算术平均值及中误差-桂林工学院(精)

算术平均值及中误差

(一)算术平均值

当观测值的真值未知时，通常取多次观测值的算术平均值作为最后结果，并认为它时最可靠的，用来代替真值。算术平均值比组内任一观测值更为接近于真值，证明如下：

设对某量进行一组等精度观测，观测值分别为n L L L ,,,21 ，未知量的真值为x ，观测值的真误差分别为：n ∆∆∆,,,21 则

⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫-=∆-=∆-=∆n n L x L x L x 2211 4—28 将上式取和再除以n ，得

[][]L x n

L x n

-=-=∆ 4—29

式中：L ——观测值得算术平均值，显然 [][]n

x n

L L ∆-==

4—30

根据偶然误差的第四个特性，有 []x n

x L n n =∆-=∞

→∞

→)(

lim lim 4—31

观测次数n 无限增大时，算术平均值L 趋近于未知数的真值x ；当n 为有限时，算术

平均值最接近于真值，称其为最或然值，或称最可靠值。

（二）算术平均值中误差

观测值的最或然值与观测值之差，称为观测值改正数。当等精度观测时，算术平均值L 与观测值l 之差，即为观测值V 。

⎪⎪⎭

⎪

⎪

⎬⎫

-=-=-=n n L L V L L V L L V 2211 4—32 则有

[][]L L n V -= 4—33 由式[]n

L L =

代入可知：

[]0=V 4—34

（4-34）式说明观测值改正数的一个重要特征：在等精度观测条件下，观测值改正数的

总和为零。

在实际测量工作中，观测值的真值x 是未知的，在等精度观测中，往往只知道算术平均值L 和观测值改正数V ，这就不能用（4-5）式来计算观测值的中误差。而用观测值的改正数V 代替真误差，可推导出计算观测值的中误差公式(4-8)式：

[]1

-±

=n VV m

上式称白塞尔公式。现根据观测值的中误差，计算算术平均值中误差M 。

由算术平均值计算公式n

L L L L n

+++=

21，利用误差传播定律得：

2

22222122111n m n

m n m n M +++= 4—35

由于是等精度观测，则有：

m m m m n ==== 21 4—36 可得：

n m M 22

= 即n

m

M = 4—37

将（4-8）式代入得：

[]

)

1(-±

=n n VV M 4—38

(4-37)式表明，算术平均值中误差为观测值的中误差的

n

1

，M 恒小于m ，所以在实际工作中，可以用算术平均值作为观测结果，增加观测次数，可提高观测精度。

例6: 设用经纬仪测量某角度6个测回，观测值见下表，求观测值的中误差m 、算术平均值L 及其中误差M 。

利用白塞尔公式计算观测值的中误差m ，利用（4—36）计算算术平均值的中误差M ，

即

[]4.1)16(660)1(''±=-⨯±=-±==n n vv n

m M

最后结果及其精度为：

4.1542455''±'''=

L