反函数的导数复合函数的求导法则

§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则

一、反函数的导数

设)(y x ϕ=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ϕ=在I y 内单调、

可导，而且0)(≠'y ϕ，则反函数)(x f y =在间}

,)(|{y x I y y x x I ∈==ϕ内也是单

调、可导的，而且

)(1

)(y x f ϕ'=

'

(1)

证明：∀∈x I x ，给x 以增量x ∆),0(x I x x x ∈∆+≠∆

由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知

0)()(≠-∆+=∆x f x x f y

于是

y x

x y ∆∆=∆∆1

因直接函数)(y x ϕ=在

I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数

)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→∆x 时，必有0→∆y

)

(11lim lim

00y y x x y y x ϕ'=

∆∆=∆∆→∆→∆ 即：

)(1)(y x f ϕ'=

'

【例1】试证明下列基本导数公式

().(arcsin )().()().(log )ln 11

121

131

22x x arctgx x a x a x '=

-'=

+'=

证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数

函数 y x sin =在

)

2,2(π

π-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0

因此，在 )1,1(-=x I 上， 有

y x cos 1

)arcsin (=

'

注意到，当)2,2(π

π-∈y 时，0cos >y ，2

21sin 1cos x y y -=-=

因此，

211)arcsin (x x -=

'

证2 设x tgy =

，)2,2(π

π-=y I

则y

arctgx =，I x =-∞+∞(,)

tgy x = 在 I y 上单调、可导且

0cos 1

2>=

'y x

故

22211

11cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='=

'

证3

a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=

='=

'

类似地，我们可以证明下列导数公式：

(arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=-

-'=-

+'=

1

11

11

22

二、复合函数的求导法则

如果)(x u ϕ=在点x 0可导，而)(u f y =在点)(00x u ϕ=可导，则复合函数

])([x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为

)()(000x u f dx dy

x x ϕ'⋅'==

证明：因)

(lim

00u f x y

u '=∆∆→∆，由极限与无穷小的关系，有

)0,0()(0→→∆∆⋅+∆'=∆αα时当u u u u f y

用0≠∆x 去除上式两边得：

x u x u u f x y ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆α)(0

由)(x u ϕ=在x 0的可导性有：

00→∆⇔→∆u x ， 0

lim lim 0

==→∆→∆ααu x

]

)([lim lim

000x u

x u u f x y x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆→∆→∆α

x u

x u u f x x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=→∆→∆→∆0000lim

lim lim )(α

)()(00x u f ϕ'⋅'=

即

)()(000

x u f dx dy

x x ϕ'⋅'==

上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述： 若u x =ϕ()在开区间I x 可导，y

f u =()在开区间I u 可导，且∀∈x I x 时，对

应的 u I u ∈，则复合函数])([x f y ϕ=在I x 内可导，且

dx du du dy dx dy ⋅

= (2)

复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：

弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。 【例2】}])([{x f y φϕ=

，求 dy

dx

引入中间变量， 设 v

x =φ()，u v =ϕ()，于是 y f u =()

变量关系是 y u v x ---，由锁链规则有：

dy dx dy du du dv dv dx =⋅⋅

(2)、用锁链规则求导的关键

引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。还应注意：求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。

【例3】求y x =sin 2的导数dy

dx 。

解：设 u x =2，则y

u =sin ，u x =2，由锁链规则有：

dy dx dy du du dx u x u x =⋅='⋅'=⋅=(sin )()(cos )cos 2222 【例4】 设

y tg

x =ln 2，求dy

dx 。