【典例】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：厘米)满足关系式：C (x )＝k 3x ＋5 (0≤x ≤10).若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )最小？并求其最小值．【思路导引】【解析】(1)由题意知C(0)＝8，代入C(x)的关系式，得k ＝40，因此C(x)＝403x ＋5 (0≤x≤10)，而每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋6x ＝8003x ＋5＋6x(0≤x≤10). (2)令t ＝3x ＋5，由0≤x≤10，得5≤t≤35，从而有函数h(t)＝800t ＋2t －10(5≤t≤35).令5≤t 1<t 2≤35，则h(t 1)－h(t 2)＝(t 1－t 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－800t 1t 2 ，当5≤t 1<t 2≤20时，h(t 1)－h(t 2)＝(t 1－t 2)(2－800t 1t 2)>0；当20≤t 1<t 2≤35时，h(t 1)－h(t 2)＝(t 1－t 2)(2－800t 1t 2)<0. 所以h(t)＝800t ＋2t －10(5≤t≤35)在区间[5，20]上单调递减，在区间[20，35]上单调递增，所以当t ＝20时，h(t)min ＝70，即当t ＝3x ＋5＝20，x ＝5时，f(x)min ＝70.所以当隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小，为70万元．(1)通过换元，使函数式变得简单，易于研究其单调性．(2)以20为分界点将[5，35]分成两个单调区间，可结合对勾函数的单调性规律来理解．(2020·枣庄高一检测)某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20 000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益(单位：元)满足分段函数φ(x)，其中φ(x)＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0<x ≤400，80 000，x>400，x 是“玉兔”的月产量(单位：件)，总收益＝成本＋利润． (1)试将利润y 表示为月产量x 的函数．(2)当月产量为多少件时利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)依题设，总成本为20 000＋100x ，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0<x≤400，且x ∈N ，60 000－100x ，x >400，且x ∈N .(2)当0<x ≤400时，y ＝－12 (x －300)2＋25 000，则当x ＝300时，y max ＝25 000；当x >400时，y ＝60 000－100x 是减函数，则y <60 000－100×400＝20 000，所以当月产量为300件时，有最大利润25 000元．1．函数f (x )的图像如图，则其最大值、最小值点分别为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 ，－32B ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ，f (0) D ．f (0)，32 【解析】选D.观察函数图像，f (x )最大值、最小值点分别为f (0)，32 .2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a (x ∈[0，2])有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．6C ．1D ．2【解析】选B.f (x )＝x 2＋2x ＋a (x ∈[0，2])为增函数，所以最小值为f (0)＝a ＝－2，最大值f (2)＝8＋a ＝6.3．(2021·大冶高一检测)若函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( )A ．(2，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 ∪[2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 【解析】选D.因为函数y ＝2x －1在(－∞，1)和[2，5)上都是单调递减函数，当x <1时，y <0，x ＝2时，y ＝2，x ＝5时，y ＝12 ，所以函数的值域是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 . 4．(教材练习改编)函数y ＝1x －3在区间[4，5]上的最小值为________．【解析】作出图像可知y ＝1x －3在区间[4，5]上是减函数(图略)，所以其最小值为15－3＝12 . 答案：125．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有f （a ）－f （b ）a －b＞0成立，且f (－3)＝a ，f (－1)＝b ，则f (x )在[－3，－1]上的最大值是________．【解析】由f （a ）－f （b ）a －b＞0，得f (x )在R 上是增函数，则f (x )在[－3，－1]上的最大值是f (－1)＝b .答案：b6．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.(1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (x )－kx ≤0在x ∈[2，3]上恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】(1)因为f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)的图像开口向上，且对称轴为x ＝1，所以f (x )在[2，3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f （x ）min ＝f （2）＝4a －4a ＋1＋b ＝1f （x ）max ＝f （3）＝9a －6a ＋1＋b ＝4. 所以a ＝1，b ＝0； (2)由(1)得f (x )＝x 2－2x ＋1，所以不等式f (x )－kx ≤0，即x 2－(2＋k )x ＋1≤0在x ∈[2，3]上恒成立，令g (x )＝x 2－(2＋k )x ＋1，g (x )的图像开口朝上，则要使g (x )≤0在x ∈[2，3]上恒成立，所以⎩⎨⎧g （2）＝4－4－2k ＋1≤0g （3）＝9－6－3k ＋1≤0，解得k ≥43 ，所以实数k 的取值范围为k ≥43 .。

【B版】人教课标版高中数学必修一《函数(第二课时)》教学教案-新版

2.1.1 函数（第二课时）映射与函数知识与技能：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．过程与方法：（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；（2）通过实例进一步理解映射的概念；（3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．情态与价值：映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．教学目标（1）了解映射的概念及表示方法（2）了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.（3）会结合简单的图示，了解一一映射的概念(4) 会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(5) 能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图像法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(6) 求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．教学重难点（1）对映射、函数概念的理解、函数概念的理解。

（2）函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．教学过程一、创设情景，揭示课题问题情境：每个学生都有一个学号，这样管理比较方便；同学们在中考中，每一个人都有唯一的考号，也就是说在现实生活中，不仅是数集之间存在着某种对应关系，很多集合之间也存在着某种对应关系，为了研究集合之间的对应关系，我们引入映射的概念（板书课题）．二、复习提问、研探新知提问：函数的概念教师：我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种特殊的对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，这种对应就叫映射．学生：分组讨论、归纳映射的概念。

（一）映射的定义：映射定义：设A,B是两个非空．．的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个．．元素与之对应，这样的对应叫做从集合A ．．．．元素，在集合B中都有唯一到．集合B的映射，记作：B:(注：A中元素必须取完，B中元素可以取完，Af→也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多;注意关键词)在映射B:中，集合A叫做映射的定义域，与A中元素x对应Af→的B中元素y叫x的象，记作：)fy=，x叫做y的原象。

人教课标版高中数学必修1《函数的概念》参考学案

1.2.1 函数的概念学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. 问题导学： 1.函数的概念（1）函数的定义设A ，B 是两个非空的，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合到集合的一个函数，记作.),(A x x f y ∈=，其中x 叫自变量，的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的值叫做函数值，的集合}|)({A x x f ∈叫做函数)(x f y =的值域，则值域是集合B 的。

（2）基本初等函数的定义域和值域.○1一次函数)0()(≠+=k b kx x f 的定义域是，值域是 . ○2反比例函数)0()(≠=k xkx f 的定义域是，值域是 . ○3二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域是，当0>a 时，值域是，当0<a 时，值域是 . 2.区间与无穷的概念（1）区间的定义即表示：设a ，b 是两个实数，而且b a <.这里的实数a 都叫相应区间的。

（2）无穷概念及无穷区间。

问题探究：（一）函数的概念例1．下列对应关系是集合P 上的函数是有．（1）*,P Z Q N ==，对应关系:f “对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应”；（2）{1,1,2,2},{1,4}P Q =--=，对应关系：:f x →2,,y x x P y Q =∈∈；（3）{P =三角形},{|0}Q x x =>，对应关系:f “对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．”练习:如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量,x y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有．（二）函数的定义域例2．求下列函数的定义域（1）1()2f x x =-；（2）()f x =（3）1()2f x x=-练习: 求函数x x x y --++=11)1(2的定义域（三）相等函数的判断例3．下列各组函数中表示同一函数的是（）A ．()1f x =，0()g x x =B ．()1f x x =-，2()1x g x x=-C ．2()f x x =，4()g x =D ．x x f =)(，33)(x x g = 练习:试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2；（4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1 （四）求函数值例4.已知函数3)(+=x x f +21+x (1) 求函数的定义域；（2）求f(－3)的值, f(32)的值, (3)当a>0时，求f(a),f(a-1)的值练习：若)]([),1(),1(),0(),1(,11)(x f f x f f f x x xx f --≠+-=求。

人教B版数学高一版必修1学案函数

数学人教B 必修1第二章2.1.1 函数1．会用集合与对应语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法，并能正确地使用区间表示数集． 3．了解映射的概念，能判定一些简单的对应是不是映射，并用映射概念加深对函数概念的理解．1(1)在近代定义中，x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的______；如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的____，记作______；所有函数值构成的集合______叫做这个函数的值域． (2)确定一个函数只需两个要素：____和______．要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： ①____和____是否给出； ②根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的____值，是否都能确定____的函数值y .(1)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的定义域为R ，值域是R ；(2)反比例函数f (x )＝kx (k ≠0)的定义域为{x |x ≠0}，值域是{y |y ≠0}；(3)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ；当a ＞0时，值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ，当a ＜0时，值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a . 【做一做1－1】下列四组函数中，f (x )，g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝4x 4B ．f (x )＝1，g (x )＝xxC ．f (x )＝(x )2，g (x )＝3x 3 D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2【做一做1－2】函数f (x )＝ 2 011－x ＋1x －2 010的定义域为__________．2．区间(1)在数轴上，区间可以用一条以a ，b 为端点的线来表示(如下表)．用实心点表示端点包括在区间内，用空心点表示端点不包括在区间内．__________无穷区间的概念：－∞或＋∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间．数轴表示__________取遍数轴上所有值(1)区间是数轴上某一线段或射线或直线上的所有点所对应的实数的取值集合．这是一种符号语言，即用端点对应的实数、＋∞、－∞、方括号、圆括号等符号来表示数集；(2)区间符号内的两个字母(或数)之间要用“，”隔开；(3)“∞”是一个符号，不是一个数，它表示数的变化趋势；(4)区间的形式必须是前面的数小，后面的数大．如(3,2)就不是区间，(2,2)也不是区间，并不是所有数集都能用区间表示，如自然数集N，整数集Z等；(5)在平面直角坐标系中，(2,3)可表示点，也可表示区间，应用时注意区分，不能混淆．【做一做2】用区间表示下列数集：(1){x|5＜x≤8}＝__________；(2){x|x＜3，且x≠0}＝__________；(3)R＝__________.3．映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的______，在B中______元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的____．这时，称y是x在映射f的作用下的____，记作______．于是y＝f(x)，x称作y的__________．映射f也可记为______．其中A叫做映射f的________(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的________，通常记作______．如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的____一个元素，在集合A 中都______原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的______．理解映射的概念必须注意如下几点：(1)方向性，“集合A到集合B的映射”与“集合B到集合A的映射”往往不是同一个映射；(2)非空性，集合A，B必须是非空集合；(3)唯一性，对于集合A中的任何一个元素，集合B中都有唯一确定的元素与之对应，这是映射的唯一性，也可以说A中任一元素的象必在集合B中；(4)存在性，就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；(5)映射可以看成函数概念的推广，而函数是一种特殊的映射，在对应方面只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许“一对多”的对应．【做一做3－1】有下列各图中表示的对应：其中能构成映射的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1【做一做3－2】已知(x，y)在映射f下的象是(x＋y，x－y)，则(4,6)在f下的原象是()．A．(5，－1) B．(－1,5)C．(10，－2) D．(－2,10)一、函数符号“y＝f(x)，x∈A”中的“f”及f(x)与f(a)的区别与联系剖析：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如y＝f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如一次函数f(x)＝3x ＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，它也未必就是一个解析式，y＝f(a)表示自变量x＝a时的函数值，它是一个常数；y＝f(x)是函数，通常是一个随x变化而变化的变量．函数还可以用其他一些符号来表示，例如：F(x)，G(x)，h(x)，…，也就是说，不管用哪一个字母表示，它总是表达同样一个含义：y是x的函数．二、同一函数的判定剖析：一般地，判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可．两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数，注意以下四点： (1)定义域不同，两个函数也就不同．如y ＝x 2(x ∈R )与y ＝x 2(x ＞0)不是同一函数； (2)对应法则不同，两个函数也是不同的．如y ＝x 与y ＝x 2不是同一函数；(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则，如函数f (x )＝x 2与f (x )＝2x 2虽定义域和值域均相同，但它们不是同一函数；(4)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的，如f (x )＝2 012x ＋2 011，f (t )＝2 012t ＋2 011，g (x )＝2 012x ＋2 011都表示同一函数．题型一求函数的定义域【例1】求函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．分析：本题主要考查函数的定义域．只给出函数的解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合．反思：(1)已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即：①如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .②如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．③如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．④如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．⑤对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约． (2)本题容易错解：化简函数的解析式为y ＝x ＋1－1－x ，得函数的定义域为{x |x ≤1}．错解的原因是违背了讨论函数问题要遵循定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前，不要化简解析式．题型二简单函数值域的求法【例2】求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1x －3；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝2x －x －1.分析：求函数的值域没有统一的方法．如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如观察法、配方法、换元法等．反思：在求函数的值域时，常用的方法有：(1)观察法．通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法．(2)配方法．对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域，这就是配方法．(3)换元法．通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而求出函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．题型三求函数解析式【例3】已知f (x －1)＝x 2－2x ＋7. (1)求f (2)和f (a )的值；(2)求f (x )和f (x ＋1)的解析式．分析：利用代入法或换元法．对(1)可令x ＝3和x ＝a ＋1即可求得；对(2)可用“x ＋1”去替换f (x －1)中的“x ”即得f (x )，用“x ＋2”去替换f (x －1)中的“x ”即得f (x ＋1)．反思：已知类型为f [g (x )]＝h (x )的函数，求f (x )的解析式时，常常使用配凑法和换元法．在解答过程中，一定要把法则读懂，分清法则f 到底作用的变量是谁，然后利用化归的思想，把待求问题转向已知问题，从而使问题得以解决．题型四有关映射的问题【例4】判断下列对应法则是否是从A 到B 的映射和一一映射． (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |.(2)A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ≥0}，f ：x →y ＝x .(3)A ＝{x |x ≥2，x ∈Z }，B ＝{y |y ≥0，y ∈N }，f ：x →y ＝x 2－2x ＋2.分析：判断某一映射是否是一一映射，应抓住两点：①原象不同，象不同；②每个象都必须有原象．反思：由上面例题我们可以总结出：(1)按照映射的定义可知，映射应满足：①存在性：集合A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素；②唯一性：集合A 中的每一个元素在集合B 中只有唯一的对应元素．(2)一一映射的两个特点：①对于集合A 中不同的元素，在集合B 中有不同的象；②集合B 中的每一个元素都有原象，即对应形式为“一对一”，集合A ，B 中均没有剩余元素．【例5】已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x＋1，x 2＋1)，求A 中元素2的象和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54的原象．分析：本题考查映射的知识，把x ＝2代入即可求得2的象，⎝⎛⎭⎫32，54的原象可通过列方程组解出．反思：解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．一般已知原象求象时，常采用代入法．已知象求原象时，通常由列方程组法求解．求解过程中要注意象与原象的区别和联系．题型五易错辨析【例6】已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x )．错解：令x ＋4＝t ，则x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16，∴f (x )＝x 2－16.反思：在利用换元法求函数解析式时，一定要及时求出新自变量的取值范围，否则将导致所求函数定义域错误，进而引起一系列错误，如求值域、画图象等．1函数f (x )＝1x －1＋(x －2)0的定义域为( ) A ．[1，＋∞) B ．[1,2)∪(2，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(1,2)∪(2，＋∞) 2(2011·河北邯郸高一期末)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝xB ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3 C ．f (x )＝(x )2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2x3已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,1}，则A 到B 的一一映射有__________个．4函数y ＝1x 2＋x ＋1的值域为__________．5已知函数f (x ＋1)＝x 2－1，x ∈[－1,3]，求f (x )的解析式．答案：基础知识·梳理1．唯一的一个y 值自变量因变量任意数x 唯一 y ＝f (x )，x ∈A 函数f 或函数f (x ) (1)定义域函数值 y ＝f (a )或y |x ＝a {y |y ＝f (x )，x ∈A } (2)定义域对应法则 ①定义域对应法则 ②每一个唯一【做一做1－1】D 若两个函数表示同一函数，则需其定义域、对应法则都相同，缺一不可．选项A 中对应法则不同，选项B 中定义域不同，选项C 中定义域不同，仅有选项D 表示同一函数．【做一做1－2】{x |x ≤2 011，且x ≠2 010} 要使f (x )有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧2 011－x ≥0，x －2 010≠0，解得x ≤2 011且x ≠2 010.∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤2 011，且x ≠2 010}．2．(1)[a ，b ] {x |a ＜x ＜b }半开半闭区间 (2)[a ，＋∞){x |x ≤a } (－∞，＋∞)【做一做2】(1)(5,8] (2)(－∞，0)∪(0,3) (3)(－∞，＋∞)3．任意一个元素x 有一个且仅有一个映射象 f (x ) 原象 f ：A →B ，x →f (x ) 定义域值域 f (A ) 任意有且只有一个一一映射【做一做3－1】D 所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A 中每一个元素都必须参与对应．只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A 中的每一个元素在对应法则下，B 中都有唯一的元素与之对应．图(1)不是映射，因A 中的元素c 没有参与对应，即违背A 中的任一元素都必须参与对应的原则．图(2)、图(4)不是映射，这两个图中集合A 中的元素在集合B 中有多个元素与之对应，不满足集合A 中的任一元素在集合B 中有且仅有唯一元素与之对应的原则．综上，可知能构成映射的个数为1.【做一做3－2】A 由题意，根据对应关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1，故原象为(5，－1)．典型例题·领悟【例1】解：要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1且x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．【例2】解：(1)(观察法)y ＝2x ＋1x －3＝2＋7x －3.因为x ≠3，所以7x －3≠0，所以y ≠2.故所求函数的值域为{y |y ≠2}．(2)(配方法)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. 因为1≤x ＜5，所以函数的值域为{y |2≤y ＜11}．(3)(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0，且x ＝t 2＋1.所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝211548t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．因为t ≥0，所以158y ≥．故函数2y x -＝158y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭．【例3】解：(1)f (2)＝f (3－1)＝9－2×3＋7＝10，f (a )＝f [(a ＋1)－1]＝(a ＋1)2－2(a ＋1)＋7＝a 2＋6. (2)解法一(配凑法)：f (x )＝f [(x ＋1)－1] ＝(x ＋1)2－2(x ＋1)＋7＝x 2＋6，f (x ＋1) ＝f [(x ＋2)－1]＝(x ＋2)2－2(x ＋2)＋7＝x 2＋2x ＋7.解法二：f (x －1)＝x 2－2x ＋7＝(x －1)2＋6， ∴f (x )＝x 2＋6，f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6＝x 2＋2x ＋7. 解法三(换元法)：设t ＝x －1，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋7＝t 2＋6，,故f (x )＝x 2＋6. f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6＝x 2＋2x ＋7.【例4】解：(1)因为0∈A ，在f 作用下0→|0|＝0∉B ，,所以不是映射，更不是一一映射． (2)对于任意x ∈A ，都有x ∈B ，故是映射．又因为对B 中任一元素，在A 中有且仅有一个原象，所以为一一映射． (3)对任意的x ∈A ，依对应法则f 有x →y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，因为x ≥2，x ∈Z ，所以y ≥2，y ∈N ，即y ∈B ，所以是映射．因为0∈B ，且(x －1)2＋1＝0无解，所以集合B 中的元素0在A 中无原象，所以不是一一映射．【例5】解：把x ＝2代入f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，得其象为(2＋1,3)．由⎩⎨⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2的象为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54的原象为12. 【例6】错因分析：在换元时，未标明t 的取值范围，而使f (x )缺少定义域．正解：解法一(配凑法)：∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16， ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．解法二(换元法)：设x ＋4＝t ≥4，则x ＝t －4，即x ＝(t －4)2，∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16. ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．随堂练习·巩固1．D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －2≠0，解得x ＞1且x ≠2.∴函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．2．B 根据同一函数的判断标准，即定义域相同，对应法则也相同判断． 3．2 根据映射及一一映射的定义可建立如下一一映射：故共2个．4．⎝⎛⎦⎤0，43 ∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴0＜1x 2＋x ＋1≤43，∴值域为⎝⎛⎦⎤0，43. 5．分析：本题可用“配凑法”或“换元法”求f (x )的解析式．解：解法一(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－1＝(x ＋1)2－2(x ＋1)， ∴f (x )＝x 2－2x .又x ∈[－1,3]时，(x ＋1)∈[0,4]， ∴f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,4]．解法二(换元法)：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，且由x ∈[－1,3]知t ∈[0,4]，∴由f (x ＋1)＝x 2－1，得f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t ，t ∈[0,4]， ∴f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,4]．。