(完整)高一数学基本初等函数教案
基本初等函数 教案
基本初等函数教案教案标题：基本初等函数教案目标：1. 理解基本初等函数的概念和特征；2. 掌握基本初等函数的图像、定义域、值域和性质；3. 能够应用基本初等函数解决实际问题。
教学内容：1. 基本初等函数的定义和分类；2. 基本初等函数的图像和性质；3. 基本初等函数的定义域和值域；4. 基本初等函数的应用。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引入基本初等函数的概念，让学生了解初等函数与常数函数、线性函数的区别；2. 通过举例，引导学生思考基本初等函数在生活中的应用。
二、概念讲解与示例分析（15分钟）1. 介绍基本初等函数的定义和分类，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；2. 分别讲解每种基本初等函数的图像和性质，并通过图像展示和实例分析来加深学生的理解。
三、定义域和值域的讨论（15分钟）1. 解释基本初等函数的定义域和值域的概念；2. 以各种基本初等函数为例，引导学生求解其定义域和值域，并进行讨论和总结。
四、应用实例分析（15分钟）1. 提供一些实际问题，让学生应用基本初等函数解决；2. 引导学生分析问题，选择合适的基本初等函数进行建模，并求解问题。
五、练习与拓展（15分钟）1. 给学生一些练习题，巩固基本初等函数的概念和运用能力；2. 鼓励学生拓展思维，尝试解决更复杂的问题。
六、总结与反思（5分钟）1. 对本节课学习的内容进行总结；2. 鼓励学生提出问题或反思，以便进一步完善教学。
教学资源：1. 教材：包含基本初等函数的相关知识点和例题；2. 幻灯片：用于呈现基本初等函数的图像和性质；3. 实例题库：包含基本初等函数的应用实例。
教学评估：1. 课堂练习：通过练习题，检查学生对基本初等函数的理解和应用能力；2. 问题解答：通过学生的提问和回答，评估学生对基本初等函数的掌握程度；3. 实际问题解决：观察学生在应用实例中的解决能力，评估其综合运用能力。
教学延伸：1. 探索更多基本初等函数的性质和应用；2. 引导学生进行实际调研，了解基本初等函数在不同领域的应用案例；3. 鼓励学生自主学习和探索，拓展基本初等函数的应用范围。
基本初等函数优秀教案
基本初等函数优秀教案介绍：本教案旨在帮助学生理解和掌握基本初等函数的性质、图像和变化规律。
通过多种活动和案例分析，学生将能够深入了解函数的定义、性质和应用。
教学目标：1. 理解基本初等函数的定义和性质；2. 掌握函数图像的绘制方法；3. 分析函数的变化规律和应用实例。
教学重点：1. 函数的定义和性质；2. 函数图像的绘制方法。
教学难点：1. 函数性质的理解和应用；2. 函数图像的多样性和变化规律。
教学准备：1. 教师备课资料：基本初等函数的性质、定义和应用实例；2. 学生学习资料：教材教辅及图表练习册。
教学过程：Step 1：引入（10分钟）教师通过简单的问题引起学生对函数的认知，例如：“什么是函数？”“你能举出几个函数的例子？”然后教师可介绍函数的定义和概念。
Step 2：认识基本初等函数（20分钟）教师将基本初等函数的种类和性质呈现给学生，如常数函数、线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
学生可以观察并分析这些函数的特点和图像。
Step 3：讨论函数性质（30分钟）学生分小组进行讨论，探究基本初等函数的性质。
教师可提供一些引导性问题，如“常数函数的图像是什么样的？”、“线性函数和二次函数的图像有什么区别？”等。
学生通过分析和讨论，总结出函数的性质。
Step 4：绘制函数图像（30分钟）学生根据教师提供的函数表达式，利用图表练习册上的坐标纸和绘图工具，绘制基本初等函数的图像。
教师可以带领学生一起绘制，同时解答学生在绘图过程中的问题。
Step 5：探索函数变化规律（30分钟）学生通过观察和分析绘制的函数图像，总结出函数的变化规律和特点。
教师可以给学生提供一些实际问题，引导学生应用函数进行解决。
Step 6：应用实例分析（20分钟）教师给学生提供一些实际生活中的问题，要求学生分析并应用基本初等函数进行解决。
学生可以通过函数的图像和变化规律，找到问题的合理解决方法。
Step 7：总结与延伸（10分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并对学生的学习情况进行评价。
基本初等函数
武汉龙文教育学科辅导教案学生教师谭灏文学科高中数学时间星期时间段教学目标：1.理解函数单调性的定义，明确增函数、减函数的图象特征；2.理解函数最大、最小值的概念与图象意义；教学重难点：重点：应用函数单调性求函数最大或最小值；难点：单调性概念的形成，理解函数最值可取性的意义。
教学流程及授课提纲一．指数函数指数函数是数学中重要的函数。
应用到值x 上的这个函数写为exp(x)。
还可以等价的写为e x，这里的 e 是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，还叫做欧拉数。
作为实数变量x 的函数，y=ex 的图像总是正的(在x 轴之上)并递增(从左向右看)。
它永不触及x 轴，尽管它可以任意程度的靠近它(所以，x 轴是这个图像的水平渐近线。
它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x 上。
有时，特别是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如ka x的函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数。
本文最初集中于带有底数为欧拉数e 的指数函数。
最简单的，指数函数按恒定速率翻倍。
例如细菌培养时细菌总数(近似的)每三个小时翻倍，和汽车的价值每年减少10% 都可以被表示为一个指数。
使用自然对数，你可以定义更一般的指数函数。
函数定义于所有的a > 0，和所有的实数x。
它叫做底数为a 的指数函数。
注意这个的定义依赖于先前确立的定义于所有实数上的函数的存在。
(这里我们先既不在形式上的也不概念上明确这样一个函数是否存在，或非自然指数意味着什么。
)注意上述等式对于a = e 成立，因为指数函数可“在加法和乘法之间转换”，在下列“指数定律”的前三个和第五个中表述:它们对所有正实数a 与b 和所有实数x 与y 都是有效的。
涉及分数和方根的表达式经常可以使用指数符号简化:对于任何a > 0，实数b，和整数n > 1:二．对数函数函数依赖于α和x二者，但是术语对数函数在标准用法中用来称呼形如的函数，在其中底数α是固定的而只有一个参数x。
河北省高一数学上册 第二单元《基本初等函数(I)》全套教案
河北省高一数学上册第二单元《基本初等函数（I）》全套教案本单元以元素与集合为主题，分为三篇课文，通过本单元学习，引导学生明白理解基本初等函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用。
2.1 指数函数教学目标：知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用.能力目标：1.通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类2.讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法，增强识图用图的能力.情感目标:通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质.教学重点：指数函数的图象、性质及其简单运用.教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系.学前准备：多媒体辅助教学.教学过程：2.2. 对数函数教学目标：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能．会运用对数的运算性质解决有关问题．教学重点：对数函数的图象、性质及其简单运用.教学难点：对数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系.教学过程：教学后记2.3 幂函数教学目的：（1.知识与技能目标了解幂函数的概念, 会画五个简单的幂函数12132,,,,-=====xyxyxyxy xy的图象，能根据图象概括出幂函数的一般性质，同时能应用幂函数的图象和性质解决相关的简单问题；2.过程与方法目标引导学生从具体幂函数的图象与性质中归纳出共性，培养学生的识图能力和抽象概括能力，培养学生数形结合的意识；通过对幂函数的学习，了解类比法在研究问题中的作用，使学生进一步熟练掌握研究一般函数的思想方法；3.情感、态度与价值观目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，引导学生主动参与作图、分析图象的特征，培养学生合作、交流、探究的意志品质，并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律，感受数学的对称美、和谐美，同时信息技术的应用也会激发学生的求知欲望.四、教学重难点：重点：通过具体实例认识幂函数的概念，研究其性质，体会图象的变化规律．难点：幂函数的图象与性质的简单应用重、难点突破措施：1.以情感人，以理醒人创设情境中：问题开题，扣人心弦；层层探究中：分类探究，步步为营，丝丝入扣.2.数形结合现代的多媒体技术直观、形象展示幂函数的指数与图象之间的关联，突破重难点.教具：利用ppt、几何画板、DrawTools等多媒体手段辅助教学.：一般研究函数从哪些方面着手？类比之前研对数函数的方法一般研究函数从其定义奇偶性与单调性等一般借助函数的图：幂函数图像：幂函数在区：增函数在上的图象特征与指数：减函数在何动手操作：根据上述图象的特征，填写表格可以看出，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的图象和性质也存在着很大的差异，下面就请同学们通过观察图象来探寻幂函数的一些共性.从图象中可以看出，<α时，幂函数αxy=在第一象限的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴函数请画出该函数的草图的定义可知，m数的草图，究函数的性质。
人教版高中数学必修一《基本初等函数》全章教学设计
第二章 基本初等函数 §2．1指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）第一课时：教学目标：1.理解n 次方根、根式的概念；2.正确运用根式运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教学重点：根式的概念、运算性质 教学难点：根式概念的理解 教学方法：学导式 教学过程：（Ⅰ）创设情景；阅读问题1、问题2，认识将指数的取值范围进行推广的重要性和必要性。
（Ⅱ）复习回顾 ___； -9)0a _____(2≥=；（Ⅲ）讲授新课 22=4 ，（-2）2=4 ⇒ 2，-2叫4的平方根 23=8 ⇒ 2叫8的立方根； （-2）3=-8⇒-2叫-8的立方根 25=32 ⇒ 2叫32的5次方根 … 2n =a ⇒2叫a 的n 次方根 1.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？na x =是否正确？次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。
此时，a 的n 次方根可表示为na x =。
从而有：3273=，2325-=-，236a a =数，负数没有n 次方根。
此时正数a 的n 次方根可表示为：)0a (a n >± 其中n a 表示a 的正的n 次方根，n a -表示a 的负的n 次方根。
结论3：0的n 次方根是0，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。
这样，可在实数范围内，得到n 次方根的性质： 3.n 次方根的性质：（板书）*)(2,12,N k kn a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+== 其中叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
注意：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。
4.根式运算性质：（板书）①a a nn =）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。
问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ ②⎩⎨⎧=为偶数为奇数；n a n a a nn|,|,性质的推导（略）： （III ）课堂练习：求下列各式的值通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。
高一数学基本初等函数教案
第二章基本初等函数（Ⅰ）一、课标要求：教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.5.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.7.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0,a≠1），初步了解反函数的概念和f--1(x)的意义.8.通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,y x y x y x y x-====的图象，了解它们的变化情况.二、编写意图与教学建议：1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.2.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.4.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.5.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能..6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.三、教学内容与课时安排的建议本章教学时间约为14课时.2.1指数函数：6课时2.2对数函数：6课时2.3幂函数：1课时小结：1课时§2.1.1 指数（第1—2课时）一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解； （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解 三．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体 四、教学设想：第一课时一、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零. 二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.n 次方根：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊,当n 为偶数时，a 的n表示，如果是负数，用叫做根式.n 为奇数时，a 的n 次方表示，其中n 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？n a n a n a n ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n0=举例：16的次方根为2±，275-的27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.根据n 次方根的意义，可得：n a =n a =a n 的n 次方根，a =一定成立吗？如果不一定成立，等于什么？让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n a =n 为偶数,,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩|8|8==-=-=小结：当n 再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误： 例题：求下列各式的值（1）(1)(2) (3)(4)分析：当n ||a =，然后再去绝对值.n =是否成立，举例说明. 课堂练习：1. 求出下列各式的值1)a ≤21,a a =-求的取值范围.3三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,n 为偶数时，x =2．掌握两个公式：(0),||(0)n a a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时3．作业：P 69习题2.1 A 组 第1题第二课时提问：1．习初中时的整数指数幂，运算性质？00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义1(0)n na a a -=≠;()m n m n m n mn a a a a a +⋅== (),()n m mn n n n a a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0①1025a a===②842a a===③1234a a===1025a a===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：23(0)a a==>12(0)b b==>54(0)c c==>*(0,,1)mna a n N n=>∈>为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：*0,,)mna a m n N=>∈正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,,)mnmna a m n Na-=>∈规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)nm m m ma a a a a=⋅⋅⋅⋅>由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,,)r s r sa a a a r s Q+⋅=>∈（2）()(0,,)r S rsa a a r s Q=>∈（3）()(0,0,)r r ra b a b Q b r Q⋅=>>∈若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62——P62..时，(如课本图所所以，.一般来说，无理数指数幂(0,)pa a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈3．例题 （1）．（P 60，例2）求值 解：① 2223323338(2)224⨯====② 1112()21222125(5)555--⨯--====③ 5151(5)1()(2)2322----⨯-===④334()344162227()()()81338-⨯--===（2）．（P 60，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）解：117333222a a a aa +=⋅==228222333a a a a a +⋅==421332()a a ====分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 课堂练习：P 63练习 第 1，2，3，4题 补充练习：1. 计算：122121(2)()248n n n ++-⋅的结果 2. 若13107310333,384,[()]n a a a a a -==⋅求的值1．分数指数是根式的另一种写法.2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.作业：P69习题2.1 第2题第三课时一．教学目标1．知识与技能：（1）掌握根式与分数指数幂互化；（2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.2．过程与方法：通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.3．情感、态度、价值观（1）培养学生观察、分析问题的能力；（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.二．重点、难点：1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.三．学法与教具：1．学法：讲授法、讨论法.2．教具：投影仪四．教学设想：1．复习分数指数幂的概念与其性质2．例题讲解例1．（P60，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（2）31884 () m n-（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.解：（1）原式=211115326236 [2(6)(3)]a b+-+-⨯-÷-=0 4ab =4a（2）原式=318884()() m n-=23m n - 例2．（P 61 例5）计算下列各式 （1）-（22(a ＞0）分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解：（1）原式= 111324(25125)25-÷ = 231322(55)5-÷ = 2131322255---= 1655-= 5（2）原式=125222362132a aa a a--===⋅小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数. 课堂练习：化简：（1）2932)-（2（3）归纳小结：1． 熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算. 作业：P 65 习题2.1A 组 第4题B 组 第2题2.1.2指数函数及其性质（2个课时）一. 教学目标：1．知识与技能①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题，分析问题的能力. 3．过程与方法展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. 二．重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用. 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体.第一课时一．教学设想： 1. 情境设置①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)xy x x =∈≤与问题(2)t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2，请问这两个函数有什么共同特征.②这两个函数有什么共同特征157301][()]2t P =t57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用xy a =（a ＞0且a ≠1来表示）.二．讲授新课 指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2xy =-（4）x y π= （5）2y x = （6）24y x =（7）x y x = （8）(1)xy a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,xy == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)xy a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究a ＞1的情况用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2xy =的图象x 3.00- 2.50- 2.00- 1.50- 1.00- 0.00 0.50 1.00 1.50 2.002x y =18-14121 2 4再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数()2x y =的图象.x2.50- 2.00-1.50- 1.00-0.00 1.00 1.50 2.00 2.501()2x y =14121 2 4- - ------ - -----xy0 y =2x从图中我们看出12()2x x y y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2x x y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2xy =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图象.问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看xy a =（a ＞1）与xy a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.- - -- ----------xy 0问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 问题3：指数函数xy a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系. 图象特征函数性质a ＞1 0＜a ＜1 a ＞1 0＜a ＜1向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方函数的值域为R +函数图象都过定点（0，1） 0a =1自左向右， 图象逐渐上升 自左向右， 图象逐渐下降 增函数减函数在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 x ＞0，x a ＞1 x ＞0，x a ＜1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1在第二象限内的图 象纵坐标都大于1x ＜0，x a ＜1x ＜0，x a ＞15．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[,]xa b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例题：例1：（P 66 例6）已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.分析：要求(0),(1),(3),,xf f f a x π-13的值,只需求出得出f()=()再把0，1，3分别代入x ，即可求得(0),(1),(3)f f f -.提问：要求出指数函数，需要几个条件？ 课堂练习：P 68 练习：第1，2，3题补充练习：1、函数1()()2x f x =的定义域和值域分别是多少? 2、当[1,1],()32xx f x ∈-=-时函数的值域是多少?解（1）,0x R y ∈> （2）（－53，１）例2：求下列函数的定义域： （1）442x y -= （2）||2()3x y =分析：类为(1,0)xy a a a =≠>的定义域是R ，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得 . 3．归纳小结作业：P 69 习题2.1 A 组第5、6题1、理解指数函数(0),101xy a a a a =>><<注意与两种情况。
初等函数教案模板高中
课时：2课时年级：高一年级教材：《高中数学》人教版教学目标：1. 理解初等函数的概念，掌握基本初等函数的种类及其性质。
2. 能够运用初等函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
教学重难点：1. 重点：掌握基本初等函数的概念和性质，能够区分不同类型的基本初等函数。
2. 难点：理解初等函数在解决实际问题中的应用，提高学生的数学应用能力。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习初中阶段函数的概念，回顾函数的定义、定义域、值域等概念。
2. 通过生活中的实例，如温度与时间的关系、路程与时间的关系等，引导学生理解函数在生活中的应用。
二、新课讲解1. 介绍基本初等函数的概念，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
2. 讲解每种基本初等函数的定义、性质和图像特点，引导学生通过观察图像来理解函数的性质。
三、课堂练习1. 学生独立完成教材中的例题，巩固对基本初等函数的理解。
2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调基本初等函数的概念和性质。
2. 强调函数在解决实际问题中的重要性。
第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学的基本初等函数的概念和性质。
2. 通过提问的方式，检查学生对基本初等函数的理解程度。
二、新课讲解1. 介绍初等函数的运算，包括函数的加、减、乘、除和复合运算。
2. 讲解函数的图像变换，如平移、伸缩、对称等，引导学生通过变换图像来理解函数的性质。
三、课堂练习1. 学生独立完成教材中的例题，巩固对初等函数运算和图像变换的理解。
2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
四、实际问题应用1. 引导学生运用所学知识解决实际问题，如计算物体的运动速度、求解物体的高度等。
2. 学生分组讨论，共同解决问题，教师巡视指导。
五、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调初等函数的运算和图像变换。
2. 强调初等函数在解决实际问题中的重要性。
基本初等函数教案
基本初等函数教案章节一：函数概念与基本性质1. 教学目标（1）理解函数的定义及表示方法。
（2）掌握函数的基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
（3）学会运用函数的基本性质解决实际问题。
2. 教学内容（1）函数的定义及表示方法。
（2）函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
（3）函数性质在实际问题中的应用。
3. 教学方法采用讲授法、案例分析法、讨论法相结合，引导学生主动探究、积极思考。
4. 教学步骤（1）引入函数概念，讲解函数的定义及表示方法。
（2）通过例题，引导学生掌握函数的基本性质。
（3）分析实际问题，展示函数性质在解决问题中的应用。
5. 课后作业（1）复习本节课的内容，整理笔记。
（2）完成课后练习题，巩固所学知识。
章节二：幂函数与指数函数1. 教学目标（1）了解幂函数、指数函数的定义及性质。
（2）掌握幂函数、指数函数在实际问题中的应用。
2. 教学内容（1）幂函数的定义及性质。
（2）指数函数的定义及性质。
（3）幂函数、指数函数在实际问题中的应用。
3. 教学方法采用讲授法、案例分析法、讨论法相结合，引导学生主动探究、积极思考。
4. 教学步骤（1）讲解幂函数的定义及性质，举例说明幂函数在实际问题中的应用。
（2）介绍指数函数的定义及性质，分析指数函数在实际问题中的应用。
（3）通过练习题，巩固幂函数、指数函数的知识。
5. 课后作业（1）复习本节课的内容，整理笔记。
（2）完成课后练习题，巩固所学知识。
章节三：对数函数1. 教学目标（1）了解对数函数的定义及性质。
（2）掌握对数函数在实际问题中的应用。
2. 教学内容（1）对数函数的定义及性质。
（2）对数函数在实际问题中的应用。
3. 教学方法采用讲授法、案例分析法、讨论法相结合，引导学生主动探究、积极思考。
4. 教学步骤（1）讲解对数函数的定义及性质，举例说明对数函数在实际问题中的应用。
（2）通过练习题，巩固对数函数的知识。
5. 课后作业（1）复习本节课的内容，整理笔记。
高中数学_第三章 基本初等函数(Ⅰ)教学设计学情分析教材分析课后反思
基本初等函数（Ⅰ）教学设计一、课堂导入基本初等函数（Ⅰ）单元测试的学生掌握情况进行说明，成绩总体理想，对优秀生表示祝贺，对得分的分数段进行说明，把握自己的位置。
板书：基本初等函数（Ⅰ）二、课堂活动1、展示优秀生的试卷，让学生直观感受差距，激发学生的内在动力。
（优秀生试卷：该生掌握内容扎实，扣掉了一分，对于实际应用问题结果的取舍要做好把握，不是仅仅四舍五入即可。
）2、活动一：函数定义域定义域优先，总结常见函数的定义域求法，学生自主内化知识。
学生完成跟踪测试1，进一步提升理性的认知过程。
展台展示学生的求解，强调必须写成集合和区间的形式，突破易错点。
讲解学生试题出错的题目，提升学生的认知水平，引导学生进一步辨析把握定义域的求法。
3、活动二：二次函数和指对函数的简单复合类型的值域。
通过展示学生求解出现的问题，主动分析需要注意的问题，依托基本初等函数模型换元，同时注意要紧跟元的范围，这是易漏点。
然后教师规范展示二次函数和指对函数的简单复合类型的求解过程。
引导学生一块分析探究方法，首先注意从形式上统一，把握相关性，建立沟通联系，建立知识生成点。
通过跟踪测试2实现学生理性认知的升华，展台展示学生的做题成果。
4、活动三：奇偶性，单调性的综合问题定义域值域之外，还要掌握函数的性质，讲解试题出现的题目，试题出现偶函数的题目，相应的跟踪测试奇函数的类似题目，跟踪测试3学生完成后自主讲解，学会分析问题。
5、合作探究：图像变换函数性质离不开图像，掌握基本的函数图像，还要掌握图像变换，学会如何从图像当中筛选信息。
首先是平移变换，原则是左加右减，讲解典型题目。
对称变换，第9题错的比较多，看一下常见对称变换。
小组讨论：同学们小组讨论一下对称变换的原则，在交流中掌握知识，激发学习的内在动力。
讨论后，教师引导学生主动发言。
教师：哪一个小组愿意分享一下。
升华总结后，让学生完成跟踪检测。
6、活动五：分段函数分段函数也是常考问题。
试卷出现两个典型题目，教师诱导发问都是知道谁求谁，学生认识到都是知自变量求函数值，教师提出还要学会知道自变量求函数值，学生完成跟踪测试5。
初等函数教案模板高中版
课时安排：2课时教学对象：高中一年级学生教学目标：1. 知识与技能：理解初等函数的概念，掌握常见初等函数的性质，能够根据实际问题分析函数关系，并能运用初等函数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过实例分析，引导学生自主探究初等函数的定义、性质及图像，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养严谨、求实的科学态度。
教学重点：1. 初等函数的概念及性质。
2. 初等函数的图像。
教学难点：1. 初等函数的性质与图像之间的关系。
2. 运用初等函数解决实际问题。
教学过程：第一课时一、导入新课1. 复习初中阶段所学的函数知识，引导学生回顾函数的定义、性质及图像。
2. 提出问题：如何将实际问题转化为函数问题？二、讲授新课1. 初等函数的概念：通过实例（如：物体运动的速度与时间的关系）引入初等函数的概念，让学生理解函数的定义。
2. 常见初等函数的性质：介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见初等函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
3. 初等函数的图像：讲解如何绘制一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见初等函数的图像，并引导学生观察图像特点。
三、课堂练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调初等函数的概念、性质及图像。
2. 提出思考问题：如何运用初等函数解决实际问题？第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学内容，引导学生思考如何运用初等函数解决实际问题。
二、讲授新课1. 初等函数的应用：通过实例（如：物体运动的速度与位移的关系）介绍初等函数在实际问题中的应用。
2. 运用初等函数解决实际问题：讲解如何将实际问题转化为函数问题，并运用所学知识求解。
三、课堂练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调初等函数的应用。
高一数学基本初等函数教案
欢迎共阅教学课题: 高一数学-----基本初等函数教学目标: 1. 了解几种特殊的基本初等函数2. 应用函数的性质解题教学重难点：重点：基本初等函数基础知识点的熟练掌握 难点：基本初等函数的实际应用核心内容：知识点一：指数与对数的运算1、n 次方根*∈>N n n ,1有如下恒等式：()a a n n=；⎩⎨⎧=为偶数为奇数n a n a a nn ,, 2、规定正数的分数指数幂：n mnm a a =;nmnmnm aaa 11==-()1,,,0>∈>*n Nn m a 且例1、求下列各式的值：（1）()()*∈>-N n n n n且,13π； （2）()2y x -例2、化简：（1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-； （2）)0,0()(3421413223>>⋅b a abb a ab b a ； 3、对数与指数间的互化关系：当10≠>a a ，且时，N a b N b b =⇔=log 4、负数与零没有对数；1log ,01log ==a a a 5、对数的运算法则：（1）()N M N M a a a log log log +=⋅， （2）N M NMa a a log log log -=， （3）M n M a n a log log =， （4）M mnM a n a m log log =（5）aN N b b a log log log =， （6）a b b a log 1log =其中1,0≠>a a 且，0>M ，0>N ,R n ∈.，例3、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）128127=-； （2）273=a ； （3）1.0101=-； （4）532log 21-=； （5）3001.0lg -=； （6）606.4100ln =.例4、计算下列各式的值：（1）001.0lg ； （2）8log 4 ； （3）e ln . 例5、已知 ()[]0log log log 234=x ，那么21-x 等于例6、求下列各式的值：（1）8log22； （2）3log 9.例7、求下列各式中x 的取值范围：（1）()3log 1+-x x ； （2）()23log 21+-x x .例8、若1052==b a ，则=+ba 11 ；方程()13lg lg =++x x 的解=x ________例9、（1）化简：7log 17log 17log 1235++； （2）设4log 2006log 5log 4log 3log 20062005432=∙∙⋅⋅⋅∙∙∙m ，求实数m 的值. 例10、（1）已知518,9log 18==b a ，试用b a ,表示45log 18的值； （2）已知b a ==5log ,7log 1414，用b a ,表示28log 35 知识点二：指数函数、对数函数与幂函数的性质与图象1、指数性质：定义域为R ，值域为()+∞,0；当0=x 时，1=y ，即图象过定点(0,1)；当 0<a <1时，在R 上是减函数，当1>a 时，在R 上是增函数. 例1、求下列函数的定义域： （1）xy -=312； （2） xy -=5)31(； （3）1001010010-+=x x y例2、求下列函数的值域：（1）132)31(-=x y ； （2）124++=x x y例3、函数()b x a x f -=的图象如图，其 中b a ,为常数，则下列结论正确的是（ ）. A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10><<b a D ．0,10<<<b a 例4、已知函数 ()()1,032≠>=-a a a x f x 且.（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性 变形：函数()1,01≠>+=a a a y x 且的图象必经过点例5、按从小到大的顺序排列下列各数：23 ，23.0 ，22，22.0 .例6、已知()1212+-=x x x f . （1）讨论()x f 的奇偶性；（2）讨论()x f 的单调性.例7、求下列函数的单调区间：（1）322-+=x xa y ； （2）12.01-=x y .注：复合函数()()x f y ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”， 即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：i 、求定义域；ii 、拆分函数；iii 、分别求()()x u u f y ϕ==,的单调性；iv 、按“同增异减”得出复合函数的单调性.2. 对数函数的性质：定义域为（0，+∞），值域为R ；当x = 1时，y =0 ，即图象过定点(1,0)；当0 <a < 1 时，在（0，+∞） 上递减，当 a > 1 时，在（0，+∞）上递增.例1、比较大小：（1）9.0log ,7.0log ,8.0log 8.09.09.0； （2）31log ,3log ,2log 423例2、求下列函数的定义域：（1）)53(log 2-=x y ； （2）()34log 5.0-=x y 例3、已知函数()()3log +=x x f a 的区间[-2,-1]上总有|)(x f |< 2，求实数a 的取值范围. 例4、求不等式()()()1,014log 72log ≠>->+a a x x a a 且中x 的取值范围. 例5、讨论函数()x y 23log 3.0-=的单调性.例6、图中的曲线是 x y a log =的图象，已知a 的值为2，34，103，51，则相应曲线4321,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A.2，34，51,103 B.2，34，103，51B.C.51,103,34,2 D.34,2,103, 51例7、已知函数)1(log )(2-=x x f a )1(>a ，)1(求)(x f 的定义域； )2(判断函数的奇偶性和单调性。
高中数学人教新课标必修一B版教案基本初等函数(I)单元教学设计
人教B版，必修1，基本初等函数（Ⅰ）单元教学设计一、教材分析1、本单元教学内容的范围第三章的主要内容是指数函数、对数函数和幂函数这三种函数模型.本章共分四大节，共14课时.第一大节3.1指数与指数函数分2小节（3.11-3.12）共4课时.该节首先引入整数指数幂和分数指数幂的概念.在初中已经学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念的基础上，本节复习了正整数指数幂、零指数、负整数指数幂的概念，并且复习了正整数指数幂的运算法则.有了这些知识，本章将指数幂的概念和运算性质逐步扩充到有理指数幂以及实数指数幂. 接着通过两个具体的例子引入了指数函数，并对指数函数的图象和性质进行了研究.第二大节3.2对数与对数函数分3小节（3.2.1-3.2.3），共5课时，该节首先学习对数和对数的运算法则，然后再学习对数函数及其图象和性质，对数函数的图象是在画指数函数图象的对应值表的基础上描绘的，对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.接着，通过对指数函数与对数函数的关系的研究给出了反函数的含义，并对这两种函数的增长差异进行了比较.第三大节3.3幂函数只安排了1个课时.该节通过考查已经学过的函数，引出了幂函数的概念，然后研究了幂函数的图象和性质.第四大节3.4 函数的应用（Ⅱ）也安排了1个课时，举例说明了指数函数、对数函数和幂函数在经济学、物理学等领域中的应用.为了加强数学的应用意识，体现函数作为刻画现实世界变量之间相互关系的数学模型的作用，在第四大节的“探索与研究”中安排了“如何建立数学模型”的内容，在章末安排了“实习作业”.另外，在本章内容的讲解过程中，特别注意通过一些社会生活中的实例来展示指数函数、对数函数和幂函数作为函数模型的广泛应用.为了体现数学文化的作用，本章安排了两个阅读材料，通过介绍对数方法产生的历史以及建立对数与指数的联系的过程，引导学生体会数学与社会生产生活之间的紧密联系，认识对数在人类社会发展、科技进步中的作用，以及社会生产生活的需要对数学发展的促进作用.另外，通过介绍对数方法先于指数概念，对数的发明没有应用指数与对数的互逆关系这一历史，可以让学生体会数学发展的不同轨迹，从而激发学生的学习兴趣.2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用本章内容是在学完函数概念以及函数基本性质后的情况下，较为系统地研究指数函数、对数函数、幂函数，它是函数内容学习的继续和深入（第二阶段）．基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型，由于我们生活在充满变化的现实世界中，其中有一类具有重要的运动变化的关系，如GDP 的增长问题、人口增长问题、细胞分裂、考古中所用的14C 的衰减、药物在人体内残留量的变化等，结合实际问题，可以感受观察、抽象概括并建立数学模型的过程和方法，通过计算工具，感知指数函数、对数函数以及幂函数增长的差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同的函数类型增长的含义．体会函数在数学和其他学科中的重要性，体现数学的应用价值．学生在以前学习中，已经经历过“数”的扩充过程，由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系，本章继续体现这样扩充的思路，实现指数概念的扩充进而进一步研究幂函数概念，依据两个原则：①数学发展的需要；②基本运算能无限制地进行，把“指数函数、对数函数、幂函数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化、系统化的精神． 本章是在上一章学习函数及其性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、幂函数这三个高中阶段重要的函数．这是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识，并初步培养函数应用意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性．可以说这一章起到了承上启下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，对学生掌握基础的数学语言，学好高中数学起着重要的作用． 3、本单元教学内容总体教学目标学生通过本章学习，可以了解指数函数、对数函数等的实际背景，理解指数函数、对数函数、幂函数的概念与基本性质，了解五种幂函数，体会建立和研究一个函数的基本过程和方法，同时会用它们解决一些实际问题． 一知识目标1.了解指数函数模型的实际背景2．理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 3．经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，掌握对数的运算性质．4．经历由正整数指数函数逐步扩充到实数指数函数的过程，由指数函数的概念、图象与性质得到对数函数的概念、图象与性质的过程，并通过具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，掌握指数函数和对数函数的概念、图象以及性质．5．收集现实生活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实例，了解它们的广泛应用．6．利用计算工具、比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．7．了解指数y=a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y=log a x (a >0，且a ≠1)的图象关系，初步了解指数函数和对数函数互为反函数的关系．8．通过特殊的幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =21x ，y =1x 了解幂函数9．引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、幂函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．10．鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题．例如，利用科学计算器、计算机画出指数函数、对数函数和幂函数的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质．(二)能力目标1．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力．2．培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力．3．培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力．(三)价值目标1．培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质．2．培养学生观察分析、抽象概括能力，数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力．3．学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用价值．4、本单元教学内容重点和难点分析重点：指数函数和对数函数的性质.难点：无理指数幂的含义以及指数和对数的关系.5、本单元内容《新课标》与《大纲》的比较（1）本单元内容《新课标》与《大纲》的目标对比（2）变化之处1．加强的内容(1)加强了函数模型的背景和应用的要求．了解指数函数模型的实际背景，了解对数函数模型的实际背景；认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集生活中普遍使用的函数模型实例体会函数模型应用的现实意义．要求学生了解无理数指数幂的意义，感受用有理数指数幂逼近无理指数幂的过程，通过“过剩近似值”与“不足近似值”两个方向逼近，认识无理指数幂是一个确定的实数，明确有理数指数幂的运算性质在无理数范围内也是成立的，大纲只要求掌握有理数指数幂的运算．在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解．新课标在指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别，新课标更侧重于指数型函数与对数型函数的教学．(2)加强了信息技术整合的要求．明确指出了要运用信息技术进行教学，如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相应方程的近似解等．这都体现了加强与信息技术整合的要求，加强了函数模型的背景和应用的要求.在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，有利于加深学生对函数概念的理解． 2．削弱的内容(1)削弱了对定义域、值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技巧化的训练．(2)削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数xa y =（1,0≠>a a 且）与对数函数xlog y a =（1a ,0a ≠>且）是互为反函数；不要求形式化的理解其概念，也不要求求已知函数的反函数,复合函数的概念仍放到“导数及其应用”的相关内容中．对于对数函数内容的要求也有所降低．这都是为了尽可能地减轻学生的负担．（1）增加了幂函数(y =x ，y =x 2，y =x 3，y =21x ，y =1-x )的内容； （2）换底公式又恢复为教学内容. 6.教学建议1．指数函数、对数函数等有其丰富的实际应用价值，在教学中，应让学生充分感受指数函数的应用，如通过GDP 的增长问题、14C 的衰减，考古、地震、pH 的测定等，体现数学的应用价值．2．应强调在基本初等函数学习中所蕴涵的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、逼近的思想(有理指数幂逼近无理指数幂)、数形结合的思想(用指数函数、对数函数、幂函数的图象探究指数函数的性质)、归纳思想、类比思想(如从指数的运算律类比对数的运算律)等．引导学生用类比的思想方法，将指数函数、对数函数、幂函数的研究方法统一起来，并加以归纳总结．在本章教学中尤其应注意加强数形结合、几何直观等数学思想方法的学习要求，可先从分析具体的函数图象与性质入手，观察分析、体验探索、归纳概括，进而得到的基本初等函数的图象与性质．这是教学的重点之一，强调指数函数和对数函数的底数a 对函数值变化的影响，这是教学的难点，应注意贯穿分类讨论的思想方法，化解难点、突出重点．3．教学过程中要注意发挥信息技术的优势，尽量利用计算机或计算器等创设教学情境，绘制指数函数、对数函数、幂函数的图象，为学生的数学探究与数学思维创设有利的环境和条件．4．教材中对反函数的概念要求作了较大的调整和降低，只要求知道指数函数xa y =（1,0≠>a a 且）与对数函数x y a log =（1,0≠>a a 且）是互为反函数，对反函数的形式化的符号和推理不作一般性的要求。
基本初等函数教案
基本初等函数教案教案标题：基本初等函数教案教案目标：1. 了解基本初等函数的概念和特性；2. 掌握基本初等函数的图像、定义域、值域和性质；3. 能够应用基本初等函数解决实际问题。
教学重点：1. 基本初等函数的定义和性质；2. 基本初等函数的图像和特点。
教学难点：1. 基本初等函数的应用解决实际问题；2. 不同基本初等函数之间的比较和分析。
教学准备：1. 教学课件、投影仪和计算器；2. 学生练习册、教材和参考书籍。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用一些简单的实际问题引入基本初等函数的概念，例如：小明在一小时内以匀速行驶，小明的行驶距离与时间的关系等。
二、概念讲解（15分钟）1. 定义基本初等函数：介绍基本初等函数的概念和基本形式，例如：线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等；2. 介绍基本初等函数的图像和性质，例如：线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线等。
三、图像展示与分析（20分钟）1. 利用教学课件展示不同基本初等函数的图像，并解释其特点和性质；2. 引导学生通过观察图像分析不同基本初等函数之间的区别和联系。
四、应用举例（15分钟）1. 通过实际问题的例子，引导学生应用基本初等函数解决问题，例如：根据某商品的销售数据，利用线性函数预测未来的销售情况等；2. 分组讨论和展示解决问题的方法和答案。
五、练习与巩固（20分钟）1. 发放学生练习册，让学生自主完成相关练习；2. 教师巡回指导和解答学生的问题；3. 针对性地进行错题讲解和强化训练。
六、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，要求学生独立完成；2. 强调作业的重要性，鼓励学生主动思考和解决问题。
教学反思：通过本节课的教学，学生可以初步了解基本初等函数的概念、图像和性质，并能够应用基本初等函数解决实际问题。
在教学过程中，可以通过举例和练习来提高学生的学习兴趣和动手能力。
同时，教师还应注重培养学生的分析和解决问题的能力，引导学生主动思考和探索。
高一数学第二章基本初等函数(I)教案新课标数学必修1
课题：§2.1.1指数教学目的：（1）掌握根式的概念；（2）规定分数指数幂的意义；（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；（5）了解无理数指数幂的意义教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．教学过程：一、引入课题1．以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性2．由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；3．复习初中整数指数幂的运算性质；4．初中根式的概念；如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；二、新课教学（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念x n ，那么x叫做a的n次方根（n th root），其一般地，如果a中n>1，且n∈N*．当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号n a表示．式子n a叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a 叫做被开方数（radicand）．当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号－n a表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗？．（学生活动） 结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn例1．（教材P 58例1）． 解：（略）巩固练习：（教材P 58例1） 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·sr r aa += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rssr a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）srra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．引导学生解决本课开头实例问题 例2．（教材P 60例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．巩固练习：（教材P 63练习1-3） 4． 无理指数幂结合教材P 62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：（教材P 63练习4）巩固练习思考：：（教材P 62思考题）例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升，然后用水填满，再倒出31升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？ 解：（略）点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题． 三、归纳小结，强化思想本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则． 四、作业布置1． 必做题：教材P 69习题2．1（A 组） 第1－4题． 2． 选做题：教材P 70习题2．1（B 组） 第2题．课题：§2.1.2指数函数及其性质教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．教学重点：指数函数的的概念和性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程： 五、引入课题（备选引例）5． （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．○1 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？○2 到2050年我国的人口将达到多少？ ○3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？6． 上一节中GDP 问题中时间x 与GDP 值y 的对应关系y=1.073x （x∈N *，x ≤20）能否构成函数？7． 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？ 8． 上面的几个函数有什么共同特征？ 六、新课教学 （一）指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数（exponentialfunction ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； ○2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P 68例2、3） （二）指数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）x )31(y = （2）x)21(y =（3）x2y = （4）x 3y = （5）x 5y =2．从画出的图象中你能发现函数x2y =的图象和函数x)21(y =的图象有什么关系？可否利用x2y =的图象画出x)21(y =的图象？ 3．从画出的图象（x2y =、x3y =和x5y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？9． 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =； （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；（三）典型例题例1．（教材P 66例6）． 解：（略）问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？ 例2．（教材P 66例7） 解：（略）问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？ 说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式． 巩固练习：（教材P 69习题A 组第7题） 七、归纳小结，强化思想本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法． 八、作业布置3． 必做题：教材P 69习题2．1（A 组） 第5、6、8、12题． 4． 选做题：教材P 70习题2．1（B 组） 第1题．课题：§2.2.1对数教学目的：（1）理解对数的概念；（2）能够说明对数与指数的关系； （3）掌握对数式与指数式的相互转化．教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化教学难点：对数概念的理解． 教学过程： 九、引入课题10．（对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神． 11．尝试解决本小节开始提出的问题．十、新课教学1．对数的概念一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ），记作： a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a ax=⇔=log○3 注意对数的书写格式． 思考：○1 1≠； ○2 是否是所有的实数都有对数呢？ 设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备．两个重要对数：○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ；○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2． 对数式与指数式的互化对数式 ⇔指数式对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数← N → 幂例1．（教材P 73例1）巩固练习：（教材P 74练习1、2）设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念． 说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题．3． 对数的性质 （学生活动）○1 阅读教材P 73例2，指出其中求x 的依据； ○2 独立思考完成教材P 74练习3、4，指出其中蕴含的结论 对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：01log =a ；（3）底数的对数是1：1log =a a ； （4）对数恒等式：N aNa =log ；（5）n a na =log ．十一、 归纳小结，强化思想○1 引入对数的必要性； ○2 指数与对数的关系； ○3 对数的基本性质． 十二、 作业布置教材P 86习题2．2（A 组） 第1、2题，（B 组） 第1题．课题：§2.2.1对数的运算性质教学目的：（1）理解对数的运算性质；（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； （3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用． 教学过程： 十三、 引入课题12． 对数的定义：b N N a a b=⇔=log ；13．对数恒等式：b a N ab a Na ==log ,log ；十四、 新课教学1．对数的运算性质提出问题：根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：○1 设m a =2log ，n a=3log ，求nm a +； ○2 设m M a =log ，n N a=log ，试利用m 、n 表示M a (log ·)N ．（学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）（引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质） 学生活动：○1 阅读教材Ｐ75例3、4，；设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质．○2 完成教材Ｐ79练习1~3 设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识．4． 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法． 思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解1318log 01.1的值？从而引入换底公式．5． 换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 学生活动○1 根据对数的定义推导对数的换底公式． 设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．○2 思考完成教材P 76问题（即本小节开始提出的问题）； ○3 利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a na m log log =；（2）ab b a log 1log =．设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．6． 课堂练习○1 教材Ｐ79练习4 ○2 已知的值。
基本初等函数的导数公式教案
基本初等函数的导数公式教案一、教学目标1.理解基本初等函数的概念和性质。
2.掌握基本初等函数的导数公式。
3.能够运用导数公式计算基本初等函数的导数。
4.培养学生的推导能力和运算能力。
二、教学重点1.基本初等函数的导数公式的掌握与运用。
2.提高学生的运算能力和推导能力。
三、教学难点四、教学过程1.导入（5分钟）引出函数的导数的概念，简要介绍导数的定义和计算方法。
2.概念讲解（15分钟）介绍基本初等函数的概念，并列举常见的基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，并讲解它们的定义和性质。
3.导数公式讲解（30分钟）根据基本初等函数的定义和性质，逐一讲解它们的导数公式，并进行推导过程，包括：（1）常数函数的导数：导数等于零。
（2）幂函数的导数：根据导数的定义和指数函数的性质，导数等于指数乘以底数的指数减一次幂函数。
（3）指数函数的导数：根据导数的定义和指数函数的性质，导数等于指数乘以底数的指数减一次指数函数。
（4）对数函数的导数：根据导数的定义和对数函数的性质，导数等于函数的导数除以函数的值次对数函数。
（5）三角函数的导数：根据导数的定义和三角函数的周期性和特性，导数等于函数的导数乘以函数的导数除以函数的值次三角函数。
（6）反三角函数的导数：根据导数的定义和反三角函数的性质，导数等于函数的导数除以根号一减去函数的值的平方。
4.例题讲解（30分钟）根据导数公式，讲解几个典型的例题，包括：（1）计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的导数。
（2）利用导数公式计算复合函数的导数。
5.练习与拓展（20分钟）让学生进行练习题的训练，加深对导数公式的理解与应用，并引导学生思考基本初等函数导数公式的推导和推广。
6.归纳总结（10分钟）总结基本初等函数的导数公式，回顾推导过程，并强调导数公式的重要性和运用价值。
五、课堂小结通过本节课的学习，我们了解了基本初等函数的概念和性质，并掌握了基本初等函数的导数公式。
高一数学必修一基本初等函数教案
基本初等函数一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n=； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *；2）)0(10≠=a a ；n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a sr s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）； 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr,0,0()( Q ）。
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
（3）．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 3）1log =a a ；4）对数恒等式：N aNa =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M NMa a alog log log -=；3）∈=n M n M a n a (log log R ） ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ；2）b mnb a na m log log =。
高中数学必修一函数概念与基本初等函数精品教学案(教师版全套)
函数概念与基本初等函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。
3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。
4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。
5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值. 6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景。
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。
4．知道指数函数是一类重要的函数模型。
（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。
（四）幂函数1．了解幂函数的概念。
2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。
（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
第1课时 函数及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。
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核心内容：知识点一：指数与对数的运算1、n 次方根*∈>N n n ,1有如下恒等式：()a a n n=；⎩⎨⎧=为偶数为奇数n a n a a nn ,, 2、规定正数的分数指数幂：n mnm a a =;nmnmnm aaa11==-()1,,,0>∈>*n Nn m a 且例1、求下列各式的值： （1）()()*∈>-Nn n n n且,13π； （2）()2y x -例2、化简：（1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-； （2）)0,0()(3421413223>>⋅b a abb a ab b a ；3、对数与指数间的互化关系：当10≠>a a ，且时，N a b N b b =⇔=log4、负数与零没有对数；1log ,01log ==a a a5、对数的运算法则：（1）()N M N M a a a log log log +=⋅， （2）N M NMa a alog log log -=， （3）M n M a n a log log =， （4）M mnM a n a m log log =（5）a N N b b a log log log =， （6）ab b a log 1log =其中1,0≠>a a 且，0>M ，0>N ,R n ∈.，例3、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）128127=-； （2）273=a ； （3）1.0101=-；（4）532log 21-=； （5）3001.0lg -=； （6）606.4100ln =.例4、计算下列各式的值：（1）001.0lg ； （2）8log 4 ； （3）e ln .例5、已知 ()[]0log log log 234=x ，那么21-x 等于例6、求下列各式的值：（1）8log 22； （2）3log 9.例7、求下列各式中x 的取值范围：（1）()3log 1+-x x ； （2）()23log 21+-x x .例8、若1052==b a ，则=+ba 11 ；方程()13lg lg =++x x 的解=x ________例9、（1）化简：7log 17log 17log 1235++；（2）设4log 2006log 5log 4log 3log 20062005432=••⋅⋅⋅•••m ，求实数m 的值.例10、（1）已知518,9log 18==b a ，试用b a ,表示45log 18的值；（2）已知b a ==5log ,7log 1414，用b a ,表示28log 35知识点二：指数函数、对数函数与幂函数的性质与图象1、指数性质：定义域为R ，值域为()+∞,0；当0=x 时，1=y ，即图象过定点(0,1)；当 0<a <1时，在R 上是减函数，当1>a 时，在R 上是增函数. 例1、求下列函数的定义域： （1）xy -=312； （2） xy -=5)31(； （3）1001010010-+=x x y例2、求下列函数的值域：（1）132)31(-=x y ； （2）124++=x x y例3、函数()b x a x f -=的图象如图，其 中b a ,为常数，则下列结论正确的是（ ）. A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10><<b a D ．0,10<<<b a例4、已知函数 ()()1,032≠>=-a a a x f x 且.（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性变形：函数()1,01≠>+=a a a y x 且的图象必经过点例5、按从小到大的顺序排列下列各数：23 ，23.0 ，22，22.0 .例6、已知()1212+-=x x x f . （1）讨论()x f 的奇偶性；（2）讨论()x f 的单调性.例7、求下列函数的单调区间：（1）322-+=x x a y ； （2）12.01-=xy .注：复合函数()()x f y ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”， 即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：i 、求定义域；ii 、拆分函数；iii 、分别求()()x u u f y ϕ==,的单调性；iv 、按“同增异减”得出复合函数的单调性.2. 对数函数的性质：定义域为（0，+∞），值域为R ；当x = 1时，y =0 ，即图象过定点(1,0)；当0 <a < 1 时，在（0，+∞） 上递减，当 a > 1 时，在（0，+∞）上递增.例1、比较大小：（1）9.0log ,7.0log ,8.0log 8.09.09.0； （2）31log ,3log ,2log 423例2、求下列函数的定义域：（1）)53(log 2-=x y ； （2）()34log 5.0-=x y例3、已知函数()()3log +=x x f a 的区间[-2,-1]上总有|)(x f |< 2，求实数a 的取值范围.例4、求不等式()()()1,014log 72log ≠>->+a a x x a a 且中x 的取值范围.例5、讨论函数()x y 23log 3.0-=的单调性.例6、图中的曲线是 x y a log =的图象，已知a 的值为2，34，103，51，则相应曲线4321,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A.2，34，51,103 B.2，34，103，51B.C.51,103,34,2 D.34,2,103, 51例7、已知函数)1(log )(2-=x x f a )1(>a ，)1(求)(x f 的定义域； )2(判断函数的奇偶性和单调性。
3、（1）幂函数的基本形式是αx y =，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 这五个常用幂函数的图象.（2）观察出幂函数的共性，总结如下：I 、当α> 0 时，图象过定点(0,0),(1,1)；在()+∞,0 上是增函数.II 、当α<0 时，图象过定点(1,1)；在()+∞,0上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.（3）幂函数αx y =的图象，在第一象限内，直线1=x 的右侧，图象由下至上，指数a 由小到大.y 轴和直线1=x 之间，图象由上至下，指数α由小到大.例8、已知幂函数()xy=的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.f例9、已知幂函数()Zmxy m∈=-2的图象都与y=-6与()Zy m∈mxx,轴都没有公共点，且()Z=-2的图象关于y轴对称，求m的值．y m∈xx例10、幂函数mxy=与ny=在x第一象限内的图象如图所示，则（）.A.-1<n<0<m<1B.n<-1,0<m<1C．-1<n<0,m> 1 D．n< -1,m> 1例11、幂函数()()5237321t t x t t x f --+-=是偶函数，且在()+∞,0上为增函数，求函数解析式.知识点三：函数的应用考点1、函数的零点与方程根的联系例1、如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞U练习：1、求132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 。
考点2 用二分法求方程的近似解( C 关注探究过程)例2、用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是 。
考点3 函数的模型及其应用( D 关注实践应用)7、某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。
根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？课堂练习：练习：化简（1）46394369)()(a a （2）65612121213231)3()(b a b a b a -⋅练习：已知()()1,0,6log ≠>-=a a bx x f a，讨论()x f 的单调性.练习：如图的曲线是幂函数n x y =在第一象限内的图象. 已知n 分别取±2 ，21±四个值，与曲线4321,,,c c c c 相应的n 依次为（ ）.A ．2,21,21,2-- B.21,2,21,2--C.21,2,21,2--,D.2,21,21,2--练习：设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定。